11 Pravoúhlý trojúhelník, Pythagorova a Euklidovy věty – met. Stručný přehled teorie A B C K a b c v[c] α β γ α β α γ = 90˚ a,b...odvěsny c…přepona c[a],c[b]...úseky na přeponě c[a] C[b] uu Eukleidovy věty: a) o výšce: Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníku se rovná obsahu obdélníku sestrojeného z obou úseků přepony. uu b) o odvěsně: 1) 2) Analogicky Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníku se rovná obsahu obdélníku sestrojeného z přepony a přilehlého úseku. Pythagorova věta: a^2 = c.c[a] b^2 = c.c[b] a^2+b^2 = c.c[a] + c.c[b] = c.( c[a]+c[b ]) = c^2 Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku se rovná součtu obsahů čtverců sestrojených nad oběma odvěsnami. Goniometrické funkce ostrého úhlu: ; ; ; . Met.: Znalosti související s pravoúhlým trojúhelníkem a jeho vlastnostmi patří k nejzákladnějším v geometrii. V průběhu celé středoškolské matematiky se jich velmi často využívá při probírání nejrůznějších (i negeometrických) témat. Studenti by měli být vedeni k tomu, aby • v libovolném pravoúhlém trojúhelníku s libovolně označenými vrcholy a stranami dokázali s jistotou pracovat s větou Pythagorovou i oběma větami Euklidovými a využívat jich při řešení různých úloh; • při řešení úloh využívali dostatečně velkých a přehledných náčrtů (bohužel spousta učitelů na základních školách k tomu žáky nevede, takže studenti často kreslí malé nepřehledné náčrty tužkou (nebo dokonce propisovačkou), nejsou zvyklí pomoci si barevným vyznačením zadaných prvků, pojmenovávají hledané prvky jinak v náčrtu a jinak ve výpočtech ...; • s pomocí Pythagorovy věty vypočítali (a uložili do paměti!!!) velikost výšky rovnostranného trojúhelníku o straně délky a , velikost úhlopříčky ve čtverci o straně délky a , velikost tělesové úhlopříčky krychle o hraně délky a , apod. • dokázali použít pravoúhlý trojúhelník k určení ostatních základních goniometrických funkcí ostrého úhlu, je-li zadána jedna z těchto funkcí; • dokázali využít pravoúhlé trojúhelníky vzniklé jako polovina rovnostranného trojúhelníku, příp. polovina čtverce, k výpočtu (a uložení do paměti!!!) všech základních goniometrických funkcí pro úhly 30°, 45°, 60°. Tato znalost se jim bude hodit později při práci s libovolnými celočíselnými násobky těchto úhlů ... Základní poznatky: Př. 1 Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C a dále: a) c[a ]= 4 cm, c[b ]= 9 cm b) b = 5 cm, c = 13 cm Určete početně (a výsledek ověřte graficky) prvky: a, b, c, c[a], c[b], v[c], α, β. [a) cm, cm,13 cm, 4 cm, 9 cm, 6 cm, 33°41´, 56°19´ b) 12 cm, 5 cm, 13 cm, cm, cm, cm, 67°23´, 22°37´] Př. 2 Je dána úsečka |AB| = a (např. 6 cm). a) Rozdělte úsečku AB v poměru 2:3. b) Sestrojte úsečku |AX| = |AB|, |AY| = |AB|. Př. 3 MA–podzim 2016 V každé zobrazené situaci je šířka řeky označena písmenem s a vzdálenost AB je 50 m. K situacím na obrázcích a), b) přiřaďte odpovídající šířku řeky s, zaokrouhlenou na celé metry. a) b) A) méně než 28 m B) 30 m C) 32 m D) 34 m E) více než 36 m [a) C, b) B] Př. 4 Sestrojte úsečku délky cm užitím: a) Pythagorovy věty b) Eukleidovy věty o výšce c) Euleidovy věty o odvěsně Správnost výsledku ověřte výpočtem na kalkulačce a přeměřením. Typové příklady standardní náročnosti Př. 5 Je dána kružnice k (S, r) a bod M, který má od středu S kružnice k vzdálenost │SM│= d > r. Z bodu M vedené tečny t[1], t[2] se dotýkají kružnice k v bodech T[1], T[2]. Určete délku tětivy │T[1]T[2]│a její vzdálenost od středu kružnice k. Př. 6 Určete obsah obdélníku, jehož délka a = 84 cm, má-li jeho úhlopříčka délku o 72 cm větší než je jeho šířka. [1092 cm^2] Př. 7 Dvě tětivy AB a CD kružnice k (S, 7 cm), které mají délky |AB| = 6 cm, |CD| = 10 cm se protínají, kolmo v bodě T. Vypočítejte vzdálenost bodu T od středu kružnice k. [8 cm] Př. 8 Jakou část zemského povrchu lze vidět z kosmické lodi letící ve výšce 250 km nad povrchem Země? [9 670 650 km^2 ] Př. 9 Sestrojte úsečku délky: a) cm; b) (a, b, c … zadáno); c) (a, b, jednotková úsečka …zadáno); d) . Volte délky úseček např. a = 8 cm, b = 2 cm, c = 4 cm, d = 3 cm, jednotková úsečka má délku 1 cm. Správnost konstrukce ověřte výpočtem a přeměřením. Př. 10 Sestrojte čtverec stejného obsahu, jako je obsah zadaného: a) obdélníku se stranami a, b; b) trojúhelníku se stranami a, b, c. Volte délky úseček např. a = 6 cm, b = 4 cm, c = 7 cm. Správnost konstrukce ověřte výpočtem a přeměřením. (Zadáním stran trojúhelníku je po jeho sestrojení známá také délka kterékoliv jeho výšky.) [a) x = cm b) x = cm] Př. 11 Sestrojte kružnici, která je soustředná s daným kruhem o poloměru 4 cm a dělí ho na dvě části o stejném obsahu. [r = 2 cm] Př. 12 MA – 2017 Ve větru se zlomil 36 m vysoký strom. Vrchol zlomeného stromu se dotýká země, a to ve vzdálenosti 12 m od paty kmene stromu. (Tloušťku kmene stromu zanedbáváme.) Vypočtěte, v jaké výšce h nad zemí se strom zlomil. [h = 16 m] Rozšiřující cvičení Př.13 Vypočítejte obsah rovnoramenného lichoběžníku, jehož základny mají délky a = 22 cm, c = 12 cm, je-li jeho výška o 1 cm menší než délka ramene. [204 cm^2] Př. 14 Je dána kružnice k (S; 5 cm) a bod M, který má od středu S kružnice k vzdálenost d = 10 cm. Jakou vzdálenost od středu S má přímka p, která prochází bodem M a vytíná na kružnici k tětivu délky n = 6 cm? [4 cm] Př. 15 Kružnice o poloměru r je opsána rovnoramenným trojúhelníkem ABC, jehož výška v = 5r. Vypočítejte délku základny AB tohoto trojúhelníku.