Matematická kartografie
1. Pojem zkreslení
2. Délkové zkreslení
3. Úhlové zkreslení
4. Plošné zkreslení
5. Zákony zkreslení při použití polárních souřadnic
6. Vizualizace zkreslení
2
POJEM ZKRESLENÍ
Pojem zkreslení
• rovinný obraz referenční plochy je vždy zkreslen
• obecně jsou deformovány jak vzájemné polohy bodů, tak tvary (křivosti) čar
• zkreslení (distortion) roste se zvětšujícím se rozsahem zobrazovaného území, pokud je zobrazováno do roviny jako celek
• některé charakteristiky zkreslení jsou společné pro celou skupinu zobrazení
• při odvozování jednotlivých zobrazení se uvažují požadavky na průběh zkreslení rovinného obrazu
• základní odvození vždy pro pólovou polohu z referenčního elipsoidu
• případ při použití koule se odvodí následně
• v případě jiné než pólové polohy se dosazují kartografické souřadnice
4
DÉLKOVÉ ZKRESLENÍ
• základní posuzované zkreslení - z něj se odvozují ostatní
• délkové zkreslení souvisí s měřítkem zobrazeného území na mapě
• Co je měřítko mapy?
Poměr délky na mapě a ve skutečnosti.
• je uváděno jako konstantní pro celou mapu
• jedná se však pouze o hlavní měřítko, které je vztaženo k určité poloze nebo k určitým směrům
Přesněji:
• poměr zmenšení nezkreslené délky v mapě k odpovídající délce ve skutečnosti;
• označuje se výrazem 1 : M, kde M je měřítkové číslo.
7
Délkové zkreslení
• skutečné měřítko v určitém místě závisí na délkovém zkreslení m
• hodnota m se většinou blíží k 1
• m > 1 - zobrazení prodlužuje délky
• m < 1 - zobrazení zkracuje délky
„Ekvidistantní zobrazení nezkresluje délky." Každé zobrazení zkresluje aspoň nějaké délky.
Délkové zkreslení je poměr nekonečně malé délky v obraze a originále.
Proto se při odvození používá element mezi „diferenciálně blízkými body P a Q".
8
délkový element v zobrazovací rovině / délkový element na referenční ploše
zeměpisný (geodetický) azimut elementu je A (na ploše) nebo A' (v rovině)
oy <P+d<P
Md<p
	^Vds
	
p 1	NcoscpdX,
sin( 90° - A) =
Mdcp
cos(90° - A) =
ds
N cos (pdX ds
, cos A 1 dep =-ds
M
n     sin A clÁ =-ds
N cos <p
ds2 = M2dq>2 + N2 cos2
poledník: A = 0° nebo 180° -p rovnoběžka: A = 90° nebo 270° ds
dS2 = dx2 +dy
m =
dS_
ds
ds . =
Mdcp
N cos cpdX
dS2 = dx2 +dy
x-f((p,A) dx       dx d       d      totální diferenciály z obecných
dep
dS2 =
	2	M	2	f dep2 + V
{dep)	+			
		[dep)		
dep
dxdx dydy
dA
zobrazovacích rovnic
dcpdA dcpdA
2d(pdA +
J
( dx^Ý   ( dy^2
\dAj
+
\dAj
dA2
součty kvadrátů a součinů parciálních derivací = Gaussovy symboly
r, dxdx dydy F =-+
dcpdA dcpdA
dS2 = Edcp2 + 2FdcpdA + GdA2
dosazení do původního vzorce:
dS
m = — cis2 = M 2dep2 +N2 cos2 cpc/A2
ds
2 Edcp + 2 F1 dcpdA + GdA jfi =-
M2^2+7V2cos2^/A2
10
Délkové zkreslení
ÉmĚĚĚĚĚMĚ
m =
Edcp2 + 2Fd(pdÁ + GdÁ2
M2dcp2 + N2 cos2 <pdA2 dosadíme
vztahy z obrázku   a    goniometrické funkce
Mdcp
sin( 90° - A) cos(90° - A)
2        E 2 a
m =—-cos A +
ds
N cos (pdA
2sin A cos A = sin 2A cos2 A + sin2 A = 1
ds
M
F       ■  o. G sin 2 A +
MN cos (p
N2 cos2 q>
sin A
poledník: A = 0° nebo 180°
4Ě
m =-
p M
ds - Mdcp
m2 = m~ cos2 A +
rovnoběžka: A = 90° nebo 270°
_
m =
F
N cos g?
sin 2A + m2sin2 A
dsr = Ncos (pdÄ
MNcosp
A A
Délkové zkreslení je tedy závislé na poloze bodu        a azimutu A (směru).
Délkové zkreslení na referenční k
pozmění se Gaussovy symboly:
E=
í A, V
ck)\dy
{dUJ \dU
dLBV dlBV
G=
UC]   A (ty
ydVj
+
V
zkreslení v polednících: m _V£"
zkreslení v rovnoběžkách: jq
"l=RcoiJ
zkreslení v obecném azimutu:
ni = ní co š A+ w,    r £iiQA+ni siňA p IccoU
Extrémní délkové zkresl
Hledání extrému funkce: derivace funkce a položení rovno 0.
drn
= 2m
dm
F
dA
= -ml2sin A cosA+-
dA P a a MNcQS(p
2 cos 2A„ + m„ 2 sin A„ cos A = 0
funkce tg je dvojznačná - vztah platí pro 2 azimuty:
Aa
Ab = 90° - Aa
Extrémní délková zkreslení ma a mb ve dvou vzájemně kolmých směrech - hlavní paprsky zkreslení:
2 mu =	2 mp	cos2 Aa	+---sin 2An + m2 sin2 An MNcosp
			
m2b =	m2p	cos2 Ab	f H--sin 2Ah + ml sin2 Ah MNcoscp
příp.			
2 mb =	2 mp	sm2Aa	p H--sin 2An + mr cos A„ MNcoscp
13
Extrémní délkové zkresl
Hlavní paprsky zkreslení = směry extrémů, zůstávají na sebe ve všech zobrazeních kolmé i po zobrazení do roviny.
kružnice o poloměru ds
da=dszo$i
elipsa zkreslení = Tissotova indikatrix poloosy a = ma ds, b = nrib ds
dS —nydd +n%dB
Další vzorec pro výpočet délkového zkreslení
M = A-Aa
2 2        2 2 2
m =ma cos // + mh sin //
„mí" - směrník uvažovaný od hlavního paprsku zkreslení
14
Extrémní délkové zkreslení na referenční kouli
Extrémní délková zkreslení ve dvou vzájemně kolmých směrech:
ni =n% co 14, +^—^siií24     sirr 4
/?£      sirf 4,+^2coí/síit24; +wf co i 4,
15
3
ÚHLOVÉ ZKRESLENÍ
16
Úhlové zkreslení ^^^^^^^
Úhlové zkreslení Áoo = rozdíl velikosti úhlu v rovině a velikosti odpovídajícího úhlu na referenční ploše.
AúJ = a>'-a>   zkreslení úhlu
Q2
Q'2
Aa = (A'2-A\)-(A2-A1) = (A'2-A2)-(A\-Al) = M2 - AAl
AA = A'—A   zkreslení azimutu
rovinný obraz zeměpisného poledníku A a libovolného směru s, jehož azimut v zobrazovací rovině je A' a směrník je a'
A = 180°-(cr'p-ť7')
tgA '=-tg(ď ^cj-)
tgď-tgď
tgA =
\ + tgďptgď
~* y  Pro určení azimutu je tedy nutné stanovit tangenty směrníků. 17
Úhlové zkreslení
dx
— dep + — dZ ,_ dep dZ
dx ,     5x 7,
— d(p H--úf/i
d<£? dZ
tgď
dy cos A T    dy  sin A   ,     9y 1T ,, .
—--ds + —--ds   -^Arcos#?cosA + —Msin A
M        ô/t N cos g?    _ d(p dZ
dx cos A _ dx sin A _ ôjc . T dx _ _ . . --dv H---d?   —A/cos c/? cos A H--M sin A
M        dZ Ncoscp       d(p dZ
Dosadí se Gaussovy koeficienty:
E =
í(
+
dy \d(Pj
dy
dx dy dx dy d(p dZ   dZ d(p
dep
í ^,\2   í ^.\2
dx \d(Pj
+
dy \d(Pj
M                   dx dx    dy dy cos cp cot gA +--+ ———
dep dZ   dep dZ
N
n dxdx dydy F =-+
H =
depdZ depdZ
dx dy dx dy dep dZ   dZ dep
tgA'=
H
E — cos ep cot sA + F N
známe A', známe A, vypočítáme úhlové zkreslení oo
18
Úhlové zkreslení
Zkreslení azimutu je možné vypočítat i z extrémních hodnot délkového zkreslení. Konformní zobrazení - kružnice zůstane kružnicí.
f íTlbdS		\ A'b ]	1 b
	p \		
d<2
b
tgjU = —tgju
mbdb mada
m
a
zkreslení směrníku:   A// = ju'-ju
zkreslení azimutu: AA = A-A = Aju + A'a-Aa Úhlové zkreslení je tedy funkcí azimutu.
známe A', známe A, vypočítáme úhlové zkreslení 00
19
Uhlové zkreslení na ko
Tvar Gaussova symbolu
H=
dc dý  čk dý
dUdV dVdU
Výpočet azimutu ve zobrazovací rovině:
ô EcoUCQ^ArF
20
Extrémní úhlové zkreslení
• v elipse zkreslení existují symetrické směry, ve kterých úhlové zkreslení dosahuje extrému
• označují se symbolem s
• jejich směrníky v ortogonální soustavě hlavních paprsků zkreslení budou |lls a u/s a jim odpovídající azimuty As a A'e
velikost extrémního zkreslení azimutu -
AA = A'e - As
velikost extrémního zkreslení směrníku
Extrémní úhlové zkreslení na kouli?
sin Aju£ . Aco.
sin
mb +ma
mb+ma
Vzorec se nemění, mění se jen dosazená extrémní délková zkreslení. 21
4
PLOŠNÉ ZKRESLENÍ
22
základní vztah:
dP - odpovídající diferenciální plocha v zobrazovací rovině
dp - diferenciální (= nekonečně malá) plocha na referenční ploše
q>+d(p
NcoscpdA, |
dp = MNcos (pd(pdA
mPi =
dP_ dp
vzorec plochy kosodélníku:
dP = mpmľMN coscpdcpdA sin Ar r
mpl =mpmr sin A/
23
dp = 7ľds
dP = 7imadsmbds
mpl = mamb
24
ZÁKONY ZKRESLENÍ PŘI POUŽITÍ POLÁRNÍCH SOUŘADNIC
25
Zákony zkreslení souřadnic
Doposud vše na základě rovnic:
x = f(<p,A) y = f(<p,A)
V případě zobrazení kuželového nebo azimutálního:
P =
s =
x   —> xv  —> (p
-> p -> (p
-> X -> X
-> x
—» s —> cp -> X
f {(P A)
x = xv - pcoss y = psin s
Změní se Gaussovy symboly, jinak zůstanou vzorce zkreslení stejné.
E =
+
F =
(
dx
_v
J
ds
psin s--cos^
V
dep
dp dep
J
2^ +
d<p \d<p
(de*
J
Kd(pj
ds
psin s —
V dX
-cos s
dp
~ďx
j
dxv   dp dp 2 —- + — — + p--
H =
dp
(
sin s
y dx
+ pcoss
ds
ďx
J
dep dep dX dep dX dxv   ( d p ds d p ds
dep   \dX dep   dep dXy
P
26
Zákony zkreslení př souřadnic na kou
Změní se Gaussovy symboly, jinak zůstanou vzorce zkreslení stejné.
(Phr V
A
[ÔUJ   r—dU      cUfclJ \dU)   ŕ \cU)
í5 \ í\    í5 í5
F=\ psine^-cosř^
ôVjdU oilôV ŕ WW
g4&
\dV)
do?   J Sev
3 \
3*;, Yôpds_ôpôs
Xn^cV+f^°^cV)cU\cVcU dUÔV
27
6
VIZUALIZACE ZKRESLENÍ
28
• charakter průběhu zkreslení je možné vizualizovat pomocí čar stejných hodnot zkreslení, tzv. ekvideformát
• ekvideformáty mohou být konstruovány pro průběh všech druhů zkreslení
• vzhledem ke skutečnosti, že plošné a úhlové zkreslení je možné vyjádřit i pomocí délkového zkreslení m, jsou nejčastěji zobrazovány ekvideformáty délkových zkreslení (izometrické čáry)
29
Vizualizace zkresle
• Zkreslení se nejvíce mění v kolmém směru na směr ekvideformát.
• U jednoduchých zobrazení jsou ekvideformáty totožné s obrazem rovnoběžek - zeměpisných nebo kartografických.
• U nepravých a obecných zobrazení je tvar ekvideformát složitější.
vyjádření zkreslení číslem - poměrovou formou
poměrová forma délkového zkreslení:
v = m -1
m
^ m
d S -ds ds
poměrová forma plošného zkreslení:
Při m = 1 by tedy bylo vm = 0. Zkreslení není.
Při mpi = 1 není zkreslení. v = 0%
31
Vizualizace zkresle
elipsy zkreslení (Tissotovy indikatrix)
- zobrazené v uzlových bodech zeměpisné sítě:
Lze zjistit:
• délkové zkreslení,
• orientace hlavních paprsků zkreslení vůči obrazu poledníků a rovnoběžek,
• plošné zkreslení.
32