11 Pravoúhlý trojúhelník, Pythagorova a Euklidovy věty - met. Stručný přehled teorie
Eukleidovy věty: a) o výšce:     AAKC-ACKB     I± = cjl
cb vc
2 _
vc — ca-cb
Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníku se rovná obsahu obdélníku sestrojeného z obou úseků přepony.
b) o odvěsně:    AABC ~ AACK   l) - = ^
c b
b2 = c. cb
2) Analogicky - = —
c a
a = c. cn
Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníku se rovná obsahu obdélníku sestrojeného z přepony a přilehlého úseku.
^thagorova věta:
a2 = C.Ca
b2 = c.Cb
a2+bl = C.Ca + C.Cb = C.( Ca+Cb )
Obsah čtverce sestroje nad oběma odvěsnami
nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku s
součtu obsahů čtverců sestrojených
Goniometrické funkce ostrého úhlu:
a    protilehlá odvěsna b    přilehlá odvěsna
sma = — =-;        cosa = — =-;
c přepona c přepona
b      protilehlá odvěsna a      přilehlá odvěsna
tga = — =---3-;     cotga - — -
a       přilehlá odvěsna b     protilehlá odvěsna
Met.:   Znalosti související s pravoúhlým trojúhelníkem a jeho vlastnostmi patří k nejzákladnějším v geometrii. V průběhu celé středoškolské matematiky se jich velmi často využívá při probírání nejrůznějších (i negeometrických) témat.
Studenti by měli být vedeni k tomu, aby
• v libovolném pravoúhlém trojúhelníku s libovolně označenými vrcholy a stranami dokázali s jistotou pracovat s větou Pythagorovou i oběma větami Euklidovými a využívat jich při řešení různých úloh;
• při řešení úloh využívali dostatečně velkých a přehledných náčrtů (bohužel spousta učitelů na základních školách k tomu žáky nevede, takže studenti často kreslí malé nepřehledné náčrty tužkou (nebo dokonce propisovačkou), nejsou zvyklí pomoci si barevným vyznačením zadaných prvků, pojmenovávají hledané prvky jinak v náčrtu a jinak ve výpočtech
• s pomocí Pythagorovy věty vypočítali (a uložili do paměti!!!) velikost výšky rovnostranného
trojúhelníku o straně délky a (v = a-^), velikost úhlopříčky ve čtverci o straně délky a (u = aV2),
velikost tělesové úhlopříčky krychle o hraně délky a (u = aVŠ), apod.
• dokázali použít pravoúhlý trojúhelník k určení ostatních základních goniometrických funkcí ostrého úhlu, je-li zadána jedna z těchto funkcí;
• dokázali využít pravoúhlé trojúhelníky vzniklé jako polovina rovnostranného trojúhelníku, příp. polovina čtverce, k výpočtu (a uložení do paměti!!!) všech základních goniometrických funkcí pro úhly 30°, 45°, 60°. Tato znalost se jim bude hodit později při práci s libovolnými celočíselnými násobky těchto úhlů ...
Základní poznatky:
Př. 1   Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C a dále: a) ca = 4 cm, Cb = 9 cm b) b = 5 cm, c = 13 cm
Určete početně (a výsledek ověřte graficky) prvky: a, b, c, ca, Cb, vc, a, |3.
144
[a) VŠ2 cm, Vin cm,13 cm, 4 cm, 9 cm, 6 cm, 33°4ľ, 56°19' b) 12 cm, 5 cm, 13 cm, ~^~cm>
— cm, — cm, 67°23', 22°37'] 13 13
Př. 2   Je dána úsečka | AB| = a (např. 6 cm).       a) Rozdělte úsečku AB v poměru 2:3.
2 4
b) Sestrojte úsečku IAXI = — I AB I, IAYI = — I AB I.
3 3
Př. 3   MA-podzim 2016 V každé zobrazené situaci je šířka řeky označena písmenem s a vzdálenost AB je 50 m. K situacím na obrázcích a), b) přiřaďte odpovídající šířku řeky s, zaokrouhlenou na celé metry.
a)
b)
A B
A) méně než 28 m        B) 30 m C) 32 m D) 34 m        E) více než 36 m
[a) C, b) B]
Př. 4   Sestrojte úsečku délky VÍŠ cm užitím:
a) Pythagorovy věty b) Eukleidovy věty o výšce c) Euleidovy věty o odvěsně
Správnost výsledku ověřte výpočtem na kalkulačce a přeměřením.
Typové příklady standardní náročnosti
Př. 5    Je dána kružnice k (S, r) a bod M, který má od středu S kružnice k vzdálenost | SM | = d > r. Z bodu M vedené
tečny ti, t2 se dotýkají kružnice k v bodech Ti, T2. Určete délku tětivy | T1T21 a její vzdálenost od středu
kružnice k. r 2r r-2-- r2 n
L —\d -r ,— J
d d
Př. 6    Určete obsah obdélníku, jehož délka a = 84 cm, má-li jeho úhlopříčka délku o 72 cm větší než je jeho šířka.
[1092 cm2]
Př. 7    Dvě tětivy AB a CD kružnice k (S, 7 cm), které mají délky | AB | =6 cm, | CD | = 10 cm se protínají, kolmo v bodě T. Vypočítejte vzdálenost bodu T od středu kružnice k. [8 cm]
Př. 8    Jakou část zemského povrchu lze vidět z kosmické lodi letící ve výšce 250 km nad povrchem Země?
[9 670 650 km2]
/7                                                        a. b Př. 9    Sestrojte úsečku délky:   a) vo cm; b) x =-       (a, b, c ... zadáno);
c) x = — (a, b, jednotková úsečka ...zadáno);   d) x = a +b—-
b d
Volte délky úseček např. a = 8 cm, b = 2 cm, c = 4 cm, d = 3 cm, jednotková úsečka má délku 1 cm. Správnost konstrukce ověřte výpočtem a přeměřením.
Př. 10  Sestrojte čtverec stejného obsahu, jako je obsah zadaného:
a) obdélníku se stranami a, b;       b) trojúhelníku se stranami a, b, c.
Volte délky úseček např. a = 6 cm, b = 4 cm, c = 7 cm. Správnost konstrukce ověřte výpočtem a přeměřením. (Zadáním stran trojúhelníku je po jeho sestrojení známá také délka kterékoliv jeho výšky.)
[a) x = y/a-b cm b) x = ^EŽIcm]
Př. 11  Sestrojte kružnici, která je soustředná s daným kruhem o poloměru 4 cm a dělí ho na dvě části o stejném obsahu. [r = 2^ cm
Př. 12   MA-2017      Ve větru se zlomil 36 m vysoký strom. Vrchol zlomeného stromu se dotýká země, a to ve vzdálenosti 12 m od paty kmene stromu. (Tloušťku kmene stromu zanedbáváme.) Vypočtěte, v jaké výšce h nad zemí se strom zlomil.
[h = 16 m]
p p<-> v
12m
Rozšiřující cvičení
Př.13   Vypočítejte obsah rovnoramenného lichoběžníku, jehož základny mají délky a = 22 cm, c = 12 cm, je-li jeho výška o 1 cm menší než délka ramene. [204 cm2]
Př. 14 Je dána kružnice k (S; 5 cm) a bod M, který má od středu S kružnice k vzdálenost d = 10 cm. Jakou vzdálenost od středu S má přímka p, která prochází bodem M a vytíná na kružnici k tětivu délky n = 6 cm?
[4 cm]
Př. 15  Kružnice o poloměru r je opsána rovnoramenným trojúhelníkem ABC, jehož výška v = 5r. Vypočítejte délku základny AB tohoto trojúhelníku. pWišj