18 Kvadratická funkce - met. Stručný přehled teorie
Kvadratická funkce je funkce
f: y = ax2+bx+c,      kde a,b,ce R, a * 0.
Grafem kvadratické funkce je křivka zvaná parabola, která je souměrná podle osy o rovnoběžné s osou y. Průsečík osy o s parabolou nazýváme vrchol paraboly.
Vlastnosti kvadratických funkcí/-' y = ax2 + by + c
□EEI
a<0
c — ■
4a
f:y = ax2 + bx + c,a > 0
•	D(f) = R, H(f)	= {c-—; °°) 4a
•	Je zdola omezená, není shora	
	omezená.	
•	Je rostoucí v	
•	Je klesající v	' ^ b\ v     ' 2a/
•	V bodě xo = -minimum	b --ma ostré 2a
f:y = ax2 + bx + c, a < 0
•	D(f) = R, H(f)	= {-^c~— ) 4a
•	Je shora omezená, není zdola	
	omezená.	
•	Je rostoucí v	" b\ V 2a/
•	Je klesající v i	\  2a '
•	V bodě xo = -maximum	b — ma ostré 2a
et.:
Kvadratická funkce patří k tématům určeným k probrání na ZŠ, a to v 9. třídě. Ale objem informací je tam omezen pouze na práci s funkcí typu /: y = ax2 a okrajově s /: y = + x2 + c. Středoškolští studenti tedy budou většinou vědět, že grafem kvadratické funkce je parabola a vzpomenou si i na to, jakým způsobem je tvar paraboly ovlivněn kvadratickým koeficientem a a její poloha v soustavě souřadnic koeficientem c. Probírání tématu o kvadratických funkcích na střední škole by měl učitel zahájit samozřejmě plnou informací, že kvadratická funkce je funkce daná rovnicí/-' y = ax2 + bx + c, kde a, b, c jsou reálná čísla, přičemž a ^ 0. Ale cesta k nakreslení grafu takové úplné kvadratické funkce by měla být vedena postupně s vysvětlováním vlivu jednotlivých přidávaných parametrů na tvar a umístění paraboly v soustavě souřadnic:
®
fi-y
= x2
f1:y=-xl
k :y = 3x2
fi -y = -3x5
f1:y = x2
Í2	y --	= (x-3)2	
h	:y	= (x + 2)2	
h	■ y	= -(x-2)2	
Se studenty je samozřejmě třeba krátce prodiskutovat důvod posunutí parabol: např. f2:      - nezápornost pravé strany rovnice - vrchol - bod, kterému odpovídá minimum funkce ... y = 0 pro x = 3. Proto V[3;0].
Velmi vhodné je také pro základní funkci fi a pro jednu nebo dvě další vybrané funkce vytvořit tabulku ...
Jakmile se studenti naučí kreslit parabolu odpovídající poslednímu typu rovnice, tedy/: y = a(x-m)2 + n, může učitel obrátit jejich pozornost na skutečnost, že kvadratická funkce bývá nejčastěji zadána v souladu s definicí/-' y = ax2 + bx + c. A s takto zadanou funkcí zatím studenti pracovat neumí. Z toho logicky vyplývá, že se studenti musí naučit převádět výraz ax2 + bx + c do tvaru a(x - m)2 + n. Je jistě dobré ukázat jim převod obecně zadaného kvadratického trojčlenu:_
?, ( ~>     b   \ ( j     b        PT\ b2!       /       b\2 b2
y = ax + bx + c = a x + -x + c = a x + -xH---       + cl--= a x H--+ c--;
\        a   J \        a   \_4a/y 4a\       \       2a/ 4a
Odsud   v\- — ;c-—].
L   2a 4a\
Učitel může tento převod ukázat sám, nebo jej zadá studentům, přičemž rychlou a správnou práci jednotlivců drobně ocení (úpravy výrazů se probíraly dříve, takže by to neměl být pro nikoho problém). V druhém případě je namístě napsat pak správné řešení na tabuli.
Po práci s obecným převodem by měl následovat ihned konkrétní příklad:_
př. lf:y = -2x2 + 4x + 1 = -2(x2 - 2x + 1) + 1 + 2 =	-2 (x	-l)2 + 3 ..	
pr. 2 f: y = - x — 3x — = - (x — 4x + 4)---3 = - (x ^       '   y      4                      24V                        J      2 4V	-2)2	-f - "[	
Občas se v některé třídě najdou studenti (zpravidla ti se solidní mechanickou pamětí), kteří vezmou za vděk „vzorcem" V \— —; c — — 1, domnívají se, že k nalezení vrcholu paraboly stačí dosadit do „hotového"
předpisu a uvedený převod neprovádět. Takový přístup studentů nesmí učitel připustit. Jednak by to znamenalo nezbytnost (ale nepochybně i krátkodobost) zcela zbytečné zpaměťové znalosti a nedůstojného dosazování do nějakých výrazů, jednak budou podobný převod studenti potřebovat během středoškolského studia mnohokrát (např. u všech kuželoseček).
Základní poznatky:
Př. 1    Načrtněte grafy funkci (graf s průsečíky a vrcholem):
a) /:y = -(x-2)2 + 5
b) g- y = x2 — 5x + 6
c) h: y = 2x2 + 5x — 1
d) p: y = — 0,5x2 + x + 2
[F[2,5], [0,l],[±VŠ+2,0]] 7 E'"3' [0'6]' [2'°L [3'0]]
[o,2],[i±Vš,o]j
M
V
33
et: l.c)/i:y = 2x2 + 5x-l = 2fx2+-x + ——= 2fx + -)2-— ...
1     J V 2        16/ 8 V       4/ 8
U každé funkce, jejíž graf se má kreslit, je nezbytné určit souřadnice všech průsečíků s oběma osami souřadnic. Tyje nejlepší určovat z té rovnice funkce, jejíž pravá strana představuje klasický kvadratický trojčlen:    1. Průsečík s osou x ... Px - ?     platí: y = 0
y = 2x2 + 5x - 1 = 0
-5±V25+8 -5±VŠ3
2. Průsečík s osou y ... Py - ?
y = 2. O2 + 5.0 - 1 =
Učitel může vyvolat diskusi o souvislosti polohy vrcholu paraboly a jejích průsečíků s osou x, pokud tyto existují. Vzhledem k souměrnosti paraboly podle její osy lze x-ovou souřadnici vrcholu vypočítat také pomocí středu úsečky Pxi Px2 jako aritmetický průměr x-ových souřadnic těchto průsečíků.
xl
-5-V33
;0
x2
-5+VŠ3
;0
platí: x = 0
-1;
Pv[0;-1]
Pozn.:
-5-VŠ3
'2,69;
-5+VŠ3
-0,19. Výpočet
4 '     ' 4
přibližných hodnot je zde jistě potřebný.
Do grafu se však musí zapsat přesné hodnoty!!!
Př. 2
Pomocí grafu funkce určete řešení nerovnic:
a) x2 + 1 < 0
b) x2 - 2 > 0
[K = 0]
[/ř=(-oo,-V2]U[V2,oo)]
Př. 3    Státní maturita 2017
16     Grafem kvadratické funkce f: y - 9 — x2 pro x G R je parabola.
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (16.1-16.4), zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
A N
16.1 Vrchol paraboly je V[0, 9]. D D
16.2 Jeden z průsečíků paraboly se souřadnicovými osami je P[—3; 0]. Q Q
16.3 f (p) = -3 □ □
16.4 Obor hodnot funkce/" je IIf - {9; +oo). |   | | |
Typové příklady standardní náročnosti:
Př. 4    Načrtněte grafy funkcí:
a) fi'-y = x2 — 5x + 6
b) fi'-y = x2 — 5|x| + 6
c) f3 - y = \%2 ~ 5IXI + 6|
Met.:   Vzhledem k velmi úzké souvislosti funkcí/i, f2, a f3 stojí rozhodně za to zamyslet se se studenty nad možností zjednodušení cest k jejich grafům. Pro učitele se zde naskýtá ideální možnost poskytnout studentům radost z objevování jednotlivých kroků, které by měly vést až k poznání, že stačí podrobně prostudovat pouze funkci fi a grafy zbývajících dvou funkcí z ní už logicky vyplynou.
fi'.y = x2 — 5x + 6 = (x2 — 5x + ^j Průsečíky s osami:       1. s osou x .... y = 0
+ 6-^
4
= ('-i)!
V
5 _
2'
x2 - 5x + 6 = 0 (x - 2). (x - 3) = 0 x = 2 V x = 3
2. s osou y .... x = 0
°*i[2;0]|
y = O2 - 5.0 + 6 = 6
f 2-y = x2 — 5|x| + 6 je funkce sudá, proto je její graf souměrný podle osy y. Pro x > 0 má funkce f2 evidentně stejnou rovnici jako/i, což znamená, že pro x > Odkopíruje graf f 1. Část grafu f2 vlevo od osy y je souměrný s částí nakreslenou vpravo od osy y pro nezáporná x, osou souměrnosti je osa y.
f3.y=\x2— 5 |x| + 6| je rovněž sudá funkce, která se od f2 liší pouze vnější absolutní hodnotou. Ta určuje, že všechny funkční hodnoty f3 jsou nezáporné. To ale znamená, že všechny části grafu funkce f2 , které odpovídají nezáporným funkčním hodnotám (tedy se nacházejí "nad" osou x), jsou společné i pro f3. A ty části grafu f2, které odpovídají záporným funkčním hodnotám, se pro graf f3 "překlopí" "nad" osu x jako jejich obrazy v osové souměrnosti podle osy x.
Př. 5    Určete předpis kvadratické funkce, která má minimum v bodě [-2; -2] a prochází bodem [-1;1].
_ [Realisticky.cz - 2.5.5, y = 3(x + 2)2 - 2]
Met.:   Vzhledem k tomu, že jsou zadány souřadnice vrcholu paraboly, která je grafem hledané kvadratické funkce, zvolíme pro řešení rovnici/: y = a(x-m)2 + n. V ní figuruje celkem 5 proměnných, přičemž za 4 z nich můžeme dosadit jednak zmíněné souřadnice vrcholu (m, n) a pak za x a y souřadnice bodu, o němž víme, že jím parabola také prochází:   1 = a(—1 + 2)2 — 2 . Odsud a = 3. Hledaná rovnice
funkce bude tedylf: y = 3(x + 2) - 2\ a jistě bude vhodné ji převést do tvaru|/: y = 3x + 12x +10.
Př. 6    Pro kterou kvadratickou funkci platí: /(O) = 1; f (2) = -1; /"(l) = -1 ? [y = x2 - 3x + 1]
Met.:   Na rozdíl od předcházející úlohy zvolíme v této úloze pro řešení rovnici/: y = ax2 + bx + c.
/(0) = 1 -/(2) = -1 ...
/(1) = -1...
1 = a. O2 + b.O + c
- 1 = a. 22 + b.2 + c
- 1 = a. I2 + b. 1 + c
Hledaná funkce je [ /: y = x2 - 3x + l.\
1 = c
- 1 = 4a + 2b + c
— 1 = a + b + c
soustava tří rovnic o třech neznámých ... a = 1, b = -3, c = 1
Př. 7    Sestrojte graf fun kce[ f: y = 2x + II — x 11
[Pro x £ (—1,1) y = —x2 + 2x + 1, v dalších intervalech y = x2 + 2x — 1.
Met:	Tabulka:         nulové body jsou +1		
	(-00;-1>	<-i;i>	<l;«0
|1 -x2|	x2 - 1	:             1-x2 >	c                 X2 - 1
/	y = 2x + x2 — 1 = x2 + 2x — 1	y = 2x + 1 — x2 = —x2 + 2x + 1	y = x2 + 2x — 1
(-oo;-l>U<l;oo) :
<-i;i>:
1. Vrchol:
y = x2 + 2x - 1 = (x2 + 2x + 1) - 1 - 1 = (x + l)2 - 2 ...  V[-l; -2]
2. Průsečíky s osami:
Px - ?   y=0     x2 + 2x - 1 = 0
-2±VŠ
xl,2 — '
= -l±V2         Pxl[-1 - V2;0] Px2[-1+V2;0
Pv[0;-1]
Py-?   x = 0   y = O2 + 2.0 - 1 =-1 3.Je třeba ještě určit souřadnice bodů odpovídajících krajním bodům intervalů: /(-l) = -2 ...A[-l; -2]; /(l) = 2 ...B[l; 2]
1. Vrchol:
y = -x2 + 2x + 1 = -(x2 - 2x + 1) + 1 + 1 = -(x - l)2 + 2 ...    W\l; 2]
2. Průsečíky s osami:    Q*-?   y = 0   — x + 2x + 1 = 0
xl,2 —
-2±VŠ
Qy- ?   x = 0  y = ••• = 1 3. Souřadnice bodů odpovídajících krajním bodům intervalu:
/(-l) = -2 ...A[-l; -2]; /(l) = 2 ...B[l; 2]
Qxi	1 - V2; 0]	
	<2y[0;l]	
Graf:
Studenti zatím neznají pojem spojitosti funkce. Musí se jim tedy aspoň sdělit, že grafem je souvislá křivka. Proto je důležitý výpočet souřadnic bodů v krajních bodech intervalů, kde na sebe jednotlivé části křivek musí navazovat
Rozšiřující cvičení
Př. 8    Zemědělec chce postavit výběh pro kuřata ve tvaru pravoúhelníku tak, že jednu stranu výběhu bude tvořit hospodářská budova. Celkem má k dispozici 20 m pletiva. Jaké mají být rozměry výběhu, aby jeho plocha byla co největší? [Realisticky.cz - 2.5.5, rozměry 5 m x 10 m]
Met.:   S úlohou, jejíž řešení vyžaduje nalezení extrému funkce, se studenti setkávají poprvé právě
při probírání kvadratické funkce. Učitel je si jistě vědom, že podobné úlohy budou řešit mnohem rychleji, snadněji a pohodlněji, až je seznámí se základy diferenciálního počtu. V současné fázi výuky je vhodné použít podobné úlohy především ze dvou důvodů:
■ matematizací úloh z běžného života se nepochybně výuka matematiky oživí,
■ učitel může využít této a podobných jednoduchých úloh, aby už nyní vedl studenty ke schopnosti určit správně funkci, jejíž extrém je třeba nalézt, a také provést další kroky, které bude nutné provádět i později, až se bude k výpočtům používat derivací.
iDánot \d = 20m\
IFunkcel u níž hledáme extrém:
|Obsah pravoúhelníku   y = S = a.b
Proměnné:
a, b
naše funkce musí vyjadřovat závislost y = S pouze na jedné nezávislé proměnné - je tedy nutné vyjádřit jednu proměnnou pomocí druhé, případně pomocí konstant:
a + 2b = 20, proto a = 20-2b y = S = a.b = (20-2b).b
y = -2{b2 - 10b + 25) + 50 y = -2(b - 5)2 + 50
■E
F[5;50]
- 2b2 + 20b = 0 -2b(b - 10) = 0 ...
Z grafu je dobře vidět, že funkce S = —2b2 + 20b nabývá maxima pro b = 5 m. Odsud a = 20-2b = 10 m. Studentům zcela jistě prospěje, když se spolu s učitelem nad nakresleným grafem zamyslí a podiskutují o něm:   ■ proč má smysl uvažovat pouze část paraboly „nad" osou x?
Pozn.   Pokud by učitel zadal na pár minut studentům za úkol jako samostatnou práci najít tuto parabolu, spousta z nich by ji nakreslila „celou" ...
■ co znamená číslo 50 představující y-ovou souřadnici vrcholu paraboly?
■ jaký význam pro řešení úlohy mají průsečíky paraboly s osou x? Jak by vypadal výběh, kdyby proměnná b nabyla hodnoty odpovídající x-ové souřadnici některého z těchto průsečíků?
Př. 9    Státní maturita 2017 Matematika+
Kvadratická funkce/ je sudá, /(l) = 1
a graf funkce / má právě jeden společný bod s grafem funkce g:y = cos x — 2.
													
													
													
													
													
							i						
						0							
													
													
													
													
Zapište předpis funkce f.
[f{x) = 2x2 - 1]
Met.:   Tuto úlohu nelze zadat studentům v době, kdy se teprve probírá kvadratická funkce, protože
goniometrické funkce se probírají později a studenti netuší, jak vypadá graf funkce g:y = cos x — 2. Možná by ale stálo za to zvážit zjednodušení zadání náhradou goniometrické funkce funkcí konstantní h:y = —1. Základní úvaha o řešení by zůstala stejná, úloha by byla zvládnutelná všemi studenty, výsledek úlohy by byl stejný a učitel by mohl šikovné řešitele odměnit podle nastavených pravidel.
Řeš.:   Dáno:   Kvadratická funkce (graf je parabola) je sudá (parabola je souměrná podle osy y). /"(I) = 1, vzhledem k sudosti funkce musí také /(—l) = 1.
"y
Má-li mít graf hledané kvadratické funkce/s grafem funkce g právě jeden společný bod, musí to být bod [0; —1], který bude zároveň vrcholem paraboly. Rovnice funkce: /: y = a(x- m)2 + n     f: 1 = a(l — O)2 — 1, odsud a = 2 f:y = 2x2-l