12 Shodná zobrazení – met. Stručný přehled teorie Shodné zobrazení – je zobrazení, které každým dvěma bodům X,Y (tzv. vzorům) přiřazuje body X’,Y’ (tzv. obrazy) tak, že ½X’Y’½ ½XY½. Shodnost rovinných útvarů: dva rovinné útvary jsou shodné, jestliže je můžeme přemístit tak, aby se přesně kryly přímá – útvary se dají v rovině přemístit tak, aby se překrývaly Shodnost nepřímá – aby se útvary po přemístění překrývaly, je nutno jeden z nich nejprve „obrátit v prostoru“ Věty o shodnosti trojúhelníků: sss… dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se ve všech třech stranách sus… dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném usu… dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se v jedné straně a v úhlech k ní přilehlých Ssu… dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se ve dvou stranách a úhlu naproti větší z nich Druhy shodných zobrazení: Středová souměrnost - : X ® X’ - je to shodné zobrazení, které přiřazuje: 1) každému bodu X S bod X’ tak, že bod S je středem úsečky XX’, 2) bodu S bod S’ = S, bod S je tedy samodružný bod (tj. bod, pro nějž platí: X’ = X) - jde o přímou shodnost - X’- obraz je jednoznačně určená středem souměrnosti S nebo dvojicí vzoru a obrazu - S…střed souměrnosti přímky procházející středem souměrnosti jsou samodružné přímky X - vzor Osová souměrnost - : X ® X’ - je to shodné zobrazení, které přiřazuje 1) každému bodu X o bod X’ tak, že přímka XX’ je kolmá k ose souměrnosti o a střed úsečky XX’ leží na o, 2) každému bodu X o bod X’ = X, body ležící na ose souměrnosti o jsou tedy samodružné body - X’ jde o nepřímou shodnost - je jednoznačně určena osou souměrnosti o nebo dvojicí vzoru a obrazu - o…osa souměrnosti samodružnými přímkami jsou osa o a všechny přímky na ni kolmé X Posunutí (translace) - : X ® X’ - je to shodné zobrazení, které každému bodu X přiřazuje bod X’ tak, že orientované úsečky a mají stejnou délku a směr - jde o přímou shodnost - je jednoznačně určeno velikostí a směrem posunutí nebo dvojicí vzoru a obrazu - samodružnými přímkami jsou všechny přímky rovnoběžné se směrem posunutí B X’ A X Otáčení (rotace) - : X ® X’ - je to shodné zobrazení, které přiřazuje: 1) každému bodu X S bod X’ tak, že = a orientovaný úhel XSX’ má velikost , 2) X’ bodu S bod S’ = S, střed otáčení S je tedy samodružný bod - je jednoznačně určeno středem S a úhlem otáčení - jde o přímou shodnost - S otáčení nemá samodružné přímky X Pozn.: kladný smysl otáčení – proti směru pohybu hodinových ručiček záporný smysl otáčení – po směru pohybu hodinových ručiček Identita - je to shodné zobrazení, ve kterém se každý bod zobrazí sám na sebe Met.: Geometrie patří u středoškolských studentů z řady důvodů k méně oblíbeným a značně obávaným tématům. Hodně studentů zůstává před úlohami z geometrie bezradnými s pocitem, že každá úloha vyžaduje zcela jiný přístup, že nedokážou úlohu „uchopit“ a smysluplně vykročit k řešení. Přitom správně provedený první krok už zpravidla otevře cestu k celému řešení. Studenti budou nepochybně vnímat velmi pozitivně, jestliže jim vyučující pomůže tento první krok a tuto cestu zjednodušit, zpřehlednit a zpřístupnit. Většinu úloh souvisejících ve středoškolské planimetrii se shodnými zobrazeními lze rozdělit do dvou základních skupin. Jejich odlišujícím prvkem je zejména rozbor, který je pro každou z těchto skupin typický. Navíc pokud se rozbor správně a precizně zapíše, může obsahovat vždy na obdobném místě „pokyn“ k prvnímu kroku a tím k vykročení do řešení úlohy. Úlohy prvního typu: Mají třířádkový rozbor, přičemž druhý řádek představuje zmiňované „vykročení“ do řešení úlohy Př. Je dána kružnice k, přímka p a bod M. Sestrojte úsečku XY tak, aby , a aby M byl střed XY. P´ p Náčrt: (nakreslíme splněný úkol) Rozbor: S[(M)]: X Y (X je vzor, Y je obraz ve středové souměrnosti se středem M) S[(M)]: p p´ Y X M Typický třířádkový rozbor úloh prvního typu: 1. k řádek: z náčrtu – určíme zobrazení S[(M)] a dva body představující v tomto zobrazení vzor X a obraz Y; 2. řádek: místo vzoru X, jehož polohu na p neznáme, najdeme obraz p´ útvaru p, na němž vzor X leží 3. řádek: obraz Y leží v průniku p´ M p Skutečná výchozí situace: Víme, že Y je obraz X ve středové souměrnosti S[M]. Protože ale nevíme, kde na se přímce p bod X nachází, zobrazíme celou přímku p – každý bod na p si „najde“ svůj obraz na p´ a X si „najde“ svůj obraz Y v průsečíku k k Konstrukce: Jednotlivé řádky postupu musí mít předepsanou strukturu: ⁃ jako první se uvede pořadí prováděného kroku; ⁃ následuje označení prvku, který rýsujeme (tímto prvkem může být pouze bod, přímka nebo její část a kružnice) a středník nebo dvojtečka; ⁃ nakonec se uvedou všechny vlastnosti použité při konstrukci prvku. X[2] P P´ Jak napsat postup? Y[1] M Y[2] X[1] k Postup: 1. p, k, M – zadané útvary 2. p´: S[(M)]: p p´ 3. Y: Yϵ 4. X: S[(M)]: Y X 5. XY Tato úloha je určitě vhodná k tomu, aby vyučující se studenty prodiskutoval, kolik může mít řešení a na čem počet řešení záleží. Stačí ale pouze ústní diskuse. Jinak se obecně středoškolské úlohy v planimetrii omezují pouze na náčrt, rozbor, konstrukci a postup. Základní poznatky: Př. 1 Sestrojte kružnici a bod tak, že . Sestrojte a) obraz k[1] kružnice k v středové souměrnosti s bodem X; b) obraz k[2] kružnice k v posunutí ; c) obraz k[3] kružnice k v osové souměrnosti s přímkou t, která je tečnou kružnice k; d) obraz k[4] kružnice k v otočení o -60° se středem v bodě X . Typové příklady standardní náročnosti Př. 2 Jsou dány kružnice k[1], k[2] a přímka p. Sestrojte všechny rovnostranné ABC, jejichž těžnice t[c] je částí přímky p a vrcholy A, B leží postupně na kružnicích k[1], k[2]. Met.: Náčrt: Rozbor: O[(p)]: A B p C O[(p)]: k[1] k[1]´ … první krok postupu … k[1] B ϵ k[2] [1]´ A k[2] B ……………. Př. 3 Společným bodem dvou kružnic k[1], k[2] veďte přímku tak, aby na ní kružnice vyťaly shodné tětivy. Met.: Náčrt: Rozbor: S[(A)]: X Y X S[(A)]: k[1] k[1]´ … první krok postupu … Y A k[1] Y ϵ k[2] [1]´ k[2] ………….. Př. 4 Jsou dány rovnoběžky a,b a mimo ně bod C. Sestrojte rovnostranný ABC tak, aby b Met.: Náčrt: Rozbor: R[(C;60°)]: A B B R[(C;60°)]: a a´ … první krok postupu … a C B ϵ A ………………. Př. 5 Sestrojte úsečku dané velikosti a směru (tj. dána úsečka AB) tak, aby její krajní body ležely na a) dvou daných kružnicích; b) dané kružnici a dané přímce. p Met.: b) Náčrt: Rozbor: T[(AB)]: X Y X T[(AB)]: p p´ … první krok postupu … A Y ϵ p´ Y B k …………………. Př. 6 Jsou dány soustředné kružnice k[1], k[2] a uvnitř menší z nich bod C. Sestrojte rovnostranný ABC tak, aby . Řeš.: analogicky … Úlohy druhého typu: Vyžadují k zadaným prvkům sestrojit rovinný útvar U, který mý splňovat celou řadu vlastností. Všechny najednou ovšem nelze splnit okamžitě. Je třeba navést studenty na myšlenku, že je v našich silách sestrojit pomocný útvar U´, který většinu vlastností, zpravidla až na jednu, splňuje. K požadovanému útvaru U se pak dostaneme užitím vhodného shodného zobrazení aplikovaného na pomocný útvar U´. Výběr vlastnosti, které se při konstrukci pomocného útvaru vzdáme, by se mohl zdát obtížným. Je však zcela logický a studentům by neměl dělat při dobrém počátečním vysvětlení problémy. Jestliže se požadovaný útvar U získá z U´ užitím shodného zobrazení, musí už U´ vykazovat požadovaný tvar i velikost. Vlastnost, které se při konstrukci U´ vzdáme, tedy nesmí mít na tvar ani velikost výsledného útvaru vliv. Rozbor úloh druhého typu je obsáhlejší, ale i v něm se vždy na obdobném místě vyskytuje řádek odpovídající „vykročení“ do řešení úlohy. Př. Jsou dány různoběžky p. q a úsečka MN. Sestrojte kružnici k, která má poloměr r = , střed S leží na přímce p a vytíná na přímce q tětivu AB tak, že . N M Met.: Náčrt: Rozbor: Hledaný útvar: kružnice k (S; r) Vlastnosti: 1) r = ; p 2) k = , kde ; 3) k k´ S´ S Pomocný útvar : kružnice k´ (S´; r) x Vlastnosti: 1), 2). B´ k …. T[(S´S)]: k´ k A´ B A q ( Konstrukce: p N M k[1]´ k[1] S[1]´ x S[1] B[1] B[2] A[2] A[1] q B´ A´ x´ k[2] k[2]´ S[2] S[2]´ Postup: 1. p, q, MN – zadané 2. k´(S´;r): (r = 3. x: 4. S: 5. k(S; Př. 7 Jsou dány rovnoběžky a, b a jejich příčka c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník, jehož strana má danou velikost x tak, aby každý jeho vrchol ležel na jedné z daných přímek. A´ B´ C´ a b c x C A B m Met.: Náčrt: Rozbor: Hledaný útvar: trojúhelník ABC Vlastnosti: 1) 2) 3) 4) Pomocný útvar: trojúhelník A´B´C´ Vlastnosti: 1), 2), 3) ΔABC … T[(C´C)]: ΔA´B´C´ ΔABC ( ………………………… Př. 8 Je dána kružnice a bod A tak, že cm. Veďte bodem A tětivu XY tak, aby Met.: Náčrt: Rozbor: Hledaný útvar: úsečka XY Vlastnosti: 1) X α Y´ X´ Y A´ A k 2) 3) 4) Pomocný útvar: úsečka X´Y´ α Vlastnosti: 1), 2), 3) S k´ XY … R[(S,][α][)]: X´Y´ XY (α= , kde ………………….. Rozšiřující cvičení Př. 9 V kulečníku platí při odrazu koule, že úhel odrazu je roven úhlu dopadu, viz obrázek. Umíte sestrojit trajektorii koule, která se má odrazit od dvou hran se společným rohem? Jakého principu využíváte? [Realisticky.cz – 3.5.2] Př. 10 Vyhledejte místo na řece šířky d, ve kterém by měl stát most ve směru kolmém na tok řeky, tak aby cesta z obce A do obce B, které leží na různých stranách řeky mimo její břehy, byla nejkratší. Předpokládejme, že šířka řeky se v odpovídajícím úseku nemění. [Realisticky.cz – 3.5.7] Met.: Základní myšlenkou řešení úloh 9 a 10 je skutečnost, že nejkratší vzdálenost mezi dvěma body je vzdálenost na přímce …