26 Trigonometrie, obecný trojúhelník -Stručný přehled teorie met. Trigonometrie - oblast goniometrie, která je věnována užití goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících Základní vztahy: Sinová věta: Pro každý trojúhelník ABC, jehož strany mají délky a, b, c a jehož vnitřní úhly mají velikost a, ß, y, a b c platí: neboli a : b : c = sin a : sin ß: sin y sin a sin /? sin y Kosinová věta: Pro každý trojúhelník ABC, jehož strany mají délky a, b, ca jehož vnitřní úhly mají velikost a, (3, y, platí: c2 = a2 + b2 — lab.cosy a2 = b2 + c2 — 2bc. cos a b2 = a2 + c2 — 2ac. cos /? Pozn. Kosinovou větu používáme v případě, že je trojúhelník zadán prvky sss nebo sus. Sinovou větu používáme v ostatních případech. Některé další základní užitečné vztahy: Pro každý trojúhelník ABC, jehož strany mají délky a, b, ca jehož vnitřní úhly mají velikost a, (3, y, platí: ❖ Obsah A ABC je S = y]s. (s - a), (s - b), (s - c) ,kdes = a+b+c (Heronův vzorec); íii ❖ Obsah A ABC je S = - .ab. sin y = -.ac. sin ß = -.bc. sin a 1 2 "2 ľ 2 Následující vzorce jsou uvedeny pouze pro zajímavost jako příklad několika z velkého množství vzorců z oblasti goniometrie. Nepatří k základním znalostem, které by měl student gymnázia zvládnout: ❖ vztahy pro výpočet poloměru kružnice opsané r, vepsané p: abc r ■ s p = -~> a b c 2 sin a 2sinß 2 siny' p = (s-a) tflf| některé další vztahy: r = ab 2vr 1111 vn:vh:vr =-:-:-a b c nhľ . a-ß a-b sin—f- a+b cos-c a-ß ^ sin- [4t2 = 2a2 +2b2 - -c2 f a-b a+b * a-ß ^ _ ^-T <. a+ß tg—- = cotg-6 2 6 2 ^ J (Mollweidovy vzorce) (tangentová věta) Met.: Obecný trojúhelník je jednoznačně zadán třemi na sobě nezávislými prvky. Učitel by měl vyvolat diskusi o tom, jak při daném konkrétním zadání úlohy na řešení obecného trojúhelníku rozhodnout, která z obou vět se má použít jako první (sinová je pro výpočty relativně jednodušší, ale její použití někdy může vést ke dvěma řešením): 1. Sinová věta - její použití je podmíněno tím, že v trojúhelníku musí být zadána alespoň jedna dvojice strany a uhlu ležícího proti ni: Př.: Určete všechny ostatní základní prvky trojúhelníku ABC: [ä] Dán AABC: a = 6 cm, c = 7 cm, y = 40° ... zadání podle věty Ssu ... jediné řešení a.siny 6.sin40t a _ c sina siny -> sin a = -0,551 -> a~33°26', [a = 33°26',/3 = 106°34',Ď = 10,4 cm] [bj Dán Aj4BC: b = 5 cm, a = 110°, y = 42° ... zadání podle věty usu .. jediné řešení dopočítám úhel proti straně b ... /? = 28 Ď.sina 5.sinll0° „ _ -> o. = . „ = —t-hz—10 cm, sina sin/3 sin/3 sin28 [a = 10 cm,p = 28°, c = 7,1 cm] [č] Dán AABC: a = 5 cm, b = 8 cm, a = 26°55' ... je zadán úhel proti kratší straně - žádnou z vět o viz náčrt: shodnosti trojúhelníků nelze použít, |úloha může mít jedno, dvě nebo žádné řešení C sina sin/3 sin/S = i).sina 8.sin26°55' -0,724 Této hodnotě funkce sinus odpovídají dva úhly pí = 46°25'a/S2 = 133°35'. = 46°25',c1 = 10,6 cm,yx = 106°40' h = 133°35',c2 = 3,7 cm, y2 = 19°30' d) Dán AABC: b = 8 cm, a = 30°. Proveďte diskusi o počtu řešení (případně vypočítejte velikost úhlu /?), jestliže délka strany a postupně nabývá hodnot z množiny {2,4,6,8,10}. Náčrty!!! a 2 cm 4 cm 6 cm 8 cm 10 cm Počet řešení 0 1 2 1 1 P neexistuje 90° 41°49'; 138°lľ 30° 23°35' 2. Kosinovou větu, která je časově trochu náročnější než věta sinová, musíme použít tehdy, jestliže mezi prvky zadávajícími obecný trojúhelník není žádná dvojice strany a úhlu ležícího proti ní, to je v případě, že je trojúhelník zadán prvky sss nebo sus. Pokud jsou splněny podmínky pro existenci trojúhelníku (trojúhelníková nerovnost v případě sss, velikost zadaného úhlu menší než 180° v případě sus), je trojúhelník zadán jednoznačně a úloha má jediné řešení. Př.: a) Dán AABC: a = 2 cm, b = 3 cm, c = 4 cm ... zadání podle věty sss, splněna trojúhelníková nerovnost jediné řešení ->->-> a +b —c 2+3—4 -3 1 c = a + b — 2ab cos v -> cosy =-=-= — =— -> y~104°29' ' ' 2aĎ 2.2.3 12 4 ' K dalším výpočtům už lze použít sinovou větu: c . a.siny 2.sinl04°29' _ . = -— -> sin a =-1 =--0,48 sina siny c 4 V prvním kroku jsme určili největší úhel v trojúhelníku (y = 104°29), úhel a už tedy musí být ostrý: a = 28°57'. Třetí úhel dopočítáme: = 180° - (a + y) = 46°34'. [a = 28°57', £ = 46°34', y = 104°29'] [b)]Dán AABC: a = 12 cm, Ď = 7 cm, c = 4 cm ... není splněna trojúhelníková nerovnost, trojúhelník s těmito délkami stran neexistuje. c) Dán AABC: c = 5 cm, b = 7 cm, a = 29°14' ... zadání podle věty sus, a < 180° ..| jediné řešenij a 2 _ h2 b2 + c2 - 2bccosa -> a = Vď2 + c2 - 2Ďc cos a = v49 + 25 - 2.7.5. cos 29°14' -3,6 Zbývá vypočítat úhly /? a 7. Použijeme už sinovou větu. Přednost dáme výpočtu úhlu y. Leží proti c.sina 5.sin29°14' kratší straně, bude nepochybně ostrý: -> srny -0,679 -> sina siny ' a 3,6 -> 7~42°48' ^ = 180° - (a + 7) = 107°58'. [a = 3,6 cm, 7 = 42°48',£ = 107°58'] Základní poznatky: 1) a) MA 2016 Svisle rostoucí strom je vysoký 39 m. Místo pozorování P je od paty kmene stromu vzdáleno 101 m a od vrcholu stromu 128 m. Z místa P se strom od paty kmene po jeho vrchol jeví v zorném úhlu 6cm 2) V trojúhelníku A ABC dopočítejte velikosti vnitřních úhlů případně velikosti zbývajících stran: a) b = 25 cm, c = V2 • 25 cm, y = 45° (Ssu) [a = 48,3 cm, a = 105°, (3 = 30°] [D, C, E] b) a = 38 cm, b = 48 cm, a = 37° (ssu) [1. řešení: (3 = 49°29', y = 93°3ľ, c = 63 cm 2. řešení: (3 = 130°3ľ, y = 12°29', c = 13,6 cm] Typové příklady standardní náročnosti 3) V trojúhelníku A ABC dopočítejte velikosti vnitřních úhlů případně velikosti zbývajících stran: S = 719,76 cm2, a = 51,32 cm, (3 = 126°12' [a = 32°28'; y = 21°20'; b = 77,13 cm; c = 34,76 cm] 4) V A ABC je dáno: a = 4 cm; b = 6 cm; y = 60°. Vypočítejte: c, a, (3, sa, Sb, sc, ta, tb, tc, va, Vb, vc, r, p, Sa. [2 V7 cm; 40°54'; 79°6'; 2 cm; 3 cm; -Ji cm; 5,3 cm; 3,6 cm; 4,4 cm; 5,2 cm; 3,5 cm; 3,9 cm; 3,1 cm; 1,4 cm; 10,4 cm] 5) V lichoběžníku ABCD je dáno: a = 30 cm, b = 13 cm, c = 16 cm, d = 15 cm. Určete velikosti vnitřních úhlů a obsah lichoběžníku. [a = 53°8', (3 = 67°23', y = 112°37', ô = 126°52', S = 276 cm2] 6) Pozorovatel vidí patu věže 69 m vysoké v hloubkovém úhlu a = 30°10' a vrchol věže v hloubkovém úhlu (3 = 20°50'. Jak vysoko nad horizontální rovinou, na které stojí věž, je pozorovatelovo stanoviště? [200 m] 7) Sílu F = 150 N rozložte na dvě složky Fl a F2 , které se silou F svírají úhly a = 25°30' a (3 = 34°50'. [74,3 N; 98,6 N ]