35 Derivace funkce a její užití – met. Stručný přehled teorie – uváděn průběžně – spolu s metodickými radami a vzorovými výpočty úloh Met.: Derivace funkce představuje jeden ze základních pojmů diferenciálního počtu. Byl vytvořen ve druhé polovině 17. století při řešení konkrétních fyzikálních a geometrických problémů. Většina času, který je ve středoškolské matematice věnován diferenciálnímu počtu, je určena pro geometrický význam derivace funkce a jeho využití při vyšetřování průběhu funkcí a při řešení praktických úloh. f:y = f(x) x s Geometrický význam derivace funkce v daném bodě x[0] je směrnice tečny ke grafu funkce v tomto bodě. T S t x[0] x[0 ]+ Δx Δx f(x[0]) f(x[0 ]+ Δx) Δy Δy = f(x[0] + Δx) – f(x[0]) φ α x Q Obrázek lze využít k vysvětlení způsobu určení směrnice tečny grafu funkce f (tedy způsobu určení derivace funkce f). Na obrázku: Ø část grafu funkce f: y = f(x) Ø sečna s = ↔TS se směrovým úhlem φ Ø tečna t se směrovým úhlem α vedená ke grafu funkce f bodem T. Je zřejmé, že směrnici k[s] sečny s určíme z pravoúhlého trojúhelníku STQ takto: k[s] = tg φ Ze sečny se stane tečna v okamžiku, kdy bod S přejde po části grafu funkce f do bodu T. Pohyb bodu S do T a přechod sečny do tečny jsou na obrázku naznačeny červenými šipkami. Přitom se zároveň zmenšují rozměry ΔSTQ (např. Δx → 0). Směrnice tečny: k[t] = Směrnicová rovnice tečny t je pak t: y = k[t ]x + q Derivace funkce f v bodě x[0] je tedy f´(x[0]) = (čteme: limita podílu přírůstku funkční hodnoty a přírůstku argumentu za předpokladu, že se přírůstek argumentu blíží k nule). Derivace funkce v intervalu: Má-li funkce f: y = f(x) v každém bodě x jisté množiny M derivaci f '(x), pak funkci f ': y = f '(x) nazýváme derivací funkce f na množině M. Derivace některých elementárních funkcí: funkce její derivace v bodě x x z intervalu y = x^n, nÎN y = n.x^n-1 y = x^k, kÎZ y = k.x^k-1 y = x^r, rÎR y = r.x^r-1 y = c y = 0 y = sin x y = cos x y = cos x y = - sin x y = tg x y = , kÎZ y = cotg x y = , kÎZ y = e^x y = e^x y = a^x, a > 0, a ≠ 1 y = a^x.ln a y = ln x y = log[a ]x , a > 0, a ≠ 1 Základní pravidla pro derivování: 1. ( f ± g)'(x) = f '(x) ± g'(x) … derivace součtu (rozdílu) se rovná součtu (rozdílu) derivací 2. (cf)'(x) = c. f '(x) …… konstanta se „vynáší“ před znak derivace 3. (fg)'(x) = f '(x) . g(x) + f(x) . g'(x) ….. (uv)' = u'v + uv' 4. ….. 5. derivace složené funkce: [f (g(x))]' = f '(g(x)) . g'(x) Zvládnutí derivování elementárních funkcí a funkcí složených, a také zvládnutí používání základních pravidel pro derivování, představuje „abecedu“ celého diferenciálního počtu. Tomuto cíli musí učitel přizpůsobit obsah vyučovacích hodin, během nichž důkladným procvičováním dosáhne u studentů dostatečné obratnosti a jistoty ve výpočtech derivací. Jako první úlohu může zařadit ukázku výpočtu derivace některé elementární funkce na základě definice: Př.1: Nechť je dána funkce . Vypočítejte její derivaci v libovolném bodě x. Řeš.: ; Př.2: Nechť je dána funkce . Vypočítejte její derivaci v libovolném bodě x. Řeš.: Příklad prověrky, kterou by studenti měli bez větších problémů zvládnout po zmíněném důkladném procvičení, než se přejde k dalším typům úloh na využití derivací: A Derivujte: 1. y = 2. y = 3. y = 4. y = 5. y = x.ln2 + log20 6. y = 7. y = 8. y = B Derivujte: 1. y = 2. y = 3. y = 4. y = 5. y = 6. y = 7. y = 8. y = Znalost derivování si studenti mohou procvičit a souvislost derivace funkce a směrnice tečny upevnit na příkladech zabývajících se tečnami grafů funkcí: Př.3: Napište obecnou rovnici tečny ke grafu funkce v bodě T. a) ; b) . Řeš.: a) Tečna obecně … . Směrnice tečny v bodě T … . Pro určení q musíme vypočítat y-ovou souřadnici T: . . Směrnicová rovnice tečny … . Obecná rovnice tečny … . b) Tečna obecně … . Směrnice tečny v bodě T … . Pro určení q musíme vypočítat y-ovou souřadnici T: . . Směrnicová rovnice tečny … . Obecná rovnice tečny … . Př.4: Vypočítejte směrový úhel tečny vedené ke grafu funkce průsečíkem grafu s osou x. a) ; b) ; Průsečíky s osou x jsou dva: . Každým z nich lze vést jednu tečnu, jejíž směrnice . ; . b) je jediný průsečík s osou x. Tímto průsečíkem lze vést jedinou tečnu, jejíž směrnice . Př.5: Na grafu funkce určete bod T tak, aby tečna vedená tímto bodem byla a) rovnoběžná s přímkou ; b) kolmá k přímce . Řeš.: a) tečna . ; b) tečna . . Souvislost derivace funkce a některých základních vlastností funkce: (Stále je třeba si uvědomovat, že derivace funkce je vlastně směrnice tečny grafu funkce a učitel může využít následující obrázek, aby upozornil studenty na to, jak informace o polohách tečen grafu v konkrétních bodech určuje (napovídá) průběh grafu funkce!!!) q Spojitost funkce: Má-li funkce f v bodě a derivaci, pak je v tomto bodě spojitá. Obrácená věta ale neplatí! Funkce může být v bodě a spojitá a nemusí tam mít derivaci. (viz např. P[11], P[12], P[13]) q Monotónnost funkce: Má-li funkce f v bodě a kladnou (zápornou) první derivaci, pak je v tomto bodě rostoucí (klesající). (viz např. P[1], P[5], P[6], P[10], (P[3], P[7], P[9])). Obrácená věta ale neplatí! Funkce může být v bodě a rostouci (klesající) a derivace v bodě a se může rovnat nule (viz. např. P[8])[ ]nebo dokonce vůbec nemusí existovat. (viz např., P[11], P[12], P[13]) q Extrémy funkce: Funkce f může (ale nemusí!!) mít v bodě a lokální extrém pouze tehdy, když f´(a) = 0 (pak a je stacionární bod) (viz např. P[2], P[4]) nebo když derivace v bodě a neexistuje (viz např. P[12], P[13]). Uvedené podmínky pro existenci extrému v bodě a jsou nutné, nikoliv však postačující. Tozn., že podmínka může být splněna a funkce v bodě a přesto extrém nemá (viz např. P[8], P[11]). Ověření existence extrému funkce v daném bodě je třeba provést buď za pomoci intervalů monotónnosti nebo za pomoci vyšších derivací funkce. q Konvexnost a konkávnost funkce: Má-li funkce f v bodě a druhou derivaci fʺ(a) > 0, pak je funkce v bodě a konvexní (dutá). Je-li fʺ(a) < 0, pak je funkce v bodě a konkávní (vypuklá). Body, ve kterých fʺ(a) = 0 a ve kterých se zároveň mění konvexní charakter funkce na konkávní či naopak, jsou inflexní body. P[1] P[2] P[3] P[4] P[5] P[11] P[12] P[7] P[8] P[9] P[13] P[10] t[1] t[2] t[3] t[4] t[5] t[6] P[6] t[7] t[8] t[9] t[10] Než učitel naučí studenty vyšetřovat celý a kompletní průběh funkce, měli by se studenti na několika příkladech naučit zpracovávat jednotlivé fáze této náročné úlohy: 1. Monotónnost a extrémy funkce: Př.6: Rozhodněte o typu monotónnosti funkce f v daném bodě x: a) ; b) ; Řeš.: a) ; b) ; Př.7: Určete intervaly monotónnosti a extrémy dané funkce: a) ; b) ; Řeš.: a) -2 0 3 -3 -1 1 4 A min B max C min Funkce f je klesající v intervalech . Funkce f je rostoucí v intervalech . V bodě má funkce lokální minimum … . V bodě má funkce lokální maximum … . V bodě má funkce lokální minimum … . 0 -2 -1 1 2 A max B min b) Funkce f je rostoucí v intervalech . Funkce f je klesající v intervalech . V bodě má funkce lokální maximum … . V bodě má funkce lokální minimum … . 2. Konvexnost a konkávnost funkce: Př.8: Určete intervaly konvexnosti a konkávnosti funkce: . Řeš.: 1. první derivace: ; 2. druhá derivace: ; -1 1 -2 2 0 D inf E inf Funkce f je konvexní v intervalech . Funkce f je konkávní v intervalu . Funkce f má v bodech dva inflexní body … . 3. Asymptoty grafu funkce: Př.9: Je dána funkce . Určete všechny asymptoty jejího grafu. Asymptota bez směrnice: Řeš.: 1. Asymptoty bez směrnice: Jediným bodem nespojitosti funkce f je . Asymptota bez směrnice existuje v bodě nespojitosti právě tehdy, jeli alespoň jedna z jednostranných limit v tomto bodě nevlastní. ; ; 2. Asymptoty se směrnicí: ; ; Asymptota se směrnicí: Osnova pro vyšetření průběhu funkce f: y = f(x): 1. D(f), sudost, lichost, periodičnost, průsečíky s osami, intervaly kladných a záporných funkčních hodnot 2. Chování funkce f v nevlastních bodech (určení ), určení asymptot (pokud existují) - bez směrnice … … asymptota a[b] bez směrnice může existovat pouze v bodě nespojitosti b, a to tehdy, jestliže alespoň jedna z jednostranných limit v b je nevlastní. Pak a[b]: x = b. - se směrnicí ……. a[s]: y = k.x + q, kde 3. Určení intervalů monotónnosti a extrémů funkce (užití první derivace funkce) 4. Určení intervalů konvexnosti a konkávnosti a inflexních bodů funkce (užití druhé derivace funkce) 5. Graf funkce Pozn. k asymptotám se směrnicí: Je-li asymptota, pak se pro přímka a křivka , (tedy a neomezeně přibližují. Proto: 1) Tozn., že . ^= 0 2) Tozn., že . Analogicky pro asymptotu při . y x ^ Př.10: Vyšetřete průběh funkce: . Řeš.: ① a) ; b) Funkce f není ani sudá ani lichá …S, L ; c) Průsečíky s osami souřadnic: ; d) Intervaly kladných a záporných funkčních hodnot: 0 1 -1 2 ② a) ; ; b) Asymptoty: 1. bez směrnice … bod nespojitosti: . ; ; 2. se směrnicí … ; ; ; ③ ; ◘ neexistuje pro ; ◘ …. stacionární body 1 -1 2 4 A min V bodě má funkce lokální minimum … ; ④ ; ◘ …. kritický bod 0 1 -1 2 B inf V bodě je inflexní bod … . ⑤ Graf: > > > x y 1 2 3 2 -2 A B f > Slovní úlohy řešené užitím derivací: U slovních úloh jde o to, abychom na základě zadaných parametrů vztahujících se k nějakému ději, který musíme pro účely řešení matematizovat do podoby vhodné funkce f, nalezli hodnotu veličiny, případně několika veličin, pro které uvedená funkce f nabude extrémní, tedy buď maximální nebo minimální, hodnoty. Abychom byli v řešení slovní úlohy úspěšní, musíme provést přehledný zápis, ve kterém jasně určíme: Zadané veličiny: …… Hledané veličiny: je-li jich více, musíme všechny vyjádřit pomocí jedné z nich a pomocí veličin zadaných …… Funkci, u které budeme hledat extrém: …… Pozn. 1: V zadání každé úlohy je vždy naprosto jasně řečeno, jaká veličina má být maximální nebo minimální – – např.: 1) „…určete rozměry … tak, aby objem byl maximální …“, 2) „…určete rozměry … tak, aby povrch byl minimální …“, 3) „… určete čísla … tak, aby jejich součin byl maximální …“, … Učitel by měl na začátku projít se studenty v některé sbírce úloh pár zadání příkladů a vyzvat studenty, aby rychle v textu našli funkci, u níž budou hledat extrém. Zbaví je tím obav, že pro ně bude obtížné správnou funkci najít. Pozn. 2: Hledání extrémů funkce f se samozřejmě provádí za pomoci určení první derivace funkce, určení bodů, ve kterých první derivace neexistuje a především určení stacionárních bodů, ve kterých je první derivace rovna nule. Protože nás však u těchto praktických úloh vůbec nezajímá průběh funkce f, nýbrž pouze body, v nichž má extrém, můžeme místo intervalů monotónnosti použít následující tvrzení: Nechť , ale . Je-li n – sudé číslo, pak má f v lokální extrém, a to: • maximum, když ; • minimum, když . Je-li n – liché číslo, pak f v lokální extrém nemá. Studenti si nepochybně použití posledního tvrzení k určení extrémů funkce lépe zapamatují, jestliže jim učitel ukáže, jak tvrzení funguje na následujících třech jednoduchých funkcích: stac. bod …0 , První od nuly různá derivace je čtvrtá, tedy sudá, pro bod je kladná, proto má funkce f v tomto bodě minimum. stac. bod …0 První od nuly různá derivace je třetí, tedy lichá, proto funkce g v tomto bodě extrém nemá. stac. bod …0 První od nuly různá derivace je druhá, tedy sudá, pro bod je záporná, proto má funkce h v tomto bodě maximum. > x x x y y y f g h x x x x x x x x Př.11: Určete stranu čtverců, které musíme vyříznout ve všech rozích obdélníkového kartonu o rozměrech 80 cm a 50 cm tak, aby po složení vznikla krabice maximálního objemu. Řeš.: Dáno: rozměry obdélníku: ; Hledáme: ; Funkce, u níž určujeme extrém: Objem kvádru ; Kořen nepřichází v úvahu vzhledem k zadaným rozměrům kartonu. Proto budeme dál pracovat pouze s kořenem . Ověříme pomocí vyšších derivací, že pro nabude funkce f maxima: . Pozn.: Ve zvídavé třídě může učitel očekávat dotaz (nebo jej může v případě dostatku času položit sám): Jak s řešením úlohy souvisí druhý kořen ? Aby neztrácel příliš mnoho času, měl by být učitel na tuto situaci připraven: 1) x y 0 10 25 40 f Graf funkce 2) Hledaná délka strany čtverce x evidentně musí ležet v . Stacionární bod leží mimo tento interval, ale kubická funkce f v něm má minimum. Př.12: Do koule daného poloměru ( vepište kužel maximálního objemu. Určete poloměr podstavy a výšku kužele. Řeš.: Dáno: koule s poloměrem R ; Hledáme: poloměr podstavy r a výšku v vepsaného kužele (dvě neznámé – jednu musíme vyjádřit pomocí druhé, případně pomocí zadané veličiny R; ^r ^R ^ ^v ^R O A B V S > Funkce, u níž určujeme extrém: Objem kužele ; Pro řešení úlohy má evidentně význam pouze druhý kořen. Ověříme pomocí vyšších derivací, že pro nabude funkce f maxima. . Nakonec dopočítáme druhý požadovaný rozměr: ; Poloměr podstavy kužele je , výška kužele . Derivace funkce zadané implicitně: Funkce může být zadaná - explicitně (přímo, tedy rovnicí f: y = f(x)) - implicitně (nepřímo, zastřeně, zprostředkovaně) – např. pomocí analytického vyjádření křivky F(x, y) = 0, která sama nemusí být grafem funkce, ale může představovat sjednocení grafů několika funkcí f[i] (viz např. kuželosečky). Derivování implicitní funkce: x … známým způsobem y … jako složenou funkci závisící na x (např.: (y^3+ x^2 +7)´= 3y^2. y´ + 2x ) Př.13: Napište rovnici tečny křivky k: v jejím bodě . Řeš.: Př.14: Kterým bodem elipsy je vedena tečna, která svírá s kladnou poloosou x úhel = 45°? Řeš.: ; . Fyzikální význam derivace: Jednou z nejdůležitějších oblastí použití derivace ve fyzice je derivace podle časové proměnné vyjadřující rychlost změny nějaké proměnné v čase. Např. rychlost je derivace dráhy podle času; zrychlení je derivace rychlosti podle času; … Př.15: Kámen vyhozený z výšky svisle vzhůru má počáteční rychlost a) Jakou rychlost bude mít kámen v čase 1,5 s? b) Za jaký čas dosáhne maximální výšku? c) Jakou výšku kámen dosáhne? Řeš.: a) ; b) ; c) . Rychlost kamene v čase 1,5 s je . Maximální výšku dosáhne za . Př.16: Těleso sjede po nakloněné rovině 50 m dlouhé za 10 s. Jaká je jeho konečná rychlost, pokud předpokládáme, že dráha je kvadratickou funkcí času a že počáteční rychlost je nulová? Řeš.: Závislost dráhy na čase: Konečná rychlost: . Konečná rychlost tělesa je . Př.17: Rychlík jedoucí rychlostí má zabrzdit tak, aby se rovnoměrně zpomaleným pohybem zastavil na vzdálenost . Po jakém čase zastaví? Řeš.: ; ; ; ; Rychlík zastaví za . Př.18: Množství elektrického náboje Q, který prochází vodičem, se mění s časem podle vztahu: . a) Vypočítejte okamžitou hodnotu proudu i v době . b) Vypočítejte, kdy bude hodnota okamžitého proudu Řeš.: a) ; b) V čase je okamžitá hodnota proudu . Hodnoty bude dosaženo za . Př.19: V indukční cívce s indukčností protéká proud . Vypočtěte indukované napětí v čase Řeš.: ; ; . Okamžitá hodnota indukovaného napětí je . Př.20 Těleso koná harmonický kmitavý pohyb a pro jeho výchylku z rovnovážné polohy platí , kde je amplituda výchylky a je úhlová frekvence pohybu. Odvoďte vzorec pro výpočet rychlosti a zrychlení harmonického kmitavého pohybu. Řeš.: ; ; . Základní poznatky: 1. Určete derivace funkce (Realisticky.cz – 10.2.7): a) ; b) ; c) ; d) ; 2. Určete rovnici tečny a normály grafu funkce v bodě [Realisticky.cz – 10.2.14, ] Typové příklady standardní náročnosti 3. Vypočítejte derivace funkcí: 4. Vypočítejte derivace (Realisticky.cz – 10.2.8): a) b) c) 5. Určete rovnici tečny grafu funkce , která je rovnoběžná s přímkou . 6. Určete rovnici tečny ke křivce , v bodě T[-8, 4]. 7. Do koule o poloměru R vepište kužel maximálního objemu. Určete výšku tohoto kužele. 8. Ze čtvrtky kartonu formátu A4 (210 x 297 mm) vystřihněte v rozích čtyři stejné čtverečky tak, aby složením vzniklého obrazce vznikla krabička maximálního objemu. [Realisticky.cz – 10.2.15: Je nutné vystřihnout čtverce o straně 40,4 mm.] 9. Určete ideální rozměry válcové pivní plechovky, která při objemu 0,5 l bude mít minimální povrch (minimální spotřeba plechu). 10. Vyšetřete průběh funkce: a) ; b) Rozšiřující cvičení 11. Určete rovnice tečen křivky k: v jejích průsečících s přímkou . 12. Určete rovnici tečny křivky v jejím bodě . 13. Trosečníka na voru unáší mořský proud rychlostí 7 km/h. Kolmo na směr proudu pluje obchodní loď rychlostí 30 km/h (vzhledem k povrchu Země). V jeden okamžik je námořní loď vzdálena od místa, kde se protínají jejich trajektorie 100 km a trosečník 10 km. V jaké nejmenší vzdálenosti se minou? Zachrání loď trosečníka, když předměty jeho velikosti vidí na vzdálenost 20 km? [Realisticky.cz – 10.2.15: Minou se v minimální vzdáleností 13 km, asi ho loď zachrání.]