21 Mocniny a odmocniny – met.
Stručný přehled teorie
Pravidla pro počítání s mocninami
Nechť 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅+
; 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑅; Pak platí:
▪ 𝑎 𝑟
. 𝑎 𝑠
= 𝑎 𝑟+𝑠
▪
𝑎 𝑟
𝑎 𝑠 = 𝑎 𝑟−𝑠
( 𝑎0
=
𝑎 𝑟
𝑎 𝑟 = 1
1
𝑎 𝑠 = 𝑎−𝑠
)
▪ (𝑎 𝑟) 𝑠
= 𝑎 𝑟.𝑠
▪ 𝑎 𝑟
. 𝑏 𝑟
= (𝑎. 𝑏) 𝑟
▪
𝑎 𝑟
𝑏 𝑟 = (
𝑎
𝑏
)
𝑟
Pravidla pro počítání s odmocninami
Nechť NnmRba  +
,,, ; Pak platí:
• √ 𝑎
𝑛
. √𝑏
𝑛
= √𝑎. 𝑏
𝑛
•
√ 𝑎
𝑛
√ 𝑏
𝑛 = √
𝑎
𝑏
𝑛
• √ √ 𝑎
𝑛𝑚
= √ 𝑎
𝑚𝑛
• ( √ 𝑎
𝑛
)
𝑚
= √ 𝑎 𝑚𝑛
• √ 𝑎 𝑚𝑛
= 𝑎
𝑚
𝑛
Pozn.: Využití pravidel pro a) částečné odmocňování: √𝑎 𝑛. 𝑏
𝑛
= 𝑎. √𝑏
𝑛
b) usměrňování zlomků: např.
√ 𝑎
√ 𝑏
=
√ 𝑎.√ 𝑏
√ 𝑏.√ 𝑏
=
√ 𝑎.𝑏
𝑏
...
Met.: Učitel musí přistupovat k výuce práce s mocninami a odmocninami s vědomím, že jde vlastně o
součást jakési abecedy matematiky. Středoškolský student by měl zvládat všechny základní operace
s číselnými výrazy bez chyb, bez váhání, s jistotou. S mocninami a odmocninami, s velkými a
malými čísly,… se setkává a bude setkávat nejen v matematice, ale i ve fyzice a v dalších oborech.
Některé rady a doporučení:
1) Studenti musí mít jasno v otázkách úrovně priority operací s čísly a výrazy – učitel by měl občas vsunout
mezi „běžné“ úlohy taková zadání, která „svádějí“ k chybám:
a) (−2)3
= −8 … lichý exponent → ve výpočtu je lichý počet znamének mínus → výsledné
znaménko je mínus ;
(−5)4
= +625 … sudý exponent → ve výpočtu je sudý počet znamének mínus → výsledné
znaménko je plus ;
−34
= −81 … exponent je sice sudý, ale operace umocnění má přednost před odčítáním,
na čtvrtou umocňujeme jen číslo 3 → ve výpočtu je jen jediné znaménko mínus (tedy lichý
počet) → výsledné znaménko je mínus ;
b) √𝑎2 + 𝑏2 =? Mezi studenty se najde řada takových, kteří vypočítají √𝑎2 + 𝑏2 = 𝑎 + 𝑏.
Učitel by neměl reagovat na tuto chybu jen konstatováním, že je to špatně. Nejlépe je ukázat
studentům příklad: Správný výpočet: √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5 (srovnej s výpočtem
provedeným podle uvedeného chybného zápisu √32 + 42 = 3 + 4 = 7).
c)
27.106−30.105
3.105.6.104
=
27.106−3.106
18.109
=
24.106
18.109
=
4
3.103
=
4
3
. 10−3
Místo tohoto správného výpočtu někteří studenti nerespektují prioritu operací a krátí 27
v čitateli proti 3 ve jmenovateli, 30 v čitateli proti 6 ve jmenovateli, eventuálně chybně krátí
mocniny deseti !!!
Nevhodným způsobem výpočtu je jistě také
27.106−30.105
3.105.6.104
=
27000000−3000000
3.100000.6.10000
= ⋯
2) Učitel musí vést studenty k tomu, aby prováděli pokud možno přesné výpočty a nedopouštěli se např.
nahrazování přesného čísla π nepřesným 3,14, přesného čísla √2 nepřesným 1,414 apod.
Např.: a) √12 − √27 + √48 + √75 = 2√3 − 3√3 + 4√3 + 5√3 = 8√3
b) √625
3
− √5
3
+ √135
3
− √40
3
= 5. √5
3
− √5
3
+ 3. √5
3
− 2. √5
3
= 5. √5
3
Oba výpočty jsou přesné a přesný je i výsledek. A takový výpočet i výsledek by měl učitel
rozhodně od všech studentů vyžadovat. Je třeba ale počítat s tím, že studentům chybí ze
ZŠ zběhlost a obratnost v jednoduchých výpočtech, takže mnozí „nevidí“, že např.
135 = 27.5 = 33
. 5 apod. I z tohoto důvodu často sahají po kalkulačce. Pokud ji používají
pouze k tomu, aby „napravili“ svoji neobratnost v uvedených pomocných výpočtech,
neměl by jim učitel bránit. Jakmile ale zneužijí kalkulačky k tomu, aby počítali
√12 − √27 + √48 + √75 = 3,46 − 5,2 + ⋯ , je třeba ihned zasáhnout …
3) Studenti musí perfektně ovládat pravidla pro počítání s mocninami a odmocninami a učitel je musí vést u
všech typů úloh k optimálním způsobům řešeni:
Např. a)
(−8)5.103.(−12).(−81)2
94.64.(−10)3.3−5.642
= −
(23)
5
.(2.5)3.(22.3).(34)
2
(32)4.(2.3)4.(2.5)3.3−5.(26)2
= −
215.23.53.22.31.38
38.24.34.23.53.3−5.212
=
= −215+3+2−4−3−12
. 31+8−8−4+5
. 53−3
= −2. 32
= −18
1. krok … rozhodnutí o znaménku výsledku – na základě celkového počtu znamének
mínus u základů mocnin – v tomto výrazu je jich 11, tedy lichý počet, proto je
výsledné znaménko mínus (samozřejmě záporný exponent (-5) nemá na znaménko
výsledku vliv);
2. krok … předřazení vypočítaného znaménka před výraz (s následným ignorováním
záporných znamének u všech základů mocnin);
3. krok … převod všech čísel ve výrazu na mocniny s prvočíselným základem
s následnou úpravou do podoby jednoduchých mocnin;
4. krok … zápis výsledku jako součinu mocnin s prvočíselnými základy
Pozn.: Řešení této úlohy je provedeno bez krácení. Pokud ale ve výrazu je krácení
možné, samozřejmě je dobré je využít a výpočet díky tomu zjednodušit.
b) √√ 𝑎
√2
4
. √ 𝑎2. √2
4
2
.
√3.√6𝑎
3. √ 𝑎58 =?
1. způsob – práce s odmocninami:
√√ 𝑎
√2
4
. √ 𝑎2. √2
4
2
.
√3.√6𝑎
3. √ 𝑎58 = √√
𝑎
2
4
. √ √𝑎84
. √2
4
√244 .
√348
. √64.𝑎48
√38.𝑎58 = √
𝑎
2
8
. √
𝑎8.2
24
8
. √
34.34.24.𝑎4
38.𝑎5
8
=
= √
𝑎13.25.38
𝑎5.25.38
8
= √𝑎88
= 𝑎
2. způsob – užitím převodů odmocnin na mocniny s racionálním exponentem
√√ 𝑎
√2
4
. √ 𝑎2. √2
4
2
.
√3.√6𝑎
3. √ 𝑎58 = (
𝑎
1
2
2
1
2
)
1
4
. (
𝑎2.2
1
4
2
)
1
2
.
3
1
2.(6𝑎)
1
2
3.𝑎
5
8
=
𝑎
1
8.𝑎.2
1
8.3
1
2.2
1
2.3
1
2.𝑎
1
2
2
1
8.2
1
2.3.𝑎
5
8
=
= 𝑎
1
8
+1+
1
2
−
5
8. 2
1
8
+
1
2
−
1
8
−
1
2. 3
1
2
+
1
2
−1
= 𝑎
13
8
−
5
8 = 𝑎
Pozn.: ⁃ uvedení podmínek, za kterých má upravovaný výraz smysl, je
nezbytnou součástí řešení (v této úloze … podm.: 𝑎 > 0 )
⁃ způsob zápisu výsledku by měl korespondovat se způsobem zápisu zadání,
a to bez ohledu na to, jaká metoda řešení byla zvolena
Základní poznatky:
Př. 1 Vypočítejte: a)
0,0006∙3.107∙0,9
5,4.10−3∙300∙100000,5
=
b)
(33.2)100
3150.(3.22)50
=
c) 729
2
3 + 81
3
4 + 243
4
5 =
d) 10. √5
3
− 7. √40
3
+ 5. √135
3
− 4. √320
3
+ 2. √625
3
=
[𝑎) 100, 𝑏) státní maturita 2016: 3100
, 𝑐) 189, 𝑑) √543
]
Met.: a)
0,0006∙3.107∙0,9
5,4.10−3∙300∙100000,5
=
6.10−4.3.106.9
54.10−4.3 102.102
= 102
…
Typové příklady standardní náročnosti:
Př. 2 Vypočítejte:
a)
(8
−
1
2.10
1
3)
−3
(25
1
4.4
1
8)
−2 :
√2 √4
3
√2 √64
43
=
b)
5
√2
. (√
5
2
3
)
2
3
. √5−1715
. 2− 1
30 = [𝑎) 16, 𝑏) √
54
234
45
]
Př. 3 Upravte:
𝑎) (
4
𝑎
)
−1
2
+ (
9
𝑎
)
−1
2
+ (
16
𝑎
)
−1
2
+ (
25
𝑎
)
−1
2
−
9
20
𝑎
1
2 =? Podm.: 𝑎 > 0
Met.: K řešení této úlohy je třeba využít pravidla 𝑎−𝑘
=
1
𝑎 𝑘 , neboli (
𝑎
𝑏
)
−𝑘
= (
𝑏
𝑎
)
𝑘
.
(
4
𝑎
)
−1
2
+ (
9
𝑎
)
−1
2
+ (
16
𝑎
)
−1
2
+ (
25
𝑎
)
−1
2
−
9
20
𝑎
1
2 = (
𝑎
4
)
1
2
+ (
𝑎
9
)
1
2
+ (
𝑎
16
)
1
2
+ (
𝑎
25
)
1
2
−
9
20
𝑎
1
2 =
=
√ 𝑎
2
+
√ 𝑎
3
+
√ 𝑎
4
+
√ 𝑎
5
−
9√ 𝑎
20
=
30√ 𝑎 + 20√ 𝑎 + 15√ 𝑎 + 12√ 𝑎 − 27√ 𝑎
60
=
5√ 𝑎
6
𝑏) [
(𝑎
1
4.𝑏−1)
−1
𝑐−2.𝑑
1
2
]
−3
. [
𝑎
3
4. √𝑏23
.√ 𝑑5
(𝑐
3
2)
4 ]
−1
=? Podm.: 𝑎 > 0, 𝑏 ≠ 0, 𝑐 > 0, 𝑑 > 0
Met.: Při řešení této úlohy je naopak použití pravidla 𝑎−𝑘
=
1
𝑎 𝑘 nebo (
𝑎
𝑏
)
−𝑘
= (
𝑏
𝑎
)
𝑘
zbytečné. Úloha se
tím nijak nezjednoduší, pouze dojde k mírné ztrátě času provedením zcela zbytečného kroku.
Optimální řešení:
[
(𝑎
1
4.𝑏−1)
−1
𝑐−2.𝑑
1
2
]
−3
. [
𝑎
3
4. √𝑏23
.√ 𝑑5
(𝑐
3
2)
4 ]
−1
=
𝑎
3
4.𝑏−3
𝑐6.𝑑
−
3
2
.
𝑎
−
3
4.𝑏
−
2
3.𝑑
−
5
2
𝑐−6
= 𝑎
3
4
−
3
4. 𝑏−3−
2
3. 𝑐−6+6
. 𝑑−
5
2
+
3
2 = 𝑏−
11
3 . 𝑑−1
𝑐)
√ 𝑥512
.𝑦
5
6.𝑦
−
1
2
𝑥
−
3
4. √𝑦.𝑥23
=
𝑑) √ 𝑥. √ 𝑦. √𝑥3. 𝑦343
: √ 𝑥3. √ 𝑦. √ 𝑥. 𝑦
34
=
[
𝑎)
5
6
√ 𝑎, 𝑎 > 0 , 𝑏) 𝑏−
11
3 . 𝑑−1
, 𝑎 > 0, 𝑏 ≠ 0, 𝑐 > 0, 𝑑 > 0,
𝑐) √ 𝑥, 𝑥 > 0, 𝑦 > 0, 𝑑) √
𝑦
𝑥
6
, 𝑥 > 0, 𝑦 > 0
]
Př. 4 Dokažte, že platí:
a)
1−𝑎
−
1
2
1+𝑎
1
2
−
𝑎
1
2+𝑎
−
1
2
𝑎−1
=
2
1−𝑎
; 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1;
b)
𝑎−𝑏
𝑎
1
3−𝑏
1
3
−
𝑎+𝑏
𝑎
1
3+𝑏
1
3
= 2(𝑎𝑏)
1
3 ; 𝑎 ≠ 𝑏, 𝑎 ≠ −𝑏;
Met.: Zásadní chybou, které se občas studenti dopouštějí při řešení úloh zaměřených na důkazy
rovností, je to, že s dokazovanou rovností pracují jako s rovnicí. Správný postup je ovšem
takový, že se musí upravit každá strana dokazované rovnosti zvlášť. Pokud se podaří obě strany
upravit do stejné podoby, rovnost platí.