18 Kvadratická funkce – met. Stručný přehled teorie Kvadratická funkce je funkce f: y = ax^2 +bx +c, kde a,b,c R, a ≠ 0. Grafem kvadratické funkce je křivka zvaná parabola, která je souměrná podle osy o rovnoběžné s osou y. Průsečík osy o s parabolou nazýváme vrchol paraboly. Vlastnosti kvadratických funkcí f: y = ax^2 + by + c a > 0 a < 0 x x y y * D(f) = R, H(f) = * Je shora omezená, není zdola omezená. * Je rostoucí v * Je klesající v * V bodě x[0] = má ostré maximum * D(f) = R, H(f) = * Je zdola omezená, není shora omezená. * Je rostoucí v * Je klesající v * V bodě x[0] = má ostré minimum Met.: Kvadratická funkce patří k tématům určeným k probrání na ZŠ, a to v 9. třídě. Ale objem informací je tam omezen pouze na práci s funkcí typu f: y = ax^2 a okrajově s f: y = x^2 + c. Středoškolští studenti tedy budou většinou vědět, že grafem kvadratické funkce je parabola a vzpomenou si i na to, jakým způsobem je tvar paraboly ovlivněn kvadratickým koeficientem a a její poloha v soustavě souřadnic koeficientem c. Probírání tématu o kvadratických funkcích na střední škole by měl učitel zahájit samozřejmě plnou informací, že kvadratická funkce je funkce daná rovnicí f: y = ax^2 + bx + c, kde a, b, c jsou reálná čísla, přičemž . Ale cesta k nakreslení grafu takové úplné kvadratické funkce by měla být vedena postupně s vysvětlováním vlivu jednotlivých přidávaných parametrů na tvar a umístění paraboly v soustavě souřadnic: x y 1 -1 1 2 3 -3 x y 1 2 3 4 -1 -2 -3 1 -1 ② Se studenty je samozřejmě třeba krátce prodiskutovat důvod posunutí parabol: např. : ⁃ nezápornost pravé strany rovnice ⁃ vrchol – bod, kterému odpovídá minimum funkce … y = 0 pro x = 3. Proto . Velmi vhodné je také pro základní funkci f[1] a pro jednu nebo dvě další vybrané funkce vytvořit tabulku … x y -2 -1 1 1 -1 ③ x y 1 2 3 4 1 2 4 3 ④ Z rovnice lze určit: • souřadnice vrcholu paraboly • tvar a polohu paraboly v soustavě souřadnic Jakmile se studenti naučí kreslit parabolu odpovídající poslednímu typu rovnice, tedy f: y = a(x – m)^2 + n, může učitel obrátit jejich pozornost na skutečnost, že kvadratická funkce bývá nejčastěji zadána v souladu s definicí f: y = ax^2 + bx + c. A s takto zadanou funkcí zatím studenti pracovat neumí. Z toho logicky vyplývá, že se studenti musí naučit převádět výraz ax^2 + bx + c do tvaru a(x – m)^2 + n. Je jistě dobré ukázat jim převod obecně zadaného kvadratického trojčlenu: ; Odsud . Učitel může tento převod ukázat sám, nebo jej zadá studentům, přičemž rychlou a správnou práci jednotlivců drobně ocení (úpravy výrazů se probíraly dříve, takže by to neměl být pro nikoho problém). V druhém případě je namístě napsat pak správné řešení na tabuli. Po práci s obecným převodem by měl následovat ihned konkrétní příklad: př. 1 př. 2 . Občas se v některé třídě najdou studenti (zpravidla ti se solidní mechanickou pamětí), kteří vezmou za vděk „vzorcem“ , domnívají se, že k nalezení vrcholu paraboly stačí dosadit do „hotového“ předpisu a uvedený převod neprovádět. Takový přístup studentů nesmí učitel připustit. Jednak by to znamenalo nezbytnost (ale nepochybně i krátkodobost) zcela zbytečné zpaměťové znalosti a nedůstojného dosazování do nějakých výrazů, jednak budou podobný převod studenti potřebovat během středoškolského studia mnohokrát (např. u všech kuželoseček). Základní poznatky: Př. 1 Načrtněte grafy funkci (graf s průsečíky a vrcholem): a) b) c) d) Met.: 1.c) U každé funkce, jejíž graf se má kreslit, je nezbytné určit souřadnice všech průsečíků s oběma osami souřadnic. Ty je nejlepší určovat z té rovnice funkce, jejíž pravá strana představuje klasický kvadratický trojčlen: 1. Průsečík s osou x … P[x] - ? platí: y = 0 ; 2. Průsečík s osou y … P[y] - ? platí: x = 0 ; x y -1 h -1 -2 -3 Učitel může vyvolat diskusi o souvislosti polohy vrcholu paraboly a jejích průsečíků s osou x, pokud tyto existují. Vzhledem k souměrnosti paraboly podle její osy lze x-ovou souřadnici vrcholu vypočítat také pomocí středu úsečky P[x1] P[x2 ]jako aritmetický průměr x-ových souřadnic těchto průsečíků. Pozn.: . Výpočet přibližných hodnot je zde jistě potřebný. Do grafu se však musí zapsat přesné hodnoty!!! Př. 2 Pomocí grafu funkce určete řešení nerovnic: a) b) Př. 3 Státní maturita 2017 Typové příklady standardní náročnosti: Př. 4 Načrtněte grafy funkcí: a) b) c) Met.: Vzhledem k velmi úzké souvislosti funkcí f[1], f[2], a f[3] stojí rozhodně za to zamyslet se se studenty nad možností zjednodušení cest k jejich grafům. Pro učitele se zde naskýtá ideální možnost poskytnout studentům radost z objevování jednotlivých kroků, které by měly vést až k poznání, že stačí podrobně prostudovat pouze funkci f[1] a grafy zbývajících dvou funkcí z ní už logicky vyplynou. x y 6 2 3 -3 -2 Průsečíky s osami: 1. s osou x …. y = 0 2. s osou y …. x = 0 je funkce sudá, proto je její graf souměrný podle osy y. Pro má funkce f[2] evidentně stejnou rovnici jako f[1], což znamená, že pro f[2 ]kopíruje graf f[1]. Část grafu f[2 ]vlevo od osy y je souměrný s částí nakreslenou vpravo od osy y pro nezáporná x, osou souměrnosti je osa y. f[3] je rovněž sudá funkce, která se od liší pouze vnější absolutní hodnotou. Ta určuje, že všechny funkční hodnoty f[3] jsou nezáporné. To ale znamená, že všechny části grafu funkce , které odpovídají nezáporným funkčním hodnotám (tedy se nacházejí “nad” osou x), jsou společné i pro f[3]. A ty části grafu , které odpovídají záporným funkčním hodnotám, se pro graf f[3] “překlopí” “nad” osu x jako jejich obrazy v osové souměrnosti podle osy x. Př. 5 Určete předpis kvadratické funkce, která má minimum v bodě [-2; -2] a prochází bodem [-1;1]. [Realisticky.cz – 2.5.5, ] Met.: Vzhledem k tomu, že jsou zadány souřadnice vrcholu paraboly, která je grafem hledané kvadratické funkce, zvolíme pro řešení rovnici f: y = a(x – m)^2 + n. V ní figuruje celkem 5 proměnných, přičemž za 4 z nich můžeme dosadit jednak zmíněné souřadnice vrcholu (m, n) a pak za x a y souřadnice bodu, o němž víme, že jím parabola také prochází: . Odsud a = 3. Hledaná rovnice funkce bude tedy f: y = 3(x + 2)^2 – 2, a jistě bude vhodné ji převést do tvaru f: y = 3x^2 + 12x + 10. soustava tří rovnic o třech neznámých … a = 1, b = -3, c = 1 Př. 6 Pro kterou kvadratickou funkci platí: ? Met.: Na rozdíl od předcházející úlohy zvolíme v této úloze pro řešení rovnici f: y = ax^2 + bx + c. Hledaná funkce je f: y = x^2 - 3x + 1. Př. 7 Sestrojte graf funkce [Pro v dalších intervalech .] Met.: Tabulka: nulové body jsou f : 1. Vrchol: 2. Průsečíky s osami: P[x] - ? y=0 P[y] - ? 3.Je třeba ještě určit souřadnice bodů odpovídajících krajním bodům intervalů: : 1. Vrchol: 2. Průsečíky s osami: Q[x] - ? Q[y] - ? 3. Souřadnice bodů odpovídajících krajním bodům intervalu: x y 1 1 -1 -1 2 2 -2 -2 - - Graf: Studenti zatím neznají pojem spojitosti funkce. Musí se jim tedy aspoň sdělit, že grafem je souvislá křivka. Proto je důležitý výpočet souřadnic bodů v krajních bodech intervalů, kde na sebe jednotlivé části křivek musí navazovat Rozšiřující cvičení Př. 8 Zemědělec chce postavit výběh pro kuřata ve tvaru pravoúhelníku tak, že jednu stranu výběhu bude tvořit hospodářská budova. Celkem má k dispozici 20 m pletiva. Jaké mají být rozměry výběhu, aby jeho plocha byla co největší? [Realisticky.cz – 2.5.5, rozměry 5 m x 10 m] Met.: S úlohou, jejíž řešení vyžaduje nalezení extrému funkce, se studenti setkávají poprvé právě při probírání kvadratické funkce. Učitel je si jistě vědom, že podobné úlohy budou řešit mnohem rychleji, snadněji a pohodlněji, až je seznámí se základy diferenciálního počtu. V současné fázi výuky je vhodné použít podobné úlohy především ze dvou důvodů: ▪ matematizací úloh z běžného života se nepochybně výuka matematiky oživí, ▪ učitel může využít této a podobných jednoduchých úloh, aby už nyní vedl studenty ke schopnosti určit správně funkci, jejíž extrém je třeba nalézt, a také provést další kroky, které bude nutné provádět i později, až se bude k výpočtům používat derivací. Dáno: d = 20 m Funkce, u níž hledáme extrém: Obsah pravoúhelníku y = S = a.b Proměnné: a, b … naše funkce musí vyjadřovat závislost y = S pouze na jedné nezávislé proměnné – je tedy nutné vyjádřit jednu proměnnou pomocí druhé, případně pomocí konstant: x y 50 5 0 10 S a + 2b = 20, proto a = 20 – 2b y = S = a.b = (20 – 2b).b y = S = a b Z grafu je dobře vidět, že funkce S = nabývá maxima pro b = 5 m. Odsud a = 20 – 2b = 10 m. Studentům zcela jistě prospěje, když se spolu s učitelem nad nakresleným grafem zamyslí a podiskutují o něm: ▫ proč má smysl uvažovat pouze část paraboly „nad“ osou x? Pozn. Pokud by učitel zadal na pár minut studentům za úkol jako samostatnou práci najít tuto parabolu, spousta z nich by ji nakreslila „celou“ … ▫ co znamená číslo 50 představující y-ovou souřadnici vrcholu paraboly? ▫ jaký význam pro řešení úlohy mají průsečíky paraboly s osou x? Jak by vypadal výběh, kdyby proměnná b nabyla hodnoty odpovídající x-ové souřadnici některého z těchto průsečíků? ………….. Př. 9 Státní maturita 2017 Matematika+ Zapište předpis funkce f. Met.: Tuto úlohu nelze zadat studentům v době, kdy se teprve probírá kvadratická funkce, protože goniometrické funkce se probírají později a studenti netuší, jak vypadá graf funkce Možná by ale stálo za to zvážit zjednodušení zadání náhradou goniometrické funkce funkcí konstantní Základní úvaha o řešení by zůstala stejná, úloha by byla zvládnutelná všemi studenty, výsledek úlohy by byl stejný a učitel by mohl šikovné řešitele odměnit podle nastavených pravidel. Řeš.: Dáno: Kvadratická funkce (graf je parabola) je sudá (parabola je souměrná podle osy y). . f g Má-li mít graf hledané kvadratické funkce f s grafem funkce g právě jeden společný bod, musí to být bod , který bude zároveň vrcholem paraboly. Rovnice funkce: f: y = a(x – m)^2 + n