23 Exponenciální a logaritmické rovnice – met.
Stručný přehled teorie
Exponenciální rovnice
• obsahuje neznámou v exponentu některé mocniny
• základní tvar: 𝒂 𝒇(𝒙)
= 𝒃 𝒈(𝒙)
, 𝒂 > 𝟎, 𝒃 > 𝟎, 𝒙 𝑹
• řešení: a) Je-li 𝒂 = 𝒃 ≠ 𝟏, pak 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) (rovnají-li se základy mocnin, rovnají se i exponenty)
b) Je-li 𝒂 ≠ 𝒃, použijeme logaritmování: 𝒇(𝒙). 𝐥𝐨𝐠 𝒄 𝒂 = 𝒈(𝒙). 𝐥𝐨𝐠 𝒄 𝒃, (kde 𝑐 ∈ 𝑅+
− {1})
Pozn.: Složitější exp. rovnice se řeší převedením na základní tvar, popřípadě na algebraickou rovnici (s častým
použitím substituce ax
= y (a > 0, a ≠ 1)).
Logaritmická rovnice
• obsahuje logaritmy výrazů s neznámou xR
• nejjednodušší tvar: log a x = b, a > 0, a ≠ 1, bR ( její řešení podle definice logaritmu je x = ab
)
• řešení na základě věty: Jestliže log a f(x) = log a g(x), kde a > 0, a ≠ 1, pak f(x) = g(x) (rovnají-li se logaritmy
dvou kladných čísel o stejném základu, rovnají se i tato čísla)
Pozn.: 1) Platnost předchozí věty je podmíněna splněním podmínek 𝑓(𝑥) > 0 a 𝑔(𝑥) > 0. Pokud je nestanovíme
předem, zkouška je nutnou součástí řešení.
2) Složitější log. rovnice - řešení často usnadňuje vhodná substituce (např. y = log a x (a > 0, a ≠ 1)) a převod
rovnice z log. na algebraickou.
• Věty o logaritmech: Nechť 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑥 > 0, 𝑥1 > 0, 𝑥2 > 0, 𝑟 𝑹, 𝑛 𝑵
1) 𝑙𝑜𝑔 𝑎(𝑥1. 𝑥2) = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥1 + 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥2
2) 𝑙𝑜𝑔 𝑎
𝑥1
𝑥2
= 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥1 − 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥2
3) 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 𝑟
= 𝑟. 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥
4) 𝑙𝑜𝑔 𝑎 √ 𝑥
𝑛
=
1
𝑛
. 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥
5) 𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑎 =
𝑙𝑜𝑔 𝑐 𝑎
𝑙𝑜𝑔 𝑐 𝑏
, kde a > 0, b > 0, b ≠ 1, c > 0, c ≠ 1
Pozn.: Velký význam věty 5! - Umožňuje převod logaritmu při jednom základu na logaritmus při jiném základu! (Při
řešení log. rovnic je často třeba dosáhnout toho, aby všechny logaritmy v rovnici měly stejný základ!)
Met.: Hned v úvodu tohoto tématu by měl učitel studentům zdůraznit, jak nesmírně důležitá bude pro úspěšné
zvládání exponenciálních a logaritmických rovnic a nerovnic znalost pravidel pro počítání s mocninami a
odmocninami a také znalost pravidel pro práci s logaritmy.
Užití všech těchto pravidel bude vzápětí demonstrovat při ukázkách řešení různých typů exponenciálních a
logaritmických rovnic. Je dobré zapojit hned od začátku do diskuse o jednotlivých krocích řešení celou třídu.
Řešení některých rovnic lze zjednodušit použitím vhodných „umělých“ úprav. Nazve-li učitel tyto úpravy
„fintami“, studenti je obvykle velmi rádi přijmou jako dobré prostředky pro svá malá vítězství nad
matematikou a někteří z nich se začnou pokoušet hledat ve vhodných úlohách další finty .
Učitel musí dbát na správnost, přehlednost a úplnost zápisů na tabuli. Pro většinu studentů jsou tyto zápisy
vzorem, podle kterého provádějí vlastní zápisy do sešitu. I drobnosti, které se učiteli zdají být tak
samozřejmé, že má tendenci je pouze konstatovat, ale na tabuli nenapsat, mohou být pro studenty nesmírně
důležité.
Exponenciální rovnice:
1● Rovnice vedoucí k typu 𝑎 𝑓(𝑥)
= 𝑎 𝑔(𝑥)
a) 4. 2 𝑥2
= 23𝑥
22+𝑥2
= 23𝑥
𝑥2
+ 2 = 3𝑥
𝑥2
− 3𝑥 + 2 = 0
(𝑥 − 2). (𝑥 − 1) = 0
𝐾 = {1;2}
b) 22𝑥
. 5 𝑥
− 22𝑥−1
. 5 𝑥+1
= −600
4 𝑥
. 5 𝑥
−
4 𝑥
2
. 5.5 𝑥
= −600
20 𝑥
−
5
2
. 20 𝑥
= −600
3
2
. 20 𝑥
= 600
20 𝑥
= 400 → 𝑥 = 2
𝐾 = {2}
2● Rovnice vedoucí k typu 𝑎 𝑓(𝑥)
= 𝑏 𝑔(𝑥)
, kde 𝑎 ≠ 𝑏
a) 2 𝑥
− 3 𝑥
= 2 𝑥−1
+ 5. 3 𝑥−1
2 𝑥
−
2 𝑥
2
= 3 𝑥
+ 5.
3 𝑥
3
2 𝑥
2
= 3 𝑥
.
8
3
(
2
3
)
x
=
16
3
První způsob určení x: logaritmování (obě strany rovnice jsou kladné)
𝑥. log
2
3
= log
16
3
→ 𝑥 =
log
16
3
log
2
3
= log2
3
16
3
𝐾 = {log2
3
16
3
}
𝑏) 6. 7 𝑥+3
− 7 𝑥+2
= 82
6. 7. 72
. 7 𝑥
− 72
. 7 𝑥
= 82 /:72
42. 7 𝑥
− 7 𝑥
=
82
49
41. 7 𝑥
=
82
49
/:41
7 𝑥
=
2
49
Druhý způsob určení x: užitím definice logaritmu 𝑥 = log7
2
49
𝐾 = {log7
2
49
}
(výše zmíněná „finta“ – vede k úpravě rovnice, v níž
budou mít všechny mocniny s neznámou
v exponentu stejný základ).
Pozn.: Učitel dosud stále zdůrazňoval, že rovnici
nelze dělit výrazem s neznámou bez rozebrání
situace, kdy se tento výraz rovná nule. Někdo ze
studentů se na to teď může zeptat, případně učitel
může položit otázku „Co když bude 9 𝑥
= 0?“.
V ideálním případě zareagují studenti tvrzením
podpořeným podobou exponenciály 𝑓: 𝑦 = 9 𝑥
, že
∀𝑥 ∈ 𝑅: 9 𝑥
> 0.
3● Rovnice vedoucí ke kvadratické rovnici (s eventuálním použitím substituce)
a) 4 𝑥
− 9. 2 𝑥
+ 8 = 0 Subst.: 2 𝑥
= 𝑦 , 4 𝑥
= (22) 𝑥
= (2 𝑥)2
= 𝑦2
𝑦2
− 9𝑦 + 8 = 0
(𝑦 − 1). (𝑦 − 8) = 0
𝑦 = 1 ⋁ 𝑦 = 8
2 𝑥
= 1 ⋁ 2 𝑥
= 8
𝑥 = 0 ⋁ 𝑥 = 3 𝐾 = {0; 3}
b) 3 𝑥+1
+ 2. 3−𝑥
= 7
3. 3 𝑥
+
2
3 𝑥 = 7 Subst.: 3 𝑥
= 𝑦
3𝑦 +
2
𝑦
= 7 /.y
3𝑦2
− 7𝑦 + 2 = 0
𝑦1,2 =
7±√49−24
6
=
7±5
6
=<
2
1
3
3 𝑥
= 2 ⋁ 3 𝑥
=
1
3
𝑥 = log3 2 ⋁ 𝑥 = −1 𝐾 = {−1; log3 2}
c) 7. 6 𝑥
− 2. 4 𝑥
= 6. 9 𝑥
/ :9 𝑥
…………………….
7 (
2
3
)
𝑥
− 2. (
2
3
)
2𝑥
= 6 Subst.: (
2
3
)
𝑥
= 𝑦
2𝑦2
− 7𝑦 + 6 = 0
𝑦1,2 =
7±√49−48
4
=<
2
3
2
(
2
3
)
𝑥
= 2 ⋁ (
2
3
)
𝑥
=
3
2
𝑥 = log2
3
2 ⋁ 𝑥 = −1
𝐾 = {−1; log2
3
2}
4● Soustavy dvou rovnic o dvou neznámých
a) 4 𝑥+𝑦
= 128
53𝑥−2𝑦−3
= 1
2(𝑥 + 𝑦) = 7
3𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0
2𝑥 + 2𝑦 = 7
3𝑥 − 2𝑦 = 3
5𝑥 = 10 → 𝑥 = 2 → 𝑦 =
3
2
𝐾 = {[2;
3
2
]}
Podm.: 1) 𝑥 + 30 > 0 → 𝑥 > −30
2) 𝑥 > 0
𝑏) 2. 2 𝑥−𝑦
+ 2 𝑥+𝑦−1
= 20 Subst.: 2 𝑥−𝑦
= 𝑎
10. 2 𝑥−𝑦−1
− 2 𝑥+𝑦
= −22 2 𝑥+𝑦
= 𝑏
2𝑎 +
𝑏
2
= 20 /.2
10
𝑎
2
− 𝑏 = −22
4𝑎 + 𝑏 = 40
5𝑎 − 𝑏 = −22
9𝑎 = 18 → 𝑎 = 2 → 𝑏 = 32 2 𝑥−𝑦
= 2 𝑥 − 𝑦 = 1
2 𝑥+𝑦
= 25
𝑥 + 𝑦 = 5
2𝑥 = 6 → 𝑥 = 3 → 𝑦 = 2
𝐾 = {[3; 2]}
Logaritmické rovnice:
U logaritmických rovnic musíme počítat s celou řadou podmínek, které musí být splněny, aby měly rovnice
smysl. Pokud najdeme všechny podmínky, dokážeme je úplně zpracovat a během výpočtů neprovedeme
žádnou neekvivalentní úpravu, pak nemusíme pro potenciální kořeny, které s podmínkami nekolidují,
provádět zkoušku. V opačném případě je zkouška nezbytnou součástí řešení.
1● Nejjednodušší rovnice typu log a x = b, a > 0, a ≠ 1, bR
a) log2(𝑥 + 1) = 3 Podm.: 𝑥 + 1 > 0
𝑥 + 1 = 23
𝑥 > −1
𝑥 = 7
𝐾 = {7}
b) log1
2
(2 − 𝑥) = −2 Podm.: 2 − 𝑥 > 0
2 − 𝑥 = (
1
2
)
−2
𝑥 < 0
2 − 𝑥 = 4
𝑥 = −2 𝐾 = {−2}
c) log8 √ 𝑥 + 30 + log8 √ 𝑥 = 1
log8 √(𝑥 + 30). 𝑥 = 1 𝑥 > 0
√(𝑥 + 30). 𝑥 = 8 /2 ekvivalentní úprava
𝑥2
+ 30𝑥 − 64 = 0
(𝑥 + 32). (𝑥 − 2) = 0
𝑥 = −32 Ú 𝑥 = 2 𝐾 = {2}
neodpovídá
podmínkám
Podm.: 1) 𝑥 + 1 > 0 → 𝑥 > −1
2) 𝑥 − 1 > 0 → 𝑥 > 1 𝑥 > 2
3) 𝑥 − 2 > 0 → 𝑥 > 2
Podm.: 1) 2𝑥 + 9 > 0 → 𝑥 > −
9
2
2) 4 − 3𝑥 > 0 → 𝑥 <
4
3
3) 4 + 𝑥 > 0 → 𝑥 > −4
𝑥 ∈ (−4;
4
3
)
neodpovídá podmínkám
Podm.: 𝑥 > 0.
Dalších podmínek je řada, např. 1 − 2 log3 𝑥 > 0,
1 + log3(1 − 2 log3 𝑥) > 0, …
Výpočty podmínek komplikované – nedořešíme je
a raději na závěr provedeme zkoušku.
d) log9{3 log2[1 + log3(1 − 2 log3 𝑥)]} = 0,5
3 log2[1 + log3(1 − 2 log3 𝑥)] = 90,5
= 3
log2[1 + log3(1 − 2 log3 𝑥)] = 1
1 + log3(1 − 2 log3 𝑥) = 2
log3(1 − 2 log3 𝑥) = 1
1 − 2 log3 𝑥 = 3
log3 𝑥 = −1
𝑥 =
1
3
Zkouška: 𝐿(
1
3
)
= log9 {3 log2 [1 + log3 (1 − 2 log3
1
3
)]} = log9{3 log2[1 + log3(1 − 2(−1))]} =
= log9{3 log2[1 + log3 3]} = log9{3 log2[1 + 1]} = log9{3 log2 2} = log9{3.1} = log9 3 = 0,5
𝑃(
1
3
)
= 0,5
𝐿(
1
3
)
= 𝑃(
1
3
)
𝐾 = {
1
3
}
2● Rovnice vedoucí k typu log a f(x) = log a g(x), kde a > 0, a ≠ 1
a) log(𝑥 + 1) + log(𝑥 − 1) − log(𝑥 − 2) = log 8
log
(𝑥+1).(𝑥−1)
𝑥−2
= log 8
𝑥2−1
𝑥−2
= 8
𝑥2
− 8𝑥 + 15 = 0
(𝑥 − 3). (𝑥 − 5) = 0
𝑥 = 3 ⋁ 𝑥 = 5 𝐾 = {3; 5}
𝑏) log5(2𝑥 + 9) + log5(4 − 3𝑥) = 2 + log5(4 + 𝑥)
log5(2𝑥 + 9) + log5(4 − 3𝑥) = log5 25 + log5(4 + 𝑥)
log5(2𝑥 + 9). (4 − 3𝑥) = log5 25. (4 + 𝑥)
−6𝑥2
− 19𝑥 + 36 = 100 + 25𝑥
6𝑥2
+ 44𝑥 + 64 = 0
3𝑥2
+ 22𝑥 + 32 = 0
𝑥1,2 =
−22±√484−384
6
=
−22±10
6
=<
−2
−
16
3
𝐾 = {−2}
Podm.: 1) 𝑥 > 0
2) log 𝑥 ≠ 0 → log 𝑥 ≠ 1
𝑥 ∈ (0; ∞) − {1}
3𝑦2
+ 2𝑦 − 5 = 0 → 𝑦1,2 =
−2±√64
6
=<
1
−
5
3
1) log 𝑥 = 1 → 𝑥 = 10 2) log 𝑥 = −
5
3
→ 𝑥 = 10−
5
3 =
1
√1053 =
1
10. √1023 .
√10
3
√10
3 =
√10
3
100
𝐾 = {10;
√10
3
100
}
Podm.: 𝑥 > 0
3● Rovnice vedoucí ke kvadratické rovnici (s eventuálním použitím substituce)
a)
1
log 𝑥+1
+
6
log 𝑥+5
= 1 Subst.: log 𝑥 = 𝑦
1
𝑦+1
+
6
𝑦+5
= 1 /.(𝑦 + 1). (𝑦 + 5)
𝑦 + 5 + 6𝑦 + 6 = 𝑦2
+ 6𝑦 + 5
𝑦2
− 𝑦 − 6 = 0
(𝑦 − 3). (𝑦 + 2) = 0
𝑦 = 3 ⋁ 𝑦 = −2
log 𝑥 = 3 ⋁ log 𝑥 = −2
𝑥 = 1000 ⋁ 𝑥 =
1
100
𝐾 = {
1
100
; 1000}
b) log 𝑥3
+ 2 =
10
log 𝑥2
3. log 𝑥 + 2 =
10
2.log 𝑥
Subst.: log 𝑥 = 𝑦
3. y +2 =
10
2.𝑦
/.y
c) log2
𝑥 − log 𝑥4
+ 3 = 0
(log 𝑥)2
− 4 log 𝑥 + 3 = 0 Subst.: log 𝑥 = 𝑦
𝑦2
− 4𝑦 + 3 = 0
(𝑦 − 1)(𝑦 − 3) = 0
1) log 𝑥 = 1 → 𝑥 = 10 2) log 𝑥 = 3 → 𝑥 = 1000 𝐾 = {10; 1000}
V této úloze je třeba věnovat velkou pozornost exponentům – rozlišovat, kdy jde o umocnění funkce
a kdy o umocnění jejího argumentu!!!
Podm.: 1) 𝑥 > 0
2) log 𝑥 + 1 ≠ 0 → log 𝑥 ≠ −1 → 𝑥 ≠
1
10
3) log 𝑥 + 5 ≠ 0 → log 𝑥 ≠ −5 → 𝑥 ≠
1
105
𝑥 ∈ (0; ∞) − {
1
10
;
1
105 }
Pozor! Na podmínky 2), 3) studenti zapomínají …
Podm.: 1) 𝑥 > 0
2) log2
𝑥
8
≠ 1 →
𝑥
8
≠ 2 → 𝑥 ≠ 16
𝑥 ∈ (0; ∞) − {16}
Podm.: 𝑥 > 0
Podm.: 𝑥 > 0
Podm.: 1) 𝑥 > 0
2) 𝑥 ≠ 1 𝑥 ∈ (0; ∞) − {1}
d) log2
𝑥
4
=
15
log2
𝑥
8
−1
log2
𝑥
4
=
15
log2
𝑥
4
.
1
2
−1
Subst.: log2
𝑥
4
= 𝑦
log2
𝑥
4
=
15
log2
𝑥
4 + log2 2−1 − 1
𝑦 =
15
𝑦−1−1
𝑦2
− 2𝑦 − 15 = 0
(𝑦 − 5). (𝑦 + 3) = 0
1) log2
𝑥
4
= −3 →
𝑥
4
=
1
8
→ 𝑥 =
1
2
2) log2
𝑥
4
= 5 →
𝑥
4
= 32 → 𝑥 = 128 𝐾 = {
1
2
; 128 }
e) 𝑥log 𝑥
= 1000𝑥2
/ logaritmujeme
log 𝑥log 𝑥
= log 1000𝑥2
(log 𝑥)2
= log 1000 + log 𝑥2
Subst.: log 𝑥 = 𝑦
𝑦2
− 2𝑦 − 3 = 0
(𝑦 − 3). (𝑦 + 1) = 0
1) log 𝑥 = −1 → 𝑥 =
1
10
2) log 𝑥 = 3 → 𝑥 = 1000 𝐾 = {
1
10
; 1000 }
4● Rovnice obsahující logaritmy s různými základy (včetně úloh s neznámou v základu logaritmu)
a) 2 log2 𝑥 + log√2 𝑥 + log1
2
𝑥 = 9
2 log2 𝑥 +
log2 𝑋
log2 √2
+
log2 𝑋
log2
1
2
= 9 Subst.: log2 𝑥 = 𝑦
2𝑦 +
𝑦
1
2
+
𝑦
−1
= 9
3𝑦 = 9 → 𝑦 = 3 → log2 𝑥 = 3 → 𝑥 = 8 𝐾 = {8}
𝑏) log 𝑥 4 + log4 𝑥 = log2 𝑥
log2 4
log2 𝑥
+
log2 𝑥
log2 4
= log2 𝑥 Subst.: log2 𝑥 = 𝑦
2
𝑦
+
𝑦
2
= 𝑦 /.2y
4 + 𝑦2
= 2𝑦2
𝑦2
= 4 → 𝑦 = ±2
1) log2 𝑥 = −2 → 𝑥 =
1
4
2) log2 𝑥 = 2 → 𝑥 = 4 𝐾 = {
1
4
; 4}
Podm.: 1) 𝑥 > 0
2) 5𝑥 ≠ 1 𝑥 ∈ (0; ∞) − {
1
5
}
Podm.: 1) 𝑥 > 0
2) 𝑥 ≠ 1 𝑥 ∈ (0; ∞) − {1}
3) 𝑦 > 0
4) 𝑦 ≠ 1 𝑦 ∈ (0; ∞) − {1}
1) b = log3 𝑦 = 1 → 𝑦 = 3
𝑎 =
3 − 𝑏
2
= 1 = log3 𝑥 → 𝑥 = 3
2) b = log3 𝑦 = 2 → 𝑦 = 9
𝑎 =
3−𝑏
2
=
1
2
= log3 𝑥 → 𝑥 = √3
𝐾 = {[3; 3], [√3; 9]}
c) log
2
5
𝑥 + log5𝑥
5
𝑥
= 1
log
2
5
𝑥 +
log5
5
𝑥
log5 5𝑥
= 1
log
2
5
𝑥 +
log5 5−log5 𝑥
log5 5+log5 𝑥
= 1 Subst.: log5 𝑥 = 𝑦
𝑦2
+
1−𝑦
1+𝑦
= 1 /.(1 + 𝑦)
𝑦3
+ 𝑦2
+ 1 − 𝑦 = 1 + 𝑦
𝑦3
+ 𝑦2
− 2𝑦 = 0
𝑦(𝑦2
+ 𝑦 − 2) = 0
𝑦 = 0 ⋁ (𝑦 + 2). (𝑦 − 1) = 0
𝑦 = 0 ⋁ 𝑦 = −2 ⋁ 𝑦 = 1
1) log5 𝑥 = 0 → 𝑥 = 1 2) log5 𝑥 = −2 → 𝑥 =
1
25
3) log5 𝑥 = 1 → 𝑥 = 5 𝐾 = {
1
25
; 1; 5}
5● Soustavy dvou rovnic o dvou neznámých
a) log3 𝑥 + log9 𝑦 =
3
2
log 𝑥 3 + log 𝑦 9 = 3
log3 𝑥
log3 3
+
log3 𝑦
log3 9
=
3
2
Subst.: log3 𝑥 = 𝑎
log3 3
log3 3
+
log3 9
log3 𝑦
= 3 log3 𝑦 = 𝑏
𝑎 +
𝑏
2
=
3
2
𝑎 =
3−𝑏
2
1
𝑎
+
2
𝑏
= 3
2
3−𝑏
+
2
𝑏
= 3 /.(3 − 𝑏). 𝑏
2𝑏 + 6 − 2𝑏 = 9𝑏 − 3𝑏2
𝑏2
− 3𝑏 + 2 = 0
(𝑏 − 1). (𝑏 − 2) = 0
𝑏 = 1 ∨ 𝑏 = 2
Podm.: 𝑥 > 0
𝑦 > 0
x
y
-2 4
x25
3
+
−
−
+
−
−
− −+
b) 5log 𝑥
+ 3log 𝑦
= 4
52 log 𝑥
− 32 log 𝑦
= −8 Subst.: 5log 𝑥
= 𝑎; 3log 𝑦
= 𝑏
𝑎 + 𝑏 = 4
𝑎2
− 𝑏2
= −8
(𝑎 + 𝑏). (𝑎 − 𝑏) = −8 4. (𝑎 − 𝑏) = −8 𝑎 − 𝑏 = −2
𝑎 + 𝑏 = 4
𝑎 − 𝑏 = −2
𝑎 = 1; 𝑏 = 3
5log 𝑥
= 1 → log 𝑥 = 0 → 𝑥 = 1 ;
3log 𝑦
= 3 → log 𝑦 = 1 → 𝑦 = 10 𝐾 = {[1; 10]}
Exponenciální nerovnice:
K řešení využíváme zejména ▪ ekvivalentní úpravy nerovnic;
▪ vlastnosti exponenciálních funkcí (zejména monotónnost –
– připomeňme: nechť f: y = ax
. Pak pro 𝑎 > 1 𝑗𝑒 𝑓 𝑟𝑜𝑠𝑡𝑜𝑢𝑐í,
𝑝𝑟𝑜 0 < 𝑎 < 1 𝑗𝑒 𝑓 𝑘𝑙𝑒𝑠𝑎𝑗í𝑐í;
▪ u složitějších nerovnic i substituci.
a) 0,01 𝑥+3
< √10
10−2.(𝑥+3)
< 10
1
2 𝑎 > 1 → 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖á𝑙𝑛í 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑐𝑒 𝑣𝑦𝑢ží𝑣𝑎𝑛á 𝑝ř𝑖 ř𝑒š𝑒𝑛í 𝑗𝑒 𝑟𝑜𝑠𝑡𝑜𝑢𝑐í
−2𝑥 − 6 <
1
2
/.2
−4𝑥 − 12 < 1
−4𝑥 < 13 /:(−4)
𝑥 > −
13
4
𝐾 = (−
13
4
; ∞)
b)
1
2 𝑥2 . 4 𝑥+1
<
1
64
2−𝑥2+2𝑥+2
< 2−6
𝑎 > 1
−𝑥2
+ 2𝑥 + 8 < 0
𝑥2
− 2𝑥 − 8 > 0
(𝑥 + 2). (𝑥 − 4) > 0
𝐾 = (−∞; −2) ∪ (4; ∞)
c) 0,2
2𝑥−3
𝑥−2 > 5
1. způsob (5−1)
2𝑥−3
𝑥−2 > 5
5
3−2𝑥
𝑥−2 > 5 𝑎 > 1
3 − 2𝑥
𝑥 − 2
> 1
3−2𝑥
𝑥−2
− 1 > 0
5−3𝑥
𝑥−2
> 0 𝐾 = (
5
3
; 2)
x
2
5
3
−
−
+
−
+
+
+ +−
x
y
21
x
y
𝑦 = 2 𝑥
1
2
0 1
x
y
-2 1
x
y 𝑦 = 2 𝑥
-2
1
2. způsob (
1
5
)
2𝑥−3
𝑥−2
> (
1
5
)
−1
0 < 𝑎 < 1 → 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖á𝑙𝑛í 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑐𝑒 𝑣𝑦𝑢ží𝑣𝑎𝑛á 𝑝ř𝑖 ř𝑒š𝑒𝑛í 𝑗𝑒 𝑘𝑙𝑒𝑠𝑎𝑗í𝑐í
2𝑥 − 3
𝑥 − 2
< −1
2𝑥 − 3
𝑥 − 2
+ 1 < 0
3𝑥−5
𝑥−2
< 0 𝐾 = (
5
3
; 2)
d) 4 𝑥
− 3. 2 𝑥
+ 2 ≤ 0 Subst.: 2 𝑥
= 𝑦 ; 4 𝑥
= 𝑦2
𝑦2
− 3𝑦 + 2 ≤ 0
(𝑦 − 1). (𝑦 − 2) ≤ 0
𝑦 ∈ ⟨1; 2⟩
2 𝑥
∈ ⟨1; 2⟩
𝐾 = ⟨0; 1⟩
e)
1
2 𝑥+2
≥
2 𝑥
2 𝑥−1
Subst.: 2 𝑥
= 𝑦
1
𝑦+2
≥
𝑦
𝑦−1
1
𝑦+2
−
𝑦
𝑦−1
≥ 0
𝑦−1−𝑦2−2𝑦
(𝑦+2).(𝑦−1)
≥ 0
−(𝑦2+𝑦+1)
(𝑦+2).(𝑦−1)
≥ 0 … ∀𝑦 ∈ 𝑅: 𝑦2
+ 𝑦 + 1 > 0, 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜 − (𝑦2
+ 𝑦 + 1) < 0
(𝑦 + 2). (𝑦 − 1) < 0
𝑦 ∈ (−2; 1)
2 𝑥
∈ (−2; 1)
𝐾 = (−∞; 0)
Podm.:
2𝑥−6
2𝑥−1
> 0
𝑥 ∈ (−∞;
1
2
) ∪ (3; ∞)
x
y
-1 980
Logaritmické nerovnice:
a) log7
2𝑥−6
2𝑥−1
> 0 𝑎 > 1
2𝑥−6
2𝑥−1
> 70
2𝑥−6
2𝑥−1
− 1 > 0
2𝑥−6−2𝑥+1
2𝑥−1
> 0
−5
2𝑥−1
> 0
2𝑥 − 1 < 0
𝑥 <
1
2
→ 𝑥 ∈ (−∞;
1
2
) 𝐾 = (−∞;
1
2
)
b) log1
3
(𝑥2
− 8𝑥) + 2 ≥ 0
log1
3
(𝑥2
− 8𝑥) ≥ −2 0 < 𝑎 < 1
𝑥2
− 8𝑥 ≤ (
1
3
)
−2
𝑥2
− 8𝑥 − 9 ≤ 0
(𝑥 + 1). (𝑥 − 9) ≤ 0
𝐾 = ⟨−1; 0) ⋃(8; 9⟩
𝑥 ∈ ⟨−1; 9⟩
x31
2
−
−
−
+
+
+
Podm.: 𝑥2
− 8𝑥 > 0
𝑥. (𝑥 − 8) > 0
𝑥 ∈ (−∞; 0) ⋃(8; ∞) x
y
0 8
+ +−
Podm.: 1) 𝑥2
− 5 > 0
𝑥 ∈ (−∞; −√5) ⋃(√5; ∞)
2) log4(𝑥2
− 5) > 0 𝑎 > 1
𝑥2
− 5 > 40
𝑥2
− 6 > 0
𝑥 ∈ (−∞; −√6) ∪ (√6; ∞)
𝑥 ∈ (−∞; −√6) ∪ (√6; ∞)
-√6 √6
-√5 √5
-3 3−√6 √6
x
y
Podm.: 1) 𝑥2
− 3𝑥 > 0
𝑥. (𝑥 − 3) > 0
𝑥 ∈ (−∞; 0) ⋃(3; ∞)
2) 𝑥 > 0
𝑥 ∈ (3; ∞)
x
y
30
x
y
0 83
c) log1
5
log4(𝑥2
− 5) > 0
0 < 𝑎 =
1
5
< 1
log4(𝑥2
− 5) < (
1
5
)
0
log4(𝑥2
− 5) < 1
𝑎 = 4 > 1
𝑥2
− 5 < 4
𝑥2
− 9 < 0
(𝑥 + 3). (𝑥 − 3) < 0
𝑥 ∈ (−3; 3)
𝐾 = (−3;−√6) ⋃(√6; 3)
d) log20(𝑥2
− 3𝑥) ≤ log20 𝑥 + log20 5
log20(𝑥2
− 3𝑥) ≤ log20 5𝑥 𝑎 > 1
𝑥2
− 3𝑥 ≤ 5𝑥
𝑥2
− 8𝑥 ≤ 0
𝑥. (𝑥 − 8) ≤ 0
𝑥 ∈ ⟨0; 8⟩
𝐾 = (3; 8⟩
-2 −
1
2
−
−
−
+
+
+
++ −
Podm.: 1) 𝑥 > 0
2) log 𝑥 ≠ −2 tuto podmínku není
třeba podrobně řešit, zohledníme ji při řešení
„hlavní“ nerovnice
Podm.: 1) 𝑥 + 1 > 0
𝑥 > −1
2) 𝑥 + 1 ≠ 1
𝑥 ≠ 0
𝑥 ∈ (−1; ∞) − {0}
−. −
−
+. −
−
+. −
+
+. +
+
−2 20− + +−
𝐾 = (−
3
4
; 0) ∪ (3; ∞)
e)
1−log 𝑥
2+log 𝑥
≥ 1 Subst.: log 𝑥 = 𝑦
1−𝑦
2+𝑦
≥ 1
1−𝑦
2+𝑦
− 1 ≥ 0
1−𝑦−2−𝑦
2+𝑦
≥ 0 /.(-1)
2𝑦+1
2+𝑦
≤ 0
𝑦 = log 𝑥 ∈ (−2; −
1
2
⟩ 𝑎 > 1
log 𝑥 > −2 ⋀ log 𝑥 ≤ −
1
2
𝐾 = (
1
100
;
√10
10
⟩
10−2
< 𝑥 ≤ 10−
1
2
𝑥 ∈ (
1
100
;
√10
10
⟩
f) log2(𝑥 + 1) > log 𝑥+1 16
log2(𝑥 + 1) >
log2 16
log2(𝑥+1)
Subst.: log2(𝑥 + 1) = 𝑦
𝑦 >
4
𝑦
𝑦 −
4
𝑦
> 0
𝑦2−4
𝑦
> 0
(𝑦+2).(𝑦−2)
𝑦
> 0
𝑦 ∈ (−2; 0) ⋃(2; ∞)
−2 < log2(𝑥 + 1) < 0 ∨ log2(𝑥 + 1) > 2 𝑎 > 1
2−2
< 𝑥 + 1 < 20
∨ 𝑥 + 1 > 22
−
3
4
< 𝑥 < 0 ∨ 𝑥 > 3
Základní poznatky:
1) Řešte v R: a) MA 2017: 3  9x - 9x = 6 b) 3x = 10 c) 42x - 64x + 8 = 0
[a)
2
1
b) log310 c)
2
1
; 1]
2) Řešte v R: a) MA 2017: 63log3 =x b) log2
2
x + 2 ⋅ log2 x − 3 = 0
[a) 243 b)
8
1
; 2]
Typové příklady standardní náročnosti
Následující rovnice a nerovnice řešte v R.
3)
5
3
27
125
25
9
1
=











−xx
[2]
4)
3 5375
4224 xx −−
= [12]
5) 52x-3 - 25x-2 = 3 [2]
6) MA+ 2017: 13log
3
loglog 333 +=+
x
x [9]
7) log(x+1) + log(x-1) – log x = log(x+2) [∅]
8) 2
3
log
10
2log
x
x =+ [10;
100
103
]
9)
( ) 11994 44log 2
=+− xx
[1; 3]
10) a)
x3
6
1







82
6
1
+






x
b) 4x+5  16x+1 [a)( );8 , b) ( );3 ]
11) a) )23(log
7
4 +x  0 b) 5loglog)163(log 202020 ++− xx
[a) )
3
1
;
3
2
(
−
− , )
3
16
;2 ]
Rozšiřující cvičení
12) ( ) 025,155log5log
2
=+− xx [5;5
5 ]
13) 3log x +5log y = 14
32log x -52log y = 56 [100;10]