ODHAD PLEMENNÝCH HODNOT
- SIRE (OTCOVSKÝ) MODEL
Tomáš Urban
MENDELU
Smíšený model
y, X , Z – zaznamenané hodnoty
Odhad pevných efektů b
Odhad náhodných efektů u, e










-1
GZRZXRZ
ZRXXRX
11
11






u
b








 

yRZ
yRX
1
1
Soustava normálních rovnic
Příklad Sire modelu
• Chceme odhadnout plemenné hodnoty tří otců (sire),
každý byl pářen s náhodnými matkami (dam) a každý
měl dva potomky, vyvíjející se ve dvou různých
prostředích (stájích).
Pozorování y Otec Stáj
y111 9 1 1
y121 12 1 2
y211 11 2 1
y212 6 2 1
y311 7 3 1
y321 14 3 2
Základní model
• Vektory a matice:





















100
100
010
010
001
001
Z










































14
7
6
11
12
9
321
311
212
211
121
111
y
y
y
y
y
y
y







2
1
b
b
b











3
2
1
u
u
u
u





















10
01
01
01
10
01
X
S1 S2 O1 O2 O3
v programu R
y <- matrix(c(9,12,11,6,7,14),6,1)
X <- matrix(c(1,0,1,1,1,0,
0,1,0,0,0,1),6,2)
Z <- matrix(c(1,1,0,0,0,0,
0,0,1,1,0,0,
0,0,0,0,1,1),6,3)
Vytvoří sloupcový vektor y, s užitkovostmi dcer, s 6ti
řádky a 1 sloupcem
Vytvoří designovou matici X6,2 (pro pevný efekt
stáje)
Vytvoří designovou matici Z6,3 (pro náhodný efekt
otce)
Definování matic a vektorů
Průměry a variance pro y = Xb + Zu + e
• Průměry:
– E(u) = E(e) = 0
– E(y) = Xb
• Variance:
– R je VCV matice pro rezidua (prostředí); předpoklad že
R = σ2
e I
– G je VCV matice pro plemenné hodnoty
– VCV matice pro y je: V = ZGZ` + R
– VCV – variančně kovarianční matice (na diagonále jsou variance)
• Předpokládáme, že rezidua nejsou korelována a R = σ2
e I
(6×6)
– σ2
e = 6 -> R = 6I
• VCV matice G: předpoklad, že otcové jsou nepříbuzní a G
je diagonální matice (3×3) s prvky σ2
O = variance otců,
kde platí, že σ2
O = σ2
A /4
– σ2
A = 8 -> G = 8/4*I
Odhady pevných efektů a předpovědi
náhodných efektů
• Ve smíšeném modelu jsou pozorovány y, X a Z
• b, u, R a G jsou obecně neznámé
• Provádí se dva současné odhady:
BLUE pro pevné efekty b:
BLUP pro náhodné efekty u:
yVXXVXb 111
)(ˆ 

)ˆ(ˆ 1
bXyVZGu  
(Henderson, 1963)
V = ZGZ` + R
• V = ZGZ` + R






























































100000
010000
001000
000100
000010
000001
6
110000
001100
000011
100
010
001
100
100
010
010
001
001
4
8
V





















820000
280000
008200
002800
000082
000028



























410000
140000
004100
001400
000041
000014
30
11
V
v programu R
I3 <- diag(3)
G <- 8/4*I3
R <- 6* diag(6)
V <- (Z%*%G%*%t(Z)) + R
invV <- solve(V)
Vytvoří jednotkovou matici 3×3 (~ 3 otci)
Vytvoří genetickou variančně kovarianční matici G3,3
Vytvoří prostřeďovou variančně kovarianční matici R6,6
Vytvoří fenotypovou variančně kovarianční matici V6,6
Vytvoří inverzi matice V
Definování matic a vektorů
  











 
05556,13
22222,8
´´ 111
2
1
yVXXVXb
b
b
 























 
055556,0
111111,0
055556,0
´ 1
3
2
1
XbyVGZu
u
u
u
b <- solve(t(X)%*%solve(V)%*%X) %*% (t(X)%*%solve(V)%*%y)
u <- (G%*%t(Z)%*%solve(V)) %*% (y-(X%*%b))
v programu R
v programu R
• u ~ (0, G), e (0, R), cov(u, e) = 0
Odvozená soustava normálních rovnic smíšeného modelu (Henderson):










-1
GZRZXRZ
ZRXXRX
11
11






u
b








 

yRZ
yRX
1
1






 
20
04
6
11
XRX
1
1 2 11
1 0 16
  
   
 
X R Z










 
100
010
001
6
51 -1
GZRZ






 
26
33
6
11
yRX










 
21
17
21
6
11
yRZ
Druhý způsob výpočtu






u
b
 PS LS

 
    
  
1
1 1
1
2 0
6
1 1
Z R X
 PS
 LS
v programu R
XRX <- t(X)%*%solve(R)%*%X
XRy <- t(X)%*%solve(R)%*%y
XRZ <- t(X)%*%solve(R)%*%Z
ZRX <- t(Z)%*%solve(R)%*%X
ZRZG <- t(Z)%*%solve(R)%*%Z + solve(G)
ZRy <- t(Z)%*%solve(R)%*%y
Výpočet submatic matice levé strany (LS) 









-1
GZRZXRZ
ZRXXRX
11
11
1
1


 
 
 
X R y
Z R y
Výpočet submatic matice pravé strany (PS)










-1
GZRZXRZ
ZRXXRX
11
11






u
b








 

yRZ
yRX
1
1
1
11
11 










 -1
GZRZXRZ
ZRXXRX






u
b










yRZ
yRX
1
1



































































0,0556-
1111,0
0,0556-
13,0556
8,2222
21
17
21
26
33
50011
05002
00511
10120
12104
1
3
2
1
2
1
u
u
u
b
b
v programu R
LS1 <- cbind(XRX, XRZ)
LS2 <- cbind(ZRX, ZRZG)
LS <- rbind(LS1, LS2)
PS <- rbind(XRy, ZRy)
Vytvoří velkou matici levé strany (LS)
Vytvoří velkou matici pravé strany (PS)










-1
GZRZXRZ
ZRXXRX
11
11






u
b








 

yRZ
yRX
1
1
   PSLS
1







u
b
 PS






u
b
bu <- solve(LS)%*%PS
 LS
Vektor řešení bu v Rku
Spojování submatic PS
Spojování submatic LS