30 Binomická věta a její aplikace – met.
Stručný přehled teorie
Binomická věta: Pro každá dvě komplexní čísla a, b a pro každé přirozené číslo n platí:
( ) nnkknkknnnnn
b
n
n
ba
n
n
ba
k
n
ba
k
n
ba
n
ba
n
a
n
ba 





+





−
++





+





−
++





+





+





=+ −−−+−−− 111221
.
1
...
1
...
210
neboli ( ) =
−






=+
n
k
kknn
ba
k
n
ba
0
Pro řešení řady úloh je dobré si uvědomit, že (k + 1). člen binomického rozvoje je:
kkn
k ba
k
n
A −
+ 





=1
Pro n-tou mocninu dvojčlenu a + b tvoří binomické koeficienty n-tý řádek Pascalova trojúhelníku.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 ……….
………….
………..
Met.: Vzhledem k tomu, že probírání binomické věty je ve středoškolské matematice zařazeno dříve než probírání
komplexních čísel, musí učitel binomický rozvoj nadefinovat zatím pouze pro množinu čísel reálných.
Rozšíření na množinu komplexních čísel přijde na řadu až při maturitním opakování v semináři z matematiky
v maturitním ročníku.
Téma binomické věty je po stránce rozsahu i po stránce obsahu relativně nenáročné. Lze je využít např.
k zopakování výpočtů s mocninami a odmocninami (viz př. 6, 7, …).
1. člen 2. člen 3. člen (k+1). člen (n+1). členn. člen
(
0
0
)
(
1
0
) (
1
1
)
(
2
0
) (
2
1
) (
2
2
)
(
3
0
) (
3
1
) (
3
2
) (
3
3
)
(
4
0
) (
4
1
) (
4
2
) (
4
3
) (
4
4
)
…………………..
………………….
k. člen
Základní poznatky:
1. Vypočítejte:
a) (2𝑥 −
𝑦
3
)
4
b) (√2 + 𝑖√3)
5
Pozn.: Pro komplexní jednotku i platí 𝑖2
= −1.
[𝑎) 16𝑥4
−
32
3
𝑥3
𝑦 +
8
3
𝑥2
𝑦2
−
8
27
𝑥𝑦3
+
𝑦4
84
, 𝑏) − 11√2 − 31√3𝑖]
2. Vypočítejte sedmý člen binomického rozvoje (2𝑥2
−
1
𝑥
)
9
. [672]
Typové příklady standardní náročnosti:
3. Určete, pro jaké x je pátý člen rozvoje (
1
2𝑥
−
1
2
)
10
roven 105. [±
√2
4
]
Met.: Nejčastější chybou, které se studenti dopouštějí při výpočtu této (a podobně třeba i předcházející)
úlohy, je nesprávný zápis pátého (u předchozí úlohy sedmého) členu binomického rozvoje.
Správné řešení: 𝐴5 = (10
4
)(
1
2𝑥
)
6
. (−
1
2
)
4
= 105
10.9.8.7
4.3.2.1
.
1
210.𝑥6 = 105
210
210.𝑥6 = 105
2−9
= 𝑥6
𝑥 = ±2−
3
2 = ±
1
√23
= ±
1
2√2
= ±
√2
4
4. Pomocí binomické věty vypočítejte 0,9810
na 6 desetinných míst.
Met.: Návod: 0,9810
= (1 − 0,02)10
~ (10
0
). 110
. (−0,02)0
+ (10
1
). 19
. (−0,02)1
+ (10
2
). 18
. (−0,02)2
+
+ (10
3
). 17
. (−0,02)3
+ (10
4
). 16
. (−0,02)4
− (10
5
). 15
. (−0,02)5
= 1 − 0,2 + 0,0180 − 0,00096 +
+ 0,0000336 − 0,0000008064 = ⋯ … další členy rozvoje už prvních 6 desetinných míst neovlivní
5. Určete součet (
𝑛
0
) + (
𝑛
1
) + (
𝑛
2
) + ⋯ + (
𝑛
𝑛 − 1
) + (
𝑛
𝑛
).
[Realisticky.cz – 9.1.19, 2n
]
6. Zjistěte, který člen binomického rozvoje výrazu (
2
√ 𝑥
− √ 𝑥)
7
je součinem koeficientu a neznámé √ 𝑥.
[5. člen]
Met.: U podobných úloh je důležité všímat si přesně znění otázky. Pokud se úloha ptá na to, kolikátý člen
rozvoje vykazuje požadovanou vlastnost, stačí skutečně určit pořadí členu. Jestliže však máme zjistit,
který nebo jaký člen rozvoje má danou vlastnost, je třeba raději kromě pořadí vypočítat i hodnotu
tohoto členu.
Studentům je rozumné doporučit, aby k výpočtům použili raději jednodušší člen 𝐴 𝒌+𝟏 = ( 𝑛
𝑘
)𝑎 𝑛−𝑘
. 𝑏 𝑘
místo komplikovanějšího 𝐴 𝑘 = ( 𝑛
𝑘−1
)𝑎 𝑛−𝑘+1
. 𝑏 𝑘−1
.
Řeš.: (7
𝑘
). (
2
√ 𝑥
)
7−𝑘
. (−√ 𝑥)
𝑘
= 𝑀. ( 𝑥−
1
2)
7−𝑘
. 𝑥
𝑘
2 = 𝑀. 𝑥
𝑘−7
2
+
𝑘
2 = 𝑀. 𝑥
2𝑘−7
2 … pro určení pořadí
hledaného členu není hodnota koeficientu M důležitá. To podstatně zjednoduší výpočet.
𝑀. 𝑥
2𝑘−7
2 = 𝑀. 𝑥
1
2
2𝑘−7
2
=
1
2
𝑘 = 4. pátý člen 𝐴5
𝐴5 = (7
4
). (
2
√ 𝑥
)
3
.(−√ 𝑥)
4
= +(7
3).
8
𝑥√ 𝑥
. 𝑥2 =
7.6.5
3.2.1
.8. √ 𝑥 = 280√ 𝑥
7. Státní maturita 2015 Matematika+
[
15!
12!.3!
]