E4221-Modelování a intepretace environmentálních dat
Klára Komprdová
Přehled přednášek a cvičení
• Úvod do statistického modelování, experimentální design, nejistoty
modelů
• Prostorové modelyI- prostorová autokorelace
• Prostorové modelyII – interpolační techniky
• Hodnocení časových řad
• Vícerozměrné metody pro identifikaci a klasifikaci znečištění
Environmentální informace, data a studie
Jak na to, když nás zajímá třeba…
Výskyt a hladiny látek v životním prostředí
Osud látek v prostředí (např. transport a distribuce)
Monitoring časových a prostorových trendů různých jevů a skutečností
Srovnání modelů s měřenými daty
Rozhodování v oblasti životního prostředí, analýza nákladů a přínosů
?
Metodický postup u environmentálních studií
Experimentálnídesign
Environmentálníinformace
Environmentální data
Laboratorními experimenty a terénními studiemi získáváme environmentální data.
Jsou to zaznamenané údaje o určitých skutečnostech životního prostředí.
• primární
• agregovaná
• indikátory (ukazatele) životního prostředí
– kvalitativní indikátory
– kvantitativní indikátory
Hřebíček a Kubásek, 2011
Environmentální informace
Environmentální informace jsou jakékoli informace v písemné,
obrazové, zvukové, elektronické nebo jiné podobě o:
• stavu složek životního prostředí
• faktorech, které ovlivňují nebo mohou ovlivnit stav složek prostředí
• opatřeních, které ovlivňují nebo mohou ovlivnit složky a faktory
• zprávách o provádění právních předpisů o životním prostředí
• analýzách nákladů a přínosů použitých v rámci aplikace opatření
• stavu lidského zdraví a bezpečnosti
Environmentální informační systémy
Existují různé environmentální informační systémy (EIS), které
zpracovávají, vyhledávají a prezentují environmentální data.
EIS jsou budovány:
• veřejnou správou na národní úrovni
• veřejnou správou na mezinárodní úrovni
• vědeckými institucemi
• nevládními organizacemi
• podnikatelskou sférou
Příklad environmentální databáze a informačního systému
Global Environmental
Assessment Information
System (GENASIS)
http://www.genasis.cz
GENASIS poskytuje informace o persistentních organických polutantech
Jak hledat informace o životním prostředí v ČR?
Příkladem webového portálu nevládní organizace, která seznamuje se
základními informačními zdroji o životním prostředí v ČR, je:
http://arnika.org/jak-a-kde-najit-informace-o-zivotnim-prostredi-cr
Experimentální design
laboratorní studie a experimenty
Pokud jsme nenašli požadovaná data a informace, musíme je sami vytvořit
experimenty a odběry
vzorků v terénu
kombinací obého
Experimentální design
• dostatečně velký – tj. měl by obsahovat množství vzorků dostatečné pro popis
situace, statistické vyhodnocení, spolehlivé modelování apod.
• nezávislý – tj. design
• reprezentativní – tj. měl by pokrývat celou oblast našeho zájmu; celý rozsah
možností, které zkoumáme by měl být objektivní a nic nepreferovat
• získaný konzistentní metodologií – tj. měl by zaručit odběr/analýzu vzorků stejnou
metodikou nebo srovnatelnými metodikami
• se signifikantní přesností – tj. měla by být získána takovými metodami, které jsou
výrazně přesnější než variabilita souboru
Datový soubor, který hodnotíme, by měl být:
Hengl (2007)
PROBLÉM: v reálu tomu tak často není
PROTO je nutné vše dobře plánovat! 
Experimentální design – příklad
Zavádění nové analytické metody v laboratoři pro stanovení různých koncentrací
vybraného polutantu v několika environmentálních matricích. Soubor dat by měl
splňovat tyto podmínky:
• dostatečně velký – soubor různých naspikeovaných koncentrací polutantu v matricích musí
dostatečně pokrýt gradient znečištění
• reprezentativní – metodu je třeba vyzkoušet na všech matricích, které budou v budoucnu studovány
• nezávislý – existuje-li podezření, že metoda má horší výsledky u nízkých koncentrací polutantu,
není možné je do studie nezahrnout
• získaný konzistentní metodologií – celý analytický postup musí být stále stejný, jak u zavádění
metody, tak u její následné rutinní aplikace na reálné vzorky
• se signifikantní přesností – limity detekce a kvantifikace musí odpovídat reálným hladinám
polutantu v prostředí
Rozdělení modelů
Popisuje budoucí stav systému nebo jeho podmínek?
ANO dynamické modely - závislé na čase - spojité, diskrétní
NE statické modely - nezávislé na čase
Popisují prostorovou strukturu?
ANO prostorově heterogenní - diskrétní, spojité
NE prostorově homogenní modely
Zahrnuje náhodnou složku?
ANO stochastické modely
NE deterministické modely
Podle čeho vybírat model?
• povaha problému, hypotézy, řešené otázky
• měřítko – např. velikost zkoumaného území
• povaha dat, které jsou k dispozici – např. odlehlé hodnoty
• velikost datového souboru, který je k dispozici - metody vhodné pro
malé/velké soubory
• přesnost modelu
• interpretovatelnost modelu
• a řadu dalších
Výběr modelu záleží na zkoumaném problému. Je třeba brát v potaz
tyto aspekty:
Proces modelování
• design vzorkování a zpracování dat (z literatury, předešlých
experimentů)
• terénní sběr dat a laboratorní analýzy
• analýza datového souboru a tvorba modelu
• kalibrace a validace modelu
• interpretace modelu, jeho srovnání s realitou
• použití modelu
Proces modelování
Typy dat
• kvalitativní (kategoriální): lze pouze určit, zda jsou dvě „hodnoty“ stejné nebo se liší
̶ např. typ půdy
• semikvantitativní (ordinální): lze určit rovněž pořadí hodnot
̶ např. teplota po stupních
• kvantitativní (spojité): lze provádět všechny matematické operace, mohou mít
intervalovou nebo poměrovou podobu
̶ např. koncentrace látek
• binární: lze je považovat za kvantitativní, semikvantitativní i kvalitativní proměnnou
̶ výskyt/ nevýskyt látky (informace typu ANO/NE)
Různé typy dat rozlišujeme podle toho, jakých hodnot může daná skupina dat
nabývat nebo jaké operace s nimi lze provádět.
Nejistoty modelů
• nejistoty proměnných (plynoucí z chyb při odběru vzorků a analýze v
laboratoři, agregace dat, odečítání hodnot z map, designu experimentu
apod…), které do modelu vstupují
• nejistoty modelů samotných (konstrukce modelů, zjednodušující
předpoklady…)
Nejistoty, se kterými se při modelování potýkáme, s nimiž je třeba
počítat a které musíme znát, jsou zejména dvou typů:
Prostorové modelování - Jak jsou data
rozložená v prostoru?
Prostorová analýza :
 Hledá a popisuje různé vzory v geografickém prostoru
 Snaží se porozumět prostorovým jevům
 Využití geografických informačních systémů
Prostorové modelování
Co nás zajímá?
• Jak se pozorování mění v prostoru?
• Co způsobuje tuto změnu v prostoru?
• Kolik pozorování (např. lokalit) potřebujeme, abychom dokázali popsat
prostorovou variabilitu?
• Jaká bude hodnota proměnné na novém místě?
• Jaká je nejistota našeho odhadu (predikce)?
T. Hengl (2007) A Practical Guide to Geostatistical Mapping of Environmental Variables
Co všechno můžeme modelovat v prostoru?
• konkrétní hodnoty – (koncentrace, početnosti…)
• pravděpodobnosti – (pst překročení limitu…)
• presence/absence – (přítomnost/nepřítomnost polutantu… )
• nejvíce pravděpodobná entita – (typy půdy, převažující typ znečištění,
využití krajiny…)
Koncentrace kadmia na území ČR s využitím metody IDW
Koncentrační mapa
Mapa zásob DDT (kg/km2)
Pravděpodobnost překročení limitní hodnoty 100 Bq/m2 u 241Americia v půdě v oblasti severně
od Černobylu v roce 1992 (Krivoruchko 1999)
Pravděpodobnostní mapa I
Pravděpodobnostní mapa II
Mykomapa - předpovídá pravděpodobnost růstu hub na území ČR
a současně informuje o možném riziku nakažení nemocemi přenášenými klíšťaty
Mapa krajinného pokryvu
Guisan & Zimmermann, 2000
Modelování vegetace
a) pravděpodobnosti
b) abundanční skóre
c) výskyt/nevýskyt
d) vegetační typy
www.esri.com, GIS in Africa
http://www.gfdl.noaa.gov/global-warming-and-hurricanes-figures
Prostorová distribuce a plán vzorkování (sampling design)
Náhodný typ distribuce pro 3 typy prvků: body,
linie, areály
Shlukový typ distribuce pro 3 typy prvků: body, linie, areály
Pravidelný typ distribuce pro 3 typy prvků: body, linie, areály
Kvalitní datový soubor
• dostatečně velký
• reprezentativní
• získán konzistentní metodologií
• se signifikantní přesností
• nezávislý
• Vzorkování
• jednoduchý náhodný výběr
• systematický výběr
• stratifikovaný náhodný výběr
• preferenční sběr
Testování prostorové distribuce
Komponenty vzorkování
(Legendre & Legendre, 1998)
• velikost zrna (grain size) je velikost základní vzorkovací jednotky, může být
vyjádřena jako průměr, plocha či objem
• interval (sampling interval) je průměrná vzdálenost mezi sousedícími
vzorkovacími jednotkami
• rozsah (extent) – celková délka, plocha nebo objem zahrnutý do studie
Interpolace x Extrapolace
Interpolace – pro „známé“ území (oblast o které máme informace)
• nejsou potřeba žádné další informace o podmínkách daného území
• parametry modelu jsou voleny libovolně či empiricky
• neodhaduje se predikční chyba
• většinou nejsou kladeny žádné statistické předpoklady
Extrapolace – použití modelu na nové území
• potřebujeme další informace o podmínkách daného území
• složitější modely
• odhad chyby predikce
• statistické předpoklady
• sada parametrických i neparametrických metod
F. Ježek (2006) Interpolace funkcí
Interpolace, aproximace, extrapolace
Interpolace x Extrapolace
Interpolace – nerovnoměrné vzorkováníInterpolace – rovnoměrné vzorkování
?
Extrapolace – prediktivní modelování
Interpolační metody
Rozdělení metod:
• Deterministické (MECHANICAL/EMPIRICAL MODELS ) – (IDW –
Inverse distance interpolation, Regression on coordinates, Splines …)
̶ parametry modelu jsou voleny libovolně či empiricky
̶ neodhaduje se predikční chyba
̶ většinou nejsou kladeny žádné statistické předpoklady
• Geostatistické (STATISTICAL (PROBABILITY) MODELS) – využívají
prostorovou strukturu celého pole, pro celé pole lze spočítat chybu
interpolace (různé typy krigingu–obyčejný, univerzální, blokový,
cokriging, Bayesian Maximum Entropy)
̶ odhad parametrů v modelu objektivně-teorie pravděpodobnosti
̶ odhad chyby predikce
̶ statistické přepoklady
• Metody prediktivního modelování
̶ Sada parametrických i neparametrických metod
Pokročilejší modelovací přístupy
Y X
Přímá ordinace
Ordinace, interpolace
X
y Xynebo
Klasifikace
• Metody založené na stromech
• Lineární dikriminační analýza
• Neuronové sítě
• Metoda podpůrných vektorů
• Logistická regrese
• Bayesovský klasifikátor
…
Regrese
• Klasický lineání model
• Lineární zobecněné a aditivní modely
• Nelineární regrese
• Na stromech založené techniky
• Neuronové sítě
• Metoda podpůrných vektorů
• Na stromech založené techniky
…
“everything is related to everything else, but near things
are more related than distant things” Waldo Tobler
Prostorová autokorelace
Negativní Náhodná Pozitivní
Prostorová autokorelace
• existence autokorelace prostorových dat je obvyklá
• způsobuje selhávání některých základních předpokladů statistické
analýzy, zejména:
̶ nezávislosti jednotlivých pozorování
̶ nedostatku předpokladů, týkajících se chyb a reziduí v regresní
analýze
• nevhodné použití klasických metod korelační a regresní analýzy u dat,
která nesou prostorovou informaci
• byly vyvinuty prostorové modely a metody zohledňující autokorelaci
• řada způsobů pro testování existence prostorové autokorelace
Prostorová autokorelace
Měření prostorové autokorelace
• existence autokorelace prostorových dat je obvyklá
• před výpočtem prostorových autokorelačních koeficientů je potřeba spočítat matici
geografických vzdáleností [Dhi] mezi lokalitami
• autokorelační koeficienty jsou spočítány pro jednotlivé vzdálenostní třídy d
• váhy whi (Kronecker deltas) kde: whi = 1 - lokalita h a i jsou ve vzdálenosti d
whi = 0 jinak
• pouze páry lokalit (h,i) ve vzdálenostní třídě d jsou použity pro výpočet příslušného
koeficientu
• W je suma všech vah whi pro danou vzdálenostní třídu (počet párů použitých k
vypočítání koeficientu)
Měření prostorové autokorelace
Statistické měření pro zjištění prostorové autokorelace
Moranův index (I) Gearyho index (C)
( )( )
( )

=
==
−
−−
= n
i
i
n
i
ihhi
n
h
yy
n
yyyyw
W
dI
1
2
11
1
1
)(
( )
( )
( )

=
==
−
−
−
= n
i
i
n
i
ihhi
n
h
yy
n
yyw
W
dc
1
2
1
2
1
1
1
2
1
)(
yh a yi jsou hodnoty pozorované na místě h a i, w jsou váhy a y je průměr
hodnot
Moranův index – podobný Pearsonovu korelačnímu koeficientu (-1,1)
Gearyho index – vzdálenostního typu (0, > 1)
Prostorový korelogram – autokorelační hodnoty x vzdálenosti pozorování
X
matice vzdáleností
mezi pozorováními
vzdálenost
Početpárů
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Prostorový korelogram
Výpočet indexů pro jednotlivé vzdálenosti
Vzdálenost
d = 1
d = 2
d = 3
atd.
malé
N!
Legendre, 2003
Prostorový korelogram
Legendre, 2003
Prostorový korelogram II
Legendre, 2003
Moranův index (I)-testování
• nulová hodnota znamená náhodnou prostorovou distribuci
• pro testování hypotézy se hodnoty Moranova indexu transformuhí na z-skóre
(hodnoty větší než 1.96 nebo menší než -1.96 → prostorová autokorelace je
významná na hladině významnosti 5%
• x je skóre, které chceme standardizovat a σ je směrodatná odchylka

xx
z
−
=
Interpolační metody
IDW, Kriging, Trendová analýza
• Nejjednodušší neparametrická technika
• Interpolační prostor (povrch) by měl být ovlivněn spíše bližšími body
než vzdálenými
• Interpolační prostor je váženým průměrem rozložení bodů a váha
přiřazená každému bodu se zmenšuje se vzrůstající vzdáleností od
interpolovaného bodu
IDW - Inverse distance weighted – inverzní vážená vzdálenost
Příklad použití metody IDWkoncentrace
SO2
IDW - Inverse distance weighted – inverzní vážená vzdálenost
Velikost příspěvku je přímo úměrná velikosti hodnoty a na druhé
straně nepřímo úměrná vzdálenosti.
M. Klimánek, Prostorová interpolace dat
„Mi“je známá hodnota v i-tém místě, „ri“ vzdálenost i-tého místa od místa X, „k“
je vhodná mocnina vzdálenosti (např. 1 nebo 2) a n je počet bodů.
Kriging
Francouzský matematik Georges Matheron
odvodil matematický popis krigingu na základě
práce důlního inženýra Daniela Gerharduse
Kriga, po němž tuto metodu také roku 1962
nazval
̶ při hledání zlatých dolů v jižní Africe!
Daniel Gerhardus Krige
26 August 1919
Kriging
• Sofistikovanější IDW – jak odhadnout váhy jednotlivých bodů?
̶ odhadnout váhy které odrážejí skutečnou prostorovou autokorelační
strukturu
̶ Semivariance – rozdíly mezi nejbližšími body → teoretický variogram
Spherical model
Exponential model
Gaussian model
range
sill
h
(h)
• sumarizuje sílu asociace mezi pozorováními jako funkci vzdálenosti
• experimentální variogram je graf, který ukazuje jak se ½ mocninného rozdílu
mezi dvěma hodnotami (semivariance) mění se vzdáleností mezi pozorováními
• očekáváme menší semivarianci v menších vzdálenostech a stabilní
semivarianci mezi hodně vzdálenými pozorováními
Variogram
T. Hengl (2007) A Practical Guide to Geostatistical Mapping of Environmental Variables
Exponenciální model semivariogramu
vzdálenost (h)
semivariance(γ)
Exponenciální model
nugget = 8,8
práh = 44,8
rozsah = 93
nugget
práh
rozsah
Modely variogramu
Isotropní – v každém směru stejný variogram
Anisotropní – v různém směru různý variogram
Isotropní x anisotropní variogram
Isotropní x anisotropní variogram
Trend surface analysis – Trendová analýza
• metoda pro vytváření vyhlazených (smoothed) map
• odhady proměnných v daných lokalitách jsou získány regresním modelem
kalibrované přes celou studovanou plochu
• Vyjádříme proměnnou y (odpověď) jako nelineární funkci geografických souřadnic
X a Y jednotlivých ploch, kde byly proměnné sledovány
• trend surface analysis je aplikace polynomiální regerese k prostorově
uspořádaným datům
• Postup: vycentrujeme (na průměr ) y, Y, X (intercept = 0); vybereme stupeň
polynomu; vyřadíme nesignifikantní členy (backward elimination), dokud všechny
členy polynomiální rovnice nebudou signifikantní; vypočítáme nové odhady y
Model jednoduché lineární regrese -opakování
 ++= XY
Závisle proměnná
Odpověď
Dependent v., response
Intercept
Sklon, též
regresní
koeficient
Slope
Nezávisle proměnná, prediktor,
Independent v.
Náhodná variabilita
Polynomiální regrese
• polynomiální regrese - libovolnou funkci lze nahradit (v omezeném
rozsahu hodnot prediktoru) polynomem
• mám představu (třeba z nějaké teorie), jak má závislost vypadat, a
věřím, že residuály budou náhodně kolem predikované hodnoty
• tradiční názvy kvadratická regrese, kubická regrese
Polynomiální regrese
• mnohonásobná lineární regrese, kde prediktory jsou X, X2, X3 atd. se počítá
stejně (tj. opět kriterium nejmenšího součtu residuálních čtverců, které má opět
(normálně) jedno minimum).
• do modelu jsou přidávány pouze proměnné, které snižují residuální chybu
modelu:
dopředný výběr (forward elimination) – začínáme s konstantou
(interceptem) a postupně se přidávají jednotlivé členy
zpětný výběr (backward elimination) – začínáme se všemi členy,
postupně se odebírají ty, které přispívají k nejmenšímu snížení
residuální chyby
• obdobný význam má i R2
 ++++++= m
mXXXXY 3
3
2
21
kvadratická
regrese může
být vysoce
průkazná, i
když lineární
regrese
průkazná není
průkaznost
kvadratického
členu můžeme
chápat jako
důkaz
nelinearity
vztahu
Y= -6.3+7.2015*x-0.6288*x^2; 0.95 Conf.Int.
0 2 4 6 8 10 12
X
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Y
Polynomiální regrese
Se zvyšujícím se stupněm
polynomu stoupá “flexibilita”
1 2
5
43
Pozor! Zvyšující se složitost nemusí
znamenat lepší predikční schopnost
Zpět k trendové analýze...
• většinou polynom max. 3. stupně
• zkoumáme závislost proměnné na prostorové struktuře
• máme představu (z teorie), jak má závislost vypadat
• proměnnou můžeme rozdělit na dvě komponenty – trend a odchylky od trendu
(residua)
̶ trend je celkový (globální) „pattern“ (lineární –klesající, stoupající;
kvadratický, kubický)
̶ residua reprezentují lokální „pattern“
y = a + β0x + β1y + β2x2 + β3xy + β4y2
Globální trend
Lineární
Kvadratický
Kubický
Příklad
Globální gradient + lokální změny
http://www.kgs.ku.edu
1. stupeň polynomu → gradient od východu na západ
residua → lokální změny
Příklad – koncentrace aerobních bakterií
20 vzorkovacích míst
Legendre, 2003
Příklad – koncentrace aerobních bakterií II
• Začínáme s rovnicí 3. řádu
• Rovnice 1. řádu (X, Y, X*Y) R2 = 0.02 (p = 0.52) - není významný lineární
trend
• Rovnice 2. řádu (X2, Y2,…) R2 = 0.39 (p = 0.21) – stále nevýznamný trend
• Rovnice 3. řádu (X3, Y3,…) R2 = 0.87 pro všechny členy- významný trend–
některé členy můžeme odstranit – zpětné odstranění
• Finální rovnice: y = 8.13 – 0.16XY - 0.09Y2 + 0.04X2Y + 0.14XY2 + 0.10Y3 (R2
= 0.81, p = 0.0001)
• Používáme pouze je-li viditelná jednoduchá závislost!
Shrnutí
• tři techniky pro prostorovou interpolaci:
̶ IDW – nejjednodušší, vhodný pro velký počet bodů k „vyhlazení“ plochy → váženo
pouze vzdáleností
̶ Kriging – několik druhů; není potřeba pravidelné vzorkování; váhy odrážejí prostorovou
strukturu → semivariogram – pozor na stat. předpoklady!
̶ Trend surface analysis – využívá polynomiální regrese; k odhadu prostorové závislosti
využívá souřadnice; pozor na stat. předpoklady!
• Tyto metody se v environm. vědách používají nejčastěji → existují další interpolační
metody- někdy příště ☺
• Prostorovou distribuci můžeme předem otestovat pomocí Moranova korelačního indexu (I)
a Gearyho vzdálenostního indexu (C); v ArcGIS dostupný pouze Moranův
̶ Distribuce: náhodná, shluková, negativní
Časová řada
Co je to časová řada
řada hodnot věcně a prostorově vymezeného ukazatele, která je uspořádaná v čase
yt = f(t) t = 1, 2, …, n
Např. Teplota vody měřená každý den ve stanovenou dobu
Dekompozice časové řady
• Každá časová řada obsahuje tři základní komponenty, které je potřeba odlišit a identifikovat
(tzv. dekompozice časové řady):
• Trend (deterministický/stochastický)
• Periodická složka - Sezónní vlivy (seasonals)
• Šum (noise)
• Metody: vyhlazování, regrese, ARMA, ARIMA,sezónní rozklad (...)
Typologie časových řad
• možnost predikce
̶ stochastické (obsahují prvek náhody)
̶ deterministické (lze přesně předpovědět vývoj)
• interval sledování
̶ krátkodobé (kratší než 1 rok – měsíční, kvartální)
̶ dlouhodobé (standardně roční)
• podle sledované veličiny
̶ intervalové (popisují tokovou veličinu)
̶ okamžikové (popisují stavovou veličinu)
̶ absolutní (původní získané hodnoty)
̶ odvozená (transformované hodnoty, např. indexy)
Problémy při analýze časových řad
• problémy s délkou řady a volbou intervalu pozorování
̶ krátký interval (dlouhá řada) vede k zbytečné redundanci informace
̶ dlouhý interval (krátká řada) znamená riziko ztráty informace
• problémy s kalendářem
̶ různé délky let a měsíců (standardní měsíc 30 nebo 365/12)
̶ různé počty pracovních dní v měsíci (vyrovnání)
̶ pohyblivé svátky (Velikonoce)
• Stacionární x nestacionární časové řady
Grafy časových řad
grafické vyjádření časové řady:
spojnicový graf
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1.11.1977
20.10.1978
7.10.1979
24.9.1980
11.9.1981
30.8.1982
17.8.1983
10.8.1984
9.8.1985
8.8.1986
7.8.1987
5.8.1988
4.8.1989
3.8.1990
2.8.1991
31.7.1992
30.7.1993
29.7.1994
28.7.1995
26.7.1996
25.7.1997
24.7.1998
23.7.1999
21.7.2000
20.7.2001
19.7.2002
18.7.2003
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30Qa w ater temperature
Stacionární řada
• Časovou řadu považujeme za stacionární, pokud splňuje následující podmínky:
̶ má konstantní průměr
̶ má konstantní variabilitu
• Stacionarita je jednou z nutných podmínek řady metod analýzy časové řady
• Stacionarity lze docílit transformací na řadu diferencí či odečtením trendu
Stacionární časová řada
řada bez zjevného trendu → hodnoty kolísají kolem konstanty
1955
1956
1957
1958
1959
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
Date
52000,00
54000,00
56000,00
58000,00
60000,00
62000,00
stacionar
Teplota voda - měsíční mediány
Nov-1977
May-1978
Nov-1978
May-1979
Nov-1979
May-1980
Nov-1980
May-1981
Nov-1981
May-1982
Nov-1982
May-1983
Nov-1983
May-1984
Nov-1984
May-1985
Nov-1985
May-1986
Nov-1986
May-1987
Nov-1987
May-1988
Nov-1988
May-1989
Nov-1989
May-1990
Nov-1990
May-1991
Nov-1991
May-1992
Nov-1992
May-1993
Nov-1993
May-1994
Nov-1994
May-1995
Nov-1995
May-1996
Nov-1996
May-1997
Nov-1997
May-1998
Nov-1998
May-1999
Nov-1999
May-2000
Nov-2000
May-2001
Nov-2001
May-2002
water temperature median
-5
0
5
10
15
20
25
watertemperaturemedian:
-5
0
5
10
15
20
25
Základy analýzy časových řad
Hlavní cíle analýzy časových řad
1. odhalení zákonitostí a příčin dosavadního vývoje
2. prognóza chování časových řad
Každá řada může obsahovat čtyři základní složky:
• trend (Tt)
• periodická (sezónní) složka (St)
• cyklická složka (Ct)
• náhodná složka (εt)
První tři složky tvoří systematickou část řady.
Trendová složka časové řady
Trend je obecná tendence vývoje zkoumaného
jevu za dlouhé období.
• je výsledkem dlouhodobých a stálých procesů (v měřítku posuzované
délky časové řady)
• trend může být lineární či nelineární
• trend může být rostoucí, klesající nebo může existovat řada bez trendu
Časové řady bez trendu se označují jako stacionární.
Časová řada s trendem
řada má rostoucí nebo klesající trend
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
Date
8000,00
10000,00
12000,00
14000,00
16000,00
18000,00
trend
Periodická složka časové řady
Periodická složka je pravidelně se opakující
odchylka od trendové složky s pevnou délkou
periody T
• perioda této složky je menší než celková velikost
sledovaného období
• typickým případem jsou sezónní kolísání a nebo řady
denních, měsíčních, čtvrtletních ukazatelů
• příčiny sezónnosti jsou různé, většinou však dobře
definovatelné
Teplota voda - měsíční mediány
Nov-1977
May-1978
Nov-1978
May-1979
Nov-1979
May-1980
Nov-1980
May-1981
Nov-1981
May-1982
Nov-1982
May-1983
Nov-1983
May-1984
Nov-1984
May-1985
Nov-1985
May-1986
Nov-1986
May-1987
Nov-1987
May-1988
Nov-1988
May-1989
Nov-1989
May-1990
Nov-1990
May-1991
Nov-1991
May-1992
Nov-1992
May-1993
Nov-1993
May-1994
Nov-1994
May-1995
Nov-1995
May-1996
Nov-1996
May-1997
Nov-1997
May-1998
Nov-1998
May-1999
Nov-1999
May-2000
Nov-2000
May-2001
Nov-2001
May-2002
water temperature median
-5
0
5
10
15
20
25
watertemperaturemedian:
-5
0
5
10
15
20
25
Cyklická složka
Cyklická složka udává kolísání okolo trendu v důsledku dlouhodobého cyklického vývoje
• cyklická složka může vykazovat změny v délce a amplitudě cyklu
• délka cyklu je tedy většinou neznámá (př. demografický trend, kolísání teploty vzduchu)
• délka cyklu je delší než 1 rok, v některých případech se označuje jako „střednědobý
trend“
• bývá typickou součástí časových řad meteorologických prvků (př. problém globálního
oteplování) či hydrologických jevů
Časová řada se sezónností
řada má opakující se charakter v rámci jednotlivých sezón
JAN1991
MAR1991
MAY1991
JUL1991
SEP1991
NOV1991
JAN1992
MAR1992
MAY1992
JUL1992
SEP1992
NOV1992
JAN1993
MAR1993
MAY1993
JUL1993
SEP1993
NOV1993
JAN1994
MAR1994
MAY1994
JUL1994
SEP1994
NOV1994
JAN1995
MAR1995
MAY1995
JUL1995
SEP1995
NOV1995
Date
400,00
600,00
800,00
1000,00
1200,00
1400,00
1600,00
1800,00
2000,00
2200,00
season
Náhodná složka časové řady
Náhodná (stochastická) složka se nedá popsat
žádnou funkcí času
• „zbývá" po vyloučení trendu, sezónní a cyklické složky
• jejím zdrojem jsou v jednotlivostech nepostižitelné jevy
• lze ji však popsat pravděpodobnostně
Transformace časové řady
Transformace časové řady
Jedná se o úpravu původní časové řady, tak aby
1. splňovala podmínky pro následnou analýzu (např. linearizace, stacionarita atd.)
2. zvýrazňovala dále analyzovanou složku
̶ přidání konstanty y = y + C
̶ linearizace řady y = ln(y)
̶ odečtení průměru
̶ standardizace
̶ odečtení hodnot trendové funkce (…stacionarita)
Transformace časové řady
yt → ut vytvoření nové časové řady
s lepšími parametry pro analýzu
diference ut = yt
(1) = yt – yt-1 ut = DIFF(yt, 1)
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
Date
80000
100000
120000
140000
160000
180000
200000
narozeni
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
Date
-20000
-10000
0
10000
20000
narozeni
Transforms: difference(1)
lineární trend časové řady se mění na stacionární
trendový filtr – zbaví časovou řadu trendové složky
Diference vyšších řádů
1. diference yt
(1) = yt – yt-1 DIFF(yt, 1)
lineární trend → konstantní (stacionární)
kvadratický trend → lineární
…
2. diference yt
(2) = yt
(1) – yt-1
(1) DIFF(yt, 2)
n. diference yt
(n) = yt
(n-1) – yt-1
(n-1) DIFF(yt, n)
exponenciální trend → exponenciální
(odolný proti diferencování)
Sezónní diference
sezónní diference (délka sezóny = k)
ut = yt
(s1) = yt – yt-k ut = SDIFF(yt, 1)
snižuje nebo odstraňuje vliv sezónnosti
sezónní filtr – zbaví časovou řadu sezónnosti
Q
1
1993
Q
2
1993
Q
3
1993
Q
4
1993
Q
1
1994
Q
2
1994
Q
3
1994
Q
4
1994
Q
1
1995
Q
2
1995
Q
3
1995
Q
4
1995
Q
1
1996
Q
2
1996
Q
3
1996
Q
4
1996
Q
1
1997
Q
2
1997
Q
3
1997
Q
4
1997
Q
1
1998
Q
2
1998
Q
3
1998
Q
4
1998
Q
1
1999
Q
2
1999
Q
3
1999
Q
4
1999
Q
1
2000
Q
2
2000
Q
3
2000
Q
4
2000
Q
1
2001
Q
2
2001
Q
3
2001
Q
4
2001
Q
1
2002
Q
2
2002
Q
3
2002
Q
4
2002
Q
1
2003
Q
2
2003
Q
3
2003
Date
300,00
350,00
400,00
450,00
hdp
Q
1
1994Q
2
1994Q
3
1994Q
4
1994Q
1
1995Q
2
1995Q
3
1995Q
4
1995
Q
1
1996
Q
2
1996Q
3
1996Q
4
1996
Q
1
1997
Q
2
1997Q
3
1997
Q
4
1997
Q
1
1998Q
2
1998Q
3
1998
Q
4
1998
Q
1
1999Q
2
1999Q
3
1999Q
4
1999Q
1
2000Q
2
2000Q
3
2000Q
4
2000Q
1
2001
Q
2
2001
Q
3
2001Q
4
2001Q
1
2002
Q
2
2002
Q
3
2002Q
4
2002
Q
1
2003
Q
2
2003Q
3
2003
Date
-10,00
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
hdp
Transforms: seasonal difference(1, period 4)
Logaritmická transformace
ut = ln yt exponenciální trend → lineární
logaritmická diference:
ut = ln yt - ln yt-1 = ln (yt / yt-1)
exponenciální trend → stacionární
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
Date
40
50
60
70
80
90
100
110
hdp_vb
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
Date
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
hdp_vb
Transforms: natural log
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
Date
-0,050
-0,025
0,000
0,025
0,050
0,075
0,100
hdp_vb
Transforms: natural log, difference(1)
Doplnění chybějících hodnot
pro další zpracování časové řady je třeba chybějící hodnoty nahradit jejich odhady
globální odhady:
̶ SMEAN (series mean) – průměr celé řady
̶ TREND (linear trend at point) – lineární trend celé řady
lokální odhady:
̶ MEAN (mean of nearby points) – průměr okolních hodnot
̶ MEDIAN (median of nearby points) – medián z okolních hodnot
̶ LINT (linear interpolation) – lin. interpolace z okolních bodů
Autokorelace
U stacionární časové řady -korelace dvou časově posunutých pozorování (autokorelace),
závisí na délce posunu
Autocorrelation Function
water temperature median
(Standard errors are white-noise estimates)
Conf. Limit-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
0
24 +.870 .0542
23 +.747 .0543
22 +.429 .0544
21 -.001 .0545
20 -.437 .0546
19 -.756 .0547
18 -.878 .0548
17 -.757 .0549
16 -.431 .0550
15 +.015 .0551
14 +.454 .0552
13 +.788 .0552
12 +.912 .0553
11 +.779 .0554
10 +.447 .0555
9 -.004 .0556
8 -.456 .0557
7 -.787 .0558
6 -.914 .0559
5 -.787 .0560
4 -.453 .0561
3 +.015 .0562
2 +.479 .0563
1 +.829 .0563
Lag Corr. S.E.
0
3164. 0.000
2906. 0.000
2717. 0.000
2654. 0.000
2654. 0.000
2590. 0.000
2399. 0.000
2142. 0.000
1952. 0.000
1891. 0.000
1891. 0.000
1823. 0.000
1619. 0.000
1348. 0.000
1150. 0.000
1086. 0.000
1086. 0.000
1019. 0.000
819.5 0.000
552.0 0.000
354.4 0.000
289.2 0.000
289.1 0.000
216.5 0.000
Q p
yt
Klasický model časové řady
popis forem (časového) pohybu
Tt – trendová složka
Ct – cyklická složka
St – sezónní složka
et – reziduální (náhodná) složka
Tt Ct St – deterministické složky (lze modelovat)
et – stochastická složka (nelze předvídat)
Aditivní a multiplikativní model
aditivní model
multiplikativní model
t t t t ty T C S = + + +
t t t t ty T C S =   
trend – vyjádřen regresní funkcí
cyklická a sezónní složka – přírůstky k trendu
trend – vyjádřen regresní funkcí
cyklická a sezónní složka – indexy
Klasický nesezónní model s konstantními parametry
hlavní úkol – volba trendové funkce Tt
lineární funkce
kvadratická funkce
exponenciální funkce
( )t t t ty T C = + +
tTt 10  +=
2
210 ttTt  ++=
t
tT 10  =
cyklická složka – projevuje se až
u dlouhodobých řad, obvykle ji
neuvažujeme
konstantní 1. diference
konstantní 2. diference
konstantní diference logaritmů
Klasický x adaptivní přístup
̶ klasický přístup
model má stále stejné parametry
nevyvíjí se v čase
̶ adaptivní přístup
model má proměnné parametry
reaguje na strukturální změny v čase
Modely analýzy časových řad
Časová řada – hodnota ukazatele je funkcí času a náhodné složky
K analýze a popisu časových řad se používá několika základních modelů:
A. Klasický (formální) model
B. Box-Jenkinsova metodologie
C. Lineární dynamické a regresní modely
D. Spektrální analýza
ARIMA
Komplexní lineární model, složený ze tří dílčích částí (nemusí se vždy vyskytovat
všechny tři):
• AR (Autoregresive) – autoregresivní proces
lineární kombinace vlivů minulých hodnot
• I (Integrative) - náhodná procházka
odfiltrování nestacionární složky dat
• MA (Moving Average) – metoda klouzavých průměrů
lineární kombinace vlivů minulých chyb (šoků)
Vlastnosti modelů ARIMA
• Mimořádně flexibilní
• Relativně náročné pro výpočet a pro pochopení výsledků (obtížná interpretace parametrů)
• Náročné na kvalitu a počet naměřených dat
• Předpoklad: alespoň 50 měření