Gaussovo zobrazeni, zobrazení UTM
Matematická kartografie
1. Základní charakteristiky zobrazení
2. Zobrazovací rovnice
3. Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím
4. Meridiánová konvergence
5. Zákony zkreslení
6. Mezipásmové transformace
2
1
ZÁKLADNÍ CHARAKTERISTIKY
ZOBRAZENÍ
3
Základní charakteristiky zobrazen
Dosud spíše teorie, i když některá uvedená zobrazení se reálně používají.
Ta nejpoužívanější ale uvedena nebyla.
Který z dříve zmíněných typů je Gaussovo zobrazení?
REFERENČNÍ PLOCHA
ZOBRAZOVACÍ ROVINA
ZEMEPISNE SOUŘADNICE NA REFERENČNÍ PLOŠE
ZEMEPISNE SOUŘADNICE NA REFERENČNÍ KOULI
KARTOGRAFICKÉ SOUŘADNICE NA REFERENČNÍ KOULI
POLÁRNI SOUŘADNICE
PRAVOÚHLE SOUŘADNICE
Konformní zobrazení referenčního elipsoidu přímo do roviny. Nej kratší cesta -neznamená to ale, že je odvození jednodušší.
Základní charakteristiky zobrazen
• Někdy nazýváno též Gauss-Krúgerovo.
• Konformní zobrazení referenčního elipsoidu přímo do roviny.
• Bez použití referenční koule. U, V, R tedy ve vzorcích nenajdeme.
• Matematicky definováno.
• Přibližná geometrická představa: postupné zobrazování plochy elipsoidu na „soustavu válců" v rovníkové poloze.
válec
5
Základní charakteristiky zobrazen
• Používá se pro řadu státních mapových děl včetně vojenských.
• Může být použito s různými elipsoidy - Besselův, Krasovského...
• Může být použito s různými šířkami pásů - 6° (1:25000 a menší měřítka), 3° (pro větší měřítka). Čím užší pás, tím menší zkreslení.
• Na českých vojenských Topografických mapách (systém S-1942) nahrazeno od roku 2006 zobrazením UTM (systém WGS 84).
• UTM je mírně pozměněná varianta Gaussova zobrazení.
Základní charakteristiky zobrazen
Pokrytí Země šestistupňovými pásy Gaussova zobrazení. Každý pás je vlastně samostatným zobrazením.
180' 156°W 132°W 108°W 84°W 66°W 48°W 30°W 12°W 6°E 243E 42'E 60°E 78°E 96°E 1143E 138DE 162°E 180' -I M > I I I I I I I I I I I I H I I I M M I \    I I I I I I I I I I I I I I I I 1 I I I I 1 I I I I I I I I I I L
Základní charakteristiky zobraze
Gaussovo
4 *A
UTM
84°30'
Každý pás má samostatnou soustavu rovinných souřadnic.
Osa x nahoru, osa y doprava. UTM používá osy N a E.
Počátek se posouvá o 500 km na západ. K souřadnici Y se přičte 500000 metrů.
Když je potřeba zobrazit jižní polokouli, tak UTM posouvá počátek i na jih - o 10000 km.
U Gaussova zobrazení se zobrazuje i 90° z.š., v UTM ne.
8
Základní charakteristiky zobrazen
Pásy jsou číslovány arabskými číslicemi:
• od Greenwichského poledníku směrem na východ (Gaussovo)
• od poledníku 180° opět východním směrem (UTM).
Čísla pásů se používají jako součást jedné ze souřadnic (souřadnice Y vS-1942)
•  V S-1942 na území ČR souřadnice Y začínají buďto cifrou 3 nebo 4 - číslo poledníkového pásu počítáno od Greenwich.
- Př. Y = -123 700 m (západně od osového poledníku) ve 4. pásu.
- Přičte se 500 000 => 376 300
- Přidá se číslo pásu => 4 376 300 m
9
Základní charakteristi
Jak dlouhý je 1 °z.d. na rovníku?     111,... km Minimální a maximální hodnoty souřadnic v jednom pásu:
<p	xv Gaussově zobr. [km]	/V v UTM [km]	y v Gaussově zobr. [km]	yv Gaussově zobr. vč. konst. 500 km [km]	EvUTM [km]	Ev UTM vč. konst. 500 km [km]
0° (rovník)	0	0	0 až + 334 (šířka pásu je asi 667 km)	166 až 834	0 až + 333,8	166,2 až 833,8
50° (cca poloha ČR)	5541	5538,8	0 až ±215	285 až 715	0 až ±214,8	285,2 až 714,2
90° (sev. pól)	10002	9998	0	500	0	500
• 6° pás = přibližně 667 km.
• Max. souřadnice x a y u Gaussova se liší od max. souřadnic N a E u UTM.
•  Válec zobrazení UTM je jakoby „zmenšený".
10
Základní charakteristiky zobrazen
500 0 50010001500
-500  0   500 10001500
10000 9500
Osový poledník (střední poledník pásu) a rovník se zobrazují jako navzájem kolmé přímky. Ostatní poledníky a rovnoběžky jsou křivky k nim symetrické. Jejich zakřivení lze spočítat - vzorce v učebnici.
-500 0  500 10001500
-500 0 50010001500
11
Universal Transverse Mercator je mírně pozměněná varianta Gaussova zobrazení s upraveným zkreslením.
Dříve se používalo i s jinými elipsoidy, dnes se používá elipsoid WGS84.
Používá se pro území od 84° severní zeměpisné šířky po 80° jižní zeměpisné šířky.
Neplést s jednoduchým konformním válcovým zobrazením nazývaným Mercatorovo zobrazení!
Pro polární oblasti se používá zobrazení UPS (Universal Polar Stereographic).
Je to konformní azimutální zobrazení - viz stereografická projekce. UPS je ale modifikováno pro použití z elipsoidu, ne z koule.
stereografická projekce
ZOBRAZOVACÍ ROVNICE
15
Zobrazovací rovnic
• Zobrazovací rovnice jsou platné pro libovolný poledníkový pás s libovolnou šířkou a pro libovolný elipsoid.
• Osový poledník bude mít hodnotu Xo = 0°, obecná zeměpisná délka bude vztahována k tomuto osovému poledníku.
z elipsoidu do roviny: zem. šířka nahrazena izometrickou:
x = f((p,Á) x = f(q,Á) Jaký je to typ zobrazení?
y = f(<p,X) y = f(q,Á)
zobrazovací rovnice pro konformní zobrazení pomocí izometrických souřadnic:
x + iy = f(q + iX)     x-iy = f(q-iX)
rovnice se rozvine v Taylorovu řadu a odvodí se obecné zobrazovací rovnice:
y = f'(qn-f"'(q)^f (q)~-
6 120
Zobrazovací rovnic
• Jde o konformní zobrazení.
• Navíc stanovena podmínka, že osový poledník zůstane nezkreslený.
Pro bod ležící na osovém poledníku (A = 0°) platí:
x0 —
y o =
Xq =
/(<?) 0
SP   s p
sp - délka oblouku osového poledníku od rovníku k měřenému bodu (na souřadnici xo) ve zobrazovací rovině Sp - délka oblouku osového poledníku od rovníku k měřenému bodu (na souřadnici xo) na referenčním elipsoidu
z toho plyne: f iq) = S
Po dosazení do obecné rovnice:
x = f{q)-f\q)?j + ŕ ^4ô + ""
17
Zobrazovací rovnic
Pomocí dalšího odvození (viz skripta) vzniknou základní tvary zobrazovacích rovnic Gaussovo zobrazení:
x = Sp + Af cos#?sin q>--h Af sin ^?cos3 (p\5-t2 +9rf +4r/4)— + iVsm^cosV(61  58ř2+ř4+270^2 330^Vj	
y = Ncos(pA + Afcos3 (p\l-t2 +rj2)— 6 + 7Vcos>Í5   18ř2 +ř4 +14/72   58r/2t2) 2 v y120	
f]=ercos<p t = tg 9a
Zobrazovací rovnice UTÍ
Zobrazení se liší od původního Gaussova zobrazení použitím konstantního zkreslení m0 = 0,9996 (měřítkového faktoru, scale factor) To znamená zkreslení -40 cm/km.
Z tečného válce se stane sečný a vzniknou tak dva nezkreslené poledníky v každém pásu.
TV = m,
Á2 í \
Sp + Nel cos q> sin cp— + Nel sin cp cos3 (p\5 - ŕ + 9r/2 + 4r/4)
^4
+
Nel sin <pcos5 p(ól - 58ř2 + ŕ + 27O772 - 330*7V )■
A6
720
£ =
yVeZ cos    + Nel cos3 #?(l - ŕ + z;2)—
6
+ Nel cos5 ^(5 - m2 + ř4 + 14t;2 - 5877V)
Ä5
120
Central meridian
/]= e coscp
Nei - příčný poloměr krivosti elipsoidu
80=S
Imaginary secant cylinder
INVERZNÍ FUNKCE K ZOBRAZOVACÍM ROVNICÍM
Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím
_ľ: ^^^^^^^^^^
Pro výpočet zeměpisných souřadnic z rovinných
Gaussovo zobrazení
(p = (pf
y
y
2MfNf
y
24MfN
■tf(i + 3t2f +5t]2f-9t2ft]2f)+
fíy f
720MfN*
^(61 + 91^ +45ŕf+l07Tj2f-l62ŕfTj2f-45ŕfTj2f)
Ä =
y
Nf cos q>f   6Nf cos q>f
(\-ň+?]})+
<p = <pf
2m2MfNelf
tf +
24mlMfNÍlf
120Arf cos^ tf(l + 3t2 +5r/2f - 9t2r/2f)+
(5 + 28ŕf + 24ŕf + 677' + 877^)
120mb0MfN:if
Ä =
tf (61 + 9lt2f+ 45t4f + lOlt]2 - l62t2T]2 -45t4fT]2f) E E3
m0Nelf cos q>f   6mlN]lf cos q>f
■(1-^+77;)+
120m50N5elf
(5 + 28/' +24ŕf +6t]2f + Sr]2t2)
zobrazení UTM
poloměry křivosti elipsoidu:
Mf=__ Nr =_ú t -
Proč se v případě UTM píše Neif místo Nf?
21
4
MERIDIÁNOVÁ KONVERGENCE
Důsledek sbíhavosti poledníků.
Hrana mapového listu kopíruje poledníky a rovnoběžky. Nesměřuje kolmo vzhůru (jako osa x), úhel se liší o meridiánovou konvergenci.
• Úhel mezi rovnoběžkou s osou x (N) a obrazem zeměpisného poledníku.
• Může být kladná (východní část pásu) i záporná (západní část pásu).
• Potřebujeme pro převod mezi směrníkem a zeměpisným azimutem.
x k
cj=a-y
o
Co je směrník a co azimut?
směrník o - úhel mezi libovolným základním směrem (např. osou x) a určitým směrem azimut a - úhel mezi severním směrem a určitým směrem 23
Meridiánová konver
vysoká přesnost:
ze zeměpisných souřadnic:
zjednodušený vzorec:
Obě zobrazení   y = sm(pÁ + sm(pcos2(p(^ + 3r}2+2r}4)— + sin ^cos4^(2-ř2)—       y — sm cpA,
z rovinných souřadnic:
Gaussovo zobrazení
Nf f 3N
■tf(i + t2f-r/2f-2r/4f)+—^tf(2 + 5t5f+3t4f)
f
f
15 N
f
zobrazení        E t__E.
UTM Nfmo f ™3fm30
tf ({ + t2f-r/2- 2rjAf )+ —E5  5 tf (2 + 5t5f + 3t) )
15N5fm50 f
Maximum meridiánové konvergence na okrajích pásů v naší zeměpisné šířce: 2°18\
Pozor. V učebnici je na str. 129 na obr. 10-9 přehozeno dy a dx.
24
Meridiánová konverge
7*52 000m E 53 54 55
ZÁKONY ZKRESLENÍ
Zákony zkreslení
V Gaussově zobrazení stačí vypočítat pouze délkové zkreslení m. Plošné zkreslení bude jeho kvadrátem a úhlové zkreslení je zde nulové. Odvozeno z obecných výrazů.
p M
í f 3,. V
dx
+
dy_
m.
'dx\2 ídy^2
+
M
N cos <p
N cos <p
Výpočet ze zeměpisných souřadnic:
vysoká přesnost:
Gaussovo
m = 1 + cos2 (p(l + T]2)— + cos4 <p{s - 4t2)—
zobrazení 2 24
A4
zjednodušený vzorec:
m - 1 + cos (p— 2
zobrazení UTM
m = m,
1 + cos2    + 772)— + cos4 ^?(5 - 4ř2)—
m = m,
2 \
1 2 % l + cos <p —
v
27
Zákony zkreslení
Výpočet z rovinných pravoúhlých souřadnic:
• elipsoid se nahradí koulí r = 4mň
• uvažuje se jednoduché válcové konformní zobrazení v příčné pol (Mercatorovo)
Gaussovo zobrazení
vysoká přesnost:
m = 1 +
y
2r2 24r'
zjednodušený vzorec:
	2 m = 1 + ^-r
	
	2r2
zobrazení UTM
Zákony zkreslení
Průběh zkreslení: Gaussovo zobrazení
Délkové zkreslení Gaussova zobrazení
0   10   20   30   40   50   60   70   80 84 <P°
Na území ČR max. 0,58 m/km.
zobrazení UTM
Délkové zkreslení zobrazení UTM
0,9998 0,9996
0   10   20   30   40   50   60   70   80 84
29,
Osový poledník zkreslený (-0,40 m/km), o to menší zkreslení na okrajích (0,20 m/km)
Zákony zkreslení
6
MEZIPÁSMOVÉ TRANSFORMACE
31
Mezipásmové transfor
• V Gaussově zobrazení (i v jeho variantě UTM) má každý pás má vlastní souřadnicovou soustavu.
• V praxi se poměrně často řeší transformace souřadnic bodů ze souřadnicové soustavy jednoho pásu do souřadnicové soustavy druhého pásu.
• Možnosti:
• různé varianty rovinné transformace - byly zpracovány i výpočetní tabulky
• k rovinným transformacím lze počítat i grafickou transformaci použitou na vojenských topografických mapách (v tzv. překrytovém pásmu)
• v současné době je nejběžnější univerzální metoda transformace podle schématu (s využitím inverzních rovnic k zobrazovacím rovnicím):
•   Při transformaci do souřadnicového systému jiného pásu je nutné uvážit rychlý nárůst délkového zkreslení, což v důsledku může ovlivnit i přesnost výpočtů v rovinných souřadnicích.
32
Mezipásmové transfor
Mezipásmové transfor
Můžeme si nakreslit síť ze sousedního pásu.