16 Funkce, základní pojmy a vlastnosti – met.
Stručný přehled teorie
Základní pojmy:
• uspořádaná dvojice [x,y] – je dvojice, v níž záleží na pořadí (je-li x≠y, pak [x,y]  [y,x])
• kartézský součin A×B - je množina všech uspořádaných dvojic [x,y], kde xA a yB.
Tedy A×B ={[x,y]; xA  y∈B}
• binární relace – je libovolná podmnožina kartézského součinu
• zobrazení z množiny A do množiny B - je taková binární relace, která každému xA přiřazuje
nejvýš jedno yB
• funkce – je zobrazení z R do R (neboli zobrazení v R)
f: y = f(x) f … označení (jméno) funkce
y = f(x) …funkční předpis, neboli rovnice funkce
x … argument funkce - nezávisle proměnná
y … hodnota funkce - závisle proměnná
• definiční obor funkce D(f) – je množina všech xR, k nimž existuje yR tak, že [x; y] f.
Tedy D(f) = {xR; y R : [x,y] f }
• obor funkčních hodnot H(f) – je množina všech y R, k nimž existuje xR tak, že [x; y] f.
Tedy H(f) = {yR; x R : [x,y] f }
• graf funkce – je množina všech bodů X[x, f(x)], kde x D(f)
• inverzní funkce – se vytvoří z funkce dané vzájemnou výměnou x za y a naopak.
Je-li daná funkce f: y = f(x) s definičním oborem D(f) a s oborem funkčních hodnot H(f), pak k ní
inverzní je funkce f-1
: x = f(y), tedy po úpravě f-1
: y = f-1
(x), pro kterou D(f-1
) = H(f) a H(f-1
) = D(f).
Pozn. 1. – relace inverzní k dané funkci f je funkcí pouze tehdy, je-li f prostá.
Pozn. 2. – grafy funkce dané a funkce k ní inverzní jsou souměrné podle osy I. a III. kvadrantu
soustavy souřadnic (tedy podle přímky p: y = x).
Způsoby zadání funkce:
➢ výčtem prvků (tabulkou)
➢ rovnicí (analyticky)
➢ graficky
➢ slovním popisem
Základní vlastnosti funkce:
1) monotónnost - vlastnost označující, zda je funkce v bodě či na daném intervalu konstantní, rostoucí, klesající,
nerostoucí, či neklesající
Nechť MD(f ).
❖ fce f je rostoucí na M :, 21 Mxx  x1 < x2  f(x1) < f(x2)
❖ fce f je neklesající na M :, 21 Mxx  x1 < x2  f(x1) ≤ f(x2)
❖ fce f je klesající na M :, 21 Mxx  x1 < x2  f(x1) > f(x2)
❖ fce f je nerostoucí na M :, 21 Mxx  x1 < x2  f(x1) ≥ f(x2)
Pozn. 1: „ryze monotónní“ fce je souhrnný název pro rostoucí a klesající funkce ,
„monotónní“ fce je souhrnný název pro neklesající (tedy i rostoucí) a nerostoucí
(tedyi klesající) funkce
Pozn. 2: Každá ryze monotónní fce je zároveň prostá. !Obrácená věta neplatí!
2) sudost a lichost – některé funkce jsou symetrické, podle druhu symetrie rozlišujeme funkce sudé a liché
❖ fce f je sudá právě tehdy, když 1. )(:)( fDxfDx −
2. )()(:)( xfxffDx =−
graf sudé funkce je souměrný podle osy y
❖ fce f je lichá právě tehdy, když 1. )(:)( fDxfDx −
2. )()(:)( xfxffDx −=−
graf liché funkce je souměrný podle počátku soustavy souřadnic
3) omezenost
Nechť MD(f ).
❖ fce f je omezená zdola v M )(:: xfMxRd  ≥ d
❖ fce f je omezená shora v M )(:: xfMxRh  ≤ h
❖ fce f je omezená v M, je-li v M omezená shora i zdola
Pozn.: fce je omezená, je-li omezená v celém svém definičním oboru
4) extrémy (tento pojem je zaveden pro funkce, které jsou alespoň částečně omezené)
Nechť MD(f ), MbMa  , .
❖ fce f má v bodě a minimum na M :Mx f(x) ≥ f(a)
❖ fce f má v bodě a ostré minimum na M :Mx f(x) > f(a)
❖ fce f má v bodě b maximum na M :Mx f(x) ≤ f(b)
❖ fce f má v bodě b ostré maximum na M :Mx f(x) < f(b)
Zápis: 𝑓(𝑎) = min
𝑥∈𝑀
𝑓(𝑥) 𝑓(𝑏) = max
𝑥∈𝑀
𝑓(𝑥)
5) prostá funkce
fce f prostá :)(, 21 fDxx  x1  x2  f(x1)  f(x2)
6) periodičnost
funkce f se nazývá periodická právě tehdy, když existuje takové reálné číslo p  0, že platí:
1. )(:)( fDpxfDx +
2. )()(:)( xfpxffDx =+
p … perioda funkce
Pozn. 1: základní perioda funkce = nejmenší kladná perioda
Pozn. 2: graf periodické funkce se pravidelně periodicky opakuje po intervalech, jejichž délka je rovna
základní periodě
Pozn. 3: typickým a současně velmi významným příkladem periodických funkcí jsou goniometrické funkce
Met.: S pojmem funkce úzce souvisí pojmy, na které se definice funkce odvolává. Pokud učitel v úvodní hodině
(případně dvou úvodních hodinách) zavede pojmy „uspořádaná dvojice“, „kartézský součin množin“, „binární
relace“ a „zobrazení“ a pokud se studenty vyřeší několik jednoduchých úloh, které jim ozřejmí význam a
podstatu těchto pojmů, může definici funkce reálné proměnné postavit na pevnější základ. Konkrétně lze
pak funkci definovat jako zobrazení z ℝ do ℝ … Tento postup je lepší a rozhodně hodný doporučení.
Jestliže však učitel z nějakého důvodu nechce sahat při definování funkce do větší hloubky, stačí na střední
škole funkci definovat takto:
Nechť jsou dány dvě neprázdné množiny reálných čísel A a B. Jestliže každému 𝑥 ∈ 𝐴 přiřadíme podle
nějakého předpisu právě jedno 𝑦 ∈ 𝐵 (tedy y = f(x)), pak množina f všech uspořádaných dvojic
[𝑥; 𝑓(𝑥)] se nazývá reálná funkce reálné proměnné. Zápis: 𝑓: 𝑦 = 𝑓(𝑥).
V každém případě pak musí učitel vést studenty k tomu, aby v co největší možné míře dokázali určovat
všechny základní vlastnosti funkcí jak z grafu funkce, tak z její rovnice.
Základní poznatky
Př. 1 Určete všechny základní vlastnosti funkce zadané graficky:
 ( ) 5;5−=fD , ( ) 3;2−=fH . Není ani sudá, ani lichá.
Není monotónní. Lze ale například určit, že na 0;3− je klesající
nebo na 3;5 −− je rostoucí nebo na 5;3 je rostoucí. Na
3;3− je nerostoucí a na 5;0 je neklesající. Je omezená, neboť
je současně omezená shora ( )3=h i zdola ( )2−=d . Ostré
globální maximum má v bodě -3, ostré lokální minimum má
v bodě -5, neostrá globální minima má ve všech bodech intervalu
3;0 . Periodická není. Prostá není. 
Met.: Většinu vlastností studenti dokážou z grafu určit bez potíží. K chybě občas dochází
snad jen při určení podobného extrému, jako je např v bodě -3. Graf je pro argumenty
v okolí -3 zaoblený. Z toho někteří studenti usuzují, že v -3 je neostré maximum. Na
podobné omyly musí být učitel připravený. Určitě je vhodné vyvolat ve třídě diskusi o
typu extrému v daném bodě, případně i o jiných vlastnostech, o nichž se domnívá, že
by v jejich určení mohli studenti chybovat. Správně reagovat znamená nasměrova t
pozornost studentů na definice příslušných vlastností a na důkladné pochopení jejich
podstaty.
Typové příklady standardní náročnosti
Př. 2 Určete definiční obory funkcí
a) 4: 2
++= xxyfa ( ) RfD a =
b)
3
1
:
+
−
=
x
x
yfb ( )   3−−= RfD b
c)
x
x
yfc
−
−
=
3
3
: ( ) =cfD
d)
3
2
:
−
+
=
x
x
yfd ( ) ( )( −−= ;32;dfD
e)
3
2
:
−
+
=
x
x
yfe ( ) ( ) = ;3efD
f)
x
yf f
−
=
1
1
: ( ) ( ) 1;1−=ffD
Met.: Při určování definičního oboru z rovnice funkce musí studenti prokázat, jak dobře zvládli stanovení
podmínek, za kterých mají výrazy smysl, ale také jak ovládají řešení nejrůznějších typů rovnic a
nerovnic. Obojí se probíralo zpravidla v předcházejícím školním roce. Učitel má v úvodu tématu o
funkcích ideální příležitost věnovat úlohám podobného typu jednu nebo dvě vyučovací hodiny, aby si
studenti tuto látku zopakovali. Měl by velmi pečlivě vybírat zadání, aby se nezabředlo do příliš
komplikovaných výpočtů, ale aby se upevnily základy, které třeba dříve dělaly studentům potíže.
Zároveň může využít této příležitosti, aby poukázal na propojenost různých matematických témat,
která už studenti probírali či probírají, a aby upozornil na to, že v budoucnu budou studenti určovat
definiční obor při vyšetřování průběhu každé funkce. Je nezbytné, aby dokázali tento základní krok
provést bez nejmenší chyby a zaváhání.
Př. 3 Rozhodněte o sudosti či lichosti funkcí:
a) 3
: xxyfa += [lichá]
b) 13: 2
−+= xxyfb [ani S, ani L]
c) 13: += xyfc [sudá]
d) xyfd +=1: [ani S, ani L]
Met.: Nejčastější chybou, které se při rozhodování (příp. dokazování) o sudosti či lichosti funkce studenti
dopouštějí, je ignorování první definiční podmínky této vlastnosti, tj. ignorování nutnosti souměrnosti
definičního oboru funkce podle počátku soustavy souřadnic. Pokud definiční obor funkce není souměrný
podle počátku soustavy souřadnic, nemá smysl pouštět se do kontroly splnění druhé definiční podmínky,
protože funkce už nemůže být ani sudá ani lichá.
Řeš.: 3.a) I. D(fa) = R …. symetričnost splněna;
II. Nechť 𝑥 ∈ 𝑅 … 𝑙𝑖𝑏𝑜𝑣𝑜𝑙𝑛é; 𝑓𝑎(𝑥) = 𝑥 + 𝑥3
𝑓𝑎(−𝑥) = (−𝑥) + (−𝑥)3
= −𝑥 − 𝑥3
= −(𝑥 + 𝑥3) = −𝑓𝑎(𝑥)
−𝑓𝑎(𝑥) = −(𝑥 + 𝑥3)
Tozn.: funkce fa je lichá
c) I. D(fc) = R …. symetričnost splněna;
II. Nechť 𝑥 ∈ 𝑅 … 𝑙𝑖𝑏𝑜𝑣𝑜𝑙𝑛é; 𝑓𝑐(𝑥) = 3|𝑥| + 1
𝑓𝑐(−𝑥) = 3|−𝑥| + 1 = 3|𝑥| + 1 = 𝑓𝑐(𝑥)
Tozn.: funkce fc je sudá
d) I. D(fd) = 𝑅0
+
….. D(fd) není souměrný podle počátku soustavy souřadnic, takže funkce fd nemůže
být ani sudá, ani lichá
Př. 4 Rozhodněte o druhu monotónnosti funkcí, případně jejich monotónnost dokažte:
a) 16: += xyfa [rostoucí]
b) 12: −−= xyfb [klesající]
c) 2
3: xyfc = [není monotónní]
d) 2: =yfd [nerostoucí,neklesající]
Met.: Rozhodnutí o druhu monotónnosti lze provést na základě znalosti typu funkce a tvaru jejího grafu. Ale důkaz
musí být proveden v souladu s definicí:
a) Nechť zvolíme libovolně 𝑥1 ∈ 𝐷(𝑓𝑎) = 𝑅 ⋀ 𝑥2 ∈ 𝐷(𝑓𝑎) = 𝑅.
Pak 𝑓𝑎(𝑥1) = 6𝑥1 + 1, 𝑓𝑎(𝑥2) = 6𝑥2 + 1.
Nechť 𝑥1 < 𝑥2 /.6
6𝑥1 < 6𝑥2 / + 1
6𝑥1 + 1 < 6𝑥2 + 1
𝑓𝑎(𝑥1) < 𝑓𝑎(𝑥2) Tozn., že funkce 𝑓𝑎 je rostoucí.
funkce omezená funkce není omezená, ale
je omezená zdola
funkce není omezená,
a to ani částečně
x
x x
y y y
Směr vedení důkazu!!!
cbd.
b) Nechť zvolíme libovolně 𝑥1 ∈ 𝐷(𝑓𝑏) = 𝑅 ⋀ 𝑥2 ∈ 𝐷(𝑓𝑏) = 𝑅.
Pak 𝑓𝑏(𝑥1) = −2𝑥1 − 1, 𝑓𝑏(𝑥2) = −2𝑥2 − 1.
Nechť 𝑥1 < 𝑥2 /.(−2)
−2𝑥1 > −2𝑥2 / – 1
−2𝑥1 − 1 > −2𝑥2 − 1
𝑓𝑏(𝑥1) > 𝑓𝑏(𝑥2) Tozn., že funkce 𝑓𝑏 je klesjící.
Př. 5 Zjistěte, zda jsou funkce omezené, případně jejich omezenost dokažte:
a) 1
2
1
: += xyfa [není omezená]
b) 1: +−= xyfb [není omezená]
c) 2
: xyfc −= [není omezená, je omezená shora]
d) 1: −=yfd [je omezená]
e) 𝑓𝑒: 𝑦 =
10
𝑥2+2
[je omezená]
Met.: Vlastnost omezenosti funkce může učitel studentům velmi přiblížit, jestliže ji uvede do souvislosti
s možností (či nemožností) umístit celý graf funkce do pásu dvou rovnoběžek s osou x.
Ať už chceme dokázat, že je daná funkce omezená, nebo že funkce omezená není, vždy musíme vycházet z definice
omezenosti funkce.
Doporučení: Nejprve ukázat, jak se dokazuje, že funkce omezená je, pak teprve (např. podle toho, zda je učitel
časově v souladu s tematickým plánem, nebo je v časové tísni) zvážit práci s funkcí, která omezena není.
e) 𝑓𝑒: 𝑦 =
10
𝑥2+2
Zdá se, že funkce 𝑓𝑒 bude omezená neboť ∀𝑥 ∈ 𝑅: (𝑓𝑒(𝑥) > 0) ⋀ 𝑓𝑒(𝑥) ≤ 5.
Důkaz provedeme PŘÍMO: 1) Omezenost shora: h = 5
10
𝑥2+2
≤ 5
10 ≤ 5𝑥2
+ 10
∀𝑥 ∈ 𝑅: 0 ≤ 5𝑥2
platí vždy
2) Omezenost zdola: d = 0
∀𝑥 ∈ 𝑅: 𝑥2
+ 2 > 0
10
𝑥2+2
> 0 platí vždy cbd.
Funkce 𝑓𝑒 je omezená shora i zdola, je tedy omezená. Cbd.
a) 1
2
1
: += xyfa je lineární funkce s kladným koeficientem lineárního členu. Je tedy rostoucí a evidentně
není omezená. S tímto konstatováním se většina studentů na základě představy grafu funkce fa
nepochybně spokojí. Ve zvídavé třídě se však mohou najít studenti, kteří se zeptají, jak by se dalo
dokázat, že funkce fa není omezená. Žádnou otázku učitel nesmí nechat bez odpovědi. Může však podle
situace zvážit, zda např. následující důkaz ukáže ve třídě, nebo jen zájemcům mimo vyučovací hodinu.
SPOREM: Předpokládejme, že dokazované tvrzení o tom, že funkce fa není omezená, neplatí. To by
ovšem znamenalo, že je funkce fa omezená, a tedy je omezená shora i zdola.
1) Uvažujme nejprve např. omezenost shora:
Předpokládejme, že fa je omezená shora. Tozn., že existuje horní mez, tedy reálné
číslo h takové, že ∀𝑥 ∈ 𝑅: 𝑓(𝑥) =
1
2
𝑥 + 1 ≤ ℎ.
Ověřme, pro která x to bude platit: Evidentně to bude pro taková x, pro něž 𝑥 + 2 ≤ 2ℎ,
tedy pro 𝑥 ≤ 2ℎ − 2. Daná nerovnost evidentně neplatí pro všechna reálná x, nýbrž pouze
pro ta, která jsou menší nebo rovna 2ℎ − 2. To je ale SPOR S PŘEDPOKLADEM. Předpoklad o
omezenosti funkce fa shora byl chybný, tozn., že funkce fa omezená shora není … cbd.
2) Omezenost zdola - analogicky bychom dokázali, že funkce fa není omezená ani zdola.
Př. 6 Dokažte, že funkce 12: += xyf má na intervalu 3;1− v bodě 3 ostré maximum a v -1 ostré minimum.
Př. 7 Nalezněte inverzní funkci
1−
f k funkci f a obě zakreslete do jednoho obrázku:
a) 23: −= xyf , 2;1−x . 





−+=−
4;5,
3
2
3
1
:1
xxyf
b)
2
2
1
: xyf = , ) ;0x . )





=−
;0,2:1
xxyf
Met.: Grafy funkce dané a funkce k ní inverzní jsou souměrně sdružené podle osy I. a III. kvadrantu.
Zdálo by se, že na začátku tématu o funkcích je pojem inverzní funkce jen okrajovou záležitostí. Učitel
si však musí být vědom toho, že o důkladné pochopení podstaty a souvislosti funkce dané a funkce
k ní inverzní bude zanedlouho opírat vysvětlení např. exponenciálních a logaritmických funkcí. Proto
je velmi důležité nepodcenit tuto látku, ale probrat ji velmi pečlivě s důrazem na kontrolu, že
studenti všechny důležité souvislosti opravdu dobře pochopili.
Př. 8 Načrtněte graf funkce f, víte-li, že platí současně:
• ( ) )  0;3 −−=fD
• ( ) 23 −=−f
• Průsečíky grafu funkce f s osou x jsou v bodech  0;11 −P a  0;52P .
• V intervalu )0;3− je funkce f rostoucí a není omezená shora.
• V intervalu  03;3 −− je funkce f sudá.
• V intervalu );3 je funkce f rostoucí a omezená shora číslem 4=h .
a) Z grafu určete obor funkčních hodnot funkce f.
b) Určete souřadnice průsečíku grafu funkce f s osou y.
c) Je funkce f omezená zdola v definičním oboru?
d) Určete maximum funkce f v definičním oboru.
e) Určete minimum funkce f v definičním oboru.
f) Je funkce f prostá v definičním oboru?
g) Určete alespoň jeden interval, ve kterém je funkce f prostá. [Petáková 26/28, řešení 187/28]
2-3
1
4
BA
C
DE
x
y
Met.: Úloha 8 je velmi zdařile zvolená, formulovaná a naplněná řadou úkolů. Většinou totiž dosud studenti
k zadané funkci určovali vlastnosti. Tato úloha vyžaduje naopak k zadaným vlastnostem vyhledat funkci.
Učitel jí může na závěr probírání tématu o vlastnostech funkcí velmi dobře využít k tomu, aby si zkontroloval,
jak dobře studenti tuto látku pochopili. Ideálně by měl nakopírovat zadání tak, aby dostal každý student své
vlastní. Zdroj by rozhodně neměl být uveden, aby se zamezilo možnosti najít ve Sbírce úloh výsledek bez
práce. Práci na nakreslení grafu funkce a zodpovězení otázek z úlohy 8 by měl učitel zadat ve třídě
k samostatnému řešení s dostatečnou časovou dotací. Během doby, kdy budou studenti na úloze pracovat,
by měl učitel procházet třídou a sledovat, jak jsou obratní, co jim dělá potíže, eventuálně přidělovat nějaké
body či malé jedničky (podle zavedeného systému). Na závěr by měl být celý příklad vyřešen na tabuli, aby si
i nejslabší studenti mohli uvědomit chyby a nakreslit a zapsat správné řešení.
Rozšiřující cvičení
Př. 9 Jsou dány množiny )2;1−=A ,  1,0,2−=B . Sestrojte graf
a) A x B b) A x A c) B x B
Př. 10 Sestrojte graf binární relace   ( ) 4;12;31:, −+= yxxyRRyxV
[pětiúhelník ABCDE kromě vrcholů A, C, D, E a kromě stran CD a AE,
kde A[-3;1], B[0;1], C[2;3], D[2;4], E[-3;4]]
Met.: Mezi rozšiřující cvičení byly poslední dvě úlohy zařazeny nikoliv z důvodu náročnosti, jsou samozřejmě velmi
jednoduché, ale proto, že učitel při zavádění pojmu funkce nemusel stavět na znalosti kartézského součinu a
binární relace a tyto pojmy tak nemusí být pro studenty známé.
10.