Referenční plochy souřadnicové soustavy Matematická kartografie 1. Referenční plochy - výškové systémy - referenční elipsoid - koule - rovina 2. Souřadnicové soustavy - souřadnicové soustavy na referenčním elipsoid - souřadnicové soustavy na kouli - souřadnicové soustavy v zobrazovací rovině 3. Důležité křivky na referenční ploše - ortodroma - loxodroma 1 REFERENČNÍ PLOCHY 3 Matematický základ mod nu Úkoly matematické kartografie - proces transformace prostorových souřadnic objektů a jevů na referenčních plochách do roviny - zákonitosti, zkreslení - metodika výběru vhodných transformací pro modelovaná území Výsledek - kartografická zobrazení 4 Nadmořská výšk; §ĚĚĚk výšková měření - geoid, kvazigeoid výškové systémy se liší jak se tedy měří nadmořská výška? Kde je "nula"? vertikální posuny výškových systémů VENEZUELA INDONESIA BRAZIL -4- IT + 43 47 TRIESTE 13 NAP aud argentina + 32 t i + 2 + 132 URUGUAY • 244 48 -56 GENOA ľ + 122 W,~ 62 636 856.0 nť s 45 CASCAIS -62 NAVD88 MARSEnXE ^ r 63 ALICANTE OOSTENDE ^ Nadmořská výšk; Liší se i úrovně hladiny, od které se měří. Stát Název výškového systému Zkratka Nulová plocha Druh výšek Austrálie Australian Height Datum AH D AUSGeoid09 elipsoidické Čína Hong Kong Chart Datum CD LAT -1,38 m pod MSL-Hong Kong ortometrické Finsko Helsinky 1960 NGO MSL - Helsinki, rok 1960 ortometrické Francie Nivellement General de la France IGN69 MSL - Marseille normální ortometrické Irsko Malin Head MSL, 1960 -1969 ortometrické Japonsko Japanese Standard Levelling Datum 1949 J S L _ J 24.4140 m pod MSL -TokyoBay ortometrické J i žni Afrika SouthAfrican Land Leveling SAGEOID10 elipsoidické Kanada Canadian Geodetic Vertical Datum 1928 CGVD28 MSL - odvozeno z mnoha různých míst Helmert ovy ortometrické Ko rsika IGN7S Corsica Nivelační bod MM3 -Ajaccio, výška 3.640 m pod MSL normální ortometrické Kuvajt Kuwait PWD MLLW - Kuwait City, 1.03m pod MSL ortometrické Nizozemí, Německo aj, Normaal Amsterdams Peil NAP MSL Amsterdams Peil, rok 1684 normální ortometrické Nová Kaledonie Nivellement General de Nouvelle Caledonie 1.885 m nad MSL ortometrické Nový Zéland New Zealand Vertical Datum 2009 NZVD2009 NZGeoid2009 normální ortometrické, elipsoidické Turecko Antalya MSL- Antalya, 1936-71 ortometrické Velká Británie Ordance Datum Newlyn ODN MSL - Newlyn ortometrické MSL- Mean Sea Level LAT - Lowest Astronomical Tide MLLW - Mean Low Low Water Nadmořská výš k Jaké znáte výškové systémy na našem území? • Výškový systém baltský po vyrovnání (Bpv) - od roku 1957 • Výškový systém Jadranský (předtím) • Normall-Null (za války) Baltský systém je výš nebo níže než Jadranský? Jadranský = Bpv + cca 0,38 až 0,42 m 7 Nadmořská výšk §ĚĚĚk Marigraf - „tide gauge", marigraph Terst Molo Sartorio, mareográf ('tengeríró') Sezione della cabina mareografica presso il Molo Sartorio Nadmořská výšk; Kronstadt Nadmořská výšk; §ĚĚĚk Každý stát má blízko jiné moře. Definuje se proto celosvětový systém. Ne na základě moře, ale jako jednotný tíhový potenciál. Rozdíly jsou vztaženy k ploše se zvoleným tíhovým potenciálem W0 = 62 636 856,0 m2 s 2 c-2 AUD VENEZUELA INDONESIA 4 4 ~ l I TRIESTE T OOSTENDE I U Referenční plochy ^^^^^^p Rozdíly jsou vztaženy k ploše se zvoleným tíhovým potenciálem = ke geoidu. fyzický povrch Země geoid, kvazigeoid elipsoid, koule, rovina Tíhová síla - co to je? Na rovníku je odstředivá síla, na pólu ne. Gravitační síla působí všude. Výslednice je tíhová síla. Geoid = ekvipotenciální plocha zemského tíhového pole odpovídající střední hladině hypotetického zemského oceánu (Terminologický Slovník VÚGTK) 11 Referenční plochy geoid = ekvipotenciální plocha zemského tíhového pole odpovídající střední hladině hypotetického zemského oceánu. Tížnice je na něj kolmá. • Geoid je zvlněný, protože pohoří ovlivňuje potenciál. Je zvlněný méně než povrch Země, ale je to až 100 metrů. kvazigeoid = referenční plocha blízká ploše geoidu (max. odchylka 2 m) • prochází body vzdálenými od zemského povrchu o jejich normální výšky (odpočítávají se podle siločar tíhového pole), • na oceánech se s geoidem ztotožňuje, • lze jej určit bez znalosti hustotního rozložení v zemské kůře, • lze definovat na základě gravimetrických a geodetických měření na zemském povrchu. elipsoid = těleso popsané matematickým vztahem • Na elipsoidu se řeší geodetické úlohy, protože nahrazuje ve výpočtech zemské těleso. • Elipsoid se od geoidu (kvazigeoidu) může lišit i o 50 metrů. Referenční plochy Bod P leží na zemském povrchu. Promítnutím P podle normály k elipsoidu vznikne bod Po. H = h + £ H - elipsoidická výška - vzdálenost Po-P h - výška bodu od hladinové plochy (geoid nebo kvazigeoid) Š - převýšení elipsoidu vůči geoidu (kvazigeoidu) 0 - tížnicová odchylka [„dzéta"] p normála k elipsoidu x tížnice! Elipsoidická výška x výška od hladinové plochy. Tak co je tedy nadmorská výška? Referenční plochy Takže kvazigeoid je to, od čeho se většinou počítá „nadmořská výška". Ale běžně se říká „od qeoidu". Referenční plochy • Nad geoidem (kvazigeoidem) zjistíme po tížnici, jaká je nadmořská výška určitého objektu. • V místě, kde se normála protne s elipsoidem - to je poloha objektu. povrch • Budeme se učit, jak z elipsoidu dostaneme polohu do plochy mapy. • Na mapách je uvedena nadmořská výška nad kvazigeoidem. • GPS ale často měří „elipsoidickou výšku" nad WGS 84. • Může tam být tedy odchylka - převýšení kvazigeoidu nad elipsoidem. 15 v V jižních Cechách. Jeden ze základních bodů nivelační sítě Rakousko-Uherska. "Locus perennis" = věčné místo Byla mu stanovena výška a od něj se pak měřily všechny další. Od Jadranu 565,1483 m. n. m. Od Baltu 564,760 m. n. m. Přístroje měří od geoidu, ale přepočítává se hodnota tak, jako by byla od Baltu, resp. od Lišova. 16 V údolí Bobravy. Základní nivelační bod pro Moravu a Slezsko. Od Baltu 210,552 m. n. m. Referenční elipsoid elipsoid = těleso popsané matematickým vztahem • Na elipsoidu se řeší geodetické úlohy, nahrazuje ve výpočtech zemské těleso. K definici potřebujeme: a, b - velikost hlavní a vedlejší 2 2 poloosy (semimajor axis, ^2 _ a ~b semiminor axis), a2 a, e - velikost hlavní poloosy a numerická výstřednost (excentricita, eccentricity), b2 a, e - velikost hlavní poloosy a a —b druhá excentricita, / =- a, f - velikost hlavní poloosy a ^ zploštění (flattening). 2 12 2 a -b e = 18 Referenční elipsoid c Číselná excentricita e je podíl délkové excentricity a hlavní poloosy. Neplést s délkovou excentricitou s! Taje někdy nazývaná taky jako lineární a je to vzdálenost středu a ohniska elipsy. e<1 Čím je elipsa protáhlejší, tím je e bližší k 1. Co by se stalo, kdyby e=1? Co by se stalo, kdyby e=0? Na délkovou excentricitu ani nesedí vzorec. 2 e = e2 = f = a2-b2 a2 2 / 2 a -b a-b b 19 Referenční elipsoid Parametry používaných referenčních elipsoidů v ČR: Elipsoid Besselův Krasovského WGS84 (GRS80) Velká poloosa a [m] 6 377 397,1550 6 378 245,000 6 378 137,000 Malá poloosa b [m] 6 356 078,9629 6 356 863,0188 6 356 752,3142 Druhá mocnina excentricity e2 0,006 674 372 2 0,006 693 421 6 0,006 694 380 Druhá mocnina druhé excentricity e'2 0,006 719 218 8 0,006 738 525 4 0,006 739 496 7 Reciproká hodnota zploštění 1/f 299,152 812 853 298,300 003 2 298,257 223 6 Krasovského a WGS se moc neliší, ale Besselův je dost odlišný. Proč? • Je starší než zbývající dva. Besselův 1841, Krasovského 1940. • Besselův byl definován tak, aby co nejlépe dosedl na Evropu, např. na východní Sibiři byl již dost nepřesný. • Novější elipsoidy jsou definovány pro celý svět. 20 Kdy se používá koule coby referenční plocha? • při tvorbě map malých měřítek, při vizualizaci digitálních dat s menšími nároky na minimalizaci zkreslení a při řešení jednodušších navigačních úloh. • při tzv. dvojitém zobrazení, kdy je referenční elipsoid nejprve zobrazen na kouli, která se poté zobrazuje do roviny = Křovák • tedy se používá i naopak při velmi přesném zobrazení! 21 Nejen elipsoidy, ale i referenční koule mohou být různé. Území podél rovnoběžky: poloměr koule rovný příčnému poloměru R = NQ křivosti elipsoidu. • zachována délka rovnoběžky Území kruhového tvaru: poloměr koule rovný střednímu poloměru ^ _ ^JmoN0 křivosti rovnoběžky cp0 procházející jeho tezistem. • tělesa se těsně přimykají Poloměr koule, aby měla podobný objem jako elipsoid: R = 6371 km. Po yS0** / \ R=No >\ \\ \\ rovník | \ \ ----- PO \ \ \ \ \ \ í \R=MoNo \ \ \ \ \ \ j tpo/ \ rovník \ 1 / / t y —p7 poloměr křivosti - viz např. http://old.gis.zcu .cz/studium/mk2/multimedialni_texty/m^ Referenční rovina Při tvorbě map z velmi malého území o poloměru zhruba do 20 km je možné pro polohová data uvažovat zakřivený povrch Země jako rovinu a pro zobrazování používat referenční rovinu: • vodorovné úhly jsou téměř stejné jako v rovině, • zkreslení délek, ploch a úhlů je minimální a zanedbatelné. Pro výšková měření je ale nutné zakřivení Země uvažovat. 23 SOUŘADNICOVÉ SOUSTAVY 24 Souřadnicové soustav ÉÉÉÉMÉÉi Musí být určeno: -výchozí bod - počátek soustavy -jednotka měření -směr přírůstku a úbytku hodnot - osy Elipsoid -zeměpisné souřadnice -měřeny od rovníku a základního poledníku Zeměpisná šířka = úhel mezi rovinou rovníku a spojnicí daného bodu a středu elipsoidu. Je definice správně? Ne. Elipsoid není koule, spojnici nelze vést ze středu. Zeměpisná šířka = úhel mezi rovinou rovníku a normálou v daném bodě. Zeměpisná délka = úhel mezi rovinou základního poledníku a normálou v daném bodě. Normála - čára kolmá na povrch elipsoidu - neprochází středem elipsoidu! 25 Souřadnicové soustav eh ÉÉÉÉMÉÉi zeměpisné souřadnice (geographic coordinate system) - zeměpisná (geodetická) šířka 9 (latitude) - zeměpisná (geodetická) délka X (longitude) rovník (equator) základní poledník - Greenwich, nultý - Ferro: 17°40' západně od Greenwich normála důležité parametry: - meridiánový poloměr křivosti - M - příčný poloměr křivosti - N M = a(l-e2) 2 • 2 x3/2 (1-e sin K1>J L» S5R příčný poloměr křivosti N - všechny normály jedné rovnoběžky se protínají v bodě ležícím na ose rotace Ps / Ncoscp Pí /\ /\ Md

dsp = Mdcp dsr = N cos (pdÄ 28 Výpočet délky poledníkov rovnoběžkového oblouku V některých aplikacích matematické kartografie je nutné znát délku poledníkového oblouku (například v Gaussově zobrazení), případně i délku oblouku rovnoběžky. Délka poledníkového oblouku: p=\Md(p 0 Po úpravě a rozvinutí v řadu podle binomické věty: sp=a(l-e2)j(l-e2sm2 + dA2 J dosadíme diferenciál izometrické šířky: d Mdcp_ ds2 = N2 CQS2 íd 2 + dÄ2\ Ncosp ^v ^ 7 odpovídá podmínce výše Pro dq = dA vznikne na elipsoidu síť čtverců jejichž velikost se s rostoucí cp zmenšuje. 34 Izometrické souřadnice n Výpočet izometrické šírky: Mdcp a(\-e2) dcp 3/ (\-e2 sin2 (py1 J Ncoscp 0 J a cos (p (l-e2sin>)^

-e cos (p)d(p (\-e2 sin2 (p)cos(p (\-e sin (p)d(p-e cos (1-e2 sin2 (p)cos(p dcp cos (p

180°, musí se použít doplněk do 360°, který podmínku splní, a to s opačným znaménkem. - např. místo 290° se dosadí -70°, místo -190° dosadíme 170° - délka loxodromy je samozřejmě stejná v obou směrech, ale při výpočtu její délky záleží na počátečním azimutu 60 Tímto se určí hodnota úhlu Ao, který leží v intervalu (-90°; 90°). Protože ale azimut A se měří v intervalu <0°, 360°>, je nutné hodnotu Ao opravit podle vzájemné polohy bodů E a F (resp. podle toho jakým směrem loxodromu počítáme). 61 Korekce se provádí následovně: A = A0 A = A0+180° A = A0+180° A = A0+360 J J J A -40° A -140° A -220° A -320° / Pokud počítám loxodromu ve směru z JZ na SV, pakAo = A. Pokud je směr loxodromy ze SZ na JV, pak se k zjištěnému Ao přičte 180°. 62 Loxodroma 2. Délka loxodromy nakonec se vypočítá dosazením A do vztahu rz tt dab = —T * (