25 Goniometrické rovnice - met. Stručný přehled teorie Goniometrické rovnice: - obsahují neznámou x nebo výraz s neznámou x jako argumenty jedné nebo více goniometrických funkcí: /(sin(flf(x)),cos(/i(x)),tg(/(x)),cotg(fc(x))) = 0 Velmi často se při řešení goniometrických rovnic využívá takových úprav, kterými se získá rovnice obsahující jen jediný typ goniometrické funkce. Typy goniometrických rovnic: sin x = a] a) základní k kde a e <-l;l> cos x = a) tyto rovnice mají nekonečně mnoho řešení lišících se periodou 2kn, kde k E Z í i V2 Vš . Pozn. Pro ci g < 0, ± —, ± , ± , ± 1) musí zvládnout student gymnázia řešení těchto základních rovnic bez kalkulačky, pouze s využitím jednotkové kružnice, případně grafu příslušné funkce tgx = a cotgx = aj,kdea< R tyto rovnice mají nekonečně mnoho řešení lišících se periodou kn, kde k E Z musí zvládnout student gymnázia řešení těchto základních rovnic bez kalkulačky, pouze s využitím jednotkové kružnice, případně grafu příslušné funkce Další příklady základních rovnic: a.sinf(x) = b, a.cosf(x) = b, a.tgf(x) = b, a.cotgf(x) = b (Např. 2.sin(3x- j) = -l) b) vedoucí k algebraické rovnici - např. ke kvadratické či bikvadratické rovnici - řeší se většinou užitím substituce (Např. S.tg2 x + 2.tgx-JŠ = 0, sin2x + 2.sin x - 3 = 0, ...) c) využívající vztahů mezi goniometrickými funkcemi (většina goniometrických rovnic) (Např. 6.sin2x - 7.cos x - 1 = 0, . sin x - cos x = JŤ., sin 2x + cos 2x = 1 + tg x, ...) d) využívající srovnání hodnot goniometrických funkcí (Např. siní x + 1 = - cos(;r - 3x), ...) Met.: Téma goniometrických rovnic patří ve středoškolské matematice k tématům velmi náročným. Goniometrických rovnic existuje nepřeberné množství. Jejich kategorizace je obtížná a problematická, protože drtivá většina goniometrických rovnic nespadá striktně pouze do jediné kategorie, ať už ji specifikujeme jakkoli. O to větší pozornost musí učitel věnovat tomu, aby studenty naučil postupům, které jsou optimální při řešení nejjednodušších základních goniometrických rovnic. Pokud budou studenti tyto postupy znát a s jistotou zvládat, budou se moci pustit i do řešení komplikovanějších rovnic, které často obsahují více goniometrických funkcí i více členů. Při úpravách takových rovnic se nejčastěji používá buď jejich převedení (za pomoci vzorců) do základního tvaru, ve kterém se vyskytuje jen jediná goniometrická funkce, nebo se rovnice anuluje a jedna strana se převede na součin členů tak, aby v každém z nich byla jen jedna goniometrická funkce. Takto upravené rovnice lze pak zpravidla už bez větších potíží vyřešit. Učitel samozřejmě musí obrátit pozornost studentů i na skutečnost, že před samotným řešením je nutné precizně zpracovat i podmínky, kterých v goniometrických rovnicích bývá často celá řada. Goniometrické rovnice 1» Základní typ a) 2 cos x = —y/2 cos x =-- V2 2 x = — + 2kn V x = — + 2kn 4 4 i I 1 \ ^ 1 fj2 / 1 w ► i i (3n 5n ) * = UíT+2/OT;T + 2H kez c) 2 sin (Sx - f) = -VŠ Subst 47T .: y = 5x — - j 7 5n y = — + 2kn V y = — + 2kn n 47T n 5n 5x--=--h 2kn V 5x--=--h 2kn 7 3 7 3 317T 387T 5x =--h 2kn V 5x =--h 2kn 21 21 3l7r 2kn 38n 2kn K kez 31n 2kn 38n 2kn 105 EU tgx+1 tgx-1 = 2 +VŠ/.(tgx-1) tgx + l = 2tgx + VŠ. tg x — 2 tg x. (VŠ + l) = VŠ + 3 VŠ+3 VŠ-1 3+3V3-VŠ-3 Vš sin X 7T Podm.: 1) tgx = -> cosx =é 0 -> x^(2/c + l).- 2)tgx-1^0 -> tgx =é 1 ' |~ + kn 4 tgx Vš+i'Vš-i = VŠ -> x = ^ + /or; fcez cosx = - _3_ (D Přibližné řešení-s kalkulačkou xzl~0,84 ... azl~48°lľ xz2~5,44 ... az2~311°49' K" = (J{0,84 + 2kn; 5,44 + 2kn] kez K = (J{48°lľ + k- 360°; 311°49' + k. 360°} (2) Přesné řešení - s použitím cyklometrických funkcí ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^m Pokud učiteli okolnosti dovolí zavést cyklometrické funkce, může je využít při řešení goniometrických rovnic a nerovnic. Je ovšem pravda, že čas na probírání těchto funkcí je velmi omezený a jejich používání při zápisech množin řešení goniometrických rovnic není bez úskalí. Cyklometrické funkce jsou inverzní funkce k odpovídajícím funkcím goniometrickým, jejichž definiční obory jsou omezeny tak, aby na nich byly funkce prosté (pozn. k funkcím, které nejsou prosté, inverzní funkce neexistují): Goniometrické a cyklometrické funkce a jejich definiční obory: Goniometrická funkce Cyklometrická funkce Sinus: sinx pro x E (~~>~) Arkus sinus: arcsin x pro x G (—1; 1) Kosinus: cos x pro x G (0; n) Arkus kosinus: arccos x pro x G (—1; 1) Tangens: tgx pro x G (—~;~) Arkus tangens: arctgx pro x G R Kotangens: cotgx pro x G (0;7r) Arkus kotangens: arccotgx pro x G R Studenti, kterým je práce s cyklometrickými funkcemi jasná, si mohou dovolit zapsat množinu řešení rovnice e) takto: K = I^J jarcsín— + 2kn; —arcsin— + 2/arj fcez 2« vedoucí k algebraické rovnici - např. ke kvadratické či bikvadratické a) 2cos2x = cosx + 1 2cos2x — cosx — 1 = 0 2y2 - y - 1 = 0 i±VT+8 1 Subst.: cosx = y Vi,2 = ■ = < cosx = 1 V cosx = — 2 x = 2kn V x =--h 2kn V x =--h 2kn 3 3 lir 2n 4n ) K = M \2kn; — + 2kn; — + 2/arj fcez [jb)j j Asirŕx — Ssin2x = — l" Subst: sin2x = y 4y2 - 5y + 1 = 0 5±V25-16 1 yi,2=^i— = sinx ^ 0 -> ,k e Z 2sin4x — 2sin2x + cos2x=0 2sin4x — 2sin2x + 1 — sin2x 2sin4x — 3sin2x +1 = 0 2y2 - 3y + 1 = 0 1 3±V9-8 yi,2 = = < i 2 = 0 sin2x = 1 V sinx = +1 V x = (2fc + l)§ ■ 2 1 sin x = - 2 , V2 sinx = H— — 2 Subst.: sin2x = y V x = - + k.- ,k e Z 4 2 Un n 7t-\ (2/c + l)-;i+/c.-} fcez e) |(tgx + 1). (tgx + 5) = 12~ Subst.: tgx = y tg2x + 6 tgx - 7 = O y2 + 6y — 7 = O (y + 7). (y - 1) = O y = -7 V y = 1 tgx = —7 V tgx = 1 x = arctg(—7) + kn V x = - + kn K = U{arctg(_7) + fe7r; f + kn] keZ nebo Ä" = [J{98°08' + k. 180°; 45° + k. 180°} fcez Podm.: tgx =- -> cosx =é 0 -> x (2k + l).- [fj] |2sin3x — 3 sin x cos x = 0 sin x. (2sin2x sin x = 0 V x = kn V - 3 cos x) = 0 2sin2x — 3 cos x = 0 2. (1 — cos2x) — 3 cos x = 0 2cos2x + 3 cos x — 2 = 0 2y2 + 3y - 2 = 0 -3+V9+16 _^ yi,2=^— = < i 2 y = -2 V y = i Subst.: cosx = y cos x = —2 V cosx = - 2 NELZE x = - + 2kn V x = — +2kn 3 3 fcez 3» využívající vztahů mezi goniometrickými funkcemi a) V3.sinx — cosx = 1 1. způsob řešení ■ využívá vzorce pro goniometrickou funkci součtu argumentů; ■ vyžaduje jistou dávku „zručnosti" a zkušenosti; ■ není univerzální, nelze jej použít pro tento typ zadání vždy; ■ pokud jej lze použít, vede rychle k řešení. V3.sinx — cosx = umělá úprava - finta ... sinx — cosx = i |. sinx— | IcostI- sinx — ■ Bcosx=- sin(x-f) = I x — — = — + 2kiľ V x — - = — + 2kn 6 6 6 6 x = -+2kn V x = 7t + 2kn 3_ K" = (J{| + 2/ar; (2/c + 1)tt} fcez 2. způsob řešení (univerzální) Vš. sinx — cosx = 1 sin2x + cos2x = 1 sin2x + (VŠ.sinx-l) =1 sin2x + 3sin2x — 2VŠsinx + 1 = 1 4sin2x — 2VŠsinx = 0 sin x. (4 sin x — 2 VŠ) = 0 V sinx = 0 cosx = — 1 x = 7t + 2kn vychází z toho, že se na zadanou rovnici díváme jako na rovnici o dvou neznámých sinx a cosx; jako druhá rovnice o stejných neznámých poslouží základní vzorec sin2x + cos2x = 1; cosx = VŠ. sinx VŠ sinx = — 2 1 cosx = - 2 x = - + 2kn 3 K=U {\+2kn; ^2k+i^n\ fcez 3. způsob řešení (univerzální) jde jen o jinou variantu předchozí metody Vš. sinx — cosx = 1 VŠ. sinx = cosx + 1 /2 3sin2x = cos2x + 2 cosx + 1 3. (1 — cos2x) = cos2x + 2 cosx + 1 4cos2x + 2cosx — 2 = 0 2cos2x + cosx — 1 = 0 2y2 + y - 1 = 0 -1±V9 yi,2 = - Subst.: cosx = y -1 =< i 2 cosx = — 1 -> sinx = 0 V 1 . Vš cosx = - -> sinx = — 2 2 K = [J{|+2/c7r; (2/c + 1)tt} fcez [~b)| sin^x — ^ = 2.sinx sinx. cos- — cosx. sin - = 2. sinx 3 3 1 . Vš - sin x--cos x = 2. sin x 2 2 VŠ 3 . , 2 --cos x = -. sin x /.- 2 2 cosx Vš tgx =-- 6 3 x =--V kn _6___ 57t fcez ____^ i Podm.: cosx =č 0 x =č (2/c + 1)|. Co kdyby x = (2/c + 1) | ? Pak by sinx = +1 a zadaná rovnice by byla To ovšem sin +2. znamená, že by neměla řešení. c) sin (x +1) + cos (x + |j = 1 + cos 2x sin ^x + -j + cos | sinx. cos- + cosx. sin - + cos x. cos— sin x. sin - = 1 + cos2x 6 6 3 3 VŠ . , 1 ,1 V3 . o 2 — sinx + - cosx + - cosx--sinx = 2cos x 2 2 2 2 2cos2x — cosx = 0 sin2x cos x. (2 cos x — 1) = 0 cosx = 0 V x = (2k + l)^ cosx = - 2 V x = - + 2kn V x = — + 2kn 3 3 iir n n 5n K = M (2/c + 1)-; -+2kn. 2 3 ; Y+2kn\ d) |cotgx - tg 40° = sin(50° - x) cos, -n40= = cos[g()o_(50O_x)] sinx cos 40° cosx.cos40°-sinx.sin40° = cos(x + 40°) /.sin x. cos 40° Podm.: cotgx * k.l80°k eZ -> sinx ^ 0 sinx.cos 40° cos(x + 40°) = cos(x + 40°). sin x. cos 40c cos(x + 40°). (1 - sin x. cos 40°) = 0 cos(x + 40°) = 0 V % + 40° = 90° + /c. 180° V x = 50° + /cl80° sinx. cos 40° = 0 i sinx = cos 40° NELZE, neboť 0 < cos40° < 1, proto K = (J{50° + /c. 180°} kez cos 40° > 1 |e)~| cos (x + — cosx = VŠ —2. sin- x-í---Vx , 271 x-í---X -.sin- = V3 —2. sin (x + . sin| = V3 -2.sln(x + f).f = V3 sin x + - = — + 2/ar 3 2 X =--h 2/c7t 6 *-UIt+H kez f) sin ^ + x) - sin ~ x) = sin 2x -+x+—x 2. cosi-4— . sin —+x—+x 1-1— = sin2x 2. cos -. sin x = 2 sin x. cos x 4 2. —. sin x — 2 sin x. cos x = 0 2 V2 sinx. (l — V2 cosx) = 0 sinx = 0 V x = kn V kez V2 cosx = — 2 x = - + 2kn V x 4 -+2/c7t 4 i 1 0 |4» využívající srovnání hodnot goniometrických funkcí] [ÍTj| sin (x + f) = sin (ýx — Subst.: x + - = a, 6 sin a = sin/? 1) p1 = a + 2kn 2n 4x-T = /? V 2) f32=n -a + 2kn 2n 4x--= x H---h 2kn V 4x - — = n — x — - + 2kn 3x = — + 2kn 6 x = ^+2fc2 18 3 V 5X =--1---h 2/c7t 6 3 37T . „ , 71 V x = —+ 2/c- 10 5 i i (5n n 3n n) K = — + 2k-; — +2k-\ U(18 3 10 5j kez Pozn.: Tuto úlohu by jistě bylo možné řešit rovněž třeba za použití součtových vzorců. Jednalo by se však o velmi komplikovaný a časově náročný postup. b) sin ^3x + ^ = — cos(x + 7n Subst.: 3x + — = a, 6 sin a = — cos/? 1) p1 = -+a + 2kn V 2) p2 = y - a + 2kn x + E = E+3x + 7JÍ+2kn V x + ^=34-3x-74+2kn -2x = + 2kn 12 17? x = -i./ar nahradíme základní velikostí k E Z, proto lze mínus nahradit znaménkem plus x + ku V 4x = —h 2kn 12 n n V x = — + k.-48 2 /V I I ( 317T 7T 7Z") K = \ \\—-+kn; — + k-\ U( 24 48 2) kez e) 2sin2x > 3 cosx 2. (1 — cos2x) > 3 cos x 2cos2x + 3 cosx — 2 < 0 Subst.: cosx = y 2y2 + 3y - 2 < 0 -3±v9+16 -3±5 _^ Ví 2 =- =- =< 1 2 2.(y + 2).(y-i)<0 ye(-2;-3 cosx G ( —1 K=UÍ(l+2far:T+H! fcez Základní poznatky 1. Řešte v R rovnice a) 2 sin x = VŠ b) —VŠ tg x = 1 typl, K = UfceZ{f typl, K = \JkeZ{^ + kn}] + 2kn; — + 2kn }] 2. Přiřaďte ke každé rovnici 1. -4. její řešení a) - f) v oboru R: (zdroj státní maturita září 2016) 1. tg x = 0 2. cos x = 1 3. sin 2x = 0 4. cot# |=1 2 a) x b) x = /c7T, k E Z c) x = 2kn, k E Z d) X = ^ + /C7T,/c G Z e) x = - + 2/C7T, k E Z ' 2 f) X = 7T + 2/C7T, k E Z [lb, 2c, 3a, 4e] 3. Kolik řešení má rovnice tg 2x = 0 v oboru (0; 27r)? (zdroj maturita M+, květen 2017) [5] Typové příklady standardní náročnosti 4. Řešte v R rovnice a) 2 sin ^2x — ^ = 1 b) 3 sin x = 2 cos2 x c) 2 sin2 x = 2 — cotg2 x d) sin x + cos 2x = 1 e) cotg3 x — 2cotg2 x + cotg x = 0 f) cos x + VŠ sin x = 2 typ 1, K = \JkeZ g + /ctt; ^ + /ctt} ] typ 2, K = Ufcez{f + 2kn; ^ + 2kn) ] typ 2, ff = Uftezg + ^;f+ far}] typ 2, K = U/cez j^71; ^ + 2/C7T; ^ + 2/t7rj j typ 2, = UfcEZ {f + /C7T; J + /c7r} ] typ 3, K = UfceZ{f + 2kn)] Rozšiřující cvičení 5. Řešte v R rovnici sin (x + f) = sin(7r — 3x) [typ 4, K = UkeZ{-8+f;-4 + kn}] Poznámka Pro případné zadání rovnic do Wolframalpha.com a podobných programů použijte do zadání rovnice v příkazovém řádku následující syntaxi: ■ goniometrické funkce sin(x), cos(x), tan(x), cot(x) ■ mocniny goniometrických fcí smA2(x) + cosA2(x) ■ odmocnina (angl. square root) sqrt(x),sqrt(x + l),sqrt(2),sqrt(3),... Ve Wolframalpha si nastavte funkci reálné proměnné, tj. Real-valued plot, nikoliv Complex-valued plot.