Úvod do teorie her
Teorie her je disciplína aplikované matematiky, která analyzuje široké spektrum konfliktních
rozhodovacích situací, které mohou nastat kdekoliv, kde dochází ke střetu zájmů. Herně-teoretické
modely se pak snaží tyto konfliktní situace nejen analyzovat, ale sestavením matematického
modelu daného konfliktu a pomocí výpočtů se snaží nalézt co nejlepší strategie pro konkrétní
účastníky takových konfliktů. Teorii her založil jeden z předních matematiků John von Neumann.
Hra je matematický model rozhodovací situace, jejíž výsledek závisí na rozhodnutí alespoň dvou
různých hráčů. Protože takové situace můžeme nalézt téměř ve všech oblastech týkajících se našeho
života, obor aplikací teorie her je mimořádně široký a bohatý. Zahrnuje ekonomii, telekomunikace,
politologii, sociologii, biologii, etiku, dopravu a mnoho dalších oblastí.
Hra 1: Sedm sirek
Na stole je hromádka sedmi sirek. Hráč, který je na řadě, může odebrat jednu nebo dvě sirky. Kdo
nemůže táhnout (na stole už není žádná sirka), prohrál. Rozhodněte (a zdůvodněte), který z nich má
vyhrávající strategii.
Počty sirek s možnými tahy:
Hra 2: Ořechy
V košíku je 17 ořechů. Míša s Filipem se pravidelně střídají v tazích, začíná Míša. V každém tahu sní
hráč minimálně jeden ořech a maximálně třetinu všech zbývajících ořechů. Kdo nemůže udělat tah,
prohrál. Rozhodněte (a zdůvodněte), který z nich má vyhrávající strategii.
Hra 3: Přičítání dělitelů (kradení strategií)
Začíná se dvojkou. V jednom tahu hráč přičte k číslu jeho libovolného vlastního dělitele. Kdo jako
první překročí hodnotu 5773, prohrál. Kdo má vyhrávající strategii? A co kdyby ten, kdo první
překročí 5773, vyhrál?
Řešení. Nakresleme si, jak vypadá prvních pár pozic, viz obrázek.
Díky tomu, že hra je konečná a nepřipouští remízy, je
pozice 6 buď vyhrávající, nebo prohrávající. Pokud je
prohrávající, pak začínající hráč, který je na řadě
rovněž v pozici 4, bude volit přičtení dvojky, čímž se
druhý hráč dostane do prohrávající pozice 6.
Na druhou stranu, je-li pozice 6 vyhrávající, pak začínající hráč může z pozice 4 táhnout do pozice 5,
odkud jeho protivník musí nutně táhnout do pozice 6, čímž se první hráč ocitl ve vyhrávající pozici.
Tím jsme dokázali, že první hráč má vyhrávající strategii – vždy si ji může pro sebe ukrást.
Únik od tématu: Kruhy
Na obrázku jsou tři kruhy se zadaným průměrem. Je větší červená nebo modrá plocha? Vypočítejte,
o kolik se barevné plochy liší.
Zdroje:
Teorie her pro nadané žáky středních škol, Bc. Alena Skálová,
https://is.cuni.cz/webapps/zzp/detail/129490/
Přednáška z teorie her
https://olympiada.karlin.mff.cuni.cz/prednasky/hyksova.pdf
Videopřednáška Teorie her v praxi
https://www.youtube.com/watch?v=WH-H0a_wlK8
Řešení:
Hra 1: Sedm sirek
Hra 2: Ořechy
Kruhy
Odpověď: 0
Označme bílé plochy X, Y. Pak platí, že 𝜋 ⋅ 132
− 𝑋 − 𝑌 − (𝜋 ⋅ 122
− 𝑋 + 𝜋 ⋅ 52
− 𝑌) = 169𝜋 −
144𝜋 − 25𝜋 = 0.