10 Rovnice s parametrem – met.
Stručný přehled teorie
Rovnici s parametrem považujeme za zápis množiny všech rovnic, které bychom získali dosazením všech možných
konstant za parametr (konstanty volíme z definičního oboru parametru).
Řešit rovnici s parametrem znamená přiřadit každé přípustné hodnotě parametru množinu kořenů.
Druhy rovnic s parametrem běžně probíraných při výuce matematiky na gymnáziu:
• lineární rovnice s jednou neznámou a jedním parametrem
• kvadratická rovnice s jednou neznámou a jedním parametrem
• soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých s jedním parametrem
Met.: K pochopení úžasného nástroje, kterým rovnice s parametrem jsou, nástroje využívajícího
nadhledu, s jakým se v tématu rovnic středoškolští studenti dosud nesetkali, by měl vyučující
studenty dovést prostřednictvím konkrétních příkladů rovnic, na jaké jsou zvyklí.
Např. 1) 4x + 1 = 4 + 2x (a = 2)
2) 9x + 1 = 9 + 3x (a = 3)
3) 25x + 1 = 25 + 5x (a = 5)
4) 49x + 1 = 49 + 7x (a = 7)
………..
n) 144x + 1 = 144 + 12x (a = 12)
………..
Hned na této první řešené rovnici má vyučující možnost upozornit studenty na to, jak
zásadním způsobem je důležité, aby si při prvním pohledu na každou rovnici, kterou dostanou
k řešení, uvědomili, které proměnné představují neznámé a které představují parametry. I tak
se bude řada studentů dopouštět omylu, když např. rovnici 𝑎2
𝑥 + 1 = 𝑎2
+ 𝑎𝑥 s neznámou x
a parametrem a označí za kvadratickou prostě proto, že si všimnou druhé mocniny…
Zápis řešení by měl vyučující studentům na několika příkladech předvést na tabuli, aby si
zvykli na precizní, přehledný, srozumitelný postup, který jim umožní dojít k bezchybně
napsanému závěru. Rovnice s parametrem mívají komplikované a obsáhlé postupy, v nichž se
při nedbalých zápisech studenti mohou „ztratit“.
Velmi důležité je také naučit studenty rozlišovat s ohledem na hodnoty parametrů situace,
kdy rovnice, kterou mají řešit, nemá smysl, a kdy tato rovnice nemá řešení. Je nutné precizně
zpracovat podmínky, určit všechny hodnoty parametrů, pro které nabývají vypočítané kořeny
zakázaných hodnot a zohlednit to v závěrech úloh.
V závěru musí být jasně uvedeno, pro které hodnoty parametru daná rovnice nemá smysl a jaká množina
kořenů je přiřazena každé přípustné hodnotě parametru.
S trochou pomoci si studenti jistě
všimnou, že tyto rovnice jsou téhož typu
a dají se zapsat: 𝑎2
𝑥 + 1 = 𝑎2
+ 𝑎𝑥,
kde 𝑎 ∈ 𝑅 je parametr. Pokud se naučí
řešit tuto rovnici s parametrem, vyřeší
tak najednou všechny rovnice téhož
typu s konkrétními čísly, která lze
dosadit všude za parametr.
Základní poznatky
Řešte v 𝑅 rce s parametrem 𝑎 ∈ 𝑅:
Př. 1 𝑎2
𝑥 + 1 = 𝑎2
+ 𝑎𝑥
Př. 2
𝑎+𝑥
3
=
𝑥−3
𝑎
+ 2
Př. 3 𝑎2
𝑥2
+ 𝑎𝑥 − 1 = 0
Typové příklady standardní náročnosti
Př. 4 𝑎𝑥 −
2
𝑎2 =
1
𝑎
(4𝑥 + 1)
Met.: Řeš.: 𝑎𝑥 −
2
𝑎2 =
1
𝑎
. (4𝑥 + 1) /. 𝑎2
Podm.: 𝑎 ≠ 0 (pro a = 0 rce nemá smysl RNS)
𝑎3
𝑥 − 2 = 4𝑎𝑥 + 𝑎
𝑎3
𝑥 − 4𝑎𝑥 = 𝑎 + 2
𝑎𝑥(𝑎 + 2). (𝑎 − 2) = 𝑎 + 2 ... Pozn. Místo časté chyby – dělení rovnice výrazem a + 2 a ztráta části řešení.
Správně se musí řešení „rozvětvit“ podle hodnot parametru, kdy koeficient
neznámé x je 0, nelze jím dělit a musíme dosadit, a kdy je tento
koeficient od nuly různý a pak je dělení možné.
a = 0 nelze a = -2 a = 2 𝑎 ∈ 𝑅 − {−2; 0; 2}
(viz podm.) 0x = 0 0x = 4 𝑥 =
𝑎+2
𝑎.(𝑎+2).(𝑎−2)
=
1
𝑎.(𝑎−2)
K = R K = ∅ 𝐾 = {
1
𝑎.(𝑎−2)
}
Závěr:
a = 0 RNS
a = -2 K = R
a = 2 K = ∅
𝑎 ∈ 𝑅 − {−2; 0; 2}
𝐾 = {
1
𝑎. (𝑎 − 2)
}
𝑎 = 0 𝐾 = ∅
𝑎 = 1 𝐾 = 𝑅
𝑎 ∈ 𝑅 − {0; 1} 𝐾 = {
𝑎 + 1
𝑎
}
𝑎 = 0 rce nemá smysl
𝑎 = 3 𝐾 = 𝑅
𝑎 ∈ 𝑅 − {0; 3} 𝐾 = {3 − 𝑎}
𝑎 = 0 𝐾 = ∅
𝑎 ∈ 𝑅 − {0} 𝐾 = {
1
2𝑎
(−1 ± √5)}
𝑎 = 0 rce nemá smysl
𝑎 = −2 𝐾 = 𝑅
𝑎 = 2 𝐾 = ∅
𝑎 ∈ 𝑅 − {0; 2; −2} 𝐾 = {
1
𝑎(𝑎 − 2)
}
𝐾 = {𝑎
+ 2
𝑎
}
Př. 5
𝑥+𝑎
2
−
2
𝑥+𝑎
=
𝑥−𝑎
2
Met.: Řeš.:
𝑥+𝑎
2
−
2
𝑥+𝑎
=
𝑥−𝑎
2
/.2. (𝑥 + 𝑎) Podm.: x + a ≠ 0 → 𝑥 ≠ − 𝑎
𝑥2
+ 2𝑎𝑥 + 𝑎2
− 4 = 𝑥2
− 𝑎2
2𝑎𝑥 = 4 − 2𝑎2
a = 0 𝑎 ≠ 0
0x = 4 𝑥 =
2−𝑎2
𝑎
K = ∅ Kdy
2−𝑎2
𝑎
= −𝑎?
Když 2 = 0 … nelze
K = {
2−𝑎2
𝑎
}
Závěr:
Př. 6
𝑎2(𝑥−1)
𝑎𝑥−2
= 2
Met.: Řeš.:
𝑎2(𝑥−1)
𝑎𝑥−2
= 2 /. (𝑎𝑥 − 2) Podm.: 𝑎𝑥 − 2 ≠ 0 → 𝑥 ≠
2
𝑎
𝑎2
𝑥 − 𝑎2
= 2𝑎𝑥 − 4
𝑎2
𝑥 − 2𝑎𝑥 = 𝑎2
− 4
𝑎𝑥. (𝑎 − 2) = (𝑎 − 2). (𝑎 + 2)
a = 0 a = 2 𝑎 ∈ 𝑅 − {0; 2}
0x = -4 0x = 0 𝑥 =
(𝑎−2).(𝑎+2)
𝑎.(𝑎−2)
=
𝑎+2
𝑎
K = ∅ 𝐾 ⊆ 𝑅 Kdy
𝑎+2
𝑎
=
2
𝑎
?
𝑥 ≠
2
𝑎
=
2
2
= 1 Když a = 0. To ale v této
𝐾 = 𝑅 − {1} větvi nemůže nastat.
𝐾 = {
𝑎+2
𝑎
}
Závěr:
𝑎 = 0 𝐾 = ∅
𝑎 ∈ 𝑅 − {0} 𝐾 = {
2 − 𝑎2
𝑎
}
𝑎 = 0 K = ∅
𝑎 ≠ 0
K ={
2−𝑎2
𝑎
}
𝑎 = 0 𝐾 = ∅
𝑎 = 2 𝐾 = 𝑅 − {1}
𝑎 ∈ 𝑅 − {0; 2} 𝐾 = {
𝑎 + 2
𝑎
}
a = 0 K = ∅
a = 2 𝐾 = 𝑅 − {1}
𝑎 ∈ 𝑅 − {0; 2}
𝐾 = {
𝑎 + 2
𝑎
}
Je nutné ještě zjistit, zda existuje
taková hodnota parametru a, pro
kterou nabývá kořen 𝑥 =
𝑎+2
𝑎
zakázané hodnoty
2
𝑎
!!!
Je nutné ještě zjistit, zda existuje taková hodnota parametru a,
pro kterou nabývá kořen 𝑥 =
2−𝑎2
𝑎
zakázané hodnoty -a!!!
Tady se ukáže, že taková hodnota a neexistuje. Závěr úlohy
bude zapsán stejně, ať student tento krok provede nebo ne.
Přesto je nezbytné trvat na provedení tohoto kroku a pokud
chybí, není řešení úplné, i když zápis závěru bude správný!!!
-4 -1 x
y
Př. 7 𝑎𝑥2
+ 4𝑥 − 𝑎 − 5 = 0
Met.: Řeš.:
I. a = 0 → rovnice bude jen lineární: 4x – 5 = 0 → 𝑥 =
5
4
;
II. a ≠ 0 → rovnice je kvadratická, o jejích kořenech rozhoduje diskriminant: 𝐷 = 16 − 4. 𝑎. (− 𝑎 − 5) =
= 4𝑎2
+ 20𝑎 + 16 = 4. (𝑎2
+ 5𝑎 + 4) = 4. (𝑎 + 4). (𝑎 + 1);
a) 𝐷 > 0 ↔ 4. (𝑎 + 4). (𝑎 + 1) > 0 ↔ 𝑎 ∈ (−∞; −4) ⋃(−1; ∞) − {0}
𝑥1,2 =
−4± √4.(𝑎2+5𝑥+4)
2𝑎
=
−2±√𝑎2+5𝑎+4
𝑎
;
b) 𝐷 = 0 ↔ (𝑎 = −4 ⋁ 𝑎 = −1)
𝑎 = −4 → 𝑥 =
−2
−4
=
1
2
;
𝑎 = −1 → 𝑥 =
−2
−1
= 2
c) 𝐷 < 0 ↔ 𝑎 ∈ (−4; −1)
K = ∅
Závěr:
Př. 8 (𝑥 + 𝑎)2
+ 1 = 2𝑎(𝑥 + 𝑎)
𝑎 = 0 𝐾 = {
5
4
}
𝑎 ∈ (−4; −1) 𝐾 = ∅
𝑎 = −4 𝐾 = {
1
2
}
𝑎 = −1 𝐾 = {2}
𝑎 ∈ (−∞; −4) ∪ (−1; ∞) − {0} 𝐾 = {
−2 ± √(𝑎 + 1)(𝑎 + 4)
𝑎
}
a = 0
𝐾 = {
5
4
}
a = -4
𝐾 = {
1
2
}
a = -1 𝐾 = {2}
𝑎 ∈ (−∞; −4) ∪ (−1; ∞) − {0}
𝐾 = {
−2 ± √𝑎2 + 5𝑎 + 4
𝑎
}
𝑎 ∈ (−4; −1) 𝐾 = ∅
𝑎 ∈ (−1; 1) 𝐾 = ∅
𝑎 ∈ {−1; 1} 𝐾 = {0}
𝑎 ∈ (−∞; −1) ∪ (1; ∞) 𝐾 = {±√ 𝑎2 − 1}
Rozšiřující cvičení
Př. 9
𝑥2+1
𝑎2 𝑥−2𝑎
−
1
2−𝑎𝑥
=
𝑥
𝑎
Met.: Řeš.:
𝑥2+1
𝑎2 𝑥−2𝑎
−
1
2−𝑎𝑥
=
𝑥
𝑎
Podm.: 1) 𝑎 ≠ 0; (pro a = 0 RNS)
2) 𝑎𝑥 − 2 ≠ 0 → 𝑥 ≠
2
𝑎
𝑥2+1
𝑎.(𝑎𝑥−2)
+
1
𝑎𝑥−2
=
𝑥
𝑎
/.a.(ax – 2)
𝑥2
+ 1 + 𝑎 = 𝑎𝑥2
− 2𝑥
(𝑎 − 1)𝑥2
− 2𝑥 − 𝑎 − 1 = 0
I. a = 1 → rovnice bude jen lineární: −2𝑥 − 1 − 1 = 0 → 𝑥 = −1
II. 𝑎 ≠ 1 ⋀ 𝑎 ≠ 0 → rovnice je kvadratická, o jejích kořenech rozhoduje diskriminant D:
𝐷 = 4 − 4. (𝑎 − 1). (−𝑎 − 1) = 4 + 4. (𝑎2
− 1) = 4 + 4𝑎2
− 4 = 4𝑎2
;
a) 𝐷 > 0 ↔ 𝑎 ≠ 0 ⋀ 𝑎 ≠ 1
𝑥1,2 =
2±√4𝑎2
2.(𝑎−1)
=
2±2|𝑎|
2.(𝑎−1)
=
1±𝑎
𝑎−1
𝑥1 =
1+𝑎
𝑎−1
; 𝑥2 =
1−𝑎
𝑎−1
= −1
a1) 𝑥1 =
1+𝑎
𝑎−1
Kdy 𝑥1 =
2
𝑎
?
𝑎+1
𝑎−1
=
2
𝑎
𝑎2
+ 𝑎 = 2𝑎 − 2
𝑎2
− 𝑎 + 2 = 0 …. nemá v R řešení, x1 tedy pro žádné a nenabývá zakázané hodnoty;
a2) 𝑥2 =
1−𝑎
𝑎−1
= −1
Kdy 𝑥2 =
2
𝑎
?
−1 =
2
𝑎
a = –2 … pro parametr a = -2 je kořen x2 = -1 zakázaný. Znamená to, že v tom
případě bude mít rovnice pouze kořen x1, který má hodnotu
𝑥1 =
1+𝑎
𝑎−1
=
1−2
−2−1
=
1
3
b) D = 0 nelze, viz podmínka
c) D < 0 nelze (D = 4a2
)
Závěr:
𝑎 = 0 rce nemá smysl
𝑎 = 1 𝐾 = {−1}
𝑎 = −2 𝐾 = {
1
3
}
𝑎 ∈ 𝑅 − {0; 1; −2} 𝐾 = {−1;
𝑎 + 1
𝑎 − 1
}
a = 0 RNS
a = 1 𝐾 = {−1}
a = -2
𝐾 = {
1
3
}
𝑎 ∈ 𝑅 − {−2; 0; 1}
𝐾 = {−1;
𝑎 + 1
𝑎 − 1
}
Př. 10 𝑥 − 𝑦 = 1
3𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑎
Met.: Řeš.:
𝑥 − 𝑦 = 1 /.(-3)
3𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑎
(𝑎 + 3)𝑦 = 𝑎 − 3
𝑎 = −3 𝑎 ≠ −3
0𝑥 = −6 𝑦 =
𝑎−3
𝑎+3
→ 𝑥 = 𝑦 + 1 → 𝑥 =
𝑎−3
𝑎+3
+ 1 =
𝑎−3+𝑎+3
𝑎+3
=
2𝑎
𝑎+3
𝐾 = ∅ 𝐾 = {[
2𝑎
𝑎+3
;
𝑎−3
𝑎+3
]}
Závěr:
Př. 11 𝑥 + (𝑎 − 1)𝑦 = 1
(𝑎 + 1)𝑥 + 3𝑦 = −1
Met.: Řeš.:
𝑥 + (𝑎 − 1)𝑦 = 1 /.[−(𝑎 + 1)]
(𝑎 + 1)𝑥 + 3𝑦 = −1
−(𝑎2
− 1)𝑦 + 3𝑦 = −𝑎 − 1 − 1
(4 − 𝑎2)𝑦 = −(𝑎 + 2)
(𝑎2
− 4)𝑦 = 𝑎 + 2
(𝑎 + 2). (𝑎 − 2)𝑦 = 𝑎 + 2
𝑎 = −2 𝑎 = 2 𝑎 ∈ 𝑅 − {−2; 2}
0𝑦 = 0 0𝑦 = 4 𝑦 =
1
𝑎−2
𝐾 ⊆ 𝑅𝑥𝑅 𝐾 = ∅ 𝑥 = 1 − (𝑎 − 1)𝑦 = 1 − (𝑎 − 1).
1
𝑎−2
=
𝑎−2−𝑎+1
𝑎−2
=
1
2−𝑎
𝑦 = 𝑡, 𝑡 ∈ 𝑅 𝐾 = {[
1
2−𝑎
;
1
𝑎−2
]}
𝑥 = 1 + 3𝑡
𝐾 = {[1 + 3𝑡; 𝑡], 𝑡 ∈ 𝑅}
Závěr:
𝑎 = −3 𝐾 = ∅
𝑎 ∈ 𝑅 − {−3} 𝐾 = {[
2𝑎
𝑎 + 3
;
𝑎 − 3
𝑎 + 3
]}
𝑎 = −3 𝐾 = ∅
𝑎 ≠ −3
𝐾 = {[
2𝑎
𝑎 + 3
;
𝑎 − 3
𝑎 + 3
]}
𝑎 = −2 𝐾 = {[1 + 3𝑡; 𝑡], 𝑡 ∈ 𝑅}
𝑎 = 2 𝐾 = ∅
𝑎 ∈ 𝑅 − {−2; 2} 𝐾 = {[
1
2 − 𝑎
;
1
𝑎 − 2
]}
𝑎 = −2 𝐾 = {[1 + 3𝑡; 𝑡], 𝑡 ∈ 𝑅}
𝑎 = 2 𝐾 = ∅
𝑎 ∈ 𝑅 − {−2; 2}
𝐾 = {[
1
2 − 𝑎
;
1
𝑎 − 2
]}
Chceme-li použít sčítací metodu řešení, musíme
jednu z rovnic násobit výrazem s neznámou. Pak
je ale nezbytné určit, jaké bude mít soustava
řešení v případě, že by se tento výraz rovna nule.
Řešením pro a = -1 je [
1
3
; −
1
3
], což odpovídá větvi
s parametrem 𝑎 ∈ 𝑅 − {−2;2}.