23 Exponenciální a logaritmické rovnice – met. Stručný přehled teorie Exponenciální rovnice · obsahuje neznámou v exponentu některé mocniny · základní tvar: · řešení: a) Je-li , pak (rovnají-li se základy mocnin, rovnají se i exponenty) b) Je-li , použijeme logaritmování: , ( ) Pozn.: Složitější exp. rovnice se řeší převedením na základní tvar, popřípadě na algebraickou rovnici (s častým použitím substituce a^x = y (a > 0, a ≠ 1)). Logaritmická rovnice * obsahuje logaritmy výrazů s neznámou x R * nejjednodušší tvar: log [a][ ]x = b, a > 0, a ≠ 1, b R ( její řešení podle definice logaritmu je x = a^b) * řešení na základě věty: Jestliže log [a][ ]f(x) = log [a ]g(x), kde a > 0, a ≠ 1, pak f(x) = g(x) (rovnají-li se logaritmy dvou kladných čísel o stejném základu, rovnají se i tato čísla) Pozn.: 1) Platnost předchozí věty je podmíněna splněním podmínek a . Pokud je nestanovíme předem, zkouška je nutnou součástí řešení. 2) Složitější log. rovnice - řešení často usnadňuje vhodná substituce (např. y = log [a][ ]x (a > 0, a ≠ 1)) a převod rovnice z log. na algebraickou. · Věty o logaritmech: Nechť 1) 2) 3) 4) 5) , kde a > 0, b > 0, b ≠ 1, c > 0, c ≠ 1 Pozn.: Velký význam věty 5! - Umožňuje převod logaritmu při jednom základu na logaritmus při jiném základu! (Při řešení log. rovnic je často třeba dosáhnout toho, aby všechny logaritmy v rovnici měly stejný základ!) Met.: Hned v úvodu tohoto tématu by měl učitel studentům zdůraznit, jak nesmírně důležitá bude pro úspěšné zvládání exponenciálních a logaritmických rovnic a nerovnic znalost pravidel pro počítání s mocninami a odmocninami a také znalost pravidel pro práci s logaritmy. Užití všech těchto pravidel bude vzápětí demonstrovat při ukázkách řešení různých typů exponenciálních a logaritmických rovnic. Je dobré zapojit hned od začátku do diskuse o jednotlivých krocích řešení celou třídu. Řešení některých rovnic lze zjednodušit použitím vhodných „umělých“ úprav. Nazve-li učitel tyto úpravy „fintami“, studenti je obvykle velmi rádi přijmou jako dobré prostředky pro svá malá vítězství nad matematikou a někteří z nich se začnou pokoušet hledat ve vhodných úlohách další finty 😊. Učitel musí dbát na správnost, přehlednost a úplnost zápisů na tabuli. Pro většinu studentů jsou tyto zápisy vzorem, podle kterého provádějí vlastní zápisy do sešitu. I drobnosti, které se učiteli zdají být tak samozřejmé, že má tendenci je pouze konstatovat, ale na tabuli nenapsat, mohou být pro studenty nesmírně důležité. Exponenciální rovnice: 1● Rovnice vedoucí k typu a) b) 2● Rovnice vedoucí k typu , kde a) První způsob určení x: logaritmování (obě strany rovnice jsou kladné) /:7^2 /:41 Druhý způsob určení x: užitím definice logaritmu 3● Rovnice vedoucí ke kvadratické rovnici (s eventuálním použitím substituce) a) Subst.: b) Subst.: /.y (výše zmíněná „finta“ – vede k úpravě rovnice, v níž budou mít všechny mocniny s neznámou v exponentu stejný základ). Pozn.: Učitel dosud stále zdůrazňoval, že rovnici nelze dělit výrazem s neznámou bez rozebrání situace, kdy se tento výraz rovná nule. Někdo ze studentů se na to teď může zeptat, případně učitel může položit otázku „Co když bude ?“. V ideálním případě zareagují studenti tvrzením podpořeným podobou exponenciály , že . c) / : ……………………. Subst.: 4● Soustavy dvou rovnic o dvou neznámých a) Subst.: /.2 Logaritmické rovnice: U logaritmických rovnic musíme počítat s celou řadou podmínek, které musí být splněny, aby měly rovnice smysl. Pokud najdeme všechny podmínky, dokážeme je úplně zpracovat a během výpočtů neprovedeme žádnou neekvivalentní úpravu, pak nemusíme pro potenciální kořeny, které s podmínkami nekolidují, provádět zkoušku. V opačném případě je zkouška nezbytnou součástí řešení. 1● Nejjednodušší rovnice typu log [a ]x = b, a > 0, a ≠ 1, b R a) Podm.: b) Podm.: Podm.: 1) 2) c) /^2 ekvivalentní úprava neodpovídá podmínkám Podm.: Dalších podmínek je řada, např. , … Výpočty podmínek komplikované – nedořešíme je a raději na závěr provedeme zkoušku. d) Zkouška: 2● Rovnice vedoucí k typu log [a ]f(x) = log [a ]g(x), kde a > 0, a ≠ 1 Podm.: 1) 2) 3) a) Podm.: 1) 2) 3) neodpovídá podmínkám 3● Rovnice vedoucí ke kvadratické rovnici (s eventuálním použitím substituce) Podm.: 1) 2) 3) Pozor! Na podmínky 2), 3) studenti zapomínají … a) Subst.: /. Podm.: 1) 2) b) Subst.: 2) /.y c) Subst.: Podm.: 1) 2) V této úloze je třeba věnovat velkou pozornost exponentům – rozlišovat, kdy jde o umocnění funkce a kdy o umocnění jejího argumentu!!! d) Subst.: Podm.: 1) 2) 1) 2) Podm.: e) / logaritmujeme Subst.: 1) 2) 4● Rovnice obsahující logaritmy s různými základy (včetně úloh s neznámou v základu logaritmu) Podm.: a) Subst.: Podm.: 1) 2) Subst.: /.2y 1) 2) c) Podm.: 1) 2) 5 Subst.: /. 5● Soustavy dvou rovnic o dvou neznámých Podm.: 1) 2) 3) 4) a) Subst.: 1) 2) /. Podm.: b) Subst.: ; ; Exponenciální nerovnice: K řešení využíváme zejména ▪ ekvivalentní úpravy nerovnic; ▪ vlastnosti exponenciálních funkcí (zejména monotónnost – – připomeňme: nechť f: y = a^x. Pak pro ; ▪ u složitějších nerovnic i substituci. a) /.2 /: x 2 x y -2 4 b) c) 1. způsob 2. způsob x 2 d) Subst.: x y 1 2 0 1 x y 2 x y -2 1 x y -2 1 e) Subst.: … Logaritmické nerovnice: Podm.: a) 3 x Podm.: y b) x 8 0 x y -1 9 8 0 Podm.: 1) 2) - - c) -3 3 x y d) x y 0 8 3 Podm.: 1) 2) x y 3 0 -2 Podm.: 1) 2) tuto podmínku není třeba podrobně řešit, zohledníme ji při řešení „hlavní“ nerovnice e) Subst.: /.(-1) f) Podm.: 1) 2) Subst.: Základní poznatky: 1) Řešte v R: a) MA 2017: 3^ × 9^x - 9^x = 6 b) 3^x = 10 c) 4^2x - 6×4^x + 8 = 0 [a) b) log[3]10 c) ; 1] 2) Řešte v R: a) MA 2017: b) [a) 243 b) ; 2] Typové příklady standardní náročnosti Následující rovnice a nerovnice řešte v R. 3) [2] 4) [12] 5) 5^2x-3 - 2×5^x-2 = 3 [2] 6) MA+ 2017: [9] 7) log(x+1) + log(x-1) – log x = log(x+2) [ ] 8) [10; ] 9) [1; 3] 10) a) < b) 4^x+5 < 16^x+1 [a) , b) ] 11) a) > 0 b) [a) , ] Rozšiřující cvičení 12) [5; ] 13) 3^log x +5^log y = 14 3^2log x -5^2log y = 56 [100;10]