Matematická kartografie Uvod Používaná poměrně často. Webové mapy. Umožňují zobrazit Zemi na nekonečný pás. Např. Mapy.cz nebo Google Maps. 2 1. Základní vztahy a vzorce 2. Ekvidistantní zobrazení 3. Ekvivalentní zobrazení 4. Konformní zobrazení 5. Šikmá poloha válcového zobrazení 3 1 ZÁKLADNÍ VZTAHY A VZORCE 4 Základní vztahy a vzor x = f(U) y = f(V) Z elipsoidu či koule do roviny. Častěji koule - ve vzorcích U, V, R. V případě použití elipsoidu? V případě šikmého zobrazení? Vzdálenost mezi obrazy poledníků je (při konstantním rozdílu V) konstantní. y = nV n - konstanta, upřesnění později Vzorce dle zvyklostí matematické kartografie = x směřuje nahoru a y doprava. Počátek souřadnic bývá na rovníku a hlavní poledník se určuje tak, aby byl uprostřed mapového obrazu. 5 Základní vztahy a vzor • Podobně jako všechna jednoduchá zobrazení - úhel mezi rovnoběžkou a poledníkem je vždy 90°. • Obrazy poledníků a rovnoběžek tvoří vzájemně ortogonální soustavu rovnoběžných přímek, ve kterých leží směry hlavních paprsků zkreslení. • Platí to pro zeměpisnou síť (pólová poloha) nebo kartografické poledníky a rovnoběžky (příčná či obecná poloha). • Obraz pólu: musel by být úsečka, nezobrazí se. 6 Základní vztahy a vzor q dx m n =- p RdU p | Ncos(pdX mr = dy RcosUdV dosazení n mr =- y = nV r RcosU mpl = mpmr . Aco mr-m sin 2 mr+mp • Rovnice zkreslení jsou funkcemi U a x, V nemá vliv. • Ekvideformáty budou přímky rovnoběžné s osou y (= rovnoběžka). • Hlavní paprsky zkreslení leží v obrazu rovnoběžek a poledníků. 7 Základní vztahy a vzor x = f(U) y = nV Rovnice zobrazovací závisí na hodnotě konstanty n a tvaru funkce x=f(U) Pro n potřebujeme určit, zda se bude nezkreslovat rovník nebo nějaká jiná rovnoběžka. Uo se nezkresluje: pro rovník: pro jinou rovnoběžku: n m,. — RcosUr = 1 z toho plyne: n — R n = RcosU. o Je li nezkreslena jiná rovnoběžka než rovník, tak se změní obraz zeměpisné sítě. Jak? Obraz se zúží. Proč? Nezkreslená rovnoběžka je kratší než rovník a rovník se tak zkrátí. J 8 EKVIDISTANTNÍ ZOBRAZENÍ Ekvidistantní zobraze 1. zobrazovací rovnici zjistíme z podmínky: dx X U mp = RdU 1 dx = RdU jdx = RJdU X = RU o o 2. zobrazovací rovnice platí pro všechny jednoduchá válcová zobrazení: y = nV Lze odvodit zobrazení ekvidistantní v rovnoběžkách? • Jednoduché válcové zobrazení může být ekvidistantní pouze v polednících. Proč? • Nelze pro rovnoběžky, každá je jinak dlouhá. • Mohu jen vybrat rovnoběžku, která se nezkreslí. 10 Ekvidistantní zobraze y = nV Pro 2. zobrazovací rovnici a pro rovnice zkreslení: • n se určí podle nezkreslené rovnoběžky/rovnoběžek: • pro obecnou rovnoběžku - síť bude obdélníková • pro rovník (cos 90°) - síť bude čtvercová n = RcosU, o n = R rovnice zkreslení: m„ = 1 p n = mPi " RcosU • Aa> n- RcosU sin _ - 2 n + RcosU 11 Ekvidistantní zobraze m 1,35 1,3 1,25 1,2 1,15 1,1 1,05 1 0,95 0,9 Marinovo ekvidistantní válcové zobrazení ■ mp 1 mr -40 -30 -20 -10 0 U 10 20 30 40 n = R Nezkreslený rovník = čtvercová síť - čtvercová mapa • Nazýváno též Plate Carrée nebo Marinovo Vzájemná vzdálenost rovnoběžek se nemění. 12 Ekvidistantní zobraze 3£ r « r a r r ?t r c" 40* / ■ J* ar ví 10' ■i ^ 0* i- 10" n ' ■ 'r 20" 30" JO" 30* 20" 10* 0* 10° 2C ■ 30* 40" 5< )■ 60* 7C • m 1,25 1,2 1,15 1,1 1,05 1 0,95 0,9 Ekvidistantní válcové zobrazení U0=20° ■ mp ■ mr -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 U n = RcosU, o Nezkreslená jiná rovnoběžka/rovnoběžky (např. Uo=+-20°) - obdélníková síť. Vzájemná vzdálenost rovnoběžek se nemění. 13 3 EKVIVALENTNÍ ZOBRAZENÍ 14 Ekvivalentní zobraze 1. zobrazovací rovnici zjistíme z podmínky: mpi = mpmr =1 dx n RdU RcosU = 1 x U \dx = — f cosUdU 2. zobrazovací rovnice platí pro všechny jednoduchá válcová zobrazení: y = nV rovnice zkreslení: 1 RcosU m, n mpl=l Aú) n -R2 cos2 U Pro 2. zobrazovací rovnici a pro rovnice zkreslení: n se určí podle nezkreslené rovnoběžky: • pro obecnou rovnoběžku • pro rovník n - = RcosU0 n = R Ekvivalentní zobraze • Jakmile roste zkreslení v rovnoběžkách, tak klesá v polednících a naopak. • Vlastností ekvivalentního válcového zobrazení je zmenšující se vzájemná vzdálenost rovnoběžek s rostoucí zeměpisnou šířkou. Proč? • Zobrazení Lambertovo - s nezkresleným rovníkem. 16 Ekvivalentní zobraze • Zobrazení Lambertovo - s nezkresleným rovníkem. • Stejné zobrazení se dá odvodit i geometricky. • Poté se nazývá Ortografická válcová projekce. • Střed promítání v nekonečnu. • O většině projekcí se budeme učit v rámci azimutálních zobrazen n = R x = R sin u y — Rv Ekvivalentní zobraze Zobrazení se dvěma nezkreslenými rovnoběžkami - Behrmannovo. 18 4 KONFORMNÍ ZOBRAZENÍ 19 Zachovává tvary a úhly, ale jen v diferenciálním okolí bodu 1. zobrazovací rovnici zjistíme z podmínky: mp = mr dx n u RdU RcosU jdx = n j dU cosU í x - n Q = n]ntg U — + 45° v2 J 2. zobrazovací rovnice platí pro všechny jednoduchá válcová zobrazení: y = nV rovnice zkreslení: m = n RcosU mpi = m2 Aa> = 0 Pro 2. zobrazovací rovnici a pro rovnice zkreslení: n se určí podle nezkreslené rovnoběžky: pro obecnou rovnoběžku pro rovník n = RcosU, n = R o 20 50!_áDľ_ar_22!_lip_Q r 10!_20!!_20!_40!_50!_£2!_ZO!_SO!_20!_10, 50* 40- 30- 20" 10" 10" 20* 30- 40" 50* 60* 70* 80* 90* 100" Zde 2 nezkreslené rovnoběžky. Konformní válcové zobrazení Mercatorovo, U0 = +- 20° • mp mr 0 U 10 20 30 40 Grafy mP a mr jsou shodné. Zvětšování vzdálenosti rovnoběžek směrem k oběma pólům. Nezobrazí se pól, protože tg 90° = nekonečno. Mercatorovo zobrazení (16. stol.) - doba námořních výprav. Loxodromy se zobrazují jako přímky. 21 Universal Transverse Mercato Mercatorovo zobrazení není UTM! Ale je základem pro UTM. Také válcové, také konformní. Ale z elipsoidu. Transverse = „příčný". Pootočeno do příčné polohy. Kartografický rovník je v poledníku, lze zvolit, který poledník bude nezkreslený. Zobrazení vyhovuje v místě okolo daného poledníku - a asi 10 stupňů na západ a na východ. Národní systémy jsou často založeny na tomto zobrazení. Liší se jen nastavením nezkresleného poledníku. Více o UTM později - v rámci Gaussova zobrazení. • Konformní válcové zobrazení v normální (pólové) poloze s nezkresleným rovníkem. • Zpravidla z referenčního elipsoidu WGS84. • Poledníky jsou vzdálené všechny stejně. Rovnoběžky se od sebe vzdalují čím dál více. Ale to až tak nevadí. Proto se používá ve webových službách - např. Google Maps, ESRI ArcGIS Online, Mapy.cz, OSM... • Pozor, není to UTM! Je bližší klasickému Mercatorovu - ale z elipsoidu. • Pojmenování - Web Mercator, WGS 84 Web Mercator, WGS 1984 Web Mercator (Auxiliary Sphere), Pseudo-Mercator... • EPSG 3857 zobrazovací rovnice: rovnice zkreslení: a x = a ln t s — + 45° m = a cos (p a -velikost poloosy elipsoidu J 2 m Pi = m y = aA Aco = 0 23 ŠIKMÁ POLOHA VÁLCOVÉHO ZOBRAZENÍ 25 Šikmá poloha válcového z • Používá se pro státní mapová díla. • Švýcaři mají také vlastní šikmý systém, ale na válci, ne na kuželu (LV95 -Landesvermessung 1995) • Kartografické poledníky a rovnoběžky jsou rovné, ale zeměpisné se zkroutí do křivek. • Musí se určit kartografický pól - např. ze známých zeměpisných souřadnic dvou bodů ležících na kartografickém rovníku.