Výpočet Ludolfova čísla π Ludolfovo číslo je matematická konstanta udávající poměr obvodu kruhu k jeho průměru. Jeho hodnotu lze snadno nalézt například měřením obvodu a průměru mince 𝜋 = 𝑜 𝑑 Už žáci na základní škole rychle zjistí, že π je konstanta, protože jim vychází stejná hodnota uvedeného poměru bez ohledu na velikost mince. Lze určit hodnotu Ludolfova čísla pomocí náhody? Představme si rovinu, na níž jsou narýsovány rovnoběžky a jejichž vzdálenost je 𝑑. Na tuto rovinu házíme náhodně jehlu délky 𝑙, 𝑙 ≤ 𝑑. Ptáme se: Jaká je pravděpodobnost, že jehla přetne některou z rovnoběžek? Takto zní slavná matematická úloha, kterou v roce 1777 vymyslel francouzský matematik Georges Louis Leclerc de Buffon a je známá pod názvem Buffonova úloha o jehle. Nejpozoruhodnější na tomto jevu je, že při dostatečném počtu hodů jehlou umožňuje spočítat přibližnou hodnotu čísla π. Rozbor úlohy: Pravděpodobnost, že hozená jehla dopadne na čáru, spočítáme takto: 𝑃 = 𝑣 𝑛 = počet průsečíků jehly s linkou počet hodů Pro 𝑙 ≈ 𝑑 dostaneme 𝑃 = 2𝑙 𝜋𝑑 , z čehož při dosazení z prvního vztahu pro P dostáváme 𝝅 = 𝟐𝒍𝒏 𝒗𝒅 . Platí, že čím více hodů provedeme, tím bude odhad hodnoty π přesnější (přibližování se k přesné hodnotě není moc rychlé). Pozn.: Například Volf v roce 1850 provedl 5000 hodů a dostal pro π odhad 3.1596. Problém Buffonovy jehly poprvé převedl do praxe Lazaroni v roce 1901, když provedl 34080 hodů jehlou a došel k hodnotě 𝜋 = 3.1415929. Po zavedení počítačů se však naskytla příležitost tento pokus nasimulovat na počítači a rychlost „pokusů” o několik řádů zrychlit. Metoda řešení matematických úloh pomocí modelování náhodných veličin a statistického odhadu se nazývá metodou Monte Carlo. Pravděpodobnost jevu, kdy jehla stejné délky, jako je vzdálenost mezi rovnoběžkami, po dopadu na papír zůstane ležet na papíře tak, že protíná některou z linek je rovna 2 𝜋 . Nyní už zbývá vzít si linkovaný papír, tyčku přibližně stejné délky jako jsou mezery mezi linkami a začít náhodně házet. Jaká hodnota π Ti vychází? Literatura: Joan Gómez – Neeuklidovské geometrie (když se přímky zakřivují), str. 105-107 Buffonova jehla v Geogebře: https://www.geogebra.org/m/vnAZxxzN nebo https://www.geogebra.org/m/MXhS2Zs3 Prezentace: http://fast10.vsb.cz/krejsa/studium/ppk_tema03.pdf Podobně lze stanovit hodnotu Ludolfova čísla π následujícím způsobem. Narýsujme čtverec o straně délky r a do něj čtvrtkruh se středem v jednom rohu čtverce s poloměrem také r. Nyní házejme náhodně kuličky do čtverce a výsledný poměr počtu všech hodů a hodů do čtvrtkruhu stanoví hodnotu π. Rozbor úlohy: Obsah čtverce je 𝑆1 = 𝑟2 Obsah čtvrtkruhu je 𝑆2 = 𝜋𝑟2 4 Pravděpodobnost, že kulička náhodně dopadne do čtvrtkruhu je dána poměr obsahů jednotlivých ploch: 𝑃 = 𝑆2 𝑆1 = 𝜋𝑟2 4 𝑟2 = 𝜋 4 --> Pro Ludolfovo číslo platí 𝝅 = 𝟒 ∙ 𝑺 𝟐 𝑺 𝟏 , kde počet hodů do čtvrkruhu je S2 a celkový počet hodů S1. Jaké jsou Tvé výsledky?