Matematická kartografie 1. Základní charakteristiky nepravých zobrazení 2. Nepravá válcová zobrazení 3. Nepravá kuželová zobrazení 4. Nepravá azimutální zobrazení 5. Polykónická zobrazení 6. Obecná zobrazení 2 1 ZÁKLADNÍ CHARAKTERISTIKY NEPRAVÝCH ZOBRAZENÍ 3 Základní charakteristiky ne Zachovávají některé vlastnosti jednoduchých zobrazení, zejména tvary zeměpisných rovnoběžek. Tvary zeměpisných poledníků jsou však odlišné - složité křivky. Jedna zobrazovací rovnice je funkcí obou souřadnic na referenční ploše. Jejich zobrazovací rovnice nelze odvozovat jako u jednoduchých zobrazení. Hlavní paprsky zkreslení neleží ve směrech poledníků a rovnoběžek. Úhel mezi obrazy poledníků a rovnoběžek není pravý. • Tím pádem nemohou být tato zobrazení konformní. Zobrazení však mohou být ekvidistantní a ekvivalentní zároveň. U jednoduchých zobrazení platí: mPi = mpm* Kdyby mp a mpi byly rovny 1, pak by mr taky muselo být rovno 1, což nelze. U nepravých zobrazení zmíněný vzorec neplatí, takže je možné, aby mpi i mp byly rovny 1. 4 Základní charakteristiky nepravých zobrazení • Zobrazení se odvozují matematickou cestou podle zadaných podmínek nebojsou definována konstrukčním návodem, nelze si je představit geometricky. • Často se využívají pro zobrazování velkých územních celků v malém měřítku až po zobrazení celého světa na jednom mapovém listu - planisféry. • Většina zobrazení se proto používá v pólové poloze z referenční koule. 5 Základní charakteristiky ne Jen výjimečně jsou používána v rovníkové nebo šikmé poloze nebo z elipsoidu. NEPRAVÁ VÁLCOVÁ ZOBRAZENÍ Nepravá válcová zobra; x = f(U) y = f(u, v) Z tvaru zobrazovacích rovnic je zřejmé, jaký tvar budou mít rovnoběžky. Jaký? Jako u jednoduchých válcových zobrazení. A to je jaký tvar? Soustava přímek rovnoběžných s obrazem rovníku. A proč? Která rovnice ovlivňuje tvar rovnoběžek? Rovnice pro x určuje na mapě vzdálenost od rovníku - tedy tvar rovnoběžky. Je stejná jako u jednoduchých zobrazení. Tedy i tvar rovnoběžky je stejný. 8 Nepravá válcová zobra; Tvar poledníků - rovnice pro y - kombinace obou souřadnic - složité křivky symetrické podle hlavního poledníku. Rozlišují se proto zobrazení: • sinusoidální, • eliptická, • kruhová, • přímková Póly jsou často úsečky, ale může to být i bod (u Mercator-Sansonova zobrazení). 9 Nepravá válcová zobra Odvození rovnice zkreslení - z obecných rovnic pro výpočet - viz skripta kap. 3.1. Rovnice zkreslení: R2cosU tg Aa> 1 2^ m2p + m2r -2 m Pi Pozměněné Gaussovy koeficienty: E = F = + dU J dy dy dU J G = H = dU dV idy}2 dx dy dU dV Rovnice zkreslení s Gaussovými koeficienty platí obecně pro všechna zobrazení. Ale musí se vždy dosadit správný tvar Gaussova koeficientu. 10 Nepravé válcové sinusoidální zobrazení Mercator-Sansonovo (Flamsteedovo) Mercator-Sansonovo zobrazení: - poledníky se zobrazují jako části sinusoid: Sinusoidal projection - ekvidistantní v rovnoběžkách s nezkresleným základním poledníkem - ekvivalentní m,. — 1. podmínka: RcosU dy_ dV m = dy_ dV RcosU RcosU v jdy = RcosU ^dV y = RVcosU 2. podmínka: H = 1 m, = 1 m , =- pl p R2cosU H = R2cosU dx dy „2 J R cost/ dU dV dx ÔU = R = 1 m p mľ = 1 mpi =l = Vl + sin2ř/V: Acd 1 . TT i— tg-= -sinf/VV 2 2 zobrazovací rovnice: x = RU y = RV cosř/ li Nepravé válcové sinusoidální zobrazení Mercator-Sansonovo (Flamsteedovo) poledníky = části sinusoid pól = bod délkové zkreslení v polednících: velké zkreslení ve vyšších zem. šířkách Mercator-Sansonovo zobrazení 3,5 2,5 m„ 1,5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 U ■10° 20° 30° 40° ■50° ■60° 70° ■80° ■90° 100c 110c ■120c ■130c ■140c ■150c ■160c ■170c ■180c Znázornit se musí křivka pro více poledníků. Jakou zeměpisnou délku má nezkreslený poledník? 12 Nepravé válcové sinusoidální zobrazení Mercator-Sansonovo (Flamsteedovo) Nepravé valcové si Eckertovo ^ ääm razení Charakteristika: • Poledníky se zobrazují jako části sinusoid. • Póly se zobrazují jako úsečky stejné délky jako základní poledník a současně poloviční délky obrazu rovníku. • Rovnoběžky se k sobě vzájemně přibližují směrem k pólům. • Zobrazení je ekvivalentní tak, že plošný obsah celého obrazu Země je stejný jako plocha zobrazované referenční koule o poloměru R. • Menší zkreslení ve vyšších zem. šířkách než u Mercator-Sansonova. Nepravé valcové si Eckertovo ^ mm 2R X = Iľ 2R _ í/ r= , Kco52 i „Upravená" zeměpisná šířka: TT + 2 sinU' + ŕ/' =-siní/ £/'+sm tT- 7T 1 + — V 2y sin t/ 1 + costT V/ľr + 2cosLr 2 cos —COS 6" 2cos 2ÍT V/ľr + 2cosLr m/7/ =mpmr cos s = 1 A&> 1 / j 2 ŕg-= — m +mr 2 2* p V 128 = — sin U' 2 -2 15 Nepravé válcové si Eckertovo ^ Eckert V Eckert VI Ve skriptech je popsáno zobrazení Eckert VI. 16 eni Nepravé válcové eli Molweidovo " • Pseudocylindrické ekvivalentní zobrazení s poledníky ve tvaru elips. • Celá Země je zobrazena do elipsy s poloosami v poměru a : b =1 : 2. • Poledníky V = ±90° se zobrazí jako kružnice o poloměru p = b = r42 • Zobrazovací rovnice - z parametrických rovnic elipsy, jimiž jsou vyjádřeny poledníky. • Pól se zobrazí jako bod - velké zkreslení u krajních poledníků a u pólů. x = sin a y = cosa 71 A , -(a'+sin a'-nsx& u) Aa = —- 7 1 + cosor' a = a 7 2 71 TT mn = —i=cosu secasecr P 2V2 2V t = —tga 71 2V2 mr =-sccU cosa 71 mpl=l *g-= -\m» +m-2 2 2* p 17 18 Nepravé válcové sinusoi Molweidovo - Goodeho úprava • Pokus řešit poměrně velké zkreslení ve vyšších zem. šířkách u Molweidova zobrazení. • Vyloučeny části povrchu Země s velkým zkreslením - využita plocha oceánů. Robinsonovo zobrazen Není konformní, ekvivalentní, ekvidistantní. Póly se zobrazují jako úsečky od délce 0,5322 rovníku, střední poledník má délku 0,5072 rovníku. Vytvořeno, aby vypadalo dobře. Teprve pak se odvodily matematické rovnice. NEPRAVÁ KUŽELOVÁ ZOBRAZENÍ Obraz rovnoběžek? Kružnice se společným středem P = f(U) s = f(f/9V) Obraz poledníků? Složitější křivky symetrické podle hlavního poledníku. Obrazy pólů: body. Odvození rovnice zkreslení - z obecných rovnic pro výpočet zkreslení při užití polárních rovinných souřadnic-viz skripta kap. 3.4. Pozměněné Gaussovy koeficienty: E = dp V f J F = p G = p dU ds ds V ds dU J dU dV f ds^? V J H = -p dV dp ds dU dV 22 Rovnice zkreslení: • stejně jako u nepravých válcových • změní se jen Gaussovy koeficienty H mpl=—2 RzcosU tg Aú) 1 2^ m2p + m) -2 m Pi E = F = p G = p dU 2 \UU J ds ds ( ds^ V dU J dU dV íds^ v H = -p dV dp ds dU dV mp = 1 í V dp dU Y 2 ( ds^ +p ) [duj p mpi = R 'ds^ RcosU dp ds p—-- dU dV R2cosU 23 Nepravá kuželová zobraze Převod mezi polárními a pravoúhlými rovinnými souřadnicemi je stejný jako u jednoduchých kuželových zobrazení: p poloměr základní rovnoběžky 0 xv vzdálenost počátku souřadnic polárních (vrcholu V) a počátku souřadnic pravoúhlých Nepravé kuželové zobr mwfá VO x\y Ekvidistantní zobrazení v rovnoběžkách s nezkresleným základním poledníkem V0. P = f(U) Souřadnice p je funkcí souřadnice U. Jako u jednoduchých kuželových zobrazení. Obrazy rovnoběžek jsou stejné jako u jednoduchého kuželového zobrazení. Jednoduché kuželové ekvidistantní jsme už odvozovali. 1. zobrazovací rovnice je stejná: p = pq-r(U-U0) P0 = R cot gU 0 Rovnoběžky jsou nezkreslené p ds = 1 R cos U dV RcosU RcosU 1Tr ds =-dV P \ds o RcosU P v O s = V 2. zobrazovací rovnice P 25 Nepravé kuželové zobr onneovo Rovnice zkreslení vznikají odvozením ze zobrazovacích rovnic. í mp=M + V sin U - RcosU P J mpi = 1 Zobrazení je zároveň ekvivalentní! Nepravé kuželové zobr mwfá VO x\y ekvidistantní v rovnoběžkách ekvivalentní Přesto se zdá použitelné jen pro umělecký efekt - „milujeme naši planetu". Ve větším měřítku je však využitené i pro běžné topografické mapy - např. dříve Francie. Uo = 60°, Vo=0° 27 Nepravé kuželové zobr onneovo Nepravé kuželové zobr onneovo INTERNATIONAL MAP YEAR 2015-2016 29 NEPRAVÁ AZIMUTALNI ZOBRAZENÍ 30 Nepravá azimutální zob P = f(U) £ = f(V,V) x = pcoss y = psin s • obrazy rovnoběžek: soustředné kružnice se společným středem • obrazy poledníků: různé křivky • obrazy pólů: body Obecné zobrazovací rovnice a obecné tvary zákonů zkreslení jsou stejné jako u nepravých kuželových zobrazení. (d(ľ\ RcosU P P mpi = dp ds dU DV ^ Acd 1 R2cos U 2\ m2 +m2r -2 m pi zobrazení odvozená matematickou cestou zobrazení vzniklá afinním promítáním jednoduchých azimutálních zobrazení v rovníkové poloze zobrazení vzniklá kombinací azimutálních zobrazení s válcovými či nepravými válcovými zobrazeními 31 Nepravé azimutální zobrazení Werner-Staabovo • mezní případ Bonneova kuželového zobrazení (U0 = 90°) • obraz zemského pólu se ztotožňuje se středem rovnoběžkových kružnic • tedy pro U0 = 90° bude p0 = 0 (vzdálenost mezi počátkem polárních souřadnic a zobrazovací rovnoběžkou) dosazení do zobrazovacích rovnic Bonneova zobrazení: 32 Nepravé azimutální zobrazení Werner-Staabovo • Zákony zkreslení budou obdobné jako u Bonneova zobrazení: • ekvidistantní v rovnoběžkách • ekvivalentní 33 Nepravé azimutální zobrazení Werner- Staabovo Nepravé azimutální zobi razení Ginzburgovo ^ig§£ 111111^ • Zobrazení s oválnými ekvideformátami. • Zobrazení v obecné poloze - při odvození se využívají i kartografické souřadnice. 35 Modifikovaná azimutal • Vznikají úpravou jednoduchých azimutálních zobrazení v příčné poloze, nejčastěji jejich afinním promítnutím na šikmou rovinu. • Nemohou být konformní, ale jsou většinou ekvivalentní. • Póly se zobrazují jako křivky či body. • Obrazem základního poledníku a rovníku jsou úsečky, vše ostatní křivky. • Používají se pro mapy celého světa. vznik: • Kombinace jednoduchých a nepravých zobrazení. • Afinním promítnutím jednoduchých azimutálních zobrazení zástupci: • Aitovovo zobrazení • Hammerovo zobrazení • Wagnerovo zobrazení 36 Nepravé azimutální zobrazení Aitovovo (též Aitoff) • Zobrazení vniklo geometrickou cestou. • Afinní průmět ekvidistantního azimutálního zobrazení (Postelovo zobrazení, ale v rovníkové poloze) na rovinu odkloněnou o 150° od roviny rovníku (o 60°od průmětny). • Obrazem Země je elipsa. • Nezkreslený rovník, základní poledník zkrácen na polovinu. • Zobrazení není ekvidistantní. • Obrazy poledníků i rovnoběžek jsou obecné křivky. 90° Nepravé azi (též Aitoff) itální zobr; itovovo Nepravé azimutální zobrazení Hammer- Aitoff m Tak jako Aitov zobrazil Postelovo zobrazení v rovníkové poloze, Hammer stejně zobrazil Lambertovo jednoduché ekvivalentní azimutální zobrazení v rovníkové poloze. Obrysová kružnice Lambertova zobrazení se transformuje do obrysové elipsy s poloosami: a = 2R^Í2 b = R42 IRúnU x = + COSÍ/ cos AV IR-JhcosU sin y l + cosí/ cos • h=a/b - poměr poloos elipsy • změna h umožňuje redukovat plošné zkreslení • při h=2 je zobrazení ekvivalentní 39 -7y&0s6 Nepravé azimutální zobrazení Hammer- Aitovovo a Mollweidov • nepravé válcové x nepravé azimutální Jak poznat, které je které? • Rovnoběžky jsou rovné - nepravé válcové - Mollweidovo. • Rovnoběžky jsou elipsy - nepravé azimutální - Aitovovo. lir! v Ä ±J a 1 m'k*k~Tě Nepravé azimutální zo Zobrazení vzniklo geometrickou cestou a to transformací jednoduchého azimutálního ekvivalentního zobrazení v příčné (=rovníkové) poloze s přečíslováním poledníků a rovnoběžek. Zobrazení je jako celek ekvivalentní. Nepravé azimutální zobr 1) vyjmout část původního zobrazení 2) 3) přečíslovat vyňatou část, aby vyjadřovala povrch celé Země • rovník zůstane rovníkem, základní poledník základním poledníkem • okrajové rovnoběžky budou obrazem zeměpisných pólů • okrajové poledníky budou obrazy poledníků V = ± 180°. přečíslovat poledníky a rovnoběžky v' = n-v smu' = msmu m, n podle okrajových poledníků a rovnoběžek: m = smuk n = —— 180c Pól se zobrazí jako křivka tím delší, čím bude m menší. 60° 30° 0° 30° 5fl° 9Bo 43 Nepravé azimutální zob 4) zvětšit vyňatou část, aby měla stejnou plochu jako referenční koule. 5) transformovat vynásobením všech souřadnic y a dělením všech souřadnic x vhodnou konstantou o 60° 30° 0° 30° 60° 90o Více zde: http://old.qis.zcu.cz/studium/mk2/multimedialni texty/index soubory/hlavni soubory/nepravá souborv/neazimut.html#waqner 44 POLYKÓNICKÁ ZOBRAZENÍ 45 Polykónická zobraze • Zobrazování na nekonečný počet kuželů. • Každá rovnoběžka zobrazována na samostatný kužel v této rovnoběžce tečný. • Jednoduchá kuželová zobrazení - obrazy rovnoběžek jsou kružnice. • Každá kružnice má však samostatný střed ležící na obraze základního poledníku. P = f(U) £ = f(U,V) zobrazovací rovnice podle nepravého kuželového zobrazení: transformace do rovinných souřadnic: x = xv-pcoss xv=f(u) y = psin s Xv není konstantní. - „třetí zobrazovací rovnice Polykónická zobraze Gaussovy symboly -pro polární souřadnice: rovnice zkreslení: E = dx,. dU coss dp^2 f dU + J F = p ds dV í dU sin s + p ds^ sin s + p ds dU \2 dU J G = p: H = p ds dV f dU coss dp dU ^ P ds dV R cosi/ P ds mPi = dV f dxv dp —-COSS--- dU dU RzcosU 47 Polykónické zobrazení H ekvidistantní polykónické zobrazení nezkreslují se rovnoběžky není zkreslený základní poledník pól se zobrazí jako bod 1. zobrazovací rovnice p = RcotgU RcosU dosadí se do rovnice Bonneova zobrazení s = V P vznikne s = Vsin U 2. zobrazovací rovnice X podmínka nezkresleného poledníku: xVi=pí+R(Uí-U0) xv=p + R(U-U0) 3. zobrazovací rovnice Polykónické zobrazení rovnice zkreslení: • zobrazovací rovnice Hasslerova zobrazení se dosadí do obecných rovnic zkreslení pro polykónická zobrazení t - arctg s - sin s 2sin2- + rg2t/ J mpl = l + 2cotg2ř/ sin 2 — Polykónické zobrazení H • „apple-shapeď • nezkreslují se rovnoběžky • není zkreslený základní poledník, ale ostatní poledníky ano. • velké zkreslení v okrajových částech, nevhodné pro zobrazení celé Země Polykónické zobrazení celého světa Polykónické zobrazení části světa, se základním poledníkem 15°. základní poledník 15°, základní rovnoběžka 50°. Proč se učíme o zobrazení, které je „nevhodné"? Polykónické zobrazení H Okrajové části: velké zkreslení, nevhodné pro zobrazení celé Země. 51 6 OBECNÁ ZOBRAZENÍ 52 Obecná zobrazení • obě zobrazovací rovnice jsou funkcí obou souřadnic na referenční ploše • zpravidla v pólové poloze • některá jsou konformní, většina z nich je vyrovnávací - zkreslují vše • tvary zobrazovacích rovnic: - referenční elipsoid - referenční koule • existuje mnoho variant obecných zobrazení x = f (U ,V) • v praxi se používají pouze některá y = f (U, V) • tvarem rovnic mezi obecná zobrazení ale patří i Gaussovo P = f(U9V) £ = f(U,V) Více zde: http://old,gis,zcu,cz/studium/mk2/multimedialni texty/index soubory/hlavni souborv/obecna.html referenční elipsoid: x = f(