35 Derivace funkce a její užití – met.
Stručný přehled teorie – uváděn průběžně – spolu s metodickými radami a vzorovými výpočty úloh
Met.: Derivace funkce představuje jeden ze základních pojmů diferenciálního počtu. Byl
vytvořen ve druhé polovině 17. století při řešení konkrétních fyzikálních a geometrických
problémů.
Většina času, který je ve středoškolské matematice věnován diferenciálnímu počtu, je určena
pro geometrický význam derivace funkce a jeho využití při vyšetřování průběhu funkcí a při
řešení praktických úloh.
Geometrický význam derivace funkce v daném bodě x0 je směrnice tečny ke grafu funkce
v tomto bodě.
Obrázek lze využít k vysvětlení způsobu určení směrnice tečny grafu funkce f (tedy způsobu
určení derivace funkce f).
Na obrázku:
➢ část grafu funkce f: y = f(x)
➢ sečna s = ↔TS se směrovým úhlem φ
➢ tečna t se směrovým úhlem α vedená ke grafu funkce f bodem T.
Je zřejmé, že směrnici ks sečny s určíme z pravoúhlého trojúhelníku STQ takto:
ks = tg φ
( ) ( )
x
xfxxf
x
y

−+
=


= 00
Ze sečny se stane tečna v okamžiku, kdy bod S přejde po části grafu funkce f do bodu T. Pohyb
bodu S do T a přechod sečny do tečny jsou na obrázku naznačeny červenými šipkami.
Přitom se zároveň zmenšují rozměry ΔSTQ (např. Δx → 0).
Směrnice tečny: kt =
( ) ( )
x
xfxxf
k
x
s
TS 
−+
=
→→
00
0
limlim
Směrnicová rovnice tečny t je pak t: y = kt x + q
Derivace funkce f v bodě x0 je tedy f´(x0) =
( ) ( )
x
xfxxf
x 
−+
→
00
0
lim (čteme: limita podílu
přírůstku funkční hodnoty a přírůstku argumentu za předpokladu, že se přírůstek argumentu
blíží k nule).
T
S
f:y = f(x)
t
s
x0 x0 + Δx
Δx
f(x0)
f(x0 + Δx)
ΔyΔy = f(x0 + Δx) – f(x0)
φα
x
x
Q
Derivace funkce v intervalu: Má-li funkce f: y = f(x) v každém bodě x jisté množiny M derivaci
f '(x), pak funkci f ': y = f '(x) nazýváme derivací funkce f na množině M.
Derivace některých elementárních funkcí:
funkce její derivace v bodě x x z intervalu
y = xn
, nN y = n.xn-1
( )− ;
y = xk
, kZ y = k.xk-1
( ) ( )− ;00; 
y = xr
, rR y = r.xr-1
( );0
y = c y = 0 ( )− ;
y = sin x y = cos x ( )− ;
y = cos x y = - sin x ( )− ;
y = tg x
y =
x2
cos
1






++− 



kk
2
;
2
, kZ
y = cotg x
y =
x2
sin
1
−
( )( ) 1; +kk , kZ
y = ex
y = ex
( )− ;
y = ax
, a > 0, a ≠ 1 y = ax
.ln a ( )− ;
y = ln x
x
y
1
=
( );0
y = loga x , a > 0, a ≠ 1
ax
y
ln.
1
=
( );0
Základní pravidla pro derivování:
1. ( f ± g)'(x) = f '(x) ± g'(x) … derivace součtu (rozdílu) se rovná součtu (rozdílu) derivací
2. (cf)'(x) = c. f '(x) …… konstanta se „vynáší“ před znak derivace
3. (fg)'(x) = f '(x) . g(x) + f(x) . g'(x) ….. (uv)' = u'v + uv'
4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )xg
xgxfxgxf
x
g
f
2
'
'..' −
=





….. 2
'
'..'
v
vuvu
v
u −
=





5. derivace složené funkce: [f (g(x))]' = f '(g(x)) . g'(x)
Zvládnutí derivování elementárních funkcí a funkcí složených, a také zvládnutí používání
základních pravidel pro derivování, představuje „abecedu“ celého diferenciálního počtu.
Tomuto cíli musí učitel přizpůsobit obsah vyučovacích hodin, během nichž důkladným
procvičováním dosáhne u studentů dostatečné obratnosti a jistoty ve výpočtech derivací.
Jako první úlohu může zařadit ukázku výpočtu derivace některé elementární funkce na základě
definice:
Př.1: Nechť je dána funkce 𝑓: 𝑦 = 𝑥2
. Vypočítejte její derivaci v libovolném bodě x.
Řeš.: 𝑓ʹ(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
(𝑥+∆𝑥)2−𝑥2
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑥2+2𝑥.∆𝑥+(∆𝑥)2−𝑥2
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
(2𝑥 + ∆𝑥) = 2𝑥 ;
Př.2: Nechť je dána funkce 𝑓: 𝑦 = sin 𝑥 . Vypočítejte její derivaci v libovolném bodě x.
Řeš.: 𝑓ʹ(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
sin(𝑥+∆𝑥)−sin 𝑥
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
sin 𝑥.cos∆𝑥+sin∆𝑥.cos 𝑥 −sin 𝑥
∆𝑥
=
lim
∆𝑥→0
sin∆𝑥
∆𝑥
. cos 𝑥 = cos 𝑥
Příklad prověrky, kterou by studenti měli bez větších problémů zvládnout po zmíněném
důkladném procvičení, než se přejde k dalším typům úloh na využití derivací:
A
Derivujte:
1. y =
𝑠𝑖𝑛(−𝑥)
𝑙𝑜𝑔 7
2. y = 𝑥5
. 𝑒3
+ cotg2
3. y =
1
𝑐𝑜𝑠(−5𝑥3+𝑥2)
4. y = 𝑥 𝑐𝑜𝑡 𝑔
𝜋
6
5. y = x.ln2 + log20
6. y = 2 𝑥
. 𝑐𝑜𝑡𝑔(8𝑥)
7. y =
( )
x
xxtg
3ln
2 735
+
8. y =
53
log x
e
B
Derivujte:
1. y =
𝑐𝑜𝑠(−3𝑥)
𝑠𝑖𝑛
𝜋
6
2. y = logln 45
+x
3. y = 35
9xx +
4. y = 𝑥 𝑡𝑔
𝜋
15
5. y = 52
log
6
. xtgx +

6. y = 54
sin. xex
7. y =
( )
3
5
cot4
x
gxxtg +
8. y = 5𝑙𝑛 𝑥7
. (𝑥4
− 3)
Znalost derivování si studenti mohou procvičit a souvislost derivace funkce a směrnice tečny upevnit na
příkladech zabývajících se tečnami grafů funkcí:
Př.3: Napište obecnou rovnici tečny ke grafu funkce 𝑓: 𝑦 = 𝑓(𝑥) v bodě T.
a) 𝑓: 𝑦 = 𝑥2
− 2𝑥 , 𝑇[4; ? ];
b) 𝑓: 𝑦 =
sin2𝑥+1
cos 𝑥+sin 𝑥
, 𝑇 [
𝜋
2
; ? ].
Řeš.:
a) Tečna obecně … 𝑡: 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑞, kde 𝑘 = 𝑦ʹ
= 𝑓ʹ(𝑥) = 2𝑥 − 2.
Směrnice tečny v bodě T … 𝑘 𝑇 = 𝑓ʹ(4) = 2.4 − 2 = 6.
Pro určení q musíme vypočítat y-ovou souřadnici T: 𝑦 𝑇 = 42
− 2.4 = 8 ⟹ 𝑇[4; 8].
𝑇 ∈ 𝑡 … 8 = 6.4 + 𝑞 ⟹ 𝑞 = 8 − 24 = −16 .
Směrnicová rovnice tečny … 𝑡: 𝑦 = 6𝑥 − 16.
Obecná rovnice tečny … 𝑡: 6𝑥 − 𝑦 − 16 = 0 .
b) Tečna obecně …𝑡: 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑞, 𝑘𝑑𝑒 𝑘 = 𝑦ʹ =
2.cos 2𝑥.(cos 𝑥+sin 𝑥)−(sin 2𝑥+1)(− sin 𝑥+cos 𝑥)
(cos 𝑥+sin 𝑥)2
=
2.(cos2 𝑥−sin2 𝑥).(cos 𝑥+sin 𝑥)−(sin2 𝑥+2 sin 𝑥 cos 𝑥+cos2 𝑥).(cos 𝑥−sin 𝑥)
(cos 𝑥+sin 𝑥)2 =
2.(cos 𝑥+sin 𝑥)2.(cos 𝑥−sin 𝑥)−(cos 𝑥+sin 𝑥)2.(cos 𝑥−sin 𝑥)
(cos 𝑥+sin 𝑥)2 =
(cos 𝑥+sin 𝑥)2.(cos 𝑥−sin 𝑥)
(cos 𝑥+sin 𝑥)2 = cos 𝑥 − sin 𝑥 .
Směrnice tečny v bodě T … 𝑘 𝑇 = 𝑓ʹ
(
𝜋
2
) = cos
𝜋
2
− sin
𝜋
2
= 0 − 1 = −1 .
Pro určení q musíme vypočítat y-ovou souřadnici T: 𝑦 𝑇 =
sin2.
𝜋
2
+1
cos
𝜋
2
+sin
𝜋
2
= 1 ⟹ 𝑇 [
𝜋
2
; 1].
𝑇 ∈ 𝑡 … 1 = −
𝜋
2
+ 𝑞 ⟹ 𝑞 = 1 +
𝜋
2
.
Směrnicová rovnice tečny … 𝑡: 𝑦 = −𝑥 + 1 +
𝜋
2
.
Obecná rovnice tečny … 𝑡: 2𝑥 + 2𝑦 − 𝜋 − 2 = 0 .
Př.4: Vypočítejte směrový úhel tečny vedené ke grafu funkce průsečíkem grafu s osou x.
a) 𝑓: 𝑦 = −𝑥2
+ 2𝑥 ; b) 𝑓: 𝑦 = ln 𝑥 ;
Průsečíky s osou x jsou dva: 𝑃𝑥1[0; 0], 𝑃𝑥2[2; 0]. Každým z nich lze vést jednu tečnu,
jejíž směrnice 𝑘 = 𝑦ʹ = −2𝑥 + 2.
𝑡1: 𝑦 = 𝑘1 𝑥 + 𝑞1, 𝑘𝑑𝑒 𝑘1 = 𝑡𝑔𝜑1 = 𝑦ʹ(0) = −2.0 + 2 = 2 ⟹ 𝜑1 = 63°26ʹ ;
𝑡2: 𝑦 = 𝑘2 𝑥 + 𝑞2, 𝑘𝑑𝑒 𝑘2 = 𝑡𝑔𝜑2 = 𝑦ʹ(2) = −2.2 + 2 = −2 ⟹ 𝜑2 = 116°34ʹ .
b) 𝑃 𝑥−? 𝑦 = 0 ⟹ ln 𝑥 = 0 ⟹ 𝑥 = 1 ⟹ 𝑃𝑥[1;0] je jediný průsečík s osou x. Tímto
průsečíkem lze vést jedinou tečnu, jejíž směrnice 𝑘 = 𝑦ʹ =
1
𝑥
.
𝑡: 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑞, 𝑘𝑑𝑒 𝑘 = 𝑡𝑔𝜑 = 𝑦ʹ(1) =
1
1
= 1 ⟹ 𝜑 = 45°.
Př.5: Na grafu funkce 𝑓: 𝑦 = 2𝑥2
+ 𝑥 − 1 určete bod T tak, aby tečna vedená tímto bodem
byla a) rovnoběžná s přímkou 𝑝: 𝑥 − 𝑦 + 10 = 0;
b) kolmá k přímce 𝑞: 3𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 .
Řeš.: a) tečna 𝑡 ∥ 𝑝 ⟹ 𝑘 𝑡 = 𝑓ʹ(𝑥) = 4𝑥 + 1 = 𝑘 𝑝 = 1 (𝑝: 𝑦 = 𝑥 + 10 )
𝑥 𝑇 = 0 ⟹ 𝑦 𝑇 = 2. 02
+ 0 − 1 = −1.
𝑇[0; −1];
b) tečna 𝑡 ⊥ 𝑞 ⟹ 𝑡 ∥ 𝑞ʹ: 𝑥 − 3𝑦 + 𝑚 = 0 ⟹ 𝑘 𝑡 = 𝑓ʹ(𝑥) = 4𝑥 + 1 = 𝑘 𝑞ʹ =
1
3
(𝑞ʹ: 𝑦 =
1
3
𝑥 +
𝑚
3
) 𝑥 𝑇 = −
1
6
⟹
⟹ 𝑦 𝑇 = 2. (−
1
6
)
2
−
1
6
− 1 = −
10
9
. 𝑇 [−
1
6
; −
10
9
] .
Souvislost derivace funkce a některých základních vlastností funkce:
(Stále je třeba si uvědomovat, že derivace funkce je vlastně směrnice tečny grafu funkce a učitel může využít
následující obrázek, aby upozornil studenty na to, jak informace o polohách tečen grafu v konkrétních bodech
určuje (napovídá) průběh grafu funkce!!!)
❑ Spojitost funkce: Má-li funkce f v bodě a derivaci, pak je v tomto bodě spojitá.
Obrácená věta ale neplatí! Funkce může být v bodě a spojitá a nemusí tam mít derivaci.
(viz např. P11, P12, P13)
❑ Monotónnost funkce: Má-li funkce f v bodě a kladnou (zápornou) první derivaci, pak je
v tomto bodě rostoucí (klesající). (viz např. P1, P5, P6, P10, (P3, P7, P9)).
Obrácená věta ale neplatí! Funkce může být v bodě a rostouci (klesající) a derivace
v bodě a se může rovnat nule (viz. např. P8) nebo dokonce vůbec nemusí existovat.
(viz např., P11, P12, P13)
❑ Extrémy funkce: Funkce f může (ale nemusí!!) mít v bodě a lokální extrém pouze
tehdy, když f´(a) = 0 (pak a je stacionární bod) (viz např. P2, P4) nebo když derivace
v bodě a neexistuje (viz např. P12, P13). Uvedené podmínky pro existenci extrému
v bodě a jsou nutné, nikoliv však postačující. Tozn., že podmínka může být splněna a
funkce v bodě a přesto extrém nemá (viz např. P8, P11). Ověření existence extrému
funkce v daném bodě je třeba provést buď za pomoci intervalů monotónnosti nebo za
pomoci vyšších derivací funkce.
❑ Konvexnost a konkávnost funkce: Má-li funkce f v bodě a druhou derivaci fʺ(a) > 0,
pak je funkce v bodě a konvexní (dutá). Je-li fʺ(a) < 0, pak je funkce v bodě a konkávní
(vypuklá). Body, ve kterých fʺ(a) = 0 a ve kterých se zároveň mění konvexní charakter
funkce na konkávní či naopak, jsou inflexní body.
-2 0 3
-3 -1 1 4
− − +− − − + − + + + +𝒚ʼ
A
min
B
max
C
min
Než učitel naučí studenty vyšetřovat celý a kompletní průběh funkce, měli by se studenti na
několika příkladech naučit zpracovávat jednotlivé fáze této náročné úlohy:
1. Monotónnost a extrémy funkce:
Př.6: Rozhodněte o typu monotónnosti funkce f v daném bodě x:
a) 𝑓: 𝑦 =
𝑥3
3
+
𝑥2
2
− 3𝑥, 𝑥 = −2;
b) 𝑓: 𝑦 = 2 sin (2𝑥 −
𝜋
4
) 𝑥 =
𝜋
4
;
Řeš.: a) 𝑦ʼ = 𝑥2
+ 𝑥 − 3, 𝑦ʼ(−2) = (−2)2
+ (−2) − 3 = −1 < 0 ⟹ 𝑓 je v 𝑥 = −2 𝐾𝐿𝐸𝑆𝐴𝐽Í𝐶Í ;
b) 𝑦ʼ = 4 cos (2𝑥 −
𝜋
4
) , 𝑦ʼ (
𝜋
4
) = 4 cos (2.
𝜋
4
−
𝜋
4
) = 4 cos
𝜋
4
= 4.
√2
2
= 2√2 > 0 ⟹
⟹ 𝑓 je v 𝑥 =
𝜋
4
𝑅𝑂𝑆𝑇𝑂𝑈𝐶Í ;
Př.7: Určete intervaly monotónnosti a extrémy dané funkce:
a) 𝑓: 𝑦 =
1
40
. (3𝑥4
− 4𝑥3
− 36𝑥2);
b) 𝑓: 𝑦 =
𝑥2−3𝑥+2
𝑥
;
Řeš.: a) 𝑦ʼ =
1
40
. (12𝑥3
− 12𝑥2
− 72𝑥) =
12
40
. 𝑥( 𝑥2
− 𝑥 − 6) =
3
10
𝑥. ( 𝑥 + 2)( 𝑥 − 3)
Funkce f je klesající v intervalech (−∞; −2⟩ a ⟨0; 3⟩ .
Funkce f je rostoucí v intervalech ⟨−2; 0⟩ a ⟨3; ∞) .
V bodě 𝑥 = −2 má funkce lokální minimum … 𝐴 [−2;−
8
5
].
V bodě 𝑥 = 0 má funkce lokální maximum … 𝐵[0; 0].
V bodě 𝑥 = 3 má funkce lokální minimum … 𝐶 [3;−
189
40
].
P1
P2
P3
P4
P5
P11
P12
P7
P8
P9
P13
P10
t1
t2
t3
t4
t5
t6
P6
t7
t8
t9
t10
−√𝟐 0
-2 -1 1 2
+ −
+
− −
+
+ −
+
+ +
+
𝒚ʼ
√𝟐
A
max
B
min
𝒚ʼʼ
-1 1
-2 20
− − + − + +
D
inf
E
inf
Asymptota bez směrnice: 𝑎 𝑏: 𝑥 = 1
Asymptota se směrnicí: 𝑎 𝑠: 𝑦 = 0
b) 𝑦ʼ =
(2𝑥−3).𝑥−(𝑥2+3𝑥−2)
𝑥2
=
𝑥2−2
𝑥2
=
(𝑥+√2).(𝑥−√2)
𝑥2
Funkce f je rostoucí v intervalech (−∞; −√2⟩ a ⟨√2; ∞) .
Funkce f je klesající v intervalech ⟨−√2; 0) a (0; √2⟩.
V bodě 𝑥 = −√2 má funkce lokální maximum … 𝐴[−√2;2√2 + 3].
V bodě 𝑥 = √2 má funkce lokální minimum …𝐵[√2; 2√2 − 3].
2. Konvexnost a konkávnost funkce:
Př.8: Určete intervaly konvexnosti a konkávnosti funkce: 𝑓: 𝑦 = 𝑥4
− 6𝑥2
+ 8.
Řeš.: 1. první derivace: 𝑦ʼ = 4𝑥3
− 12𝑥 ;
2. druhá derivace: 𝑦ʼʼ = 12𝑥2
− 12 = 12. (𝑥 + 1). (𝑥 − 1) ;
Funkce f je konvexní v intervalech (−∞; −1⟩ a ⟨1;∞).
Funkce f je konkávní v intervalu 〈−1; 1〉 .
Funkce f má v bodech 𝑥 = −1 a 𝑥 = 1 dva inflexní body … 𝐷[−1; 3] 𝑎 𝐸[1; 3].
3. Asymptoty grafu funkce:
Př.9: Je dána funkce 𝑓: 𝑦 =
1
(1−𝑥)3 . Určete všechny asymptoty jejího grafu.
Řeš.: 1. Asymptoty bez směrnice: Jediným bodem nespojitosti funkce f je 𝑥 = 1.
Asymptota bez směrnice existuje v bodě nespojitosti právě tehdy, jeli alespoň jedna
z jednostranných limit v tomto bodě nevlastní.
lim
𝑥→1−
1
(1−𝑥)3 =
1
0+ = +∞;
lim
𝑥→1+
1
(1−𝑥)3 =
1
0− = −∞;
2. Asymptoty se směrnicí: 𝑎 𝑠: 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑞
𝑘 = lim
𝑥→±∞
𝑓(𝑥)
𝑥
= lim
𝑥→±∞
1
(1−𝑥)3.𝑥
= 0;
𝑞 = lim
𝑥→±∞
(𝑓(𝑥) − 𝑘𝑥) = lim
𝑥→±∞
(𝑓(𝑥) − 0. 𝑥) = lim
𝑥→±∞
1
(1−𝑥)3 = 0;
Pozn. k asymptotám se směrnicí: Je-li 𝑎 𝑠 asymptota, pak se pro 𝑥 → ∞ přímka 𝒂 𝒔 a křivka 𝒇,
(tedy 𝒌𝒙 + 𝒒 a 𝒇(𝒙)) neomezeně přibližují. Proto:
1) lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥)
𝑘𝑥+𝑞
= 1 ⟹ lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥)
𝑥
.
1
𝑘+
𝑞
𝑥
=
1
𝑘
. lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥)
𝑥
= 1.
Tozn., že lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥)
𝑥
= 𝑘. = 0
2) lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→∞
(𝑘𝑥 + 𝑞) = lim
𝑥→∞
𝑘𝑥 + 𝑞.
Tozn., že 𝑞 = lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) − lim
𝑥→∞
𝑘𝑥 = lim
𝑥→∞
(𝑓(𝑥) − 𝑘𝑥).
Analogicky pro asymptotu při 𝑥 → −∞.
𝒂 𝒔: 𝒚 = 𝒌𝒙 + 𝒒
𝒇: 𝒚 = 𝒇(𝒙)
y
x
0
1
−
+
+
+
+
+
1
2
-1 2
Osnova pro vyšetření průběhu funkce f: y = f(x):
1. D(f), sudost, lichost, periodičnost, průsečíky s osami, intervaly kladných a záporných
funkčních hodnot
2. Chování funkce f v nevlastních bodech (určení ( ) ( )xfxf
xx −→→
lim,lim ),
určení asymptot (pokud existují)
- bez směrnice … … asymptota ab bez směrnice může existovat pouze v bodě
nespojitosti b, a to tehdy, jestliže alespoň jedna
z jednostranných limit v b je nevlastní. Pak ab: x = b.
- se směrnicí ……. as: y = k.x + q, kde
( ) ( )( )kxxfq
x
xf
k
xx
−==
→→
lim,lim
3. Určení intervalů monotónnosti a extrémů funkce (užití první derivace funkce)
4. Určení intervalů konvexnosti a konkávnosti a inflexních bodů funkce (užití druhé
derivace funkce)
5. Graf funkce
Př.10: Vyšetřete průběh funkce: 𝑓: 𝑦 =
𝑥3
(𝑥−1)2
.
Řeš.: ① a) 𝐷(𝑓) = 𝑅 − {1}; b) Funkce f není ani sudá ani lichá …S, L ;
c) Průsečíky s osami souřadnic: 𝑃𝑥 = 𝑃𝑦[0; 0];
d) Intervaly kladných a záporných funkčních hodnot:
𝑎 𝑏 … 𝑥 = 1
𝑎 𝑠 … 𝑦 = 𝑥 + 2
𝟎 1
-1 1
2
2 4
+ −
−
+ −
−
+ −
+
+ +
+
𝒚ʼ
𝟑
A
min
𝒚ʼʼ
0 1
-1 21
2
−
+
+
+
B
inf
+
+
② a) lim
𝑥→−∞
𝑥3
( 𝑥−1)2
= [
𝑥3
𝑥2.(1−
2
𝑥
+
1
𝑥2)
] = lim
𝑥→−∞
𝑥 = −∞;
lim
𝑥→∞
𝑥3
( 𝑥−1)2
= [
𝑥3
𝑥2.(1−
2
𝑥
+
1
𝑥2)
] = lim
𝑥→∞
𝑥 = +∞;
b) Asymptoty:
1. bez směrnice …bod nespojitosti: 𝑥 = 1.
lim
𝑥→1−
𝑥3
( 𝑥−1)2
=
1
0+
= +∞;
lim
𝑥→1+
𝑥3
( 𝑥−1)2
=
1
0+
= +∞;
2. se směrnicí … 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑞;
𝑘 = lim
𝑥→±∞
𝑓(𝑥)
𝑥
= [
𝑥3
𝑥3−2𝑥2+𝑥
] = 1;
𝑞 = lim
𝑥→±∞
(𝑓(𝑥) − 𝑘𝑥) = [
𝑥3
(𝑥−1)2
− 𝑥 =
𝑥3−𝑥3+2𝑥2−𝑥
(𝑥−1)2
] = 2;
③ 𝑦ʼ =
3𝑥2.(𝑥−1)2−𝑥3.2(𝑥−1)
(𝑥−1)4
=
(𝑥−1).(3𝑥3−3𝑥2−2𝑥3)
(𝑥−1)4
=
𝑥3−3𝑥2
(𝑥−1)3
=
𝑥2.(𝑥−3)
(𝑥−1)3
;
◘ 𝑦ʼ neexistuje pro 𝑥 = 1, ale 1 ∉ 𝐷(𝑓) ;
◘ 𝑦ʼ = 0 ⟺ 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 3 …. stacionární body
V bodě 𝑥 = 3 má funkce lokální minimum …𝐴 [3;
27
4
];
④ 𝑦ʼʼ = [
𝑥3−3𝑥2
(𝑥−1)3
]
´
=
(3𝑥2−6𝑥).(𝑥−1)3−(𝑥3−3𝑥2).3.(𝑥−1)2
(𝑥−1)6
=
(𝑥−1)2.6𝑥
(𝑥−1)6
=
6𝑥
(𝑥−1)4
;
◘ 𝑦ʼʼ = 0 ⇔ 𝑥 = 0 …. kritický bod
V bodě 𝑥 = 0 je inflexní bod … 𝐵[0; 0].
⑤ Graf:
Slovní úlohy řešené užitím derivací:
U slovních úloh jde o to, abychom na základě zadaných parametrů vztahujících se k nějakému
ději, který musíme pro účely řešení matematizovat do podoby vhodné funkce f, nalezli
hodnotu veličiny, případně několika veličin, pro které uvedená funkce f nabude extrémní, tedy
buď maximální nebo minimální, hodnoty.
Abychom byli v řešení slovní úlohy úspěšní, musíme provést přehledný zápis, ve kterém jasně
určíme: Zadané veličiny: ……
Hledané veličiny: je-li jich více, musíme všechny vyjádřit pomocí jedné z nich a
pomocí veličin zadaných ……
Funkci, u které budeme hledat extrém: ……
Pozn. 1: V zadání každé úlohy je vždy naprosto jasně řečeno, jaká veličina má být
maximální nebo minimální –
– např.: 1) „…určete rozměry … tak, aby objem byl maximální …“,
2) „…určete rozměry … tak, aby povrch byl minimální …“,
3) „… určete čísla … tak, aby jejich součin byl maximální …“, …
Učitel by měl na začátku projít se studenty v některé sbírce úloh pár zadání
příkladů a vyzvat studenty, aby rychle v textu našli funkci, u níž budou hledat
extrém. Zbaví je tím obav, že pro ně bude obtížné správnou funkci najít.
Pozn. 2: Hledání extrémů funkce f se samozřejmě provádí za pomoci určení první
derivace funkce, určení bodů, ve kterých první derivace neexistuje a
především určení stacionárních bodů, ve kterých je první derivace rovna nule.
Protože nás však u těchto praktických úloh vůbec nezajímá průběh funkce f,
nýbrž pouze body, v nichž má extrém, můžeme místo intervalů monotónnosti
použít následující tvrzení:
Nechť 𝒇ʼ(𝒙 𝟎) = 𝟎, 𝒇ʼʼ(𝒙 𝟎) = 𝒇ʼʼʼ(𝒙 𝟎) = ⋯ = 𝒇 𝒏−𝟏(𝒙 𝟎) = 𝟎 ,
ale 𝒇 𝒏(𝒙 𝟎) ≠ 𝟎.
Je-li n – sudé číslo, pak má f v 𝒙 𝟎 lokální extrém, a to:
• maximum, když 𝒇 𝒏(𝒙 𝟎) < 𝟎;
• minimum, když 𝒇 𝒏(𝒙 𝟎) > 𝟎.
Je-li n – liché číslo, pak f v 𝒙 𝟎 lokální extrém nemá.
x
y
1 2 3
2
-2
𝟐𝟕
𝟒
A
B
𝒂 𝒔
𝒂 𝒃
f
𝒇: 𝒚 = 𝒙 𝟒
𝑦ʼ = 4𝑥3
stac. bod …0
𝑦ʼʼ = 12𝑥2
, 𝒚ʼʼ(𝟎) = 𝟎
𝑦ʼʼʼ = 24𝑥, 𝒚ʼʼʼ(𝟎) = 𝟎
𝒚 𝑰𝑽
= 𝟐𝟒 > 𝟎
První od nuly různá derivace je
čtvrtá, tedy sudá, pro bod 𝒙 = 𝟎
je kladná, proto má funkce f
v tomto bodě minimum.
𝒈: 𝒚 = 𝒙 𝟑
𝑦ʼ = 3𝑥2
stac. bod …0
𝑦ʼʼ = 6𝑥, 𝒚ʼʼ(𝟎) = 𝟎
𝑦ʼʼʼ = 6
První od nuly různá derivace je
třetí, tedy lichá, proto funkce g
v tomto bodě extrém nemá.
𝒉: 𝒚 = −𝒙 𝟐
𝑦ʼ = −2𝑥
stac. bod …0
𝒚ʼʼ = −𝟐 < 𝟎
První od nuly různá derivace je
druhá, tedy sudá, pro bod 𝒙 = 𝟎
je záporná, proto má funkce h
v tomto bodě maximum.
x
x
x
y y y
f g
h
x
x
x
x
x
x
x
x
𝟖𝟎 𝒄𝒎
𝟓𝟎 𝒄𝒎
𝒂 = 𝟖𝟎 − 𝟐𝒙
𝒃 = 𝟓𝟎 − 𝟐𝒙
x
y
0
10 25
40
100
3
f
Studenti si nepochybně použití posledního tvrzení k určení extrémů funkce
lépe zapamatují, jestliže jim učitel ukáže, jak tvrzení funguje na následujících
třech jednoduchých funkcích:
Př.11: Určete stranu čtverců, které musíme vyříznout ve všech rozích obdélníkového kartonu
o rozměrech 80 cm a 50 cm tak, aby po složení vznikla krabice maximálního objemu.
Řeš.: Dáno: rozměry obdélníku: 𝒎 = 𝟖𝟎 𝒄𝒎, 𝒏 = 𝟓𝟎 𝒄𝒎;
Hledáme: 𝒙 … strana čtverce ;
Funkce, u níž určujeme extrém: Objem kvádru 𝑽 = 𝒂𝒃𝒄;
𝑉 = 𝑎𝑏𝑐 = (80 − 2𝑥). (50 − 2𝑥). 𝑥
𝒇: 𝑦 = 𝑉 = 4𝑥3
− 260𝑥2
+ 4000𝑥
𝑦ʼ = 12𝑥2
− 520𝑥 + 4000 = 4. (3𝑥2
− 130𝑥 + 1000)
𝑦ʼ = 0 ⟺ 3𝑥2
− 130𝑥 + 1000 = 0 ⟺ 𝑥 = 10 ∨ 𝑥 =
100
3
= 33, 3̅
Kořen 33, 3̅ nepřichází v úvahu vzhledem k zadaným rozměrům kartonu. Proto budeme
dál pracovat pouze s kořenem 𝑥 = 10.
Ověříme pomocí vyšších derivací, že pro 𝑥 = 10 nabude funkce f maxima:
𝑦ʼʼ = 24𝑥 − 520, 𝑦ʼʼ(10) = 240 − 520 = −280 < 0 ⇒ v bodě 𝑥 = 10 je maximum.
Pozn.: Ve zvídavé třídě může učitel očekávat dotaz (nebo jej může v případě dostatku času
položit sám): Jak s řešením úlohy souvisí druhý kořen 𝑥 =
100
3
= 33, 3̅?
Aby neztrácel příliš mnoho času, měl by být učitel na tuto situaci připraven:
1) Graf funkce 𝑓: 𝑦 = 4𝑥3 − 260𝑥2 + 4000𝑥 = 4𝑥. ( 𝑥2 − 65𝑥 + 1000) =
= 4𝑥. (𝑥 − 25)(𝑥 − 40)
2) Hledaná délka strany čtverce x evidentně musí ležet v (0; 25). Stacionární bod
𝑥 =
100
3
leží mimo tento interval, ale kubická funkce f v něm má minimum.
Př.12: Do koule daného poloměru (𝑅 = 30 𝑐𝑚) vepište kužel maximálního objemu. Určete
poloměr podstavy a výšku kužele.
Řeš.: Dáno: koule s poloměrem R ;
Hledáme: poloměr podstavy r a výšku v vepsaného kužele (dvě neznámé – jednu
musíme vyjádřit pomocí druhé, případně pomocí zadané veličiny R;
Funkce, u níž určujeme extrém: Objem kužele 𝑽 =
𝟏
𝟑
𝝅𝒓 𝟐
𝒗 ;
𝑉 =
1
3
𝜋𝑟2
𝑣 =
1
3
𝜋(2𝑅𝑣 − 𝑣2)𝑣
𝒇: 𝑦 = 𝑉 =
2𝜋𝑅𝑣2
3
−
𝜋𝑣3
3
𝑦ʼ =
4𝜋𝑅𝑣
3
− 𝜋𝑣2
= 𝜋𝑣. (
4𝑅
3
− 𝑣)
𝑦ʼ = 0 ⟺ 𝑣 = 0 ∨ 𝑣 =
4𝑅
3
Pro řešení úlohy má evidentně význam pouze druhý kořen.
Ověříme pomocí vyšších derivací, že pro 𝑣 =
4𝑅
3
nabude funkce f maxima.
𝑦ʼʼ =
4𝜋𝑅
3
− 2𝜋𝑣, 𝑦ʼʼ (
4𝑅
3
) =
4𝜋𝑅
3
− 2𝜋.
4𝑅
3
= −
5𝑅
3
< 0 ⇒ pro 𝑣 =
4𝑅
3
má 𝒇 maximum.
Nakonec dopočítáme druhý požadovaný rozměr:
𝑟2
= 2𝑅𝑣 − 𝑣2
= 2𝑅.
4𝑅
3
−
16𝑅2
9
=
8𝑅2
9
⇒ 𝑟 = +
2𝑅√2
3
;
Poloměr podstavy kužele je 𝑟 = +
2𝑅√2
3
(𝑟 = 20√2𝑐𝑚), výška kužele 𝑣 =
4𝑅
3
(𝑣 = 40 𝑐𝑚).
Derivace funkce zadané implicitně:
Funkce může být zadaná - explicitně (přímo, tedy rovnicí f: y = f(x))
- implicitně (nepřímo, zastřeně, zprostředkovaně) – např. pomocí
analytického vyjádření křivky F(x, y) = 0, která sama
nemusí být grafem funkce, ale může představovat
sjednocení grafů několika funkcí fi (viz např. kuželosečky).
Derivování implicitní funkce:
x … známým způsobem
y … jako složenou funkci závisící na x
(např.: (y3
+ x2
+7)´= 3y2
. y´ + 2x )
r
R
𝒗 − 𝑹
v R
OA B
V
S
∆𝑨𝑶𝑺: 𝒓 𝟐
+ (𝒗 − 𝑹) 𝟐
= 𝑹 𝟐
𝒓 𝟐
+ 𝒗 𝟐
− 𝟐𝑹𝒗 + 𝑹 𝟐
= 𝑹 𝟐
𝒓 𝟐
= 𝟐𝑹𝒗 − 𝒗 𝟐
Př.13: Napište rovnici tečny křivky k: 𝑥2
+ 𝑦2
− 6𝑥 + 24𝑦 + 53 = 0 v jejím bodě 𝑇[9; −4].
Řeš.: 𝑡: 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑞 , 𝑘 = 𝑦ʼ
2𝑥 + 2𝑦𝑦ʼ − 6 + 24𝑦ʼ = 0 /: 2
𝑦𝑦ʼ + 12𝑦ʼ = 3 − 𝑥
𝑦ʼ =
3−𝑥
𝑦+12
𝑦ʼ(𝑇) =
3−9
−4+12
= −
3
4
𝑡: 𝑦 = −
3
4
𝑥 + 𝑞
𝑇 ∈ 𝑡 ⇒ −4 = −
3
4
. 9 + 𝑞 ⇒ 𝑞 = −4 +
27
4
=
11
4
𝑡: 𝑦 = −
3
4
𝑥 +
11
4
𝑡: 3𝑥 + 4𝑦 − 11 = 0
Př.14: Kterým bodem elipsy 𝐸: 4(𝑥 − 1)2
+ 𝑦2
= 1 je vedena tečna, která svírá s kladnou
poloosou x úhel 𝜑 = 45°?
Řeš.: 𝑡: 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑞, 𝑘 = 𝑦ʼ = tg 𝜑
8(𝑥 − 1) + 2𝑦𝑦ʼ = 0
𝑦ʼ =
𝑦
4(𝑥−1)
= tg45° = 1
𝑦 = 4(𝑥 − 1)
𝐸: 4(𝑥 − 1)2
+ [4(𝑥 − 1)]2
= 1
20𝑥2
− 40𝑥 + 19 = 0
𝑥1,2 =
40±√1600−1520
40
=
10±√5
10
𝑥1 =
10−√5
10
⇒ 𝑦 = −
2√5
5
⇒ 𝑇1 [
10−√5
10
; −
2√5
5
] ;
𝑥2 =
10+√5
10
⇒ 𝑦 =
2√5
5
⇒ 𝑇2 [
10+√5
10
;
2√5
5
] .
Fyzikální význam derivace:
Jednou z nejdůležitějších oblastí použití derivace ve fyzice je derivace podle časové proměnné
vyjadřující rychlost změny nějaké proměnné v čase.
Např. rychlost je derivace dráhy podle času;
zrychlení je derivace rychlosti podle času; …
Př.15: Kámen vyhozený z výšky ℎ = 10 𝑚 svisle vzhůru má počáteční rychlost 𝑣0 = 20
𝑚
𝑠
.
a) Jakou rychlost bude mít kámen v čase 1,5 s?
b) Za jaký čas dosáhne maximální výšku?
c) Jakou výšku kámen dosáhne?
Řeš.: a) 𝑠 = ℎ + 𝑣0 𝑡 −
𝑔𝑡2
2
𝑠 = 10 + 20𝑡 − 5𝑡2
𝑣 = 𝑠ʼ =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 20 − 10𝑡
𝑣(1,5) = (20 − 10.1,5)
𝑚
𝑠
= 5
𝑚
𝑠
;
b)výška bude maximální ⇔ 𝑣 = 0
𝑚
𝑠
⇒ 20 − 10𝑡 = 0 ⇒ 𝑡 = 2 𝑠 ;
c) 𝐻 = 𝑠(2) = (10 + 20.2 − 5. 22)𝑚 = 30 𝑚 .
Rychlost kamene v čase 1,5 s je 5
𝑚
𝑠
. Maximální výšku 30 𝑚 dosáhne za 2 𝑠 .
Př.16: Těleso sjede po nakloněné rovině 50 m dlouhé za 10 s. Jaká je jeho konečná rychlost,
pokud předpokládáme, že dráha je kvadratickou funkcí času a že počáteční rychlost je
nulová?
Řeš.: 𝑠 = 𝑎𝑡2
+ 𝑏𝑡 + 𝑐
𝑣 = 𝑠ʼ =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 2𝑎𝑡 + 𝑏
𝑠(0) = 0𝑚 ⇒ 𝑐 = 0
𝑣(0) = 0 ⇒ 𝑏 = 0
𝑠 … 50 = 𝑎. 102
+ 0.10 + 0 ⇒ 𝑎 =
1
2
Závislost dráhy na čase: 𝑠 =
1
2
𝑡2
;
Konečná rychlost: 𝑣 = 2.
1
2
. 𝑡 = 2.0,5.10
𝑚
𝑠
= 10
𝑚
𝑠
.
Konečná rychlost tělesa je 10
𝑚
𝑠
.
Př.17: Rychlík jedoucí rychlostí 90
𝑘𝑚
ℎ
má zabrzdit tak, aby se rovnoměrně zpomaleným
pohybem zastavil na vzdálenost 1 𝑘𝑚. Po jakém čase zastaví?
Řeš.: 𝑣0 = 90
𝑘𝑚
ℎ
= 25
𝑚
𝑠
; 𝑠 = 1 𝑘𝑚 = 1000 𝑚 ;
𝑠 = 𝑣0 𝑡 −
𝑎
2
𝑡2
= 25𝑡 −
𝑎
2
𝑡2
; 𝑣 = 𝑠ʼ = 25 − 𝑎𝑡 = 0 ⇒ 𝑎 =
25
𝑡
;
𝑠 = 25𝑡 −
25
2𝑡
𝑡2
= 12,5𝑡 ⇒ 1000 = 12,5𝑡 ⇒ 𝑡 =
1000
12,5
𝑠 = 80 𝑠;
Rychlík zastaví za 80 𝑠 .
Př.18: Množství elektrického náboje Q, který prochází vodičem, se mění s časem podle
vztahu:𝑄 = 3𝑡2
+ 2𝑡 + 2. a) Vypočítejte okamžitou hodnotu proudu i v době 𝑡 = 1 𝑠.
b) Vypočítejte, kdy bude hodnota okamžitého proudu 𝑖 = 20 𝐴.
Řeš.: 𝑄 = 3𝑡2
+ 2𝑡 + 2
𝑖 = 𝑄ʼ =
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 6𝑡 + 2
a) 𝑖(1) = (6.1 + 2) 𝐴 = 8 𝐴;
b) 20 = 6𝑡 + 2
6𝑡 = 18
𝑡 = 3 𝑠 .
V čase 1 𝑠 je okamžitá hodnota proudu 8 𝐴. Hodnoty 20 𝐴 bude dosaženo za 3 𝑠 .
Př.19: V indukční cívce s indukčností 𝐿 = 0,03 𝐻 protéká proud 𝑖 = 15𝑠𝑖𝑛5(3𝑡).
Vypočtěte indukované napětí v čase 𝑡 =
2𝜋
9
𝑠.
Řeš.: 𝑢 = −𝐿.
𝑑𝑖
𝑑𝑡
;
𝑑𝑖
𝑑𝑡
= 15.5. 𝑠𝑖𝑛4(3𝑡). cos(3𝑡). 3 = 225. 𝑠𝑖𝑛4(3𝑡). cos(3𝑡);
𝑢 (
2𝜋
9
) = [−0,03.225. 𝑠𝑖𝑛4
(3.
2𝜋
9
) . cos (3.
2𝜋
9
) ] 𝑉 = [−0,03.225. 𝑠𝑖𝑛4 2𝜋
3
. cos
2𝜋
3
] 𝑉 =
= [−6,75. (
√3
2
)
4
. (−
1
2
)] 𝑉 = 1,9 𝑉.
Okamžitá hodnota indukovaného napětí je 1,9 𝑉.
𝑎) 𝑦 = √ 𝑥
3
. (2𝑥2
+ 1)
𝑏) 𝑦 = cos2
(
𝑥
2
) + √1 + 𝑥2
𝑐) 𝑦 = ln √
1 − sin 𝑥
1 + sin 𝑥
𝑑) 𝑦 = √ 𝑥. √ 𝑥. √ 𝑥
[𝑦ʹ
=
(14𝑥2
+ 1). √ 𝑥
3
3𝑥
]
[𝑦ʹ
=
− sin 𝑥
2
+
𝑥
√1 + 𝑥2
]
[𝑦ʹ
=
−1
cos 𝑥
]
[𝑦ʹ
=
7. √𝑥78
8𝑥
]
Př.20 Těleso koná harmonický kmitavý pohyb a pro jeho výchylku z rovnovážné polohy platí
𝑦 = 𝑦 𝑚. sin(𝜔𝑡), kde 𝑦 𝑚 je amplituda výchylky a 𝜔 je úhlová frekvence pohybu.
Odvoďte vzorec pro výpočet rychlosti a zrychlení harmonického kmitavého pohybu.
Řeš.: 𝑦 = 𝑦 𝑚. sin(𝜔𝑡);
𝑣 = 𝑦ʼ =
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑦 𝑚. 𝜔. cos(𝜔𝑡);
𝑎 = 𝑣ʼ =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= −𝑦 𝑚. 𝜔2
. sin(𝜔𝑡) = −𝜔2
. 𝑦 .
Základní poznatky:
1. Určete derivace funkce (Realisticky.cz – 10.2.7):
a) 𝑦ʹ = (
3
3𝑥−1
)
ˎ
; b) 𝑦ʹ = [cos(3𝑥 + 𝜋)]ʼ
; c) 𝑦ʹ = [
1
(𝑥2+2𝑥−3)6
]
ˎ
; d) 𝑦ʹ = (√𝑥2 + cos 𝑥
3
)
ˎ
;
[−
9
(3𝑥−1)2 ; −3. sin(3𝑥 + 𝜋) ; −
12.(𝑥+1)
(𝑥2+2𝑥−3)7 ;
1
3
.
2𝑥−sin 𝑥
√(𝑥2+cos 𝑥)23 ]
2. Určete rovnici tečny a normály grafu funkce 𝑦 =
1
𝑥
v bodě [−1, −1].
[Realisticky.cz – 10.2.14, 𝑦 = −𝑥 − 2, 𝑦 = 𝑥]
Typové příklady standardní náročnosti
3. Vypočítejte derivace funkcí:
4. Vypočítejte derivace (Realisticky.cz – 10.2.8):
a) [sin(𝑒5𝑥)]ʹ
b) [2cos(𝑥2+2𝑥)
]
ʹ
c) [𝑒sin2 𝑥
]
ʹ
[𝑦ʹ
= 5. 𝑒5𝑥
. cos 𝑒5𝑥
; 𝑦ʹ
= −(2𝑥 + 2). sin(𝑥2
+ 2𝑥). 2cos(𝑥2+2𝑥)
. ln 2 ; 𝑦ʹ
= 𝑒sin2 𝑥
. sin 2𝑥]
5. Určete rovnici tečny grafu funkce 𝑓: 𝑦 = 𝑥2
− 2𝑥 + 3, která je rovnoběžná s přímkou
𝑝: 3𝑥 − 𝑦 + 5 = 0. [𝑡: 12𝑥 − 4𝑦 − 13 = 0, 𝑇 [
5
2
;
17
4
] ]
6. Určete rovnici tečny ke křivce 𝑦2
+ 3𝑥 + 4𝑦 − 7 = 0, v bodě T[-8, 4].
[ 𝑡: 𝑥 + 4𝑦 − 8 = 0]
7. Do koule o poloměru R vepište kužel maximálního objemu. Určete výšku tohoto kužele.
[𝑣 =
4
3
𝑟]
8. Ze čtvrtky kartonu formátu A4 (210 x 297 mm) vystřihněte v rozích čtyři stejné čtverečky
tak, aby složením vzniklého obrazce vznikla krabička maximálního objemu.
[Realisticky.cz – 10.2.15: Je nutné vystřihnout čtverce o straně 40,4 mm.]
9. Určete ideální rozměry válcové pivní plechovky, která při objemu 0,5 l bude mít minimální
povrch (minimální spotřeba plechu). [𝑅𝑒𝑎𝑙𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑘𝑦. 𝑐𝑧 – 10.2.15: 𝑟 = √
𝑉
𝜋
3
, 𝑟 = 𝑣]
10. Vyšetřete průběh funkce: a) 𝑓: 𝑦 = 𝑥4
− 2𝑥2
; b) 𝑓: 𝑦 =
𝑥−1
(𝑥−2)2
Rozšiřující cvičení
11. Určete rovnice tečen křivky k: 𝑥3
𝑦 + 𝑥2
𝑦2
= 1 + 𝑥 v jejích průsečících s přímkou
𝑝: 𝑥 = −1. [𝑡1: 𝑥 + 𝑦 + 1 = 0 ; 𝑡2: 𝑦 − 1 = 0]
12. Určete rovnici tečny křivky 𝑘: 𝑥. sin 𝑦 − cos 𝑦 + cos 2𝑦 = 0 v jejím bodě 𝑇 [1;
𝜋
4
].
[𝑡: 2. (√2 + 1). 𝑥 − 4𝑦 + 𝜋 − 2. (√2 + 1) = 0]
13. Trosečníka na voru unáší mořský proud rychlostí 7 km/h. Kolmo na směr proudu pluje
obchodní loď rychlostí 30 km/h (vzhledem k povrchu Země). V jeden okamžik je námořní
loď vzdálena od místa, kde se protínají jejich trajektorie 100 km a trosečník 10 km. V jaké
nejmenší vzdálenosti se minou? Zachrání loď trosečníka, když předměty jeho velikosti vidí
na vzdálenost 20 km?
[Realisticky.cz – 10.2.15: Minou se v minimální vzdáleností 13 km, asi ho loď zachrání.]