Matematická kartografie 1. Základní vztahy a vzorce 2. Ekvidistantní zobrazení 3. Ekvivalentní zobrazení 4. Konformní zobrazení 5. Šikmá poloha kuželového zobrazení 2 1 ZÁKLADNÍ VZTAHY A VZORCE 3 Základní vztahy a vzor řeší se v rovinných polárních souřadnicích pas po zobrazení do roviny ještě transformace na pravoúhlé souřadnice x a y je to jednoduché zobrazení, stále platí, že poledníky a rovnoběžky jsou vzájemně kolmé Základní poledník Vo se stanoví v ose zobrazeného území: • ztotožňuje se s osou x • x směřuje nahoru a y doprava Základní rovnoběžka Uo přibližně prochází středem zobrazovaného území. v A X ///mu /////'im /////'im 'Z'//' n ii / / / /1111 fjStákladní poledník Vo i m i \ m 4 Základní vztahy a vzor jednoduché zobrazení ekvideformáty tvoří soustředné kružnice se středem v počátku polárního systému V je možné nalézt vždy jednu ekvideformátu s minimální hodnotou zkreslení obrazem pólu může být bod nebo část kružnice kuželová zobrazení mohou být řešena s jednou nebo dvěma nezkreslenými rovnoběžkami zobrazení jsou matematicky definovaná, přesto je možné si je geometricky představit jako tečný, resp. sečný kužel v * X 4S* ■"''um ///■um ////lim '///'mi / / ľ 11 i ^vl^ladní poledník Vo 5 Základní vztahy a vzor p = f (u) £ = f (V) Dá se psát jako: p = p0+f(U-U0) Po =x PQ poloměr základní rovnoběžky xv vzdálenost počátku souřadnic polárních (vrcholu V) a počátku souřadnic pravoúhlých (bod 0) 6 Základní vztahy a vzor Přírůstek úhlové vzdálenosti musí být konstantní s přírůstkem zem. délky: s — nV Konstanta n: - rozsah od 0 do 1 - pro n = 1 přechází v azimutální zobrazení V případě rovníkové nebo šikmé polohy se použijí kartografické souřadnice: P = Áš) e = f (D) 7 Základní vztahy a vzor Počátek polární souřadnicové soustavy je v bodě V (vrchol kužele). x = xv - pcoss y - psm s x směřuje nahoru a y doprava! Potřebujeme znát xv. Základní vztahy a vzor mr = pds R cos UdV délkový element v zobrazovací rovině / délkový element na referenční ploše element poledníku v rovině / element poledníku na kouli U roste a p klesá - proto mínus. element rovnoběžky v rovině / element rovnoběžky na kouli ds = ndV n = ds ~ďv mr = np RcosU U+dU EKVIDISTANTNÍ ZOBRAZENÍ 10 Ekvidistantní může být pouze v polednících. Vzdálenosti obrazů rovnoběžek se nemění. podmínka: m =1 1. zobrazovací rovnice: 2. zobrazovací rovnice: -clp RdU p u 1 jdp = -RJdU p = p0-R(U-U0) s = nV Po mr = mpl = np RcosU . Acd np-RcosU sin-=- 2 np + RcosU potřebujeme n,p0,R,U0 /p \ \ / A ' /i / / P°\ \ \ \ \ \ \P \ \ U u>7 | V'Ax RU U= .-^ A \ / o \yy i 11 Ekvidistantní zobrazení s j nezkreslenou rovnoběžkoi Podmínka: • na základní rovnoběžce U0 bude délkové zkreslení minimální • zároveň tato rovnoběžka bude délkově nezkreslena • Ptolemaiovo zobrazení - nejjednodušší ze všech kuželových zobrazení. potřebujeme n,p0,R,U0 d dmr KRcosU0 = 0 dU ' dU RcosUf = 1 koule: n = sin U{) * z obrázku: p0=RcotgU0 elipsoid: n = smcp0 p0=N0cotg(p0 v 9ťvx------- y p°\r rovník J 12 Potřebujeme n,p0,R,U0 • Musíme určit základní (a nezkreslenou) rovnoběžku Uo. • Ale zkreslení není symetrické - roste rychleji k pólu, na severní polokouli na sever. Uo proto není dobré dávat doprostřed mapy, ale více na sever. • Definujeme si podmínku, že zkreslení musí být stejné na severním i jižním okraji - na rovnoběžkách Us a Uj. nps np po dosazení zobrazovací rovnice p = p0+f(U-U0) RcosUs RcosU P S = Pi r(us-u0) p^Pt-rtVj-Uo) Uc, cos U,.-Ucos U cotg Č7, cos U, - cos U -U, Rovnice se řeší v několika krocích, začíná se s: Ale finální Uo bude jiné! 13 Ekvidistantní zobrazení nezkreslenou rovnoběžko Ukázka Ptolemaiova zobrazení pro Us=70° a Uj=30°. Nezkreslená základní rovnoběžka Uo není 50°! Velké zkreslení na okrajích mapy. Ptolemaiovo zobrazení délkové zkreslení 1 mp mr 30 35 40 45 50 55 60 65 70 U 14 Ekvidistantní zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou Základní rovnoběžka: U0=45° vm = Hodnota ekvideformát v poměrové formě: mr-1 (Uo má hodnotu 0) Krok ekvideformát: 0,5 Ekvidistantní zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou Základní rovnoběžka: U0=45°, Tissotovy indikatrix Ekvidistantní zobrazení nezkreslenými rovnoběžkám Podmínka: • Dvě předem dané nezkreslené rovnoběžky o zeměpisných šířkách U1 aU2 Umožní zmírnit zkreslení na okrajích mapy. de Tlsleovo zobrazení mrs = 1+c RcosUl = 1 R cos U\ = 1 RcosUl = n[p0 - RiU.-U,)] RcosU2=n\p0-R(U2 ^(cos^-cosU2) = nR(U2-Ux) costA -cosř79 \ n =---- -U0)] 17 Ekvidistantní zobrazení nezkreslenými rovnoběžkám Zřcos^ =n[p0 -Rfa -U0)] po dosazení n: Rcos c_osU±-cosU±[ ( }] U2~Ul R[(U2 - U0 )cos U, - (U, - U0 )cos U2 ] Po = cosř7, -cosřX de 1'lsle stanovil základní rovnoběžku a nezkreslené rovnoběžky takto: u.+u, u0 = u2= 2 2 2 18 Ekvidistantní zobrazení nezkreslenými rovnoběžkám Ukázka použití de Tlsleova zobrazení pro Us=70° a Uj =30° 60° 55'SS' 50' 45" 40' 70' 30' 25" 20' 15' 1CT 5' 0° 5° 10' 15* 20' 25" 30' 70' 40' 45' 50° 65°55 30" 15' 5" 10" 15" 30' De llsleovo zobrazení délkové zkreslení m 1,09 1,07 1,05 1,03 1,01 0,99 0,97 0,95 ■mp ■ mr 30 35 40 45 50 55 U 65 70 Nezkreslené tedy jsou? Ui=40° a U2=60°. Zkreslení na severu a jihu je odlišné. 19 Ekvidistantní zobrazení se dvěma nezkreslenými rovnoběžkami Nezkreslené rovnoběžky: 1^=20°, U2=40° Hodnota ekvideformát v poměrové formě: mr-1 (U1 a U2 mají hodnotu 0) Krok ekvideformát: 0,5 Vzdálenost rovnoběžek se nemění. Ekvidistantní zobrazení s to zkreslením na severu a jihu Podmínka: Totožné zkreslení nejsevernější a nejjižnější rovnoběžky - napr. v atlasech. Zkreslení roste rychleji na sever než na jih, resp. k bližšímu pólu! Neurčují se tedy předem jaké rovnoběžky jsou nezkreslené. To se spočítá. Vitkovského zobrazení - stanovil ještě další podmínky: Základní rovnoběžka je uprostřed zobrazení. Není to ta v nejnižším bodě křivky rrir! Základní rovnoběžka má stejnou absolutní hodnotu zkreslení jako ty krajní. Neví se ale jakou hodnotu. 's ' j u0 = u. +u rrir =mr, - ^----- mr =mr = 1 + v m,. = 1 - v.. Vm ITIri=m r2 '" m vm - m -1 m Délkové zkreslení vyjádřené v poměrové formě. Vm rn.ro Vitkovského zobrazení délkové zkreslení ■ mp ■ mr 30 35 40 45 50 55 60 65 70 U Ekvidistantní zobrazení s to zkreslením na severu a jihu 1. podmínka: m,. = m np RcosU„ RcosU Rlu.-UjcosUj-iUj-U^U^ cosU, - cosi/ 2. podmínka: m = /77,. = 1 + v m.. = l-v m ^ npv npn mr +mr = 2 -+-^ 2RcosU, cosf/n = 2/7= 5 0 m RcosU, RcosU r Ps cosU0+p0 cosUs 22 Ekvidistantní zobrazení s to zkreslením na severu a jihu Pokud potřebuji znát nezkreslené rovnoběžky Ui a U2: m = v 1 iřcosí/! np2 m„ = RcosU, = 1 = 1 Po V* cosi/! =/7 ^-U.+U, J COS ř/o = « t/2 + t/0 Použije se metoda postupné aproximace. Pro první přiblížení se dosadí: u.+un u2 = 2 U.. + Ur 23 Ekvidistantní zobrazení s to zkreslením na severu a jihu Ukázka Vitkovského zobrazení pro Us=70° a Uj =30 —on© 60' 55' 65' J5' d0a 35' 70' 20° 15' 10' 5' 0° 5' Uj' 15' 20' 70' 35' Í0' 45' 65' 55' 60' 25- 20" 15^0- 10' 10" 30-15" 20- 25" mrs=mrj Vitkovského zobrazení délkové zkreslení ■ mp ■ mr 30 35 40 45 50 55 60 65 70 U Lze spočítat: Ui = 36°55' U2 = 66°02' 24 25 3 EKVIVALENTNÍ ZOBRAZENÍ 26 Ekvivalentní zobrazení ^^^^^^ Vzájemné vzdálenosti obrazů rovnoběžek se zmenšují. Směrem od osové rovnoběžky. podmínka: mpl =mpmr =1 ~dp np = 1 \pdp = -— ]cosUdU RdU RcosU i n J Po u0 1. zobrazovací rovnice: 2. zobrazovací rovnice: 2 o2 p2 = pl--(sin U-sin U0) s-nV n 1 np . A&> n2p2-R2 cos2 U m> = — = —-T7 "V =1 sin-= —f-----— m RcosU pl 2 n2 p2+R2 cos2U potřebujeme n,p0,R,U0 27 Ekvivalentní zobrazení s je ezkreslenou rovnoběžkou a pólem zobrazeným coby bod Podmínky: • nezkreslená základní rovnoběžka U0 • pól se zobrazí jako bod totožný s počátkem rovinného polárního souřadnicového systému (bod = oblouk s nulovou délkou) • Lambertovo kuželové ekvivalentní zobrazení podmínka 1 np0 RcosU = 1 podmínka 2: Do obecné zobrazovací rovnice se dosadí U=90° a p=0. 2R2 o ^2 ^2 P =Po n (sin U - sin U0) ze soustavy podmínek vychází: n = 2i?2(l-sin U0) Po = 2R(l-smU0) COSUr = 2Rtg í pI 45°-—0 V 2y MM • 11 Ml ■ I Ekvivalentní zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou a pólem zobrazeným coby bod Lambertovo ekvivalentní kuželové zobrazení délková zkreslení 1,05 - m i mp ■ ■ ■ i mr 0,95 -n q u,y 30 35 40 45 50 U 55 60 65 70 Us=70° Uj=30° Nezkreslená základní rovnoběžka Uo se většinou volí jako střed mezi severní a jižní rovnoběžkou zobrazovaného území. 29 ■v m 9* Ekvivalentní zobrazení s nezkreslenými rovnoběžkám Podmínky: • Dvě předem dané nezkreslené rovnoběžky o zeměpisných šířkách U-, a U2. • Základní rovnoběžka Uo je zkreslená. • Většinou se volí jako střed mezi nezkreslenými rovnoběžkami. • Albersovo zobrazení m.. = r2 "Pí R cos Uí R cos ř/„ = 1 = 1 ri n Pc 2R n (sin Ul - sin U0) = R2 cos2 Ul Po- — (sin U2-sm uo) n = R2 cos2 U n cos2 Ux -cos2 U2 1 / . TT j j \ 2(sin ř/2 - sin Ux) 2 í • TT T T \ R2ZOS2Ux (sni U1 - sni c70----L 2 2R2 Po = n n 30 ■v m 9* Ekvivalentní zobrazení s nezkreslenými rovnoběžkám Albersovo ekvivalentní kuželové zobrazení • na obrázku pro Us=60° a Uj=38° • mimo tuto oblast již zkreslení hodně narůstá Albersovo ekvivalentní kuželové zobrazení délková zkreslení 1,1 1,05 m 1 0,95 0,9 ■mp mr 30 35 40 45 50 55 60 65 70 U 31 Ekvivalentní zobrazení s nezkreslenými rovnoběžkám Nezkreslené rovnoběžky U1 = 20° a U2 = 40°. Interval rovnoběžek se zmenšuje směrem od základní rovnoběžky. 32 4 KONFORMNÍ ZOBRAZENÍ 33 Konformní zo b raze • Vzdálenosti obrazů rovnoběžek se zvětšují směrem od osové rovnoběžky. podmínky: F = 0 u jednoduchých zobrazení vždy splněno ~dp np prdp ur dU mp =mr RdU RcosU 1. zobrazovací rovnice: n{Q0-Q) Po = -n p Ur cosU 2. zobrazovací rovnice: s-nV při použití izometrické šířky a přirozeného logaritmu rovnice zkreslení: m - np RcosU mpl =m Aco = 0 potřebujeme n,p0,R,U0 34 Konformní zobrazení s jed nezkreslenou rovnoběžkoi • Zobrazení s jednou nezkreslenou základní rovnoběžkou. • Ta se však zpravidla dodatečně zkresluje. • Někdy se nazývá Lambert Conformal Conic (Single Parallel). /?0=m0/?cotgř/0 mo = délkové zkreslení základní rovnoběžky. Vždy menší než 1. • Tím vzniká zobrazení se dvěma nezkreslenými rovnoběžkami Ui a U2. Znáte nějaký příklad takového zobrazení? • Uvedený typ zobrazení je použit i při zobrazení Základních map České republiky (Křovákovo zobrazení). • Ale v šikmé poloze. 35 Konformní zobrazení s jed nezkreslenou rovnoběžkoi Výpočet Ui a U2: m, = RcosUl "Pi R cos t/o = 1 = 1 Dosadí se obecná zobrazovací rovnice pro konformní zobrazení: P = Pc tg ^ + 45° v J (U \ — + 45° tg n = smU Výpočet n jako u ekvidistantního kuželového 0 zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou. 36 Konformní zobrazení se dvěi nezkreslenými rovnoběžkám Podmínka: • dvě předem dané nezkreslené rovnoběžky U1 a U2 Lambertovo konformní kuželové zobrazení - Lambert Conformal Conic (LCC) konstanta n - z nezkreslených rovnoběžek: A = A = R cos ř/j n RcosU2 n Po cosUl cosU, í tg U, ^ + 45° v í tg + 45c v J tg ^ + 45° v J ^ + 45° tg J ÍU ^ tg ^ + 45° v J í tg + 45c v pl cosUl p2 cosU2 n = In cos L/i — In cos U2 lntg(^+45°) - lntg(^ + 45°) In cos ul-\a cos u2 n = a-a 37 Konformní zobrazení se dvěma nezkreslenými rovnoběžkami konstanta po - ze zobrazovací rovnice Po = tg V + 45° J - n tg ÍU2 + 45° ) — RcosUl U RcosU2 l 2 n tg V2 + 45° J _ n tg + 45° ) nebo taky _ RcosU, ^n{Qi_Qo) = RcosU2 ^n{Q2_Qo) n n Po = e - přirozený logaritmus Základní rovnoběžka Uo se většinou volí uprostřed mezi nezkreslenými Ui a U2. 38 Konformní zobrazení se nezkreslenými rovnoběžkám Lambertovo konformní kuželové zobrazení Letecké navigační mapy ICAO a NATO. V rámci směrnice INSPIRE využíváno pro publikaci dat -souřadnicový referenční systém (ETRS89-LCC). Lambertovo konformní kuželové zobrazení délkové zkreslení m 1,08 1,06 1,04 1,02 1 0,98 0,96 0,94 m 30 35 40 45 50 55 60 65 70 U U, =40°aUo=60° 39 Konformní zobrazení se dvěrr nezkreslenými rovnoběžkami Nezkreslené rovnoběžky U1 = 20° a U2 = 40°. Interval rovnoběžek se zvětšuje směrem od základní rovnoběžky. 40 ŠIKMÁ POLOHA KUŽELOVÉHO ZOBRAZENÍ 41 Šikmá poloha kuželové Území s protáhlým tvarem, ale ne ve směru rovnoběžky. Použijí se kartografické souřadnice. Ze zeměpisných souřadnic se vypočtou kartografické souřadnice. Kartografické souřadnice se přepočítají do roviny. p = Áš) £ = f(D) Viz později - Křovákovo zobrazení. 42 Porovnání zobrazen Albers Ekvidistantní kuželové LCC (ekvivalentní) Lambert Conformal Conic