19 Lineární lomená funkce -Stručný přehled teorie
met.
Lineární lomená funkce je funkce f : y =-, kde c ^ 0,bc-ad ^ 0.
cx + d
Grafem lineární lomené funkce je rovnoosá hyperbola, jejíž asymptoty jsou rovnoběžné se souřadnicovými osami.
„       ax + b
Prostřednictvím převedení rovnice lineární lomené funkce ze základního tvaru / : y =-- do podoby
f-y
cx + d
■ + y0 získáme rovnice asymptot: ai (posunutá osa x): y = yo;    02 (posunutá osa y): x = xo.
a2:y = —c
Vlastnosti:
D(f) = R-{-§;H(f) = R-{$
není ani sudá ani lichá;
v intervalech ^—00;a 00 j má stejný typ monotónnosti;
není omezená; nemá extrémy; je prostá
Vlastnosti:
■ D(f) = R-{0};H(f) = R-{0}
■ je lichá;
■ pro k > O je v intervalech (-00;0) a(0;oo) klesající, prok<0 je v intervalech (-00;0) a(0;00) rostoucí;
■ není omezená;
■ nemá extrémy;
■ je prostá
Met.: Na základní škole se studenti setkali s nepřímou úměrností dvakrát:
Nejprve byla v 8. třídě představena jako takový typ závislosti jedné veličiny (y) na jiné
k
veličině (x), pro který platí : x.y = k, neboli y = -, přičemž se zdůrazňovala práce s výhradně
kladnými veličinami. I přesto už byla křivka nacházející se pouze v I. kvadrantu představena jako část hyperboly.
Do 9. třídy jsou už jako jedno z probíraných témat zařazeny funkce. K nepřímé úměrnosti jako
k
k funkci typu f:y = -, kde k £ R — {0}, už je přidán pojem definičního oboru D(f) = R — {0}, grafem je celá hyperbola a dokonce jsou probrány vlastnosti růstu či klesání funkce.
Základní poznatky
Př. 1   Promyslete rozdíly mezi grafy funkcí:
a) fi-y = -
b) f2:y = -x + l
d) n
e) h
f) h
y = -
x
_ -2
^ x 2
y =
x-l
- 3
Met.: Přesto, že úlohy a), d), e) by studenti měli zvládat jako látku probranou na ZŠ, měl by je
učitel zopakovat a nakreslit všechny tři grafy do jedné souřadnicové soustavy, aby si studenti připomněli, jak měnící se koeficient k ovlivňuje tvar a polohu hyperboly.
a)fi-y = -
e) ís-y = —
/5/v		lV4	
	2	—V-A	
	1		
.---- -1			-*1 '► 1
	-1 A-2		
		/	
Grafy zbývajících funkcí je dobré kreslit vždy do samostatné soustavy souřadnic spolu s grafem funkce fr.
3)fť-y = -
4*r = ;+1l
p —7
Pv[0;-5]
a) A: y = -
e)Ľ!ZI^"3
i x': y = -3 Y
Pro zjištění, ve kterých kvadrantech vytvořených těmito asymptotami, leží větve hyperboly, stačí vypočítat jeden průsečík s některou souřadnicovou osou:
.% = 0 -> y = — 5
Př. 2   Nalezněte grafy lineárních lomených funkcí a přiřaďte k nim jejich funkční předpisy (zdroj: státní maturita, květen 2016)
25.1
15.2
25.3
25,4
A)	y =	z x-1
B;	y =	—x ~
C)	y =	l-^x
D)	y =	(T
E}	y =	-2-x'
F}	y ~	-2-1 ■
Met.: Přiřazení funkčních předpisů jednotlivým grafům musí předcházet úprava rovnic:
A)	y =	2 _	2x
B)	y =	v	—2x
C)	y =	2 V.v	x _ 2
D)	y =	(f)"'	_ 2 x
E)	y =	—2.x"	-1 _
F)	y =	-2"1.	X"1
-2
1
2x
i
X
[25.1 D), 25.2 £), 25.3 5), 25.4 Q]
Typové příklady standardní náročnosti Př. 3   Nalezněte grafy funkcí, určete D(f) a H(f)
-x+2
b)f2:y
d)f4:y
3x-l x+2
f 9 1 1 1
3x-l
-3x+3 2x-4
3x+3
2x-4
Met.: c) Rovnici funkce f^. y = obou asymptot:
■ Úprava rovnice: y =
■ Funkce:
■ Asymptoty:
-3x+3 2x-4
[z fv f2(x) > 0 pro Vx E D(f2), o3: y = i]
fřy = x^2~2' a^y=-2 - a2-x = 2
[zfy f4(x)>0proVxED{f4),a3:y = l]
je třeba nejprve upravit do podoby, ze které lze určit rovnice
~3x+3 = (-3x + 3):(2x-4) = --- 3
2x-4
h-y =	3 -3x+3          3 2	
	2x-4           2 x-2	
	y':x = 2 3 x : y = — y 2	
2 2x-4
x-2 '
Průsečíky s osami souřadnic - pro výpočet použijeme původní (tedy neupravenou) rovnici Px-7 y = 0 pro x = 1
funkce:
Graf:
Py - ? x = 0 pro y = — -
i y		y'
3 3	—1	x'
"I1	--2	
d) Nakreslit graf funkce f4:y =
-3x+3
2x-4
znamená nejprve pracovat s funkcí f3, provést potřebné
úpravy a výpočty a nakreslit graf funkce f3: y =
-3x+3 2x-4
. Potom je třeba využít:
%3) - %4)
2)       ° Vx £ Da3),kde/3W > 0,platí: /4(x) = f3(x) ; ° Vx £ D(y3),kde/3(x) < 0,pZaří: /^(x) = —/3(x). Tozn., že části grafu funkce f3, které se nacházejí „nad" osou x, jsou společné pro f3 i /4. Ty části grafu funkce f3, které se nacházejí „pod" osou x, se pak využijí jako vzory, jejichž obrazy v osové souměrnosti podle osy x doplní celý graf funkce f4.
Pozn.: Studentům zpravidla souvislost grafů typu /3a/4 nedělá potíže. Nejčastější chybou, které se však řada z nich dopouští, je to, že zapomenou v osové souměrnosti podle osy x zobrazit kromě částí grafu f3 také asymptotu x"...
i y 3	y' -2 Ě	k ^^^^^^^^
_ -7—* 4	-i /	-;> X
3 ^^^^^^^^	--i	w » X x'
-ž~"	-2	-W
x+1
Př. 4   Nalezněte graf funkce f:y = —-, určete D(f) a H(f). Dále nalezněte inverzní funkci / 1, její
graf a Z) (f"1) a//(r1)-
\r-l 2X+11
[/ :y = —-l
x-1 J
Met.: Funkce/- úpravy a výpočty vedoucí až ke grafu a určení Z) (/) a H(f) se provedou výše uvedeným způsobem.
Funkce       Nejprve je třeba najít rovnici. f~lm.x =--> xy — y = 2x + 1
y-2
y =
2x+l x-1
Ta se rovněž zpracuje výše uvedeným způsobem.
Graf funkce f~x je třeba nakreslit do téže soustavy souřadnic jako graf funkce /. Kontrolou správnosti řešení by pak měla být souměrnost obou grafů podle osy I. a III. kvadrantu.
Rozšiřující cvičení
Př. 5   Nakreslete grafy funkcí a určete jejich definiční obor (zdroj: J. Petáková 58/15, řeš. 226/15)
\ f.    — 1-*2  (x+1      1 "\
[f:y=-\,D{f) = R-{Q,±l}\
b) /:y=l+^t [/:y = g,D(/) = fl-{0,±2}]
Met.:      Zjednodušením výrazů na pravé straně obou rovnic získáme v případě a) nepřímou úměrnost, v případě b) lineární lomenou funkci. Při kreslení grafů je třeba zohlednit podmínky!!!