25 Goniometrické rovnice – met. Stručný přehled teorie Goniometrické rovnice: - obsahují neznámou x nebo výraz s neznámou x jako argumenty jedné nebo více goniometrických funkcí: Velmi často se při řešení goniometrických rovnic využívá takových úprav, kterými se získá rovnice obsahující jen jediný typ goniometrické funkce. Typy goniometrických rovnic: a) základní , kde … tyto rovnice mají nekonečně mnoho řešení lišících se periodou 2kπ, kde Pozn. Pro a musí zvládnout student gymnázia řešení těchto základních rovnic bez kalkulačky, pouze s využitím jednotkové kružnice, případně grafu příslušné funkce , kde … tyto rovnice mají nekonečně mnoho řešení lišících se periodou kπ, kde Pozn. Pro a musí zvládnout student gymnázia řešení těchto základních rovnic bez kalkulačky, pouze s využitím jednotkové kružnice, případně grafu příslušné funkce Další příklady základních rovnic: a.sin f(x) = b, a.cos f(x) = b, a.tg f(x) = b, a.cotg f(x) = b (Např. 2.sin (3x - ) = -1) b) vedoucí k algebraické rovnici – např. ke kvadratické či bikvadratické rovnici - řeší se většinou užitím substituce (Např. , sin^2 x + 2.sin x – 3 = 0, …) c) využívající vztahů mezi goniometrickými funkcemi (většina goniometrických rovnic) (Např. 6.sin^2 x – 7.cos x – 1 = 0, , sin 2x + cos 2x = 1 + tg x, …) d) využívající srovnání hodnot goniometrických funkcí (Např. , …) Met.: Téma goniometrických rovnic patří ve středoškolské matematice k tématům velmi náročným. Goniometrických rovnic existuje nepřeberné množství. Jejich kategorizace je obtížná a problematická, protože drtivá většina goniometrických rovnic nespadá striktně pouze do jediné kategorie, ať už ji specifikujeme jakkoli. O to větší pozornost musí učitel věnovat tomu, aby studenty naučil postupům, které jsou optimální při řešení nejjednodušších základních goniometrických rovnic. Pokud budou studenti tyto postupy znát a s jistotou zvládat, budou se moci pustit i do řešení komplikovanějších rovnic, které často obsahují více goniometrických funkcí i více členů. Při úpravách takových rovnic se nejčastěji používá buď jejich převedení (za pomoci vzorců) do základního tvaru, ve kterém se vyskytuje jen jediná goniometrická funkce, nebo se rovnice anuluje a jedna strana se převede na součin členů tak, aby v každém z nich byla jen jedna goniometrická funkce. Takto upravené rovnice lze pak zpravidla už bez větších potíží vyřešit. Učitel samozřejmě musí obrátit pozornost studentů i na skutečnost, že před samotným řešením je nutné precizně zpracovat i podmínky, kterých v goniometrických rovnicích bývá často celá řada. Goniometrické rovnice 1● Základní typ a) b) Podm.: c) Subst.: Podm.: 1) 2) d) /. ; e) ① Přibližné řešení – s kalkulačkou Přesné řešení – s použitím cyklometrických funkcí Pokud učiteli okolnosti dovolí zavést cyklometrické funkce, může je využít při řešení goniometrických rovnic a nerovnic. Je ovšem pravda, že čas na probírání těchto funkcí je velmi omezený a jejich používání při zápisech množin řešení goniometrických rovnic není bez úskalí. Cyklometrické funkce jsou inverzní funkce k odpovídajícím funkcím goniometrickým, jejichž definiční obory jsou omezeny tak, aby na nich byly funkce prosté (pozn. k funkcím, které nejsou prosté, inverzní funkce neexistují): Goniometrické a cyklometrické funkce a jejich definiční obory: Goniometrická funkce Cyklometrická funkce Sinus: Arkus sinus: Kosinus: Arkus kosinus: Tangens: Arkus tangens: Kotangens: Arkus kotangens: Studenti, kterým je práce s cyklometrickými funkcemi jasná, si mohou dovolit zapsat množinu řešení rovnice e) takto: 1 2● vedoucí k algebraické rovnici – např. ke kvadratické či bikvadratické a) Subst.: b) Subst.: c) 1 -1 1 Subst.: Podm.: 1 -1 d) /. =0 Subst.: Podm.: e) Subst.: nebo f) 0 Subst.: 3● využívající vztahů mezi goniometrickými funkcemi a) 1. způsob řešení ▪ využívá vzorce pro goniometrickou funkci součtu argumentů; ▪ vyžaduje jistou dávku „zručnosti“ a zkušenosti; ▪ není univerzální, nelze jej použít pro tento typ zadání vždy; ▪ pokud jej lze použít, vede rychle k řešení. /. umělá úprava – finta … 2. způsob řešení (univerzální) ▪ vychází z toho, že se na zadanou rovnici díváme jako na rovnici o dvou neznámých a ; ▪ jako druhá rovnice o stejných neznámých poslouží základní vzorec ; -1 -1 3. způsob řešení (univerzální) ▪ jde jen o jinou variantu předchozí metody /^2 ^ ^ ^ ^ ^ Subst.: b) Podm.: . Co kdyby ? Pak by a zadaná rovnice by byla . To ovšem znamená, že by neměla řešení. /. c) 0 Podm.: d) /. NELZE, neboť , proto e) 0 f) 4● využívající srovnání hodnot goniometrických funkcí a) Subst.: 1) ∨ 2) ∨ ∨ ∨ Pozn.: Tuto úlohu by jistě bylo možné řešit rovněž třeba za použití součtových vzorců. Jednalo by se však o velmi komplikovaný a časově náročný postup. b) nahradíme základní velikostí Subst.: 1) ∨ 2) ∨ Goniometrické nerovnice a) b) -1 1 c) d) /:2 e) -2 Subst.: -2 -1 f) ∨ 0 0 Základní poznatky 1. Řešte v R rovnice a) b) 2. Přiřaďte ke každé rovnici 1. – 4. její řešení a) – f) v oboru : (zdroj státní maturita září 2016) 1. 2. 3. 4. = 1 a) b) c) d) e) f) 3. Kolik řešení má rovnice v oboru ? (zdroj maturita M+, květen 2017) Typové příklady standardní náročnosti 4. Řešte v R rovnice a) b) c) d) e) f) Rozšiřující cvičení 5. Řešte v R rovnici Poznámka Pro případné zadání rovnic do Wolframalpha.com a podobných programů použijte do zadání rovnice v příkazovém řádku následující syntaxi: § goniometrické funkce § mocniny goniometrických fcí § odmocnina (angl. square root) Ve Wolframalpha si nastavte funkci reálné proměnné, tj. Real-valued plot, nikoliv Complex-valued plot.