Jednotlivé typy zobrazení Matematická kartografie Osnova pro jednotlivé typy zobrazení 2 Aplikace poznatků z předešlých teorií. Jednotlivé typy zobrazení podle zobrazovací roviny – válcové, kuželové, azimutální, nepravé… • Jaké jsou obecné zobrazovací rovnice pro daný typ zobrazení? • Jak se počítá délkové zkreslení, zejména v rovnoběžkách a polednících? • Jak se počítá úhlové zkreslení? • Jak se počítá plošné zkreslení? Jednotlivé podtypy zobrazení podle zkreslení – ekvidistantní, ekvivalentní, konformní… • Odvození zobrazovacích rovnic pro konkrétní zobrazení na základě podmínek pro zkreslení. • Odvození rovnic zkreslení pro konkrétní zobrazení. • Příklady konkrétních zobrazení. Zobrazení referenčního elipsoidu na kouli Matematická kartografie Osnova 4 1. Základní vztahy a vzorce 2. Zobrazení se zachovanými souřadnicemi 3. Konformní zobrazení Úvod 5 Většina popisovaných vztahů bude převod z elipsoidu a z koule do roviny. Ale provádí se i převod z elipsoidu na kouli. Úvod Existence různých variant: – zachování souřadnic – ekvivalentní zobrazení – ekvidistantní zobrazení – konformní zobrazení – … Používanější pouze některé. V jiných materiálech lze najít další. 6 Použití zobrazení: 1. geografická kartografie – menší nároky na přesnost lokalizace objektů a jevů 2. geodézie – vysoké nároky na přesnost lokalizace objektů a jevů – použití při šikmé poloze zobrazení • vlastní šikmé zobrazení používá jen několik států – ČR, SR, Švýcarsko 7 Základní vztahy a vzorce Používá se výhradně jednoduché zobrazení. )(fU = )(fV = =V Md RdU mp = dN UdVR mr cos cos = • síť poledníků pokryje kouli • síť poledníků se bude částečně překrývat • část koule bude prázdná ds dS m = délka na kouli/délka na elipsoidu 1 1 1   =   konst. intervalu zem. délky na elipsoidu odpovídá konst. interval zem. délky na kouli zkreslení v polednících a rovnoběžkách   cos cos N UR mr = 8 Základní vztahy a vzorce AmA MN F Amm rp 22222 sin2sin cos cos ++=     +   = VVUU F 0=    U 0=    V AmAmm rp 22222 sincos += rppl mmm = pr pr mm mm + − =  2 sin  F=0 Vztahy platí pro všechna jednoduchá zobrazení! zkreslení v dalších směrech ze zobrazovacích rovnic vyplývá: AmAmm rp 22222 sincos += Rovnice zkreslení: 9 Zobrazení se zachovanými zeměpisnými souřadnicemi =U =V M R mp = N R mr = MN R mpl 2 = NM NM + − =  2 sin   ddV ddU = = Z obecných vztahů nyní odvodíme konkrétní varianty. • Zachované souřadnice? Jako když se bere od začátku koule jako základ. Velmi často. • V terénu měříte na přístroji GNSS. Měří na elipsoidu. • Data se použijí v GIS. Nastavíte zobrazení na kouli, ale používají se souřadnice z elipsoidu. 1= zobrazovací rovnice: rovnice zkreslení: • podmínka zachovaných souřadnic Zobrazení se zachovanými zeměpisnými souřadnicemi Jak určit vhodný poloměr koule? 11 • Území podél rovnoběžky: poloměr koule rovný příčnému poloměru křivosti elipsoidu. • zachována délka rovnoběžky ONR = ONMR 0= R=N0 0 Ps Pj rovník P0 R=M0N0 Ps Pj rovník P0 0 • Poloměr koule, aby měla podobný objem jako elipsoid: R = 6371 km. • Území kruhového tvaru: poloměr koule rovný střednímu poloměru křivosti rovnoběžky 0 procházející jeho těžištěm. • tělesa se těsně přimykají 12 Zobrazení se zachovanými zeměpisnými souřadnicemi Zobrazení elipsoidu na kouli délková zkreslení 0,9900 0,9920 0,9940 0,9960 0,9980 1,0000 1,0020 1,0040 1,0060 1,0080 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90  m mp mr Zobrazení elipsoidu na kouli úhlové zkreslení 0,0000 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90    Zobrazení elipsoidu na kouli plošné zkreslení 0,9800 0,9850 0,9900 0,9950 1,0000 1,0050 1,0100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90  mpl mpl Co ty grafy znamenají? zobrazení elipsoidu WGS84 na kouli o poloměru 6371 km: • ekvideformáty mají shodný průběh jako rovnoběžky • velká délková zkreslení (až několik metrů na kilometr) • Kde je úsek poledníku na kouli delší a kde kratší než na elipsoidu? • Kde je rovnoběžka na kouli méně zkreslená? Na pólu nebo na rovníku? • Je Sahara na kouli větší nebo menší než na elipsoidu? A Grónsko? • Kde se nezkreslují úhly? • Proč jsou všechny rovnoběžky kratší na kouli než na elipsoidu? Konformní zobrazení elipsoidu na kouli • výchozí podmínky pro konformní zobrazení: • mp = mr • F = 0 =V    cos cos N UR Md RdU =  =    coscos N Md U dU kqQ ln+=                + −       +=      + 2 sin1 sin1 45 2 45 2 e e e tgk U tg     13 • Používá se u Křováka. Coby jeden z kroků. • Gaussovo konformní zobrazení elipsoidu na kouli. po úpravě: Q – izometrická šířka na kouli q – izometrická šířka na elipsoidu k – integrační konstanta po úpravě: zobrazovací rovnice po úpravě: Konformní zobrazení elipsoidu na kouli určení konstant α, k, R: 14   cos cos N UR mmm rp === 2 mmpl = 0= rovnice zkreslení – Zobrazení území podél rovnoběžky j0: • Rovník se neztotožňuje a síť není potřeba po celé Zemi. • Důležitější je nezkreslenost určité rovnoběžky. – Pro zobrazení celé Země: • α = 1 – síť poledníků po celé Zemi • k = 1 – rovník na elipsoidu se zobrazuje jako rovník na kouli • To se ale moc nepoužívá. Minimální délkové zkreslení je pak na rovníku. 1 cos cos 00 0 0 ==   N UR m  += 0 ( ) ( ) +== 0ffm ( ) ( ) ( ) ( ) ... !3!2 3 0 2 000 +  +  ++=     ffffm ( ) 00 = f ( ) 00 = f 0 42 2 0 42 2 cos1 1 cos 1    e e e += − += 2 0 00 0 sin1 sin1 45 2 45 2 e e e tg U tg k           + −       +       + = 00 0 22 2 sin1 1 NM e ea R = − − =        =  0 0 sin arcsinU 15 • Určí se základní rovnoběžka . Ta se zobrazí jako U0.0 vztah pro výpočet U0 Konformní zobrazení elipsoidu na kouli • Zkreslení m0 na základní rovnoběžce se musí rovnat 1. • Vzorec pro zkreslení se rozepíše coby Taylorův rozvoj. • Zvolena podmínka, aby délková zkreslení byla závislá pouze na derivacích třetích a vyšších řádů. • Z toho se určí α, k a R.