20 Mocninné funkce – met.
Stručný přehled teorie
1) Mocninná funkce s přirozeným exponentem
𝑓: 𝑦 = 𝑥 𝑛
, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝐷(𝑓) = 𝑅
nliché
Vlastnosti funkce:
• 𝐷(𝑓) = 𝑅, 𝐻(𝑓) = 𝑅
• lichá
• shora neomezená
• zdola neomezená
• rostoucí
• nemá maximum
• nemá minimum
• prostá
nsudé
Vlastnosti funkce:
• 𝐷(𝑓) = 𝑅, 𝐻(𝑓) = 〈0, +∞)
• sudá
• shora neomezená
• zdola omezená
• rostoucí v 〈0, +∞)
• klesající v (−∞, 0〉
• nemá maximum
• má ostré minimum v bodě 0
• není prostá
Grafem mocninné funkce je pro:
• 𝑛 > 1parabola 𝑛-tého stupně
• 𝑛 = 1přímka (osa 1. a 3. kvadrantu)
Speciálně, je-li:
• 𝑛 = 1 , je to lineární funkce
• 𝑛 = 2 , je to kvadratická funkce
• 𝑛 = 3 , je to kubická funkce
• atd.
𝑦 = 𝑥1
𝑦 = 𝑥3
𝑦 = 𝑥5
𝑦 = 𝑥2
𝑦 = 𝑥4
𝑦 = 𝑥6
2) Mocninná funkce se záporným celým exponentemnliché
𝑓: 𝑦 = 𝑥 𝑛
, 𝑛 ∈ 𝑍−
, 𝐷(𝑓) = 𝑅 − {0}
Vlastnosti funkce:
• 𝐷(𝑓) = 𝑅 − {0}, 𝐻(𝑓) = 𝑅 − {0}
• lichá
• shora neomezená
• zdola neomezená
• klesající v ( )0;− a v ( );0
• nemá maximum
• nemá minimum
• prostá
nsudé
Vlastnosti funkce:
• 𝐷(𝑓) = 𝑅 − {0}, 𝐻(𝑓) = 〈0, +∞)
• sudá
• shora neomezená
• zdola omezená
• klesající v ( );0
• rostoucí v ( )0;−
• nemá maximum
• nemá minimum
• není prostá
𝑦 = 𝑥−2𝑦 = 𝑥−3
3) Funkce f : y = xn , n Z
4) Funkce odmocninná
Funkce odmocninná je funkcí inverzní k funkci mocninné, tedy 𝑓: 𝑦 = √ 𝑥
𝑛
; 𝑓−1
: 𝑦 = 𝑥 𝑛
, 𝑥 ∈ 〈0, ∞)
0
1
2
3
0 1 2 3
x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
x2
4 1 0,25 0 0,25 1 4
x3
-8 -1 -0,125 0 0,125 1 8
x-2
0,25 1 4 - 4 1 0,25
x-3
-0,125 -1 -8 - 8 1 0,125
𝑦 = 𝑥−3
𝑦 = 𝑥−2
𝑦 = 𝑥2
𝑦 = 𝑥3
𝑓: 𝑦 = √ 𝑥
𝑛
, 𝑥 ∈ 〈0, ∞)
𝑦 = 𝑥2
𝑦 = √ 𝑥
𝑦 = 𝑥
Met.: Mocninné funkce probírané na střední škole se soustřeďují na funkce typu 𝑓: 𝑦 = 𝑥 𝑛
a 𝑔: 𝑦 = 𝑥−𝑛
, kde 𝑛 ∈ 𝑁. Pro čtyři typy exponentů (kladný sudý, kladný lichý, záporný sudý a
záporný lichý) musí studenti bez zaváhání načrtnout jeden ze čtyř základních tvarů grafu. Pro
důkladné procvičení úloh typu 1 – 4, ale i pro užití mocninných funkcí k řešení různých typů
praktických úloh by mohl učitel dát studentům k dispozici předkreslené souřadnicové
soustavy (viz poslední stránka tohoto souboru).
Probírání mocninných funkcí předcházely mimo jiné např. funkce kvadratická nebo lineární
lomená. Studenti tak už nejméně dvakrát probírali vliv různých koeficientů přidávaných
postupně do základních rovnic funkcí na tvar a polohu grafů funkcí v soustavě souřadnic.
Tento vliv je analogický i v případě funkcí mocninných. Je velmi důležité, aby učitel na tuto
zmíněnou analogii upozorňoval - jednak proto, že se bude opakovat ještě u řady dalších
funkcí, které přijdou na řadu v následujících vyučovacích hodinách;
- jednak i proto, že když si studenti tuto analogii začnou
uvědomovat, stane se pro čím dál větší počet z nich práce na náčrtech grafů funkcí zadaných
v úlohách 1 – 4 velice snadnou. Učitel ji tak může zadat k samostatnému zpracování, při
procházení mezi lavicemi může kontrolovat, jak jsou kteří studenti při kreslení grafů úspěšní,
může vhodně ocenit správná řešení, může individuálně pomáhat slabším a na závěr předvést
správné řešení buď na tabuli, s použitím dataprojektoru apod.
Základní poznatky:
Př. 1 Sestrojte grafy funkcí:
a) f1: y = x3
[zřejmé]
b) f2: y = x3
– 1 [f1 posuneme o 1 dolů]
c) f3: y = |x3
| [část f1 pod osou x překlopíme souměrně podle osy x]
d) f4: y = (x + 2)3
– 3 [f1 posuneme o 2 doleva a o 3 dolů]
Př. 2 Sestrojte grafy funkcí:
a) f1: y = x4
[zřejmé]
b) f2: y = (x4
– 3) + 1 [f1 posuneme o 2 dolů]
c) f3: y = (x – 3)4
+ 1 [f1 posuneme o 3 doprava a o 1 nahoru]
d) f4: y = |x4
– 3| [f1 posuneme o 3 dolů a část pod osou x překlopíme
souměrně podle osy x]
Př. 3 Sestrojte grafy funkcí:
a) f1: y = x-3
[zřejmé]
b) f2: y = (x – 2)-3
+ 3 [f1 posuneme o 2 doprava a o 3 nahoru]
c) f3: y = |x-3
+ 1| [f1 posuneme o 1 nahoru a část pod osou x překlopíme
souměrně podle osy x]
d) f4: y = |x-3
| + 1 [část f1 pod osou x překlopíme souměrně podle osy x a vše
posuneme o 1 nahoru]
Př. 4 Sestrojte grafy funkcí:
a) f1: y = x-2
[zřejmé]
b) f2: y = (x + 1)-2
- 2 [f1 posuneme o 1 doleva a o 2 dolů]
c) f3: y = |x-2
- 1| [f1 posuneme o 1 dolů a část pod osou x překlopíme
souměrně podle osy x]
d) f4: y =| (x + 1)-2
- 2| [část f2 pod osou x překlopíme souměrně podle osy x]
1
1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
𝑓: 𝑦 = 𝑥3
x
y
0,3 0,4
-4,9 -4,8
𝑓: 𝑦 = 𝑥−20
x
y
a) b) c)
𝑓: 𝑦 = 𝑥−7
-2,3
2,3
x
y
-1
-1
1
1 x
y
1
1
-1
-1 x
y
Hledáme všechna x, pro něž je „zelený“ graf
„nad“ „hnědým“, příp. jsou „zelené“ a „hnědé“
funkční hodnoty stejné: 𝐾 = ‫;1ۦ‬ ∞)
Hledáme všechna x, pro něž je „hnědý“ graf „nad“
„zeleným“ nebo se shodují . Pozor – pro nulu není
„hnědá“ funkce definovaná! 𝐾 = (−∞; −1ۧ ‫ڂ‬(0; 1ۧ
a) b)
Typové příklady standardní náročnosti
Př. 5 Užitím vhodného grafu porovnejte podle velikosti:
a) 0,33
; 0,43
[0,33
je menší]
b) (-4,8)-20
; (-4,9)-20
[( - 4,9 ) -20
je menší]
c) (-2,3)-7
; 2,3-7
[( - 2,3 ) -7
je menší]
Met.:
Př. 6 Užitím vhodného grafu řešte v R:
a) x-4
≤ x3
‫ۦ‬1; ∞)
b) x-3
> x5
(−∞;0) ‫ڂ‬(0; 1)
c) x4
≥ x2
(−∞;−1ۧ ∪ ‫ۦ‬1;∞) ‫ڂ‬{0}
Met.: Užití grafů mocninných funkcí velmi významně zjednodušuje řešení nerovnic tohoto
typu.
-1
-1
1
1
Hledáme všechna x, pro něž je „hnědý“ graf „nad“ „zeleným“,
příp. jsou „zelené“ a „hnědé“ funkční hodnoty stejné:
𝐾 = (−∞; −1ۧ ∪ ‫;1ۦ‬ ∞) ‫ڂ‬{0}
Pozn.: U grafů s podobným tvarem dělají studenti nejvíc chyb.
Správné řešení vyžaduje precizní náčrt – pokud ve společném bodě
přechází jeden graf „zpod“ druhého „nad“ něj nebo naopak, musí to
být v náčrtu jasně vyznačeno. Učitel musí poradit studentům, aby si
pomohli výpočtem funkčních hodnot pro jeden společný argument:
Např.: x = 2 24
> 22
, proto pro argument 2 je „hnědý“ graf „nad“
„zeleným“ …
x
y
c)
2
Met.: Nezbytná úprava funkčních předpisů:
14.1 𝑦 = −
1
2
𝑥2
; 14.2 𝑦 = −
1
4
𝑥2
14.3 𝑦 = 𝑥2
Rozšiřující cvičení
Př. 7 MA Jaro 2016 – M+ Přiřaďte ke každému předpisu reálné funkce 14.1 – 14.3 odpovídající graf funkce A – F.
[ D, F, A ]
1
1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1