19 Lineární lomená funkce – met.


Stručný přehled teorie


Lineární lomená funkce je funkce  , kde .

Grafem lineární lomené funkce je rovnoosá hyperbola, jejíž asymptoty jsou rovnoběžné se
souřadnicovými osami. Prostřednictvím převedení rovnice lineární lomené funkce ze základního tvaru
 do podoby  získáme rovnice asymptot:  a[1] (posunutá osa x): y = y[0];       a[2] (posunutá osa
y): x = x[0].

x

y

















Vlastnosti:

§

  * není ani sudá ani lichá;
  * v intervalech  a   má stejný typ monotónnosti;
  * není omezená;
  * nemá extrémy;
  * je prostá





Speciálním případem (pro = 0, = 0) je nepřímá úměrnost, což je funkce  , k 0, D(f)=R – {0}.
        Graf nepřímé úměrnosti má asymptoty přímo v souřadnicových osách.

k > 0

x

y

f[1]

f[2]

k < 0

x

y

f[3]

f[4]







[]




Vlastnosti:

§

  * je lichá;
  * pro k > 0  je v intervalech (- a  klesající,

pro k < 0  je v intervalech (- a  rostoucí;

  * není omezená;
  * nemá extrémy;
  * je prostá



Met.:  Na základní škole se studenti setkali s nepřímou úměrností dvakrát:
          Nejprve byla v 8. třídě představena jako takový typ závislosti jedné veličiny (y) na jiné
veličině (x), pro který platí :   , přičemž se zdůrazňovala práce s výhradně kladnými veličinami. I
přesto už byla křivka nacházející se pouze v I. kvadrantu představena jako část hyperboly.

      Do 9. třídy jsou už jako jedno z probíraných témat zařazeny funkce. K nepřímé úměrnosti jako
k funkci typu f:  , kde , už je přidán pojem definičního oboru , grafem je celá hyperbola a dokonce
jsou probrány vlastnosti růstu či klesání funkce.







Základní poznatky

Př. 1    Promyslete rozdíly mezi grafy funkcí:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

x

y

1

1

-1

-1

-2

2

Met.:   Přesto, že úlohy a), d), e) by studenti měli zvládat jako látku probranou na ZŠ, měl by je
                        učitel zopakovat a nakreslit všechny tři grafy do jedné souřadnicové
soustavy, aby si studenti               připomněli, jak měnící se koeficient k ovlivňuje tvar a
polohu hyperboly.

a)

d)

e)








[1]

x

y=y´

1

1

2

-1

-1

x´
         Grafy zbývajících funkcí je dobré kreslit vždy do samostatné soustavy souřadnic spolu
                       s grafem funkce f[1]:

a)

b)









[1]

x=x´

y

1

1

-2

-1

-1

y´

a)

c)











x

y

y´

x´

1

1

-1

-1

-3

-5

2


a)

e)

      y´: x=1

      x´: y = -3

Pro zjištění, ve kterých kvadrantech vytvořených těmito asymptotami, leží větve hyperboly, stačí
vypočítat jeden průsečík s některou souřadnicovou osou:



















Př. 2    Nalezněte grafy lineárních lomených funkcí a přiřaďte k nim jejich funkční předpisy
(zdroj: státní             maturita, květen 2016)











Met.:   Přiřazení funkčních předpisů jednotlivým grafům musí předcházet úprava
rovnic:                                   A)
                                                                                     B)

                          C)
                                                                   D)

         E)
                                              F)


Typové příklady standardní náročnosti

Př. 3    Nalezněte grafy funkcí, určete  a





x

x´

y

y´

1

2

-2

-1

f[3]
            Met.:   c) Rovnici funkce f[3]:  je třeba nejprve upravit do podoby, ze které lze určit
rovnice                   obou asymptot:
                                                                                ▪ Úprava rovnice:
   ;                    ▪ Funkce:
                                 ▪ Asymptoty:


                     ▪ Průsečíky s osami souřadnic - pro výpočet použijeme původní (tedy
neupravenou) rovnici                 funkce:        P[x] - ?            y = 0   pro x =
1
            Py - ?  x = 0  pro
         ▪ Graf:








d) Nakreslit graf funkce  znamená nejprve pracovat s funkcí , provést potřebné úpravy a výpočty a
nakreslit graf funkce  . Potom je třeba využít:                                        1)
;
               2)         ▫
;                                                                                               ▫
.                                                                       Tozn., že části grafu
funkce  , které se nacházejí „nad“ osou x, jsou společné pro  i .                 Ty části grafu
funkce  , které se nacházejí „pod“ osou x, se pak využijí jako vzory, jejichž obrazy     v osové
souměrnosti podle osy x doplní celý graf funkce .

x

x´

y´

y

2

2

1

1

-1

-2

-

-

x´´

f[3]

f[4]
       Pozn.:    Studentům zpravidla souvislost grafů typu  a  nedělá potíže. Nejčastější chybou,
které se            však řada z nich dopouští, je to, že zapomenou v osové souměrnosti podle osy x
zobrazit                     kromě částí grafu  také asymptotu x´´…




















Př. 4    Nalezněte graf funkce , určete  a . Dále nalezněte inverzní funkci , její             graf
a  a .

            Met.:   Funkce f – úpravy a výpočty vedoucí až ke grafu a určení  a  se provedou výše
                      uvedeným
způsobem.
                                        Funkce :  Nejprve je třeba najít rovnici.   .
  Ta se rovněž zpracuje výše uvedeným způsobem.
                                    Graf funkce  je třeba nakreslit do téže soustavy souřadnic jako
graf funkce f. Kontrolou                   správnosti řešení by pak měla být souměrnost obou grafů
podle osy I. a III. kvadrantu.


Rozšiřující cvičení

Př. 5    Nakreslete grafy funkcí a určete jejich definiční obor (zdroj: J. Petáková 58/15, řeš.
226/15)




Met.:         Zjednodušením výrazů na pravé straně obou rovnic získáme
                                  v případě a) nepřímou úměrnost,
                                                            v případě b) lineární lomenou funkci.
                                                                                Při kreslení grafů
je třeba zohlednit podmínky!!!