17 Lineární funkce – met.
Stručný přehled teorie
Lineární funkcí nazýváme každou funkci f: y = ax + b, D(f) = R
o pro a = 0 je f konstantní funkce
o pro a ≠ 0 a b = 0 je f přímá úměrnost
Grafem každé lineární funkce je přímka, která je různoběžná s osou y.
Pozn.: latinské slovo linea znamená čára, přímka – odsud název funkce
Vlastnosti lineárních funkcí:
a = 0 a > 0 a < 0
y
 b,0 y = b
x
y
 b,0 y = ax+b
x
y
y = ax+b  b,0
x
D(f) = R
H (f) =  b
Je omezená
Je nerostoucí a neklesající, není
prostá
V každém x  R má maximum i
minimum
D(f) = R
H (f) = R
Není ani shora, ani zdola
omezená
Je rostoucí, a tedy prostá
Nemá ani maximum, ani
minimum
D(f) = R
H (f) = R
Není ani shora, ani zdola
omezená
Je klesající, a tedy prostá
Nemá ani maximum, ani
minimum
Lineární funkce s absolutními hodnotami jsou takové lineární funkce, které mají v předpisu funkce jednu nebo více
absolutních hodnot, ve kterých jsou výrazy s proměnnou. Grafem takové funkce je lomená čára.
Základní poznatky:
Př. 1 Jsou dány lineární funkce: a) f: y = -3x + 4; x 11;8−
b) f: y = 7x + 1; x ( )6;0
U obou funkcí zakreslete graf, určete definiční obor D(f), obor funkčních hodnot H (f), f (0), f (5).
Pro jaké xR, je f (x) = 8? Určete vlastnosti funkce f.
A
B
-1
-2
3
2
∆𝑦 = 4
∆𝑥 = 4
b=-1
x
y
f
f: y = ax + b 𝑎 =
∆𝑦
∆𝑥
=
4
4
= 1
b = -1
f: y = x - 1
-6 3
12
2
b - ?
∆𝑥 = 9
∆𝑦 = 10
x
y
[ a) D (f) = 11;8− , H (f) = 28;29− , f (0) = 4, f (5) = -11, x =
3
4
− , klesající, prostá, omezená, ostré
globální maximum v bodě -8, ostré globální minimum v bodě 11;
b) D (f) = ( )6;0 , H (f) = ( )43;1 , f (0) = neexistuje, f (5) = 36, x = 1, rostoucí, prostá, omezená, nemá
extrémy.]
Př. 2 Graf lineární funkce prochází body A [-1; -2], B [3; 2]. Určete její rovnici. [y = x - 1]
Met.: 1. způsob řešení: užitím soustavy dvou rovnic o dvou neznámých:
Hledáme lineární funkci: f: y = ax + b
𝐴 ∈ 𝑓 −2 = −𝑎 + 𝑏
𝐵 ∈ 𝑓 2 = 3𝑎 + 𝑏
Řešíme soustavu rovnic ….. a = 1, b = -1
Hledaná funkce je f: y = x – 1
2. způsob řešení: užitím grafu hledané lineární funkce – tato metoda velmi urychlí nalezení
funkce, neboť minimálně koeficient a lze z grafu prakticky “přečíst” a velmi často se přímo z
grafu “přečte” nebo lehce určí i koeficient b. V obtížnějších zadáních se b vypočítá z
jednoduché lineární rovnice. Rozhodně se však nemusí řešit soustava rovnic.
Pozn.: Učitel jistě lehce zdůvodní, že koeficient b souvisí s průsečíkem grafu funkce s osou y.
Ale při zdůvodnění způsobu výpočtu koeficientu a narazí na řadu problémů:
• studenti neznají pojem směrový úhel a směrnice přímky;
• znalost základních goniometrických funkcí se omezuje pouze na ostré úhly.
Přesto určitě stojí za to seznámit je s tímto způsobem určení rovnice lineární funkce. Může se
prozatím omezit na informaci, že koeficient a souvisí s funkcí tangens úhlu, který přímka, jež
je grafem dané lineární funkce, svírá s kladnou poloosou x. Absolutní hodnota funkce
tangens se určí z pravoúhlého trojúhelníku „zavěšeného“ na přímku, jehož odvěsny jsou
rovnoběžné se souřadnicovými osami. O kladnosti či zápornosti koeficientu a se pak
rozhodne podle toho, zda je funkce rostoucí (𝑎 > 0), nebo je klesající (𝑎 < 0).
Př. 2A Graf lineární funkce prochází body A [-6; 12], B [3; 2]. Určete její rovnici.
Met.: Toto je příklad zadání s největší komplikací, na jakou lze při použití 2. způsobu řešení narazit:
Stačí náčrt od ruky:
Hledaná funkce je f: y = ax + b;
f je klesající, proto 𝑎 < 0 … 𝑎 = −
∆𝑦
∆𝑥
= −
10
9
b - ? 𝐵 ∈ 𝑓 … 2 = −
10
9
. 3 + 𝑏 → 𝑏 =
16
3
Funkce 𝑓: 𝑦 = −
10
9
𝑥 +
16
3
q: y = -3x + 1
p: 𝑦 =
𝑥
2
−
5
2
p: x = 2y + 51
1
x
y
−
5
2
-2
p: 𝑦 = −
𝑥
2
p: x = - 2y
q: y = 3x -7
q: 𝑥 =
𝑦
3
+
7
3
x
y
-1
-7
2
Typové příklady standardní náročnosti
Př. 3 Určete rovnici funkce, jejíž graf je na obrázku – lomená čára A B C D.
[f = f1  f2  f3, f1: y= 0;3;1
3
2
−+− xx ,
f2: y = 2x+1; x (0; 1), f3: y = 3;1;
2
9
2
3
+− xx ]
Met.: Pokud učitel přesvědčí studenty, aby přijali za svůj právě 2. způsob řešení předcházející úlohy, pak je
celá úloha 3 řešitelná zpaměti, bez jediného výpočtu.
Př. 4 Sestrojte graf funkce f: y = |x+3| - 2.|x-1| + |x|
[Nulovými body jsou čísla -3; 0; 1. Graf tvoří části funkcí: y = -5, y = 2x+1, y = 4x+1, y = 5]
Př. 5 Užitím grafů lineárních funkcí řešte graficky soustavy rovnic a nerovnic a zapište množinu všech kořenů:
a) x – 2y = 5 b) x + 2y 0
3x + y 1 3x – y 7
Met.:
Řešení tohoto typu úloh bylo podrobně rozebráno v kapitole 04 Lineární rovnice a nerovnice a jejich
soustavy. V tomto místě je pouze navíc věnována větší pozornost různým možnostem zápisu množiny řešení
soustavy nerovnic, příp. rovnic a nerovnic, o dvou neznámých.
Zápis množiny řešení lze provést v podstatě dvěma základními způsoby:
a) 𝐾 = {[𝑥; 𝑦] ∈ 𝑅 × 𝑅: 𝑦 =
𝑥
2
−
5
2
⋀ 𝑥 ≤ 1} nebo 𝐾 = {[𝑥; 𝑦] ∈ 𝑅 × 𝑅: 𝑥 = 2𝑦 + 5 ⋀ 𝑦 ≤ −2};
b) 𝐾 = {[𝑥; 𝑦] ∈ 𝑅 × 𝑅: 𝑥 ∈ 〈−2𝑦;
𝑦
3
+
7
3
〉 ⋀ 𝑦 ≥ −1}
nebo 𝐾 = {[𝑥; 𝑦] ∈ 𝑅 × 𝑅: 𝑦 ≥ −
𝑥
2
𝑝𝑟𝑜 𝑥 ≤ 2} ⋃{[𝑥; 𝑦] ∈ 𝑅 × 𝑅: 𝑦 ≥ 3𝑥 − 7 𝑝𝑟𝑜 𝑥 ≥ 2}
0
2
x
y
S
y = x
y = x+2
Diskuse o řešení by měla být vedena tak, aby si studenti
uvědomili, že koeficient lineárního členu je konstantní
a má hodnotu a = 1. Tím je dáno, že každá přímka, která patří
do hledané množiny S svírá s kladnou poloosou x úhel 45°, je
tedy rovnoběžná s osou I. a III. kvadrantu. Koeficient b pak
určuje y-ovou souřadnici průsečíků přímek s osou y.
Př. 6 MA – Jaro 2017 Přiřaďte ke každému předpisu funkce (25.1 – 25.4) odpovídající graf funkce A – F.
25.1
4

tgy = …….
25.2
4
3
tgxy = …….
25.3
4
5
tgxy = …….
25.4
4
7
tgxy += …….
[F, A, B, E]
Rozšiřující cvičení
Př. 7 Určete množinu S všech lineárních funkcí y = x + b; b )2;0
[Pás rovnoběžných přímek, ohraničených přímkami y = x a y = x+2, druhá do pásu nepatří.]
Met.:
2
x
y y = 2x + 2y = – x
4
1-1
3
S
Skutečnost, že se koeficient b rovná 2, znamená,
že všechny přímky hledané množiny S procházejí
bodem [0; 2]. Určit rovnice a polohu hraničních
přímek svazku je rovněž snadné. Jediným problémem,
který je třeba se studenty důkladně prodiskutovat,
může být výběr dvojice vrcholových úhlů, která je
obrazem svazku přímek S.
Př. 8 Určete množinu S všech lineárních funkcí y = ax + 2; a ( 2;1−
[Svazek přímek, které prochází bodem [0; 2] a jsou ohraničené přímkami: y = -x+2 a y = 2x+2, první
uvedená do svazku nepatří.]
Met.: