12 Shodná zobrazení -Stručný přehled teorie met. Shodné zobrazení - je zobrazení, které každým dvěma bodům X,Y (tzv. vzorům) přiřazuje body X',Y' (tzv. obrazy) tak, že | X'Y' | = I XY |. Shodnost rovinných útvarů: dva rovinné útvary jsou shodné, jestliže je můžeme přemístit tak, aby se přesně kryly jt přímá - útvary se dají v rovině přemístit tak, aby se překrývaly Shodnost nepřímá - aby se útvary po přemístění překrývaly, je nutno jeden z nich nejprve „obrátit v prostoru" Věty o shodnosti trojúhelníků: sss... dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se ve všech třech stranách sus... dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném usu... dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se v jedné straně a v úhlech k ní přilehlých Ssu... dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se ve dvou stranách a úhlu naproti větší z nich Druhy shodných zobrazení: Středová souměrnost - Ss: X —> X' - je to shodné zobrazení, které přiřazuje: 1) každému bodu X ^ S bod X' tak, že bod S je středem úsečky XX', 2) bodu S bod S' = S, bod S je tedy samodružný bod (tj. bod, pro nějž platí: X' - jde o přímou shodnost - je jednoznačně určená středem souměrnosti S nebo dvojicí vzoru a obrazu - přímky procházející středem souměrnosti j sou samodružné přímky w\r souměrnosti A - vzor Osová souměrnost - 00 : X —> X' - je to shodné zobrazení, které přiřazuje 1) každému bodu X g o bod X' tak, že přímka XX' je kolmá k ose souměrnosti o a střed úsečky XX' leží na o, 2) každému bodu X e o bod X' = X, body ležící na ose souměrnosti o jsou tedy samodružné body - jde o nepřímou shodnost x, - je jednoznačně určena osou souměrnosti o nebo dvojicí 7* vzoru a obrazu ^^^/ - samodružnými přímkami jsou osa o a všechny přímky na ni kolmé / ^"^\o...0sa J., souměrnosti X) X'- obr; S...střed Posunutí (translace) - T{AB): X —> X' - je to shodné zobrazení, které každému bodu X přiřazuje bod X' tak, že orientované úsečky XX' a AB mají stejnou délku a směr - jde o přímou shodnost - je jednoznačně určeno velikostí a směrem posunutí nebo dvojicí vzoru a obrazu - samodružnými přímkami jsou všechny přímky rovnoběžné se směrem posunutí Otáčení (rotace) - R(S v): X —> X' - je to shodné zobrazení, které přiřazuje: 1) každému bodu X ^ S bod X' tak, že |X'S| = \XS\ a orientovaný úhel XSX' má velikost Y S(m): p ■ ->P Y £ p' n k (X je vzor, Y je obraz ve středové souměrnosti se středem M) J Typický třířádkový rozbor úloh prvního typu: 1. řádek: z náčrtu - určíme zobrazení S(M) a dva body představující v tomto zobrazení vzor X a obraz Y; místo vzoru X, jehož polohu na p neznáme, najdeme řádek obraz p' útvaru p, na němž vzor X leží 3. řádek: obraz Y leží v průniku p'fl k Víme, že Y je obraz X ve středové souměrnosti SM. Protože ale nevíme, kde na se přímce p bod X nachází, zobrazíme celou přímku p - každý bod na p si „najde" svůj obraz na p' a X si „najde" svůj obraz Y v průsečíku kflp'- Jak napsat postup? Jednotlivé řádky postupu musí mít předepsanou strukturu: - jako první se uvede pořadí prováděného kroku; - následuje označení prvku, který rýsujeme (tímto prvkem může být pouze bod, přímka nebo její část a kružnice) a středník nebo dvojtečka; - nakonec se uvedou všechny vlastnosti použité při konstrukci prvku. Postup: 1. p, kjyj 2. p': zadané útvary S(m): p- ->P 3. Y: Ye k R p' 4. X: S(M): Y-►X 5. XY Tato úloha je určitě vhodná k tomu, aby vyučující se studenty prodiskutoval, kolik může mít řešení a na čem počet řešení záleží. Stačí ale pouze ústní diskuse. Jinak se obecně středoškolské úlohy v planimetrii omezují pouze na náčrt, rozbor, konstrukci a postup. Základní poznatky: Př. 1 Sestrojte kružnici k(S; 2 cni) a bod X tak, že \SX\ = 4 cm. Sestrojte a) obraz ki kružnice k v středové souměrnosti s bodem X; b) obraz kružnice k v posunutí Tsx = T (S X); c) obraz kružnice k v osové souměrnosti s přímkou ŕ, která je tečnou kružnice k; d) obraz fcj kružnice k v otočení o -60° se středem v bodě X. Typové příklady standardní náročnosti Př. 2 Jsou dány kružnice ki, ki a přímka p. Sestrojte všechny rovnostranné AABC, jejichž těžnice tc je částí přímky p a vrcholy A 6 leží postupně na kružnicí Metl Náčrt: Rozbor: 0(p): A-► B 0(p): ki-►ki Bek2íW ... první krok postupu ... Př. 4 Jsou dány rovnoběžky a,b a mimo ně bod C. Sestrojte rovnostranný AABCtak, aby A £ a, B £ b. Metl Náčrt: Rozbor: ... první krok postupu Př. 5 Sestrojte úsečku dané velikosti a směru (tj. dána úsečka AB) tak, aby její krajní body ležely na a) dvou daných kružnicích; b) dané kružnici a dané přímce. Met. — X Rozbor: T(ab): X- -> Y T(ab): p - ->P' Yep'rU první krok postupu Př. 6 Jsou dány soustředné kružnice ki, ki a uvnitř menší z nich bod C. Sestrojte rovnostranný A ABC tak, aby A £ kx,B £ fc2. Řeš.: analogicky... Úlohy druhého typu: Vyžadují k zadaným prvkům sestrojit rovinný útvar U, který mý splňovat celou řadu vlastností. Všechny najednou ovšem nelze splnit okamžitě. Je třeba navést studenty na myšlenku, že je v našich silách sestrojit pomocný útvar U', který většinu vlastností, zpravidla až na jednu, splňuje. K požadovanému útvaru U se pak dostaneme užitím vhodného shodného zobrazení aplikovaného na pomocný útvar U'. Výběr vlastnosti, které se při konstrukci pomocného útvaru vzdáme, by se mohl zdát obtížným. Je však zcela logický a studentům by neměl dělat při dobrém počátečním vysvětlení problémy. Jestliže se požadovaný útvar U získá z U' užitím shodného zobrazení, musí už U' vykazovat požadovaný tvar i velikost. Vlastnost, které se při konstrukci U' vzdáme, tedy nesmí mít na tvar ani velikost výsledného útvaru vliv. Rozbor úloh druhého typu je obsáhlejší, ale i v něm se vždy na obdobném místě vyskytuje řádek odpovídající „vykročení" do řešení úlohy. Jsou dány různoběžky p. q a úsečka MN. Sestrojte kružnici k, která má poloměr r =|MJV|, střed S leží na přímce p a vytíná na přímce q tětivu AB tak, že \AB\ = \MN\. Met: Náčrt: Rozbor: ( s jf 1 ' S' i # X Hledaný útvar: kružnice k(S; r) Vlastnosti: 1) r= \MN\; 2)kC\q = {A,B}, kde |i4B| = \MN\; 3) S £ p Pomocný útvar: kružnice k' (S'; r) Vlastnosti: 1), 2). k....T(s-s):k'-► k (S £ x R p, kde (x IIII q) A (5' £ x) Konstrukce: Postup: 1. p, q, MN - zadané 2 k'(S';r): (r = \MN\) A(k' fl q = {A',B'},kde \A'B'\ = \MN\) 3. x: (S' £ x) A(xllq) 4. S: S £ xRp 5. k(S;|MJV| Př. 7 Jsou dány rovnoběžky a, ba jejich příčka c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník, jehož strana má danou velikost x tak, aby každý jeho vrchol ležel na jedné z daných přímek. Rozbor: \ b ľ* 0 / : c m Př. 8 Je dána kružnice k(S; 3 cm) a bod A tak, že | AS | = 2 cm. Hledaný útvar: trojúhelník ABC Vlastnosti: 1) |i45| = \BC\ = \AC\ = x 2) A £ a 3) B £ b 4) C £ c Pomocný útvar: trojúhelník A'B'C | Vlastnosti: 1), 2), 3)_ AABC... T(c-q: AA'B'C -> AABC (C £ m f! c, kde (mlla) A(C £ m) Met.: Náčrt: Rozbor: Hledaný útvar: úsečka XY Vlastnosti: 1) X £ k 2) Y £ /c 3) |AY| = 5 cm 4) i4 £ Pomocný útvar: úsečka X'Y' Vlastnosti: 1), 2), 3) XY ... R(s,a): X'Y--► XY [a=\