Křovákovo zobrazení a souřadnicový systém S-JTSK Matematická kartografie 1. Základní charakteristiky zobrazení 2. Postup transformace zeměpisných souřadnic do zobrazovací roviny 3. Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím 4. Meridiánová konvergence 5. Zákony zkreslení 2 ZÁKLADNÍ CHARAKTERISTIKY ZOBRAZENÍ Základní charakteristik eni Po vzniku ČSR budovány základy nového státního mapového díla - zejména pro katastrální účely. Ing. Josef Křovák (1884 - 1951) V roce 1922 navrhl konformní kuželové zobrazení v obecné poloze jako součást geodetického referenčního systému jednotné trigonometrické sítě katastrální (S-JTSK). Další soutěžní návrhy: http://old.qis.zcuxz/studium/mk2/multimedialni texty/index soubory/hlavni soubory /cechy. html#navrhv Základní charakteristiky zobrazen • Od roku 1922 používáno jako prozatímní. • Od roku 1933 do roku 1938 používáno jako definitivní. • Znovu zavedeno po druhé světové válce. • V padesátých a šedesátých letech 20. století se státní mapy velkých měřítek vyhotovovaly v Gaussově zobrazení s třístupňovými poledníkovými pásy. • Od roku 1968 začaly probíhat práce na Základní mapě středního měřítka. Opět použito Křovákovo zobrazení. 5 Základní charakteristiky zobrazen • Zobrazení definováno s ohledem na tvar území bývalé ČSR tak, aby minimalizovalo na tomto území délkové zkreslení. Dnes je používáno pouze v České a Slovenské republice. • V současné době jsou v tomto zobrazení vydávána státní mapová díla určená pro státní správu a samosprávu (viz Nařízení vlády ČR 430/2006). Jedná se zejména o: • Katastrální mapy v měřítku 1:1000 (DKM a KM D) • Státní mapu v měřítku 1 : 5 000 • Základní mapy ČR 6 Základní charakteristiky zobraze Gaussovo zobrazení šlo nejkratší cestou, Křovákovo nejdelší. Křovákovo zobrazení je dvojité zobrazení. Co to znamená? REFERENČNÍ PLOCHA ZOBRAZOVACÍ ROVINA (p,X^U,V R,D\p,s) -+X,Y I polární souřadnice v rovině ZEMEPISNE SOUŘADNICE NA REFERENČNÍ PLOŠE ZEMEPISNE SOUŘADNICE NA REFERENČNÍ KOULI KARTOGRAFICKÉ SOUŘADNICE NA REFERENČNÍ KOULI POLÁRNI SOUŘADNICE Postup transformace: 1. Zobrazení Besselova elipsoidu na kouli 2. Transformace zeměpisných souřadnic na kartografické 3. Zobrazení do roviny konformního kuželového zobrazení PRAVOÚHLE SOUŘADNICE 4. Transformace polárních souřadnic na rovinné pravoúhlé POSTUP TRANSFORMACE ZEMĚPISNÝCH SOUŘADNIC DO ZOBRAZOVACÍ ROVINY Zobrazení Besselova elipsoi Besselův elipsoid je zobrazen na kouli s jednou nezkreslenou rovnoběžkou cpo = 49°30', která probíhá přibližně středem území ČSR. Použito Gaussovo konformní zobrazení z elipsoidu na kouli. tg (u \ — + 45° U ) = k tg a ( ^ + 45° 2 ae j 1 - e sin cp 1 + e sin cp Y j V = aÁ r=6 380 703,6105 m k= 1,0034191640 a = 1,000597498372 Vysvětlení konstant a odvození vzorců viz kap. 5. Transformace zeměpisných souřadnic na kartografické • Na kouli jsou definovány kartografické souřadnice Š, D - kvůli protáhlému a mírně stočenému tvaru ČSR. • Osa území - základní kartografická rovnoběžka Š0. • Na ní zvolen bod A za nejvýchodnějším bodem státu. • Následně je určena poloha kartografického pólu K. • Základní kartografická rovnoběžka Š0 = 78°30'. • Celé území ČSR leží v úzkém pásu mezi dvěma kartografickými rovnoběžkami v relativně malé vzdálenosti AŠ = 2°3ľ, což je asi 280 km. 1 { l2 J V R D = D' sin Š, o Výpočet zeměpisné šířky se provádí v iteracích - cp je na obou stranách rovnice: cp^ = 2\ aretan ir (u tan k v —h 45° v2 + ď sin t/ ae jj V 1 - e sin U j a -45° Vypočítaná zeměpisná délka je od poledníku Ferra. r. i / lX* Jí. " 2=_ s li ^4 z7 Klad mapových listů Z Klad listů vychází ze základního měřítka 1:200 000. Pole map ZM200 jsou v rovině S-JTSK vymezena umělou konstrukcí pravidelně se sbíhajících čar, které velmi zhruba sledují obraz poledníků Klad je tedy vytvořen uměle - neodpovídá poledníkům a rovnoběžkám. • Aby mapy nešly snadno využít vojensky. Listy ZM jsou pravidelné lichoběžníky. Délka základny listu kolísá od 47,03 cm (horní strana nejsevernějšího listu) do 49,22 cm (dolní strana nejjižnějšího listu). Výška libovolného listu je 38 cm. 28 ZÁKONY ZKRESLENÍ Zákony zkreslení • V Křovákově zobrazení stačí vypočítat pouze délkové zkreslení m. Proč? • Plošné zkreslení bude jeho kvadrátem a úhlové zkreslení je zde nulové. • Délkové zkreslení: • při zobrazení referenčního elipsoidu na kouli • při zobrazení koule do roviny • Zkreslení při zobrazení referenčního elipsoidu na referenční kouli v rozsahu území bývalého Československa je zanedbatelné. • Činí maximálně 0,07 mm/km v absolutní hodnotě. • V běžných výpočtech se neuvažuje. • Zkreslení při zobrazení referenční koule do zobrazovací roviny kuželového zobrazení má v případě Křovákova zobrazení tvar: nR m =-- rsin S 30 Zákony zkreslení Šikmé zobrazení, kartografické rovnoběžky a poledníky... Jaký tvar mají zeměpisné poledníky a rovnoběžky? • Složité křivky. • Na území ČSR je však možné je nahradit přímkami a soustřednými kružnicemi. 31 1?* 13° 14* )5° 15* M* 18° H" ?0° ?1" 77' Zákony zkreslení • Nezkreslené rovnoběžky jsou vzdálené od základní rovnoběžky 89 km na sever a 91 km na jih. • Základní kartografická rovnoběžka tedy není uprostřed mezi nimi. • Ekvideformáty mají tvar kartografických rovnoběžek. • Na základní kartografické rovnoběžce je zkreslení -10 cm/km, na severních a jižních výběžcích republiky je dosaženo hodnot 14 cm/km. • Nepoužitelné pro jiná území. Rychle roste zkreslení. 32 1?* 13° 14* )5° 15* M* 18° H" ?0° ?1" 77' Zákony zkreslení Snaha minimalizovat délkové zkreslení: • kužel v normální poloze: pás široký 3°20', 400 km, zkreslení 40 cm/km • kužel v obecné poloze: užší pás 2°30', 280 km, zkreslení 24 cm/km • použití multiplikační konstanty k=0,9999: snížení délkového zkreslení na 14 cm/km u okraje pásu, -10 cm/km na rovnoběžce šo. 14 cm/km 40 cm/km 3° 20 40 cm/km 24 cm/km