Cvičení z elektřiny a magnetismu Autor: Mgr. Martin Čermák, Ph.D. Grafika: Mgr. Jana Jurmanová, Ph.D. MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ||^ ÚSTAV FYZIKÁLNÍ ELEKTRONIKY Cvičení z elektřiny a magnetismu Autor: Mgr. Martin Čermák, Ph.D. Grafika: Mgr. Jana Jurmanová, Ph.D. MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV FYZIKÁLNÍ ELEKTRONIKY Tento text vyšel za podpory Fondu rozvoje Masarykovy univerzity a Ústavu fyzikální elektroniky. © Martin Čermák, Brno 2014 Obsah 1 Vektorová pole 6 1.1 Úvod do vektorových polí v elektrine a magnetismu................ 6 1.2 Operátory....................................... 7 1.3 Matematické identity................................. 11 1.4 Integrál po křivce................................... 12 2 Elektrostatika 15 2.1 Coulombův zákon................................... 15 2.2 Princip superpozice.................................. 17 2.3 Elektrická intenzita obecného zdroje........................ 18 3 Skalární potenciál 26 3.1 Skalární potenciál bodového zdroje......................... 26 3.2 Skalární potenciál nehodového zdroje........................ 30 3.3 Ekvipotenciální plochy................................ 33 4 Gaussův zákon a vodiče v elektrickém poli 36 4.1 Gaussův zákon a jeho aplikace............................ 36 4.2 Vodiče v elektrickém poli............................... 42 5 Kondenzátory 46 5.1 Kapacita........................................ 46 5.2 Kapacita soustavy kondenzátoru .......................... 47 6 Dielektrika 52 6.1 Dielektrika v homogenním poli ........................... 52 6.2 Vektor elektrické indukce............................... 53 6.3 Lineární aproximace............. .................... 54 6.4 Elektrické pole na rozhraní dvou dielektrik..................... 59 6.5 Dielektrická pevnost................................. 62 7 Ohmův zákon a Kirchhoffovy zákony 66 7.1 Elektrický proud................................... 66 7.2 Rovnice kontinuity.................................. 67 7.3 Ohmův zákon..................................... 68 7.4 Kirchhoffovy zákony................................. 69 8 Magnetostatika a základy elektromagnetismu 76 8.1 Lorentzova sila.................................... 76 8.2 Magnetický moment................................. 80 8.3 Gaussův zákon pro magnetické pole......................... 80 8.4 Ampérův zákon v diferenciálním tvaru....................... 81 8.5 Ampérův zákon v integrálním tvaru ........................ 82 9 Biotův-Savartův zákon. 88 9.1 Biotův-Savartův zákon a vektorový potenciál.................... 88 2 10 Faradayův zákon, Maxwellovy rovnice, potenciály 94 10.1 Faradayův zákon................................... 94 10.2 Maxwellovy rovnice a potenciály .......................... 97 10.3 Kalibrační invariance............. .................... 99 10.4 Lorenzova kalibrační podmínka........................... 100 10.5 Maxwellovy rovnice v prostředí........................... 101 10.6 Energie elektromagnetického pole.......................... 102 10.6.1 Hustota energie elektromagnetického pole................. 102 10.6.2 Energie elektrostatického pole........................ 103 11 Cívky 105 11.1 Vlastní indukčnost..................................105 11.2 Vzájemná indukčnost.................................109 11.3 Transformátor.....................................112 12 Střídavé obvody 115 12.1 Komplexní čísla....................................115 12.2 Základní prvky střídavých obvodů .........................116 12.3 Zapojení RLC prvku ve střídavém obvodu.....................117 12.4 Řešení diferenciální rovnice pro střídavé obvody..................119 13 Stručný přehled vybraných klíčových vzorců 123 3 Předmluva Text, který právě začínáte číst, vznikl jako učební materiál k předmětu Cvičení z elektřiny a magnetismu. K přípravě na cvičení bylo použito těchto zdrojů: třetí díl kurzu Fyzika od autorů D. Halliday, R. Resnick, J. Walker [1] a druhý díl kurzu Feynmanovy přednášky z fyziky od autorů R. Feynman, R. Leighton, M. Sands [2]. Bohužel ani jeden ze dvou zmíněných textů není dostatečně vhodný k samostatné přípravě do předmětu Elektřina a magnetizmus pro fyzikální obory na Masarykově univerzitě. Fyzika od autorů D. Halliday, R. Resnick, J. Walker vznikla jako učebnice pro studenty technických a inženýrských oborů a její matematická a obsahová náročnost zůstává nižší, než se očekává od studentů fyzikálního zaměření. Naopak Feynmanovy přednášky z fyziky obsahují mnohem více informací, než se po studentech při zkoušce požaduje. Student pak často jen špatně rozpoznává, co je ke studiu nezbytné, a co nikoli. Proto se ukázalo velmi přínosným vytvořit tento materiál, který se stává kompromisem mezi zmíněnými učebnicemi. Na konci každé kapitoly těchto skript jsou uvedeny alternativní učební zdroje. Kromě dvou výše uvedených se jedná o učebnice Elektromagnetizmus autora A Tirpáka [3], Elektřina a magnetismus autorů B. Sedlák a I. Štol [4] a první díl kurzu Feynmanovy přednášky z fyziky [5]. Uvedené zdroje však ne vždy přesně odpovídají požadované látce a lze je spíše použít pro doplnění informací. V celé práci budeme používat základní jednotky SI. Elektřina a magnetismus představuje po Mechanice a molekulové fyzice druhý kmenový fyzikální předmět, se kterým se studenti setkávají. Byť je to škoda, v mechanice jsme se nutně řadě matematických výrazů a termínů vyhýbali kvůli nízké matematické úrovni studentů. Tento předmět již aktivní znalost některých matematických operací vyžaduje. Konkrétně se předpokládají základní znalosti derivací, integrálů, limit, a také základní operace s trojrozměrnými vektory, ať už jde o sčítání či skalární a vektorové násobení. Poděkování Za pomoc při přípravě textu bych především chtěl poděkovat Janě Jurmanové, která svými pestrobarevnými obrázky oživila pochmurný černobílý text a svými připomínkami a korekcemi výrazně zvýšila kvalitu skript. Dále bych chtěl poděkovat studentkám Anně Hrubé a Zdislavě Vávrové, které se postaraly o korekturu jazyka českého a vytvoření databáze alternativních učebních zdrojů, a Magdě Plevákové za nakreslení obrázku na úvodní stránku. V neposlední řadě chci poděkovat všem, co si skripta před vydáním přečetli a vyjádřili k nim své připomínky. Tento dík patří především studentům předmětu Elektřina a magnetismus, jež jsem měl tu čest vyučovat. 4 Vstupní test Pro studenty druhého semestru oboru fyzika by mělo být samozřejmostí řešit tento typ příkladů: 1. y= [sin(3x + 2)]5, y' = ? 3. / = a:2+ 2 + z2i |/= ? oz 4. ~Ě = (3,2,1), = (6,-9,0) a) ~Ě x b = ! 6) ~£ -~b =? 5 1 Vektorová pole 1.1 Úvod do vektorových polí v elektřině a magnetismu V této kapitole se budeme zabývat vektorovým polem. Vektorové pole si představme tak, že do každého bodu trojrozmerného prostom vložíme vektor (reprezentovaný trojici čísel). V každém bodě pak tato trojice čísel může být rozdílná. Zpravidla uvažujeme přechod mezi vektory v různých bodech za spojitý, hladký a diferencovatelný. Jako příklad takových polí uvedeme: vektory rychlosti v proudící tekutině (viz obrázek 1), vektory elektrické intenzity ~Ě a vektory magnetické indukce ~Ě jimiž se tyto skripta z velké části zabývají. Obrázek 1: Vektorové pole rychlosti větru. Právě v případě elektromagnetického pole si představme, že do každého bodu prostoru vložíme dvojici vektorů ~Ě a ~Ě (šestici funkcí), která závisí jak na čase t, tak na poloze ~Ý = (x,y,z), tedy celkem na čtyřech souřadnicích (proměnných). Tyto funkce lze derivovat podle zmíněných proměnných. Tento typ derivace se nazývá d d d d parciální a značí se — (v kartézské souřadnicové soustavě). Konkrétní parciální dt dx dy dz derivace (například podle x) zachází s ostatními proměnnými (i, y, z) tak, jako zachází klasická derivace s konstantami. df Derivace podle času se ve fyzice často značí jako tečka nad derivovanou funkcí — = /. df V literatuře se můžeme setkat s označením parciální derivace také například ve tvaru — = f x. ox Př. 1.1. Zadání: Uvažujte funkci čtyř proměnných ve tvaru f(t, x, y, z) = ect (x2 + y2 + z2). Najděte parciální derivaci podle všech proměnných. df df df df Řešení: — = cect (x2 + y2 + z2) , —— = 2xect, —— = 2yect, —— = 2zect. V případě deri- dt dx dy dz vace podle souřadnice t jsme pracovali se závorkou obsahující x2 + y2 + z2 jako s konstantou K. Derivace funkce Kect, kde t je proměnná, lze zapsat ve tvaru cKect. Výsledek uvedený výše obdržíme zpětným dosazením výrazu x2 + y2 + z2 namísto konstanty K. Zbylé derivace řešíme obdobným způsobem. 6 Př. 1.2. Zadání: Uvažujte funkci čtyř proměnných ve tvaru f(t,x,y,z) = xyz2. Najděte parciální derivaci podle všech proměnných. Řešeni: — = 0, — = yzz, — = xzz, — = 2xyz. týt ox oy oz 1.2 Operátory Pro studium vektorového pole slouží operátory. Operátorem nazývejme zobrazení, jež přiřadí skalárnímu či vektorovému poli nové skalární či vektorové pole. Takovým operátorem může být parciální derivace či operátory složené z parciálních derivací. V teorii elektromagnetismu se často používá vektorový operátor nabla Zapisuje se =± ( d d d \ (v kartézských souřadnicích) jako V = ——, —, — . Tímto operátorem pak můžeme pů- \ox oy o z) sobit jak na vektorové pole \f (t, x, y, z), tak na skalární funkce F (t, x, y, z). Pro stručnost v dalším textu již závislost na všech souřadnicích uvádět nebudeme. Působení operátoru \^ se provádí podobným způsobem jako operace se standardními vektory či skaláry. Rozlišujeme tři základní operace s operátorem nabla, označujeme je jako divergence (div), gradient (grad) a rotace (rot). • V případě divergence působí operátor \^ na vektorové pole \f = (Vx, Vy,Vz)1 tak, že výsledkem je skalární funkce , tí ^ tí dVx dVv dVz ox oy oz • Gradient funkce F lze vyjádřit jako působení vektorového operátoru na skalární funkci, výsledkem je v tomto případě vektorové pole 1T, =t r, fdF OF dF\ gradF = V • F = í —, ——, — J . 2 \ ox oy oz J • V případě rotace působí operátor \^ na vektorové pole \f = (Vx, Vy, Vz) tak, že výsledkem je nové vektorové pole rot^ = ^ x ý = ŕ m _dVy_ dVx_dV1 dVl_ d^A \ dy dz dz dx dx dy J V divergenci vektorového pole lze hledat analogii se skalárním součinem dvou vektorů ~ct a b , kde ~ct • b = axbx + ayby + azbz.\ případě divergence vektor ~ct nahradíme operátorem \^ a vektor b zaměníme s vektorovým polem \^, jak je zřejmé z rovnice (1). Podobným způsobem lze hledat analogii gradientu funkce se součinem vektoru ~ct a skaláru c, kde ~cl -c = (axc, ayc, azc). Dle rovnice (2) vektor ~ct nahradíme operátorem \^ a skalár c nahradíme funkcí F. 1 často se namísto spodních indexů x,y,z používá 1,2,3. 7 V rotaci můžeme vidět podobnost s vektorovým součinem dvou vektorů ia f), kde a x b bx by bz (aybz - azby, azbx - axbz, axby - aybx). Vektory i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1) značí jednotkové vektory ve směru os x, y, z. V případě rotace vektory ~čt a b nahradíme operátorem \^ a vektorovým polem \f (viz rovnice (3)). Dalším ve fyzice často používaným operátorem je operátor Lapiace A, jenž vznikne skalárním součinem dvou operátorů V A &_ _cP_ _cP_ dx2 dy2 dz2 (4) Působením A na funkci F (případně vektorové pole \f) obdržíme novou funkci d2F d2F d2F , , , , A-f d2V d2f d2f, ~^~T + ~~^~V + ~~^~V (prípadne vektorové pole A V = —-5- + —-5- + -^-5-)- AF Rovnice dx2 dy2 dz2 dx2 dy2 dz2 AF = f (případně AF = 0) je fyzikálně velmi významná, nazývá se Poissonova rovnice (případně Laplaceova rovnice) - viz (17). Jak již bylo řečeno, operátory \^ slouží k popisu vektorových polí či funkcí. V některých případech lze odhadnout výsledek působení těchto operátorů na první pohled, například vektorová pole v obrázku 2. Rotace prvního vektorového pole z obrázku 2 není nulová (Vx7/ 0 ), divergence naopak nulová vyjde (\^ • \f = 0), v případě druhého vektorového pole se rotace nule rovná 0 ) a divergence ne (V • V / 0). Samozřejmě ne vždy se podaří najít pole s nulovou rotací či divergencí. 1 í / 1 i t 1 ' \ Obrázek 2: Příklady dvou různých vektorových polí. U gradientu lze hledat podobnost s klasickou derivací. Derivace nám sdělí, zdali funkce klesá či roste, určíme směrnici tečny. Gradient funguje podobně. Funkce však v tomto případě závisí na více proměnných. Pomocí gradientu nově vytvořené vektorové pole popisuje, jak funkce roste či klesá v daném směru (viz obrázek 3). 8 Obrázek 3: Gradient funkce. Př. 1.3. Zadání: Spočtěte divergenci a rotaci vektorového pole: ~Ý = (x,y, z). Řešení: Parciální derivace i-tého členu ~Ý podle i-té souřadnice se rovná jedné Qt<£ dx (př. —— = — = 1). Derivace i-tého členu podle j-té souřadnice (kde i / j) je rovna nule ox ox Qt<£ dx (př. —— = —— = 0). Jasně vidíme, že rotace tohoto vektorového pole musí vyjít nulová, pro- Oy oy tože v případě rotace se nevyskytuje člen, který by po derivování zůstal nenulový (viz rovnice —v _. —y —x _. c)x dy dz (3)), tedy V x r = 0 . Divergence tohoto vektorového pole se rovná: V • r = — + t^- + t^- = ox oy oz 1 + 1 + 1 = 3. Př. 1.4. Zadání: Uvažujte stejné vektorové pole jako v předešlém případě. Uvažujte, že toto pole je výsledkem gradientu funkce Najděte neznámou funkci F. ^ dF x^ dF y2 „ , . dF Řešeni: — = x F = — + fľ (y, z) , — = y F = — + f2 (x, z) , — = z z2 F = — + fs (x, y) , kde funkce / mají v případě parciálních derivací stejný význam jako integrační konstanty v případě klasických derivací (jejich derivace je nulová). Porovnáním tří x2 + y2 + z2 v2 výsledků pro F lze zjistit výsledek ve tvaru F =----h K = — + K, kde K je konstanta a r 2 = r2. 9 Př. 1.5. Zadání: Spočtěte divergenci a rotaci vektorového pole: \f = = (—z■,■,—z), kde y>3 \^ y>3 y>3 y>3 r2 = x2 +y2 + z2. g _ 9VX 1 3x2 914 3xy dVx 3xz dVy 3xy dVy 1 3y2 čte r3 r5 ' dy r5 ' 9z r5 ' dx r5 ' 9y r3 r5 ' <9K 3yz dVz 3xz dVz 3yz dVz 1 3z2 —— =--—— =-- —— =-- —— = -r--Dosadíme-li do vztahu (3), oz r° ox r° oy r° oz ró r° -4 —> /3yz 3yz 3xz 3xz 3xy 3xy\ —>■ , , . obdržíme V x V = - —=---r, —=---r, —=---r = 0 . Výsledek by byl zjevný, \ y-J y-J y-J y-J y-J y-J J kdybychom si toto vektorové pole nakreslili. Zdá se, že toto vektorové pole bude divergentní. 3 x2 + y2 + z2 Provedeme-li operaci divergence dle vztahu (1), obdržíme: V • V = —z — 3-=- = 0. yj yO V tomto případě divergence vektorového pole \f vyšla nulová. Komentář: Toto řešení si nyní správně interpretujeme. V elektrostatice se divergence vektorového pole používá k vyjádření vztahu mezi vektorem elektrické intenzity a rozložením náboje = Kg, kde K představuje konstantu úměrnosti a g značí hustotu náboje. Pokud známe vektorové pole ~Ě v každém bodě, pak známe i rozložení elektrického náboje. Vnímavý student výše uvedené pole \f jistě rozpozná. Až na konstantu se shoduje s coulombovským polem v okolí nabitého bodu. Zdroj takového pole je lokalizován do bodu. Výše uvedené řešení je neúplné, nevyjadřuje totiž situaci v bodě nula, kde vektorové pole roste do nekonečna, vzniká tzv. singularita. V tomto konkrétním případě lze říci, že hustota náboje vychází všude nulová, kromě počátku souřadnicové soustavy, kde je naopak nekonečná. K matematickému popisu takové hustoty se používá tzv. delta funkce 5 (x) , jež se rovná nule pro každé x kromě x = 0, kde se rovná nekonečnu. Pro tuto funkci (ve skutečnosti to není funkce, ale distribuce) platí rovnice j ô (x) dx = 1 pro případ, kdy integrační interval určitého integrálu obsahuje nulu, a f ô (x) dx = 0 v případě, že nulu neobsahuje. Integrál delta funkce vynásobený jinou funkcí se rovná j ô (x) f (x) dx = f (0). I zde platí důležitá podmínka, totiž že interval určitého integrálu obsahuje nulu. Tento vztah lze zobecnit: f ô (x — x q) f (x) dx = Vraťme se nyní ke zmiňované hustotě, která vychází všude nulová kromě jednoho bodu, kde se rovná nekonečnu. Výše uvedená delta funkce je funkcí pouze jedné proměnné. Hustota (objemová hustota) závisí na třech souřadnicích. Hustotu lokalizovanou v bodě tak lze popsat pomocí trojrozměrné delta funkce S (x) S (y) S (z) = S (x, y, z) = S (~ř^). Řešení příkladu 1.5 zní = Attó (~ť^). Pro objasnění konstanty Att potřebujeme další výpočty (viz příklad 2.3). Př. 1.6. Zadání: Spočtěte gradient funkce: F = -, kde r2 = x2 + y2 + z2. r dF 1 2x x dF y dF z Řešení: — = —?— = = —^, obdobně pro členy = —q, "s- = —v ox rz 2\/x2 + y2 + z2 r oy ró oz ró Výsledek bude: ^ -F = (x V z\ r Komentář: Výsledek se shoduje (až na znaménko) se zadáním předešlého případu, kde jsme hledali divergenci vektorového pole —. Kombinací obou výsledků dostaneme 10 Tento výsledek lze interpretovat i takto: pokud působením operátoru lapiace na neznámou funkci obdržíme delta funkci, pak neznámá funkce může být nalezena ve tvaru -. r 1.3 Matematické identity Někdy může záviset na pořadí, se kterým se operace provádí. Například výrazy se neshodují. Jinými slovy tyto výrazy nejsou asociativní. Pokud závorkování chybí, uvažujeme, že operátory aplikujeme směrem zprava doleva. Vnímavý čtenář si jistě všiml z předešlých příkladů, že kromě • F jsme zjistili i řešení • F = 0 , kde F = -. Ukážeme, že tato rovnice je splněna pro všechny funkce a nikoli 1 r pouze pro F = - : r ^ „ fdF OF OF F dx' dy ' dz ^ x^ F _ í d_dF_ d_dF_ d_dF_ d_dF_ d_dF_ d dF\ _ \dy dz d z dy ' dz dx dx dz ' dx dy dy dx J Poslední rovnost jsme mohli provést z důvodu komutativnosti parciální derivace (nezávisí na pořadí derivování). Podobnou matematickou identitu obdržíme z ^ ^ x ý = ^ _ ŕ m _dVy wx_ g = 1, ^ = 2r, ^ = 0, => ? = (r, r2, 0) , ^ = (1, 2r, 0) . Křivka bude opět na intervalu r E (0; 1) 1 = Jf = Jf . ^dr = J (r + 2r3) dr 2 4 r r = i. o Př. 1.9. Zadání: Vypočtěte křivkové integrály přes stejné křivky a stejné počáteční a koncové body jako v minulém případě z vektorového pole \^ = (y, —x, 0) . Řešení: První cestu podél os si rozdělíme na dvě části - a) podél osy x a b) podél osy y. Zde však na rozdíl od předešlého příkladu záleží na tom, podél které osy integrujeme dříve. Zvolme a) x = t, y = 0 xT = l, y,T = 0 Ť = (0,-t,0), ^ = (1,0,0), ot b) x = l, y = r xT = 0, yiT = l Ť = (t,-1,0), — = (0,1,0). ot Výsledný integrál bude i i Odr + y"-ldr = ~rlo = -1- a)0 6)0 V případě, že nejdříve zvolíme cestu podél osy y a) a poté osy x b), výsledek se změní na a) x = 0, y = r xT = 0, y,T = 1 Ť = (t,0,0), — = (0,1,0), ot 13 b) x = t, y = l =* xT = l, y,T = 0 Ý = (l,-r,0), |^- = (1,0,0), i i 0dr+ / ldr = r|J = 1. i a)0 6)0 Pokud si za křivku vybereme přímku x = t, y = t =* z,T = 1, y,T = 1 =* ^ = (r, -r, 0), ^ = (1,1,0)=* / Odr = 0. o Pokud se rozhodneme pro parabolu x = t, y = r2 =* x,T = l, y,r = 2r =* F = (r2,-r,0), ^- = (l,2r,0), r2dr = - — r o x = _l o 3- 3 Z tohoto výsledku vidíme, že výsledná hodnota integrálu závisí na zvolené cestě. Příklady k procvičení 1.1. Derivujte parciálně podle všech proměnných: f\ = c + z + y2 + z3, /2 = ctsin (xyz) h = COS i,C^ , kde r2 = z2 + y2 + z2. Příklady k procvičení 1.2. Najděte divergenci a rotaci vektorové pole \^ = lo (—y, x, 0). Příklady k procvičení 1.3. Dokažte identitu: \^ x (\? x — 21^ = ~čf, kde "r^ = (z, y,z) je konstantní vektor. Příklady k procvičení 1.4. Dokažte identity X7x[^VFj = FX7 x V + [X7 F j x V, V-l^VFj = FX7 ■ V + [X7 F j-V, kde f představuje obecné trojrozměrné vektorové pole a F obecnou funkci. Příklady k procvičení 1.5. Vypočtěte integrál po třech různých libovolných křivkách z bodu ~Ý = (0, 0, 0) do bodu ~Ý = (1,1,1). Vektorové pole je \f = (y, —z, z) . Doporučená literatura Elektřina a magnetismus (Sedlák, Štoll), 2002: str. 553-575 Feynmanovy přednášky z fyziky 2, 2001: str. 13-61 Elektromagnetismus (Andrej Tirpák), 1999: str. 60-61, 76-79, 93-103 14 2 Elektrostatika 2.1 Coulombův zákon Elektrostatika studuje jevy spojené s časově neměnným elektrickým nábojem, který vyjadřuje vlastnost částic působit na sebe vzájemnou silou. Máme-li v určité vzdálenosti dvě nabitá tělesa (obsahující nenulový náboj), pak také na tato tělesa působí vzájemná elektrostatická síla. Jako příklad poslouží přitahování nabitých papírků s opačně nabitým balónkem či odpuzování nabitých vlasů (viz obrázek 4). Obrázek 4: Působení elektrostatického pole. Experimenty ukázaly, že pro případ dvou bodových nábojů Q velikost této síly závisí na druhé mocnině převrácené hodnoty vzdálenosti středů r těchto nábojů. Síla dále závisí na velikosti jednotlivých nábojů. Pro případ shodných znamének nábojů je síla odpudivá, pro případ opačných znamének nábojů naopak přitažlivá. Tento zákon se nazývá Coulombův zákon a znáte jej ve tvaru: 1 IQ1IIQ2I F 4tT£0 t-2 - r\\ |2 ' kde 47T£o je konstanta určující velikost interakce, r\ označuje polohový vektor prvního náboje a ř\ polohový vektor druhého náboje, často se rozdíl těchto vektorů označuje jako ~Ý = ř\ — řt■ Vzdálenost nábojů označuje velikost rozdílu těchto vektorů r = jřt — ři|. Síla je vektorová veličina, výraz lze upravit do vektorového tvaru. Vektory síly působící na částice s nábojem Qi a Q2 můžeme napsat jako Q1Q2 {n - r2) 4tt£0 ri - r2\ Q1Q2 (r2 - n) 4tt£0 ^1 = -fz r2 - ri (6) Uvažujme nyní testovací částici s malým nábojem Qi = q a polohovým vektorem ři = ~Ý. Stejným způsobem upravíme Q2 = Q a ř\ = ~Ý'. Pojmem malý náboj myslíme takový náboj, jenž je zanedbatelný vůči ostatním nábojům, které leží v jeho okolí. Na tento náboj působí síla daná vztahem (6). Můžeme uvažovat nekonečné množství nekonečně malých nábojů (s celkovým nábojem vůči okolnímu zanedbatelným) ve všech bodech prostoru. Každému bodu tak přiřadíme vektor síly a dostaneme vektorové pole. Vzhledem k tomu, že náboje testovacích částic jsou malé, i vektory síly působící na testovací částice budou malé. Jestliže vektor síly vydělíme nábojem testovacích částic, získáme novou veličinu, vektor elektrické intenzity 15 Obrázek 5: Zakreslení vektorů r±, r 2, r 2 — r\. E = —, který popisuje vektorové elektrické pole v blízkosti nabitého tělesa. Známější zápis q tohoto vztahu vypadá takto: ~f = q~É. Pro případ bodového náboje lze odvodit =F\= Q2 (^2-^1) =__Q (ŕ'-?) = Q (~Ý |řt - ři Ql 47T£o Iřo — řt|3 47T£o \~Ý' — ~Ý\3 47r£() \~Ý — ~Ý"3' tedy t = .g-Cf-f'. (7) 47T£o \ ~Ý — ~Ý'\3 Připomeňme, že ~Ý' značí polohový vektor zdroje o náboji Qa?" polohový vektor místa, kde chceme znát vektor elektrické intenzity, často se zdrojový náboj vloží do počátku souřadnicové soustavy - pak ~Ý' = (0, 0, 0) : -^ = _Q_^_ -f = Qq ^ 47r£o r3 ' 47r£o r3 Výpočtem velikosti těchto vektorů získáme dobře známé vztahy ze střední školy E = -9-, F = ^U 47T£or2' 47T£or2 Př. 2.1. Zadání: Uvažujte dva stejné bodové náboje o shodné hmotnosti a shodném náboji. Náboje jsou od sebe vzdáleny r. Jaký musí být poměr mezi nábojem a hmotností, aby se elektrostatická síla vykompenzovala s gravitační? Nepředpokládáme, že by v okolí nábojů byly ještě další zdroje elektrostatického či gravitačního pole. Řešení: Pro výpočet použijeme velikost vektoru síly v Coulombově zákonu (6) a Newtonově gravitačním zákonu Fq = G—^y-^, ^de mi = 1712 = m & Qi = Q2 = Q- Uvažujeme-li, že velikosti sil se rovnají, pak lze napsat rz 47T£o rz m 16 Obrázek 6: Velikost vektoru elektrické intenzity v blízkosti bodového náboje. Komentář: Tento podíl je velmi malé číslo. Elektrostatická interakce se projevuje dominantněji než interakce gravitační. Sílu gravitační můžeme pozorovat pouze díky tomu, že ve velkých měřítkách se součet kladných a záporných nábojů blíží nule, a tak i výsledná elektrostatická síla je blízká nule. I když Coulombův zákon a Newtonův gravitační zákon jsou si velice podobné, svou podstatou se naprosto liší. 2.2 Princip superpozice V elektromagnetismu platí jeden velmi důležitý princip. Nazývá se princip superpozice a vychází z toho, že diferenciální rovnice popisující vztah mezi zdrojem pole a polem samotným jsou lineární. Tento princip lze vyjádřit jednoduše tak, že pokud jeden zdroj vytváří vektorové pole A\ a druhý A2, pak výsledné pole okolo obou zdrojů je dáno součtem obou polí ~Á = A1+A2. Princip superpozice ve fyzice není samozřejmý (vezměme si například sčítání rychlostí relativisticky se pohybujících těles). Pro vektor elektrické intenzity princip superpozice platí. Pro případ mnoha nábojů Qí s polohovými vektory ř!7 lze celkovou elektrickou intenzitu v bodě ~Ý zjistit ve tvaru f= 1 EMtz^l. (8) 47T£0 ^ \~Ý - ^'\3 Př. 2.2. Zadání: Uvažujme čtverec o délce stran 2a, v jehož rozích jsou uloženy náboje. Uvažujme, že střed čtverce leží v počátku souřadnicové soustavy, jež je popsána osami x a y. Náboje v rozích se rovnají: Qi = Q v bodě (x, y) = (a, —a), Q2 = Q v bodě (x, y) = (a, a) , Q3 = — 2Q v bodě (x,y) = (—a, —a), q4 = —2q v bodě (x,y) = (—a, a) (viz obrázek 7). Najděte vektor elektrické intenzity uprostřed čtverce. Určete jeho velikost. Řešení: Studujeme-li elektrickou intenzitu v počátku souřadnicové soustavy, lze uvažovat ~Ý = 0 . Podle vztahu (8) můžeme napsat ^ =__^_5^ =__Q = Q i1'-1) 1 47r£o|rt'|3 4?r£o (a2 + a2)3/2 4^oa2 23/2 17 y Obrázek 7: Intenzita v blízkosti čtyř nábojů. Stejným způsobem zjistíme i elektrické intenzity od zbylých zdrojů -ý Q (1,1) -ý 2Q (-1,-1) 2Q (-1,1) 2 47r£oa2 23/2 ' 3 4Tve0a2 23/2 ' 4 47T£0a2 23/2 ' Princip superpozice říká, že výsledná intenzita je dána součtem jednotlivých elektrických intenzit t = db^ [(-2' -2) + (-2.2) - (1.-1) -{1.1)1 = Velikost vektoru elektrické intenzity je rovna E = _Q__3_. A-keqo? a/2 Komentář: Vektor elektrické intenzity v počátku souřadnicové soustavy míří do záporného směru osy x. Tento závěr lze odhadnout na první pohled, uvážíte-li, že kladné náboje leží na poloze kladného x a záporné náboje na poloze záporného x. Naopak podél osy y je zdroj rozložen symetricky a složky se tudíž odečtou. 2.3 Elektrická intenzita obecného zdroje Uvažujeme-li systém malých spojitě rozložených nábojů dQ, z nichž každý generuje malé elektrické pole d~É, pak lze intenzitu od jednoho z malých nábojů zapsat ve tvaru d-É = ^-^S\. 47T£n IV' _ V"'ld 18 Stejně jako v předešlém případě ~Ý' označuje polohový vektor náboje dQ a ~Ý značí polohový vektor místa, kde chceme znát vektor elektrické intenzity. Díky principu superpozice lze najít celkovou výslednou elektrickou intenzitu jako součet jednotlivých intenzit. V případě nekonečného množství na sebe nalepených nekonečně malých částí lze od součtu ve vztahu (8) přejít k integrálu 47T£0 J | T - ť'\ Uvažujme nyní tři typy rozložení náboje: • objemové: náboj se rozkládá v celém objemu, platí dQ = g (Ý') dV. • plošné: náboj pokrývá plochu, platí dQ = o (Ý') dS'. • lineární: náboj je rozložen na křivce, platí dQ = Je důležité si uvědomit, že hustoty (objemová g, plošná a, lineární r) závisí na souřadnicích x', y', z'. Dané elementy dV, dS', dl' tyto souřadnice obsahují. Po zintegrování je elektrická intenzita funkcí pouze souřadnic x, y, z, polohy bodu, kde intenzitu studujeme. Př. 2.3. Zadání: Vypočtěte vektor elektrické intenzity ve vzdálenosti r od bodového náboje. Řešení: Je-li zdroj pole bodový, lze hustotu zapsat jako delta-funkci. Uvažujeme-li bodový náboj ležící v počátku souřadnicové soustavy, pak lze hustotu uvažovat ve tvaru g = 5 {-ý') Q = S {x') S {y') S {z') Q. Jak jsme uvedli, pro integrál z funkce vynásobený delta-funkcí platí f f (x) ô (x) dx = f (0). Celková elektrická intenzita je _ _Q_ ľ (ŕ - -Ý') S {x') S {y') S {z') dx'dy'dz' _ _Q_ 47T£0 J \~Ý — ~Ý'f 47T£0 |^|3 V případě posunutí bodového náboje z počátku souřadnicové soustavy do obecného bodu obdržíme opět vztah (7). Komentář: Působíme-li divergencí na získaný vektor elektrické intenzity, obdržíme opětovně delta-funkci vynásobenou konstantou (viz komentář příkladu 1.5) 3-t = ^^4š = (?) = 9-6 (■?) = £-. 47T£0 \Yf 47T£0 £0 £0 Odtud vidíme význam konstanty 4tv v divergenci 3 v příkladu 1.5. I r I Divergencí lze obdobným způsobem působit i na rovnici (9) ý.trŕ) = — f ^\g(-ý')dV = — f Akô(-Ý -Jt')g{-ý')dV' £0 Pomocí rovnice (9) můžeme vypočítat elektrickou intenzitu ze zdroje popsaného hustotou náboje g. Rovnice ^■t = ^. (10) 19 popisuje cestu opačnou, zde známe intenzitu a zjišťujeme hustou. Rovnice (9) a (10) jsou si ekvivalentní. Rovnice (10) je první z Maxwellových rovnic a můžeme ji použít pro jakýkoli elektrostatický zdroj popsaný hustotou g. Tuto rovnici nazýváme Gaussův zákon v diferenciálním tvaru. Př. 2.4. Zadání: Uvažujme homogenně nabitou úsečku o délce 2a ležící na ose x. Střed úsečky leží v počátku souřadnicové soustavy. Vypočtěte elektrickou intenzitu mimo úsečku a) na ose x b) na ose y (viz obrázek 8). Obrázek 8: Intenzita v blízkosti nabité tyče. Řešení: Element náboje rozložený na ose x zapíšeme ve tvaru dQ = rdx', kde r = tq pro x' G (—a; a) a r = 0 pro x' G (—oo; —a) U (a; oo). Integrál pro výpočet elektrické intenzity pak lze zapsat jako součet tří integrálů s různými mezemi, z nichž jediný nenulový bude ten s mezemi x' £ (—a; a). Polohový vektor zdroje nacházejícího se na ose x označíme ~Ý' = (x', 0, 0) . a) V případě, že studujeme elektrickou intenzitu na ose x, lze napsat polohový vektor místa, kde studujeme intenzitu ve tvaru ~Ý = (x, 0, 0). Je zřejmé, že je-li zdroj rozložený na ose x, pak intenzita studovaná na ose x bude opět mířit ve směru osy x a zjevně Ey = 0 a Ez = 0. Uvažujme, že bod, kde studujeme elektrickou intenzitu, leží na kladné části osy x, tedy x > x'. Nenulová složka elektrické intenzity vyjde: a a 1 f x - x' . T0 f dx' T0 1 Ex =-- /---ňT0dx 4tt£0 J (x - x'f 4tt£0 J (x- x') 4tt£0 {x - x') 20 tq 4tt£0 1 1 (x + a) to 2a Q i 47r£o x2 — a2 47r£o x2 — a2 Pro x » a výraz přejde do Coulombova vztahu, kdy velikost vektoru elektrické intenzity závisí na převrácené hodnotě druhé mocniny vzdálenosti x. Pro x = a + e, kde e je malé vůči a (x se blíží k a), je příspěvek od--- = - mnohem větší jako--- =---, proto [x — a) e [x + a) [e + 2a) se elektrická intenzita v tomto bodě přibližně rovná Ex = T°--- = —^--. 4tt£q (x — a) 4tt£q e b) Pro případ studia intenzity na ose y lze polohový vektor zapsat jako ~Ý = (0, y, 0) (zdroj bude opět (x', 0, 0)). Vzhledem k tomu, že z pohledu ze směru osy y je příklad levo-pravě symetrický, pro složky elektrické intenzity na ose y platí Ex = 0 a Ez = 0. Nenulovou složku elektrické intenzity druhého zadání vypočteme takto: En, 1 4tt£0 (x'2 + y2f/2 T()dx' 4tt£0 y\/x'2 + y2 47T£0 y\/a2~+y2 y\/a2 +y2 to 2a 4tt£o y^a2 + y2 47T£0 y^a2 + y2 Pro velké vzdálenosti od nabité úsečky y » a přejde výraz opět do Coulombova výrazu. Snadno si představíme, že v obou případech - jak a), tak b), se bude jevit úsečka ve velkých Q vzdálenostech jako bod. Pro y « a bude intenzita rovna Ev = -. Stejný výsledek Aireoya obdržíme, jestliže studujeme elektrickou intenzitu v blízkosti nekonečně dlouhé nabité přímky. V tomto případě nezávisí intenzita na převrácené druhé mocnině vzdálenosti, ale na mocnině první. Na základě experimentů bylo objeveno, že Coulombův zákon platí jak pro sférické zdroje, tak pro bodové zdroje. Tento fakt není bez hlubší úvahy samozřejmý. Můžeme jej však jednoduše dokázat. Př. 2.5. Zadání: Vypočtěte vektor elektrické intenzity ve vzdálenosti r od středu homogenně nabité koule (viz obrázek 9). Uvažujte |~ř^| > R. Řešení: Tento příklad lze vyřešit prostým dosazením do rovnice (9). Výpočty v obecném případě však budou relativně komplikované. Pro zjednodušení uvažujme, že střed koule leží v počátku souřadnicové soustavy a bod, ve kterém chceme intenzitu studovat, leží na ose z. (V případě, kdy se chceme zabývat jiným bodem než na ose z, celou soustavu můžeme natočit díky kulové symetrii.) Pro každou část koule s nenulovým z a y existuje stejná část koule ležící v poloze se zápornými hodnotami x a y. Díky tomu jsou složky Ex a Ey pro pozorovatele na ose z nulové (protilehlé příspěvky se díky principu superpozice vyruší). Jedinou nenulovou složkou zůstane Ez. Dosazením obdržíme Ý -Ý' = {-x\ -y', z - z') =* |^ - ~Ý'\2 = x'2 + y'2 + {z - z'f = r'2 - 2zz' + z2. z—ov& složka vektoru elektrické intenzity bude rovna E =J_ ľ (z-z')dQ 47T£0i (r'2 _ 2zz> + z2f/2 ' 21 Obrázek 9: Intenzita v blízkosti nabité koule. Uvažujeme-li homogenně nabitou kouli, lze element dQ zapsat jako dQ = gdV, kde g je funkcí x', y', a z'. Pro danou symetrii je výhodné používat sférické souřadnice. Hustota g tak závisí pouze na radiální souřadnici r'. V případě homogenně nabité koule pro r' < R zůstává hustota konstantní g = go, pro r' > R je hustota nulová, g = 0. Určitý integrál z nulové funkce se zase rovná nule. Integrál přes celou oblast lze rozdělit na dvě části v závislosti na tvaru hustoty /=/ + / = /• r' r'>R r' G (0; R), 0' G (0; 2tt) , B' G (0; tt) . Při přechodu od kartézských souřadnic ke sférickým potřebujeme transformovat element d V = dx'dy'dz'. K této transformaci se používá tzv. Jakobián. Například přechodem od souřadnic x, y, z na souřadnice a, b, c Jakobián nabývá tvaru absolutní hodnoty determinantu matice: J = ( dx dx dx \ da ~ďb dc dy dy dy da db dc \ dz dz dz da ~db dc ) 22 Integrál je v nových souřadnicích možno zapsat j f(-ý)áV = j f(a,b,c) \J\dadbdc. Přechod z kartézských souřadnic do sférických lze zapsat ve tvaru x' = r' cos ( r', protože r' dosahuje maximálně hodnoty poloměru koule R < z. Zabýváme-li se intenzitou uvnitř koule, integrál rozdělíme na dvě části z > r' a z < r' (viz komentář). Pro studium intenzity vně koule platí: qo 4z2e0 (z2 - r'2) r' + z r' +z) (z2 - r'2) z — r + (z -r r'dr1 R Qo Az2£0 [-Ar'] r'dr' 90 4^ Q Az2£q 3 47T2;2£o ' 23 kde náboj Q koule můžeme vyjádřit Q = qqV 4 q0-itRó. Komentář: Z výsledku vidíme, že pro sférické zdroje elektrického pole platí Coulombův zákon stejně jako pro zdroje bodové. Výsledek lze při posunutí počátku a posunutí bodu, ve kterém měříme intenzitu ~E, zapsat ve tvaru (7). Výpočtem se dá dokázat, že kdybychom se zabývali intenzitou uvnitř koule R > z, příspěvky nacházející se nad z by ve výsledku byly nulové. Do elektrostatického pole by pak přispíval pouze zdroj nacházející se pod z. Ve výše uvedeném příkladu bylo potřeba vypočítat přechod v elementu objemového integrálu dV = dxdydz z kartézských souřadnic k novým souřadnicím a, b, c popsaných pomocí závislosti ~Ý(a,b,c). Tohoto přechodu se docílilo použitím Jakobiánu: dxdydz = \J\dadbdc. Podobné přechody je potřeba použít i v případě přechodů k novým souřadnicím v případě dl a dS. Níže uvedené vztahy odvozovat nebudeme. Křivku v prostoru lze parametrizovat pomocí jednoho parametru. V případě délkového elementu dl je přechod od souřadnic ~Ý{a) k parametru a proveden pomocí d~Ý = (dx, dy, dz) dl \d~Ý\ = \J dx2 + dy2 + dz2 + dy da + dz da da. Pro popis plochy jsou již potřeba parametry dva r (a, b). V případě plošného elementu je přechod dán da db dx\ í dy\ í d z da J \da) \da —> d r d r , —> dS = — x — dadb dS = \dS 2 /o \ 2 /dx\ ídy\ íd z Vďb + \db) + \db dx dx dy dy dz dz da db da db da db V2 dadb. Je-li plocha S uzavřená, pořadí souřadnic a a b se volí tak, aby vektor dč^ směřoval uzavřené plochy. ven z Obrázek 10: Elektrická intenzita v blízkosti nabitého prstence. 24 Příklady k procvičení 2.1. Vypočtěte, jaký je poměr mezi elektrostatickou a gravitační silou působící v atomu vodíku mezi protonem a elektronem. Příklady k procvičení 2.2. Vypočtěte elektrickou intenzitu na ose nabitého tenkého prstence o náboji Q a délkové hustotě náboje r a poloměru R (viz obrázek 10). Příklady k procvičení 2.3. Uvažujte homogenně nabitý (plošná hustota náboje je a) tenký kruh o poloměru R ležící v rovině z = 0. Střed kruhu se nachází v bodě ~Ý = (0, 0, 0) . Určete vektor elektrické intenzity na ose kruhu ve vzdálenosti z od středu kruhu. Příklady k procvičení 2.4. Uvažujte tlustou sférickou slupku o vnitřním a vnějším poloměru R± a i?2- Slupka je homogenně nabitá s hustotou náboje g. Vypočtěte vektor elektrické intenzity v libovolném bodě uvnitř slupky r < R\. Příklady k procvičení 2.5. Uvažujte nabitý čtverec o délkové hustotě r a délce hran 2a. Jaká je elektrická intenzita na ose čtverce? Uvažujte, že střed čtverce leží v bodě ~Ý = (0, 0, 0) a rovina, ve které čtverec leží, je dána z = 0. Doporučená literatura Elektřina a magnetismus (Sedlák, Štoll), 2002: str. 17-27, 31-34, 43-46 Feynmanovy přednášky z fyziky 2, 2001: str. 63-67 Elektromagnetismus (Andrej Tirpák), 1999: str. 21-43 Fyzika (Halliday, Resnick, Walker), 2000: kap. 22, 23 25 3 Skalární potenciál 3.1 Skalární potenciál bodového zdroje ~Ý 1 V příkladu 1.6 jsme uvedli, že výraz 3 se rovná mínus gradient p^Fj- Jestliže první výraz je úměrný vektoru elektrické intenzity bodového zdroje, pak druhý výraz může být úměrný jiné fyzikální veličině popisující bodový zdroj. Pokud tuto novou veličinu označíme íp, lze zapsat závislost mezi ip a E pomocí následujícího vztahu (ip je funkce souřadnic) ~É = -^ip. (ii) Z této rovnice vyjádříme novou fyzikální veličinu - skalární potenciál: tp = - J ~É -d~Ý, (12) kde ~1 značí počáteční bod (bod, kde je potenciál roven nule) a bod ~Ý určuje koncový bod (zde chceme zjistit hodnotu potenciálu). Díky identitám víme, že platí = 0. Elektrostatická intenzita je pole konzervativní, výsledek integrálu (potenciál) nezávisí na integrační cestě (viz kapitola 1.4). Jednoduchým výpočtem odvodíme potenciál v bodě ~Ý od bodového náboje Q umístěného v bodě ~Ý' ve tvaru

a. Potenciál v nekonečnu uvažujte jako nulový, tedy K = 0. Řešení: Rozložení nábojů, jež bylo uvedeno v zadání, se nazývá elektrický dipól. Dle zadání lze zapsat polohové vektory jednotlivých nábojů jako = (a, 0, 0) a -a, 0,0) Potenciál se rovná Q 4tt£0 [x — a) + y + z1 1/2 [x + a) +y2+z< 1/2 Plochy konstantního potenciálu (ekvipotenciální plochy) zobrazuje obrázek 13. Uvažujme vzdáleného pozorovatele měřícího elektrostatické pole. Pro dostatečně vzdáleného pozorovatele platí |~ř^| 3> a. Pro tuto aproximaci lze první člen potenciálu dipólu rozvést pomocí Taylorovy 28 Obrázek 13: Řez ekvipotenciálními plochami elektrického dipólu v rovině z = 0 (nebo také v y = 0). řady, kde uvažujeme malé a/x 1 c2 h + y2 + z2 1/2 [x2 + y2 + z2]1/2 [x2 + y2 + z2] + sa 213/2- Stejný rozvoj provedeme i u druhého členu 1 xa x2 [1 + - ) +y2 + z2 1/2 [x2 + y2 + z2]1/2 [x2 + y2 + z2] 213/2- První členy obou rozvojů jsou si rovny. V celkovém potenciálu dipópu se tyto členy navzájem odečtou. Naproti tomu druhé členy mají znaménko opačné. Celkový potenciál dipólu pozorovaný z velké vzdálenosti je roven Q 2ax 4tt£0 [x2 +y2+ z2} 213/2- Definujme dipólový moment jako rozdíl polohových vektorů dvou nábojů o stejné velikosti a opačného znaménka vynásobený velikostí náboje d = Q (~ř^+ — ~Ý_) (v našem případě platí ~~ct = Q (2a, 0,0) = (d, 0,0)). Potenciál elektrického dipólu lze pomocí dipólového momentu přepsat do tvaru Q ~ét-l* .... Lze jednoduše dokázat, že tento vztah platí i pro dipól s obecným směrem d . 29 Platí-li y = O, z = O a a; » n, pak Q I 1 1 47T£o \(x — a) (x + a) Q 2a ^ 47T£o ^2 — a2 47r£ox: 2 • Platí-li x = O, pak 47T£0 \ [a2 + yl + z2] 1/2 [ffl2 + y2 + z2] ,211/2 0. V rovině mezi náboji je potenciál nulový. V případě výpočtu elektrické intenzity lze použít dvojí postup. Buď můžeme vyjádřit elektrickou intenzitu přímo E Q 47T£0 (x - a,y,z) {x + a,y,z) [x — a)2 + y2 + z2 3/2 [x + a)2 + y2 + z2 3/2 a následně provést aproximaci pro velké vzdálenosti, nebo lze zjistit elektrickou intenzitu z gradientu potenciálu vzdáleného dipólu 47T£0 I \T\ 1 'a- d 4tt£0 1^1 (15) Vektor elektrické intenzity v blízkosti dipólu je zakreslen na obrázku 14 a). Na obrázku 14 b) jsou zakresleny siločáry elektrického pole, což jsou orientované křivky, ke kterým jsou vektory elektrické intenzity tečné. Uvažujeme-li elektrické pole na ose x (kde platí y = z = 0) lze uvažovat nenulovou pouze x—ovou složku elektrické intenzity, která je rovna E = 1 (3x(d,0,0) ■ (x,y,z) d 4tt£0 Pro elektrickou intenzitu v rovině x = 0 platí 2d x6 J Atieqx 3 • (d,0,0) 4tt£0 [y2 + z2} 2 , .213/2- Komentář: Z výpočtů vidíme, že pro velké vzdálenosti od dipólu klesá intenzita s třetí mocninou vzdálenosti. Elektrická intenzita v rovině x = 0 je kolmá na tuto rovinu. Proto, když se pohybujeme podél této roviny, nekonáme práci a napětí (pohybujeme-li se v této rovině) se rovná nule. Potenciál je stejný ve všech bodech této roviny a to i v nekonečnu, kde je potenciál dle zadání nulový. 3.2 Skalární potenciál nehodového zdroje Operátory nablajsou lineárními operátory. Lze-li použít princip superpozice na vektor elektrické intenzity E, pak smíme tento princip aplikovat i na veličiny s touto veličinou spojené pomocí lineárních operátorů, tedy jak na hustotu náboje g, tak na potenciál R. Řešení: Pro jednoduchost si počátek souřadnicové soustavy zvolíme ve středu koule. Stejně jako v případě elektrické intenzity, v blízkosti nabité koule si natočíme souřadnicový systém tak, aby polohový vektor byl ve tvaru ~Ý = (0, 0, z) , to lze provést díky sférické symetrii zadání. Uvažujeme-li objemové rozložení náboje, lze element náboje napsat ve tvaru dQ = g (~ř*') dV. Stejně jako v případě výpočtu elektrické intenzity zavedeme sférické souřadnice u čárkovaných souřadnic dV = r'2 sin(9') dr'd9'd(/)'. Uvažujeme-li homogenně nabitou kouli, je rozložení náboje g = go pro r' < R a g = 0 pro r' > R. Interval integrálu rozdělíme na dvě části, z nichž integrál obsahující interval r' G (R; oo) se rovná nule (to plyne z nulovosti hustoty v daném intervalu). Určitý integrál z nuly je opět nula. Potenciál vyjádříme vztahem 2tt tt R 1 g0r'2 sin (9') dr'd9'd R dostaneme: 27rgQ 47t£0 V > 0 R \r' — z\ = z — r'. Vrátíme-li se zpět k výpočtům, - (z - r')] dr' + K = R 2-KgQ f 2r 47t£0 J2 -dr1 + K 2Tvg0 2ť /3 47t£0 3z + K 2irg0 2R3 Att£q 3z + K Q kde jsme použili pro výpočet náboje homogenní koule vztah Q = goV 47t£0 z 4 + K, go-TvR3. Komentář: Natočíme-li výsledek opět do obecného úhlu 9 a , obdržíme jej ve tvaru ip =-^ _k + K, jenž je na studovaném intervalu identický s potenciálem bodového náboje 47t£o | r | nacházejícím se v počátku souřadnicové soustavy. 32 Př. 3.4. Zadání: Určete potenciál v blízkosti nabité nekonečně tenké kružnice o poloměru R, jejíž střed leží v počátku souřadnicového systému. Potenciál vyšetřujte na ose z, která je osou symetrie kružnice. Potenciál v nekonečnu uvažujte jako nulový. Délková hustota kružnice je tq. Řešení: Díky symetrii problému zavedeme válcové souřadnice. Kružnice se nachází na souřadnicích ~ý' = (Rcoscf)', R sin cf)', 0). Připomeňme, že pro studovaný bod na ose z platí ~ý = (0, 0, z). Pro element náboje platí dQ = r^dl = t^Rdcj). Element délky dl kružnice běží od 0 do obvodu kružnice 2-kR. Úhlový element d(f> běží od 0 do 2ir, proto přepočet dl = Rd(f>. Konstanta K bude, stejně jako v předešlých případech, nulová. Potenciál spočteme 2tt 2tt 1 f t0Rd(j) 1 f t0Rd(j) AtTSoJ (x/2+y/2 + z2)l/2 47T£0J (R2 + Z2)1/2 2ttRt0 Q 47re0(R2 + z2)1/2 A-k£Q{R2+z2)1/2' Q Pro z » R přejde výraz opět do Coulombovského potenciálu ip A-KEqZ 3.3 Ekvipotenciální plochy Uvažujme plochy, na kterých je potenciál konstantní (ií-d~É Q (18) Skalární součin vektoru elektrické intenzity a vektoru plošného elementu můžeme napsat ve tvaru E ■ d S = EdS cos = EdS. Uvažujeme-li navíc, že náboj je rozložen tak, že velikost elektrické intenzity je všude na ploše stejná, lze velikost intenzity vytknout před integrál: § EdS = E § dS = ES. Takto zvolené plochy a zdroje reprezentuje například kulová slupka a sféricky rozložený náboj s totožnou polohou středu. Vektory elektrické intenzity míří ven (či dovnitř) ze sférického zdroje kolmo na myšlenou kulovou plochu. Navíc díky kulové symetrii jsou vektory elektrické intenzity na povrchu myšlené plochy všude stejně velké (viz. obrázek 17). 36 Obrázek 17: Gaussova plocha. Výsledná rovnice je přímý důsledek Gaussova zákona a lze ji jednoduše zapsat ve tvaru E = & (19) Důležitá poznámka: Gaussův zákon lze použít pro výpočet velikosti elektrické intenzity v blízkosti symetricky rozložených zdrojů. Mezi takové patří zdroje, jež nabývají sférické, válcové nebo rovinné symetrie či jejich kombinací. Pro složitější příklady rozložení zdroje se používá metoda výpočtu uvedená v předchozím textu. Př. 4.1. Zadání: Uvažujte nabitou plnou kouli o poloměru R s konstantní hustotou náboje g. Jaká je elektrická intenzita ve vzdálenosti r od středu koule? Intenzitu vyšetřete jak vně koule r > R, tak uvnitř koule R > r. Řešení: Myšlená Gaussova plocha musí nabývat stejné symetrie jako rozložení náboje. Je-li rozložení zdroje sférické, nutně musí být Gaussova plocha také sférická. Pro plochu sférické slupky o poloměru r platí S = 47rr2. Vně koule se výsledná velikost elektrické intenzity (dle výrazu (19)) rovná E = —^—. Tento výsledek je ve shodě s výsledkem v příkladu 2.5. 47rrzeo Pro R > r Gaussova plocha leží uvnitř koule. Náboj ležící uvnitř této myšlené plochy však 4 4 již nedosahuje q = -ttR3q, ale pouze Qcauss = t^t^Q- Výsledná velikost elektrické intenzity se pak podle výrazu (19) rovná 4 3 E _ Qcauss _ _ QT _ Qr Seq 47rr2£o 3eo 47ri?3£o Komentář: Z výsledku je zřejmé, že vyšetřujeme-li elektrickou intenzitu uvnitř koule, tak intenzita roste úměrně s radiální vzdáleností. Dosáhneme-li poloměru R, tak pro r > R i R > r je intenzita totožná. Vně koule intenzita klesá s druhou mocninou vzdálenosti. 37 Př. 4.2. Zadání: Uvažujte nabitou kouli o hustotě náboje g = Ar uvnitř poloměru R a g = 0 vně poloměru R. Vypočtěte náboj (nacházející se pod poloměrem r), intenzitu a potenciál v závislosti na radiální vzdálenosti r. Řešení: Náboj nacházející se pod poloměrem r < R je r Q (r R) = irAR4. Intenzita uvnitř koule je díky Gaussovu zákonu rovna E{r R) Seo 47rr2£o 4r2£o Intenzita vně koule, jak lze očekávat, klesá s druhou mocninou vzdálenosti. Lze ukázat prostým dosazením r = R, že intenzita je na přechodu (vnějšek, vnitřek koule) spojitá funkce. Potenciál získáme integrací intenzity /Ar2 Ar^ Vr = -12^ + Cl' Položíme-li potenciál v nekonečnu rovnu nule, pak C2 = 0. Aby byl potenciál na přechodu r = R spojitý, musí platit íp(r < R) = tp(r > R), tedy AR3 „ AR3 „ AR3 12£0 4£0 3£0 Konečný tvar potenciálu je Ar3 AR3 mír < R) =---1--, ^ ' 12£0 3£0 . AR4 R) = -:-• 4r£0 Př. 4.3. Zadání: Uvažujte nabitý nekonečně dlouhý plný válec o poloměru R (viz obrázek 18) s konstantní hustotou náboje g. Jaká je elektrická intenzita ve vzdálenosti r od osy válce? Uvažujme obě možnosti, atorfí. Řešení: Myšlená Gaussova plocha má stejnou symetrii jako rozložení náboje, má tvar povrchu nekonečně dlouhého válce. Vliv podstav můžeme zanedbat, protože jsou nekonečně 38 daleko. Uvažujme nejprve r > R. Velikost náboje uvnitř nekonečně dlouhého válce nabývá Q = qItvR2, kde l značí délku nekonečně dlouhého válce. Velikost Gaussovy válcové plochy vypočteme jako S = 2-ktI. Intenzita mimo válec vyjde E = ——-— = ——. V případě r < R zirrleo 2reo lze vyjádřit náboj uvnitř Gaussovy plochy ve tvaru Q = glirr2. Elektrická intenzita uvnitř i • -n qr válce íe E = —. J 2e0 Obrázek 18: Gaussova plocha okolo nabitého válce. Př. 4.4. Zadání: Uvažujme nekonečně dlouhý nabitý drát o délkové hustotě r. Vypočtěte velikost elektrické intenzity ve vzdálenosti r od tohoto drátu. Řešení: Myšlená Gaussova plocha má v tomto případě opět tvar válcové plochy S = 2irrl. Q rl t Elektrická intenzita vychází E = —- =-- =-. £o<-> e^l-Krl £q2-kv Př. 4.5. Zadání: Uvažujme nekonečně velkou a nekonečně tenkou nabitou desku s plošnou hustotu náboje o. Vypočtěte velikost elektrické intenzity v blízkosti desky. Řešení: Gaussova plocha obalující nekonečně velký plošně rozložený náboj se skládá ze dvou nekonečně velkých ploch. Náboj plochy se rovná Q = aba, kde a a b značí šířku a délku plochy. Gaussovu plochu vypočteme jako S = 2ab. Elektrická intenzita vychází E = -—. 2e0 39 Př. 4.6. Zadání: Uvažujme dvě velké a tenké nabité rovnoběžné desky s opačným nábojem o plošné hustotě náboje desek ±a. Určete elektrickou intenzitu mezi deskami a mimo ně. Řešení: Uvažujme bod P nacházející se mezi deskami. Nechť se v blízkosti bodu P nachází nejprve pouze jedna deska. Intenzita od této desky se v bodě P, jak jsme již uvedli, rovná E = -—. Pokud je deska kladně nabitá, horizontálně orientovaná a bod P leží nad ní, intenzita míří směrem nahoru. Pokud je deska záporně nabitá, horizontálně orientovaná a bod P leží pod ní, pak vektor intenzity směřuje opět směrem nahoru. Uvažujeme-li dvě desky, jednu nad bodem P (ta záporná) a druhou pod bodem P (ta kladná), pak díky principu superpozice lze zjistit, že velikost elektrické intenzity v tomto bodě vychází E = —. Intenzita mimo desky £0 vyjde kvůli principu superpozice nulová. Př. 4.7. Zadání: Jaké je napětí mezi dvěma nekonečně dlouhými válcovými plechy o poloměrech Ri a i?2 (-Ri < r2) a plošných nábojích o\ a 0-2? Osy válců leží na stejné přímce. Určete kapacitu takto vytvořeného kondenzátoru. Řešení: Dle Gaussova zákona E = = °"^7r^ = ^3: Napětí indukované válcovitě D£o 27rrí£o r^0 rozloženým nábojem lze spočítat jako U = j Edr. Informace o náboji na vnějším plechu Ri zjevně není pro zjištění napětí důležitá. Vnější válec uvnitř sebe napětí nezpůsobuje, protože napětí je dáno integrálem z intenzity, která v tomto prostoru závisí na hustotě náboje na vnitřní elektrodě a na jejím poloměru. Napětí vyjde U = ——- J -dr = ——- ln —-. £0 i?1 r £0 Ri Kapacitu kondenzátoru definujeme jako C = Tedy C =-^ 0 = — U „ , n2 R2 oiRiiií— m — til R>i Komentář: Tento výsledek není potřeba nutně považovat jako nefyzikální z důvodu, že l —> 00, a tedy C —> 00. Pro l » AR je možné uvažovat s výsledkem C = —jako velmi dobrou aproximací popisující reálný případ konečně dlouhého válcového kondenzátoru o délce l. Př. 4.8. Zadání: Uvažujte tlustou nekonečně dlouhou válcovou slupku o konstantní hustotě náboje g, vnitřním a vnějším poloměr R\ a R2. Vypočtěte velikost elektrické intenzity a potenciál v závislosti na vzdálenosti od osy symetrie r. Tyto závislosti zakreslete do grafu. Řešení: Z Gaussova zákona je zřejmé, že uvnitř slupky je intenzita nulová E,^^ = 0. V oblasti mezi vnitřním a vnějším poloměrem můžeme intenzitu vyjádřit jako Q 7T (r2 - R\) Ig r2 - Rj ^R1 R. Dále uvažujte, že plošná hustota náboje o na deskách je konstantní (požadavek konstantního o je v reálném případě obtížně splnitelný). Příklady k procvičení 5.2. Uvažujte homogenně nabitý (plošná hustota náboje je a) tenký kruh o poloměru R. Jaká je kapacita kruhu oproti nekonečnu? Příklady k procvičení 5.3. Vypočtete zapojení kondenzátoru z prvního obrázku 26, kde každý kondenzátor má kapacitu C. 50 Obrázek 26: Zapojení kondenzátoru. Příklady k procvičení 5.4. Uvažujte zapojení z druhého obrázku 26. Jaké má zapojení celkovou kapacitu, je-li kapacita všech kondenzátoru rovna Cl Příklady k procvičení 5.5. Uvažujte kondenzátor tvořený dvěma polokruhovými disky o poloměru R. Disky se mohu vůči sobě otáčet kolem osy (osy kruhů, které doplňují polokruhy) - viz obrázek 27. Na desky kondenzátoru je přivedeno konstantní napětí U. Určete velikost momentu síly, pokud disky vychýlíte o úhel a. Uvažujte R^> d, kde d je vzdálenost disků. Obrázek 27: Polokruhový kondenzátor. Doporučená literatura Elektřina a magnetismus (Sedlák, Štoll), 2002: str. 98-109 Feynmanovy přednášky z fyziky 2, 2001: str. 114-116, 142-145 Elektromagnetismus (Andrej Tirpák), 1999: str. 122-134, 137-138 Fyzika (Halliday, Resnick, Walker), 2000: kap. 26 (26.1 - 26.5) 51 6 Dielektrika 6.1 Dielektrika v homogenním poli Z pohledu elektrických vlastností je možné látky rozdělit do dvou skupin: vodiče, polovodiče (kterými se zabývat nebudeme) a dielektrika. Vodiče obsahují volné náboje, ty se mohou v objemu látky volně pohybovat. Vložíme-li vodič do vnějšího elektrického pole Éq, náboje se přemístí tak, aby elektrické pole uvnitř látky zcela odstranily. Látky obsahující vázané náboje, které se nemohou volně pohybovat, se nazývají dielektrika. V principu lze rozdělit dielektrika na polární a nepolární. Polární dielektrika obsahují nenulové elektrické dipóly, které existují i bez působení vnějšího pole. Příkladem polárních dielektrik je voda4. V polárním dielektriku bez vnějšího pole jsou směry dipólů náhodné. Jakmile dielektrikum vložíme do vnějšího elektrického pole ~Ěq, například mezi elektrody, kladné části dipólů se natočí ve směru k záporným elektrodám a záporné části směrem ke kladným. Proto se elektrické pole uvnitř dielektrika zeslabí. V nepolárních dielektricích dipóly vznikají až přítomností vnějšího elektrického pole. Uvažujme krystalovou mřížku pro jednoduchost jednoatomové látky. Jednotlivé neutrální atomy se skládají ze záporného obalu (v obrázku 28 modrá koule) a kladného jádra (v obrázku 28 červený bod). V případě přítomnosti vnějšího elektrického pole ~Ěq se jádro vzhledem k obalu vychýlí. V látce vzniknou elektrické dipóly, které stíní vnější elektrické pole (viz krychle a. v obrázcích 28). Polární dielektrika mívají zpravidla větší permitivitu (více stíní vnější pole) jak dielektrika nepolární. Na povrchu, kde elektrické siločáry vystupují nebo vstupují do dielektrika, jsou náboje mírně vysunuté (v krychli b. je více záporných nábojů a v krychli c. je více kladných nábojů). Na povrchu dielektrika vzniká plošná hustota náboje, jež přispívá ke stínění vnějšího pole. oooo 0000 oooe OOQÖ OOQQ E=0 E^O b. E^O Obrázek 28: Představa atomů nepolárního dielektrika v elektrickém poli. Jestliže na jedné straně dielektrika se indukuje kladný náboj a na druhé straně náboj záporný, má dielektrikum jako celek v elektrickém poli dipólový charakter, který lze experimentálně ověřit. Výsledný dipólový moment (viz příklad 3.2) daného objemu dielektrika je dán objemovým integrálem vektoru elektrické polarizace. /íW. (23) 4Voda je tříatomová molekula složená ze dvou atomů vodíku a jednoho atomu kyslíku. Atom kyslíku na sebe váže elektrony silněji než atomy vodíku. Proto jsou v molekule vody atomy vodíku nabité kladně a atomy kyslíku záporně. Díky nesymetrii molekuly vody (spojnice obou vodíků s atomem kyslíku spolu svírají úhel 104°) vzniká elektrický dipól. 52 Tento vztah implicitně definuje vektor polarizace, který lze chápat jako objemovou hustotu dipólového momentu. 6.2 Vektor elektrické indukce Uvažujme elektrické pole, do kterého vložíme dielektrikum. Elektrické pole dielektrikum polarizuje. Tuto polarizaci popisuje vektor Uvažujme uzavřenou plochu a na ní vektorové pole tvořené vektory polarizace. Integrál § P ■ d S přes uzavřenou plochu bude roven úbytku náboje uvnitř plochy způsobený polarizací dielektrika. Pro jednoduchost si představme bodový náboj, například záporný, obklopený dielektrikem. Záporný náboj přitáhne k sobě kladné náboje a odpudí záporné. Když kolem náboje vytvoříme uzavřenou plochu (viz obrázek 29), skrze tuto plochu budou vytlačeny záporné náboje a vtáhnuty ty kladné. Míra vtáhnutí či vytlačení pak bude dána vektorem polarizace na této ploše. Celkový přebytek náboje, který se díky dielektrické povaze látky uvnitř plo- HR •i Obrázek 29: Nehomogenní polarizace dielektrika. chy objeví, bude dán součtem všech částí plochy vynásobené vektorem polarizace. Použitím infinitezimálního počtu obdržíme AQpoi — - s V tomto výrazu jsme použili označení = n dS, kde n je vektor kolmý na plochu S. Znaménko mínus zde vystupuje proto, že dovnitř plochy S jsou vtahovány náboje opačného znaménka, než je znaménko náboje, které primární pole vytváří. Uvnitř plochy pak vzniká nenulová hustota náboje, která souvisí s nábojem dle vztahu A.Qpo\ = j gpo\dV. Použitím v Gaussovy věty z kapitoly 4.1 obdržíme J Což nám umožňuje spojit oba výrazy pro náboj do rovnice J QpoidV = - J ^ ■ fdV gpol = -^-f. (24) v v 53 Oproti Gaussovu zákonu (10) je v rovnici (24) záporné znaménko. To lze interpretovat tím způsobem, že kladný náboj se posouvá ve směru vektoru polarizace (v obrázku 29 směrem k zápornému náboji). Polarizace dielektrika jakoby stíní původní náboj (popsaný g) generující elektrické pole. Výsledné elektrické pole je pak slabší, než kdybychom dielektrikum neuvažovali. Bude třeba upravit Gaussův zákon, ve výše uvedeném tvaru (10), který přestává v dielektriku platit. Divergence elektrické intenzity nyní bude dána jak nábojem generujícím pole, tak i nábojem vzniklým polarizací dielektrika Definujeme-li novou veličinu, vektor elektrické indukce, jako ~f) = ^dielSo + ^, (25) dostaneme upravený Gaussův zákon (10) ve tvaru V • D = g. (26) V případě obecné dielektrické látky přestává být Gaussův zákon vzhledem k elektrické intenzitě lineární diferenciální rovnicí. Tou je ve speciálním případě lineární aproximace, pokud je vektor polarizace úměrný elektrické intenzitě. Lineární aproximace se často používá v případě slabých polí. Rozdíl mezi elektrickou intenzitou a indukcí lze chápat následovně: Elektrická intenzita je veličina, kterou by mělo být možno měřit fyzikálním přístrojem. Naopak elektrická indukce nám popisuje, jaké by bylo elektrické pole, kdyby se generující náboje nenacházely v prostředí dielektrika. 6.3 Lineární aproximace Uvažujeme-li nepolární dielektrikum ve slabém elektrickém polije vychýlení jádra vůči obalu přímo úměrné elektrické intenzitě uvnitř látky l^diei ~ kde o = ~Ý+ — ~Ý- značí vychýlení jádra vůči obalu za přítomnosti elektrického pole. Uvažujme látku o objemu V, jež obsahuje ./V neutrálních atomů. Koncentraci atomů vypočteme z podílu n = N/V. Koncentrace celkového počtu kladných (či záporných) nábojů v látce vyjde nq = nq, kde q označuje kladné anebo záporné náboje v atomu účastnící se polarizace. Vektor polarizace v dielektriku vypočteme ~f = nq~í. (27) Úměrnost mezi elektrickou intenzitou a vektorem polarizace lze pro slabá pole uvažovat i v případě polárních dielektrik. Zavedeme-li konstantu úměrnostiveo> lze vztah mezi vektorem elektrické intenzity a vektorem polarizace zapsat jako ~P = x^o^dieb5 kde x Je bezrozměrná konstanta (eo přidáme z rozměrových důvodů) nazývající se susceptibilita. Závislost mezi elektrickou indukcí a intenzitou lze zapsat ve tvaru ^ = ^diel£0 + ^ = ^diel^O (1 + X) = ^dielEO^r- (28) 5Vztah mezi vektorem polarizace a elektrickou intenzitou nemusí být nutně lineární. Pokud směr P neodpovídá směru i^diei, pak \ je tenzor. 54 Je potřeba zdůraznit, že v případě silnějších polí přestává platit úměrnost mezi ~É a ~f. Ve výše uvedené rovnici jsme zavedli bezrozměrnou konstantu, relativní permitivitu er = 1+x-Násobek relativní permitivity a permitivity vakua dává takzvanou permitivitu eoer = s. Nahradíme-li dielektrikum vakuem, musí být ^diei^o = tedy er = 1, e = sq- Relativní permitivita za běžných podmínek nabývá hodnot větších jak jedna. Intenzita uvnitř dielektrika je pak menší jak intenzita vnějšího elektrického pole. diel = —• (29) Uvažujme dielektrikum v elektrickém poli. Na povrchu dielektrika se generuje elektrický náboj Q = J~Č -d~É = JŤ ■ TtdS = J P cos adS 6, kde S je plocha uvažovaného povrchu dielektrika, a je úhel, jenž svírá vektor ~P s plochou dis = itdS. Uvažujeme-li plošnou hustotu náboje apo\, platí Q = f a (dielektrikum nevyplňuje mezeru mezi deskami úplně). Vyjádřete kapacitu kondenzátoru s dielektrikem C jako funkci kapacity bez dielektrika Co- Řešení: Jak jsme si již několikrát uvedli, kapacita deskového kondenzátoru je Co = Seo/d. Z výše uvedeného plyne, že kapacita kondenzátoru (s dielektrikem) se nezmění, ať umístíme dielektrikum mezi desky kamkoli. Elektrická intenzita v oblasti bez dielektrika bude rovna Ebez = o-/sq, intenzita v oblasti s dielektrikem bude -Ediel = (eo^r) • Napětí pak bude dráhovým integrálem těchto intenzit. Vzhledem k tomu, že intenzita zůstává na jednotlivých oblastech konstantní, lze napětí zapsat jako a a U = — (d — a) H--a, kde d — a označuje šířku oblasti bez dielektrika a a šířku dielektrika. Kapacitu vypočítáme podle definice (21) jako Seq C()d C (d — a) H--a (d — a) H--a Př. 6.6. Zadání: Deskový kondenzátor jsme připojili ke konstantnímu napětí U. Do kondenzátoru potom vsuneme dielektrickou destičku tak, aby zcela vyplňovala mezeru mezi deskami kondenzátoru. Jakou práci vykoná zdroj napětí? Řešení: Napětí a kapacity jsou Tj _ Qbez _ Qdiel n _ £qS „ _ £q£rS n _ n U — — ) ^bez — , ) ^diel — , ^ Vdiel — Vbez^r- ^bez ^diel « « Jak jsme si uvedli dříve, práci vypočítáme jako integrál Odiel W= J UdQ = U(Qdiá-Qhez) = UQhez(er-l). Qbez 58 Př. 6.7. Zadání: Uvažujme kovovou kouli o poloměru R nabitou nábojem Q a potaženou dielektrikem o tloušťce d. Určete povrchovou hustotu náboje na vnitřním a vnějším povrchu dielektrika a hustotu náboje uvnitř dielektrika, jehož relativní permitivita je konstanta sr. Řešení: Vztah mezi vektorem polarizace, elektrickou intenzitou a indukcí vypadá při využití lineární aproximace následovně: -> £o(£r-l)-pt P = ^OX^diel = £0 {£-r ~ 1) -Ediel = -D- eqer Vidíme, že vektor polarizace se rovná vektoru elektrické indukce vynásobenému konstantou. Pokud víme, že v dielektriku platí = 0 (náboj generující pole je pouze v nabité kouli), pak musí platit \^ • = 0, tedy dle rovnice (24) gpo\ = 0. Plošná hustota povrchového náboje dielektrika se rovná velikosti vektoru polarizace, takže 0 ol = p=(£r-l) Q ^ po1 er aur2 Pro vnitřní povrch platí r = R a pro vnější r = R + d. Celkový náboj na plochách vyjde Qpol = Q (ev - i) Av- Př. 6.8. Zadání: Uvažujte válcový kondenzátor sestávající ze dvou souosých kovových válcových ploch o poloměrech R\ a R2 a dielektrika, jenž vyplňuje mezeru mezi nimi. Určete kapacitu tohoto kondenzátoru. Okrajové vlastnosti zanedbejte. Řešení: Je-li náboj na vnitřním válci roven Q, pak z Gaussova zákona vypočítáme velikost elektrické intenzity v dielektriku jako -Ediel =-t- (v*2 příklad 4.3), kde l označuje délku Q (R2 válce. Napětí je určitý integrál z intenzity (viz příklad 4.7), platí U = ——-ln I — 2-Kl£Q£r \R\ Konečně kapacita tohoto kondenzátoru se rovná 27rfeo£r c 6.4 Elektrické pole na rozhraní dvou dielektrik V předchozích podkapitolách jsme si vysvětlili, jak se chová elektrické pole v dielektriku. V této podkapitole popíšeme chování elektrického pole na rozhraní dvou dielektrik. Podobně jako v optice, kdy na rozhraní dvou různých optických prostředí dochází k lomu světla, v tomto případě dochází k lomu siločar elektrické intenzity. Nejdříve odvodíme rovnici pro rotaci elektrostatického pole. V kapitole 1.4 jsme hovořili o konzervativních a nekonzervativních polích. Splňuje-li elektrické pole rovnici ^■ďÝ = 0, (30) 59 nazýva se konzervativní. Elektrostatické pole je pole konzervativní. Pakliže by nebylo, mohli bychom v takovém poli pohybem nabité částice po uzavřené křivce vykonávat práci. Tento výraz lze upravit podobným způsobem, jako jsme upravili Gaussův zákon. Dráhový integrál přes uzavřenou křivku převedeme na plošný integrál přes plochu, kterou křivka obepíná kde označuje infinitezimál plochy vynásobený normálou. Tato identita se nazývá Stoke-sova věta. Aby se výše uvedený vztah rovnal nule pro jakoukoli plochu, přes kterou je integrován, musí být roven nule výraz uvnitř závorky. Zapsáním tohoto vztahu získáme neúplnou verzi Faradayova zákona pro magnetické pole nezávislé na čase 0. (31) Kompletní verzi Faradayova zákona si uvedeme v následujících kapitolách. Vztah (31) říká, že elektrostatické pole je nevírové. Tím jsme však poněkud odběhli od hlavního tématu. Vraťme se opět k rovnici (30). Uvažujme malou smyčku ve tvaru obdélníku o délce stran L a h. Tato smyčka leží na rozhraní dvou dielektrik tak, aby rozhraní procházelo jejím středem (viz první obrázek 33), a současně aby strana L byla rovnoběžná s rozhraním a strana h kolmá na rozhraní. Obrázek 33: Obdélníková smyčka a kvádrová plocha na rozhraní dielektrik. Víme, že integrál z elektrické intenzity přes tuto smyčku se rovná nule. Tento integrál můžeme vyčíslit. Obdélník rozložíme na 6 částí (v obrázku označených šipkami), celkový integrál pak bude součet přes tyto části, které jsou určeny skalárním součinem délky orientovaného úseku s elektrickou intenzitou. Pro dostatečně malou smyčku (kde v každém ze dvou dielektrik můžeme uvažovat pole přibližně homogenní) platí 0 Ei — + Ei~Í Ei- h E2- h E2L + E2 - h Ei E2 L. V této rovnici lze stejné členy s opačným znaménkem jednoduše odečíst a výraz se značně zjednoduší. Pro skalární součin platí = ELcosa, kde a označuje úhel, jenž svírá vektor intenzity s rozhraním dielektrik (neboli s vektorem L). V optice se dopadající úhly popisují od kolmice. V následujícím textu budeme používat stejné značení. Proto musíme v zápisu přejít od a k p, a to podle vztahu cos a = sin p, kde p 60 je úhel, který svírá kolmice s elektrickou intenzitou. Výše uvedený výraz pro skalární součin se změní na E± sin ifi = E2 sin tf2. Vraťme se nyní k upravenému Gaussovu zákonu (26). Ten popisuje vztah mezi elektrickou indukcí a zdrojovou hustotou náboje. Jak jsme si vysvětlovali na začátku této kapitoly, na povrchu dielektrik vzniká v elektrickém poli nenulová povrchová hustota náboje (zeslabující vnější pole uvnitř dielektrika). Když k sobě přiložíme dva povrchy dielektrik s různou per-mitivitou, na rozhraní zůstane nenulová hustota náboje, jež ovlivňuje elektrickou intenzitu. Povrchová hustota náboje na dielektriku však nepředstavuje původní zdroj - bez vnějšího pole by nevznikla. Proto jsme zavedli elektrickou indukci. Ta závisí pouze na původním zdroji, jak popisuje rovnice (26). Na rozhraní dvou neutrálních dielektrik žádný původní zdroj elektrického pole neuvažujme. Rovnice (26) se zjednoduší do tvaru = 0. Opět připomeňme, že pro elektrickou intenzitu by tento vztah na rozhraní neplatil, jelikož na rozhraní je hustota náboje nenulová. Uvažujme objemový integrál (přes konečný objem) z této rovnice. Pomocí matematické Gaussovy věty upravíme tento integrál do tvaru 0 = J ■ EÍdV = j> ~Ďd~Ě, (32) v s kde S je orientovaná plocha obalující objem V. Uvažujme malý kvádr, jehož středem prochází rozhraní dvou dielektrik (viz druhý obrázek 33). (Malý ho "chceme"proto, aby indukce zůstala v obou polovinách přibližně konstantní a rozhraní dielektrik přibližně ploché). Stěna ab je orientována tak, aby byla rovnoběžná s rozhraním. Použijeme-li kvádr jako integrální plochu v rovnici (32), můžeme integrál jednoduše rozdělit na 10 částí ^ + ^ + ^-^-^-^ + ^ + ^-^-^ = 0. Stejně jako v předešlém případě je většina členů na protějších stěnách kvádru identická, ale s opačným znaménkem. Po jejich odečtení zůstane pouze Orientaci plochy Sob jsme popsali pomocí normálového vektoru (také kolmého k rozhraní). Užitím vztahu pro skalární součin dvou vektorů, které svírají vektor R) a uvnitř (r < R) trubky v závislosti na vzdálenosti r od osy trubky. Nakreslete graf funkce E v intervalu (0;2R). Určete směr vektoru ~Ě, víte-li, že trubka má kladný náboj. Kolikrát se zvětší/zmenší E v případě 2R oproti li?? 2. Určete kapacitu kondenzátoru, který se skládá ze dvou nabitých sférických ploch o poloměru Ri a i?2 se stejnou polohou středu a o plošné hustotě náboje a±, —a2. Velikost celkového náboje každé plochy je stejná, má však opačné znaménko. 3. Vypočtěte obecně celkovou kapacitu kondenzátoru zapojených podle obrázku 1. Určete, čemu bude rovna kapacita zapojení, pokud budou mít všechny kondenzátory stejnou kapacitu C. 4. Uvnitř kondenzátoru se nachází dva různé druhy dielektrik s permitivitou er\ a er2-Určete kapacitu kondenzátoru, znáte-li vzdálenost desek d, plochu desek S, permitivitu vakua eo- Dielektrikum je vloženo do kondenzátoru podle obrázku 2. Oba kusy dielektrik jsou stejně velké. 65 7 Ohmův zákon a Kirchhoffovy zákony 7.1 Elektrický proud Pro vyjádření Ohmová zákona si nejprve správně definujme potřebné elektrické veličiny. Ve výše uvedeném textu jsme si již uvedli, že napětí U je rozdíl potenciálů U = —A(p. Dále jsme zavedli pojem „náboj", veličinu, která je přirozenou vlastností těles a na které závisí elektrostatická přitažlivá síla. Přemisťování elektrického náboje se nazývá elektrický proud. Uvažujme plochu, kterou za daný časový interval Aí projde množství náboje AQ. Proud je úměrný prošlému náboji a nepřímo úměrný času za který náboj plochou projde. Pro průměrný elektrický proud platí Í=AQ At ' Limitním přechodem Aí —> 0 získáme okamžitý proud Zde lze uvést analogii s vodou v řece. Průtok vody v řece nazveme vodní proud. Cím je kratší časový interval, za který nějaké množství vody proteče, tím je vodní proud větší. Podobně, čím je vody při protékání více, tím je vodní proud silnější. Ačkoliv elektrický proud definujeme jako velikost prošlého náboje za čas, základní jednotkou SI není coulomb [C = As], ale ampér [A]. Proud je definován v SI jako základní jednotka pomocí silových účinků. Jeden ampér teče ve dvou rovnoběžných, nekonečně dlouhých vodičích o kruhovém průřezu ve vzdálenosti jednoho metru právě tehdy, když na metr délky vodiče působí síla 2 • 1(T7N. Proud nemusí být vždy zcela vhodná veličina popisující uspořádaný pohyb nábojů. Analogie s řekou nám ukazuje, že voda v blízkosti břehu se může pohybovat^pomaleji než uprostřed. Z tohoto důvodu si definujme hustotu elektrického proudu j . Bude-li proudová hustota ve všech bodech vodiče (nosiče proudu - ekvivalent koryta řeky) stejná, pak proud bude i = 7-~š, kde ~f je plocha řezu (ne nutně kolmého) vodičem. Pohybují-li se náboje kolmo na plochu, vztah se zjednoduší na / = jS. Proudová hustota nemusí být nutně konstantní po celé ploše. Pak se proud z proudové hustoty získá pomocí plošného integrálu, platí J7-dŠ. (35) Uvažujme vodič o průřezu S, kterým protéká proud /. Proud v jednotlivých částech vodiče popisuje proudová hustota j (viz obrázek 36). Uvažujme, že plochou S proběhne za nějaký krátký časový interval dí náboj dQ, tedy platí rovnice (34). Když se na vodič podíváme podrobněji, zjistíme, že ne nutně celou plochou musí procházet stejný náboj. Pomocí definice objemové hustoty náboje můžeme uvažovat, že infinitezimální náboj ddQ za infinitezimálně malý čas dí prošel plochou dS a vzdálil se od ní o dl. Ve výše uvedeném výrazu jsme uvedli před nábojem Q dvakrát dd. Nepřeklepli jsme se, myslíme tím, že náboj prošel jak malou 66 Obrázek 36: Proud / protékající plochou S. plochou dS*, tak za malý čas dí^V definici hustoty náboje nahradíme dV = d l ■ d S. Pak lze jednoduše zapsat ddQ = gd l ■ d~É, kde l je vektor, v jehož směru a délce se posunuly náboje za krátký čas dí. Jednoho d se jednoduše zbavíme podělením dí, tedy dl = —= g—— • d~É = g~Ý • d~É. dí ^ dí " K tomuto výsledku můžeme dojít za předpokladu, že náboj ve vodiči se nikde neakumuluje ani neubývá, je v čase (nikoli v prostoru) konstantní. Ze vztahu (35) získáme dl = j ■ dS. Vektor hustoty proudu a vektor rychlosti náboje míří ve stejném směru, lze napsat J olt. (36) 7.2 Rovnice kontinuity Uvažujme uzavřenou plochu (proto zvolíme integrál přes uzavřenou plochu na rozdíl od předešlých výrazů), uvnitř které se nachází náboje, jež mohou volně unikat mimo tuto plochu. Výše uvedenou situaci popisují rovnice / = -?f> I = f7-dt, Q = JgdV. Do první rovnice jsme vložili znaménko mínus z důvodu, že uvažujeme kladný proud, jenž snižuje náboj uzavřený v ploše S. Dále jsme změnili výraz z totální časové derivace na parciální, která je vhodnější pro operace, jež chceme provést. Kombinací výše uvedených vztahů obdržíme ř.díU-l/tfv. Uvažujeme-li, že objem V pod uzavřenou plochou S je na čase nezávislý, lze derivaci na pravé straně rovnice vložit do integrálu. Jak jsme již dříve ukázali, lze plošný integrál nahradit objemovým § j ■ d~Š = f^-j dV. Sejmutím integrálu obdržíme rovnici f + „7) 67 Tato rovnice se jmenuje rovnice kontinuity a má velký význam nejen v elektromagnetismu, ale i v jiných fyzikálních disciplínách, například v teorii tekutin, v kvantové mechanice a v dalších. Rovnici lze překládat tak, že v čase snižující se (proto záporné znaménko, pokud člen s hustotou převedeme na opačnou stranu) hustotu náboje v daném objemu doprovází divergující hustota proudu, jenž náboj odnáší. Slovo divergující označuje jak operátor divergence, tak to, že vektory j míří směrem ven od daného objemu (viz úvodní kapitoly). Tento výsledek a výsledek předešlý lze dosadit do jednoho vztahu § + ^ • (^) = O- (38) 7.3 Ohmův zákon Ohmův zákon patří k nejznámějším zákonům elektromagnetismu. Vyjadřuje úměrnost mezi napětím U mezi konci vodiče a elektrickým proudem /. Čím je napětí mezi konci vodiče vyšší, tím se zvýší i proud protékající vodičem. Konstanta úměrnosti se nazývá elektrický odpor R. Platí, že čím je odpor větší, tím se proud protékající vodičem zmenší. Ohmův zákon lze vyjádřit ve tvaru nebo v zapamatovatelnějším tvaru U = RI. (39) Převrácená hodnota odporu se nazývá elektrická vodivost Celkovou představu si čtenář může udělat na základě analogie mezi proudem ve vodiči a proudem v potoce. Pokud je rozdíl mezi výškou hladiny vody na kopci a pod kopcem (analogie napětí, neboli rozdíl dvou potenciálů) vyšší, bude i voda téct rychleji a proud se zvýší. Když se ale v potoce nachází kameny (analogie odporu), voda je bude muset obtékat a nedostane se dolů tak rychle, proud se sníží. Zjevně elektrický odpor je veličina, jež se týká celého vodiče. Pomocí výše uvedené hustoty proudu lze odvodit i takzvaný diferenciální Ohmův zákon t = p~t, (40) kde ~É se nazývá vektor elektrické intenzity, p představuje rezistivitu a j značí vektor proudové hustoty. Z definice proudové hustoty a napětí lze rezistivitu z homogenního vodiče za použití U = LE, I = j S získat jako p = LR, (41) kde S značí průřez vodiče a L je jeho délka. Při konstantní rezistivitě je elektrický odpor úměrný délce vodiče a nepřímo úměrný jeho průřezu. 68 7.4 Kirchhoffovy zákony V jednoduchém vodiči uvažujeme, že náboj se nikde nekumuluje ani neubývá. Pak ze zákona zachování náboje vyplývá, že proud vtékající do jisté oblasti vodiče je roven proudu z této oblasti vytékající, a to i navzdory tomu, když se vodič mezitím rozvětví. Bod větvení se nazývá uzel. Tento zákon se jmenuje 1. Kirchhoffův zákon a lze jej napsat ve tvaru: • Součet všech proudů do uzlu vtékajících se rovná součtu proudů z uzlu vytékajících. £/m = £W (42) Analogie s proudy v řece je jasná. Součet množství vody ze všech přítoků vlévajících se do soutoku se rovná množství vody ze soutoku vytékající. Uvažujme nyní uzavřený obvod. V tomto obvodu se nachází zdroje napětí a rezistory (součástky, jež mají nenulový odpor). Uvažujme, že vodiče spojující zdroje mají nulové odpory. Každý zdroj v obvodu vytváří přírůstek napětí (kladný rozdíl potenciálů) tzv. elektromotorické napětí £ a každý rezistor jeho úbytek (záporný rozdíl potenciálů) C/r, - viz obrázek 37. Obrázek 37: Uzavřený obvod se zdroji a rezistory a vyznačeným průběhem potenciálu. Potenciál je konstantní v části obvodu, kde se nenachází rezistor ani zdroj. V obrázku před prvním zdrojem musí být hladina potenciálu ve stejné výšce jako za posledním rezistorem. Na základě této úvahy lze formulovat 2. Kirchhoffův zákon ve tvaru • Součet elektromotorických napětí (zkratka - emn.) na jednotlivých zdrojích v uzavřené smyčce se rovná součtu úbytku napětí na rezistorech. j i Úbytek napětí na rezistorech lze vyjádřit pomocí Ohmová zákona U = RI. Kirchhoffův zákon (43) lze pro jednoduchou smyčku zapsat jako j i Proud jsme mohli vytknout před sumu pouze pro jednoduchou smyčku, protože v ní musí být proud dle prvního Kirchhoffova zákona konstantní. 69 L-LZZr-LZZr-LZZH Obrázek 38: a) Sériově a b) paralelně zapojené odpory. Vraťme se zpět k vodní analogii. Představme si zdroj napětí jako čerpadlo a rezistor jako peřeje (nebo jiný úsek řeky, kde se hladina sníží). Je-li voda hnána v uzavřeném obvodu, přírůstek výšky hladiny na čerpadlech se musí rovnat úbytku výšky hladiny na peřejích. Díky přepsání druhého Kirchhoffova zákona pomocí odporů a proudů můžeme odvodit jeden důležitý princip. Uvažujme jednoduchý obvod, v němž zapojíme za sebou (neboli do série) několik rezistorů (viz obrázek 38 a)). V obvodu se také nachází jeden zdroj elektromotorického napětí. Evidentně platí 8 = i Ri = IR, i kde R označuje celkový odpor jednotlivých rezistorů. Celkový odpor sériově zapojených rezistorů se rovná součtu jednotlivých odporů YiRí = R. (44) i Stejně jako z druhého Kirchhoffova zákona lze odvodit vztah pro sčítání sériově zapojených rezistorů, dá se z prvního Kirchhoffova zákona odvodit ekvivalentní výraz pro paralelně zapojené rezistory (vedle sebe viz obrázek 38 b)). Do vodiče před rozvětvením teče proud /. Součet proudů ve všech větvích dává celkový proud / = Yli Li. Jelikož pracujeme s ideálními vodiči, uvažujeme na levé straně stejný potenciál u všech rezistorů (to stejné platí pro pravou stranu). Úbytek napětí je na všech rezistorech stejný. Můžeme díky Ohmovu zákonu psát Ř = p", neboli i Převrácená hodnota celkového odporu paralelně zapojených rezistorů se rovná součtu převrácených hodnot jednotlivých odporů. Př. 7.1. Zadání: Uvažujme obvod zakreslený na prvním z obrázků 39. V obvodu zapojíme zdroje elektromotorického napětí a rezistory s následujícími parametry: E\ = 7V, £2 = 3V, R\ = liž, i?2 = 2ÍŽ, i?3 = 3ÍŽ. Jaký je proud protékající jednotlivými rezistory? Řešení: Je výhodné si pro zjednodušení do obvodu zakreslit smyčku (viz obrázek 39) a směry proudů vyznačit šipkami. Šipky znázorňující emn. se zakreslují s opačným směrem 70 Obrázek 39: Elektrický obvod. jak směr kladného proudu, které zdroj napětí vytváří. Průběh napětí (přírůstek na zdrojích, úbytek na rezistorech) v první smyčce z druhého Kirchhoffova zákona vyjadřuje rovnost (začneme u zdroje emn.): £\ — Rih — R3I3 = 0. V druhé smyčce pak: £2 — R2I2 + R3I3 = 0. V této rovnici je u třetího odporu opačné znaménko. To proto, že šipka proudu zakreslená v obrázku směřuje proti směru smyčky. Stejným způsobem bychom změnili znaménko, pokud by některé ze zakreslených emn. bylo otočeno na opačnou stranu. Z prvního Kirchhoffova zákona lze odvodit výraz pro proudy I\ = I2 + I3 ■ Z těchto tří rovnic lze vyjádřit proud j _ £iR>2 — £2R\ _ R1R2 + R1R3 + R3R2 Z rovnice pro první smyčku platí h = £í-hRs=4A. Ri Z druhého Kirchhoffova zákona pak h = h-h = 3A. Př. 7.2. Zadání: Uvažujte obvod zakreslený na druhém z obrázků 39. Sestavte dle prvního a druhého Kirchhoffova zákona příslušné rovnice. Řešení: Dle prvního Kirchhoffova zákona platí h =h + h, h + h + h = 0. Dle druhého Kirchhoffova zákona £\ = Rih + R2I2, £2 = R2I2 + R4I4 — Rsh, £3 = -^5-^5 — R4I4. 71 Př. 7.3. Zadání: Uvažujme krychli, v jejíchž hranách se nachází 12 rezistorů o stejných odporech R = líž (viz obrázek 40 a)). V každém rohu se nachází uzel. Jednotlivé uzly očíslujeme od 1 do 8. Soustavu napojíme na zdroj emn. v protilehlých rozích (uzly 1 a 8). Vypočtěte odpor celé soustavy. Obrázek 40: a) Rezistory zapojené do tvaru krychle, b) Zapojení rezistorů se stejným výsledným odporem jako zapojení do krychle. Řešení: Při bližším pohledu na danou soustavu si všimněme, že (díky rovnosti všech odporů) v uzlech 2,3,4, a pak dále v uzlech 5,6,7 je stejný potenciál. Zapojení tak půjde zakreslit v jiném tvaru (viz obrázek 40 b)), jenž má stejný výsledný odpor, daný vztahem „ R R R 5„ R=--1---h — = -R. 3 6 3 6 Př. 7.4. Zadání: Uvažujme obvod na obrázku 41. Na jednoduchý obvod s kondenzátorem nejprve napojíme elektromotorické napětí, které nabije kondenzátor. Potom obvod přepneme tak, aby byl zdroj emn. nahrazen rezistorem. Jaká je závislost náboje na deskách kondenzátoru na čase? Obvod s tímto zapojením se nazývá RC obvod. Řešení: Při emn. £ na zdroji se kondenzátor nabije nábojem Qo = C£. Při přepnutí nahradí funkci zdroje napětí sám kondenzátor, kde Q = CU. Ten se snaží vybíjet tak, že tvoří proud, jenž teče skrze rezistor. Čím je kondenzátor vybitější, tím menší proud vyrábí. Velikost proudu získáme z Ohmová zákona U = RI. Víme, že proud je změna náboje v čase. Vzhledem k tomu, že se náboj na kondenzátoru v čase zmenšuje, je i znaménko u časové změny záporné. Veličiny i? a C se chovají v tomto případě jako konstanty nezávislé na čase. Kombinací výše uvedených vztahů získáme dQ Q dQ -dt ~ -R^ = č^^- = ŘČ^Q = Qoe CÍ?' kde Qo označuje náboj na deskách kondenzátoru před odpojením zdroje emn. 72 Obrázek 41: Elektrický obvod. Př. 7.5. Zadání: Uvažujme Gaussův zákon ve tvaru (10) a Ampérův zákon (později probereme podrobně) ve tvaru V x B = fi0j + fi0£0 — , kde if vyjadřuje vektor magnetické indukce a //o označuje permeabilitu vakua. Odvoďte z těchto dvou zákonů rovnici kontinuity. Řešení: Divergencí Ampérova zákona získáme Divergenci a parciální derivaci podle času lze zaměnit = ' Divergence elektrické intenzity je pak z Gaussova zákona hustota náboje podělená permitivitou vakua. Na levé straně se nachází operátor divergence z rotace. Z předešlého textu víme, že tento člen se rovná nule dg 0 = AíoV • J + W-qI' Podělením permeability na obou stranách rovnice získáme rovnici kontinuity. Př. 7.6. Zadání: Na elektrony v kovu při daném napětí působí urychlující síla. Pokud bychom uvažovali pouze sílu danou napětím, brzy by se elektrony pohybovaly rychlostí blízkou rychlosti světla. Navíc by kov neměl elektrický odpor. Elektrony v reálných kovech dosahují maximálních rychlostí o mnoho řádů nižších. To je způsobeno srážkami s atomy, elektrony nebo ionty v kovu. Ty odeberou elektronu hybnost. Kov se srážkami zahřívá a vykazuje elektrický odpor. Určete střední volnou dobu mezi dvěma srážkami r, platí-li vztah pro driftovou rychlost v = ar. Řešení: Dle druhého Newtonova zákona lze vyjádřit zrychlení působící na částici o hmotnosti m (v reálném kovu hmotnost elektronu) v silovém poli F jako a = F/m. Pokud sílu 73 tvoří elektrostatické pole, pak platí F = qE, kde E vyjadřuje velikost vektoru elektrické intenzity a q označuje náboj částice v elektrickém poli. Střední volnou dobu obdržíme ze vztahu r = vm/qE. Dle diferenciálního Ohmová zákona E = j p = vgp (^—hustota nábojů, p—rezistivita) můžeme určit r = m/qgp. Výraz ještě upravíme pomocí g = nq, kde n označuje koncentrace nosičů náboje m qznp Rezistivitu můžeme vyjádřit jako funkci střední volné doby, koncentrace náboje, velikosti náboje nosiče a hmotnosti nosiče m p = ——• qznr Př. 7.7. Zadání: Uvažujte polovodičovou součástku s PN přechodem. Nosiče proudu jsou na rozhraní přechodu jak elektrony, tak kladně nabité díry. Uvažujte, že za At = 16 s se jedním směrem, plochou 5*1 = 1 mm2, přesune Ne = 3, 5-1015 elektronů a směrem opačným iVd = 2, 5-1015 děr. Jaký proud teče průřezem 5*2 = 1 cm2? Řešení: Díry a elektrony se pohybují opačným směrem. Díky rozdílnému znaménku však vytváří proud, jenž je součtem proudu jak od elektronů, tak od děr. Díra má stejně velký (ale opačný) náboj q = 1, 6 • 10~19 C jak elektron. Proto proud tekoucí plochou 1 cm2 se rovná I=ÍN1 + N)íS2= mA Si At Příklady k procvičení 7.1. Uvažujte vodivou kouli o poloměru R do půlky zahrabanou do země. Koule je udržována na konstantním emn. £ (viz obrázek 42 a)). Určete proud protékající koulí, víte-li, že rezistivita půdy, ve které je koule zahrabána, je konstantní p. Obrázek 42: a) Koule z poloviny zasazená ve vodivém prostředí, b) Vodivý roztok ve válcové nádobě. 74 Příklady k procvičení 7.2. Uvažujte nádobu, která je naplněna vodivým roztokem o rezistivitě p. Nádoba má válcovitý tvar o poloměru R2 a výšce L. Vnitřní povrch válce (nikoli podstava) je vodivý a uzemněný (viz obrázek 42 b)). Středem nádoby prochází vodivý drát o poloměru R\ napojený na konstantní emn. £. Určete proud protékající roztokem. Příklady k procvičení 7.3. Uvažujte sériově zapojenou soustavu - zdroj emn. £, rezistor R a kondenzátor C. Obvod je uzavřen do smyčky (viz první z obrázků 43). Na počátku je kondenzátor vybitý. Vypočtěte náboj na kondenzátoru a proud v obvodu v závislosti na čase. Obrázek 43: Zapojení rezistorů a kondenzátoru. Příklady k procvičení 7.4. Uvažujte zapojení z druhého obrázku 43. Všechny rezistory mají stejný odpor R. Elektromotorické napětí zdroje uvažujte £, kapacitu kondenzátoru uvažujte C. Na počátku je kondenzátor vybitý. Vypočtěte celkový proud v obvodu v závislosti na čase. Příklady k procvičení 7.5. Uvažujte zapojení z obrázku 40 s tím, že rezistory zaměňte s kondenzátory o kapacitě C. Vypočtěte celkovou kapacitu zapojení. Doporučená literatura Elektřina a magnetismus (Sedlák, Štoll), 2002: str. 173-198 Elektromagnetismus (Andrej Tirpák), 1999: str. 183-210 Fyzika (Halliday, Resnick, Walker), 2000: kap. 27, 28 75 8 Magnetostatika a základy elektromagnetismu 8.1 Lorentzova síla V předchozích kapitolách jsme si vysvětlili, že elektrické pole je generováno elektrickým nábojem. Rovnice popisující vztah mezi zdrojem a elektrostatickým polem se nazývá Gaussův zákon (10). Toto pole vytváří sílu F* = q~Ě působící na nabité částice. Zkráceně: náboje tvoří elektrické pole a toto pole působí silově na další náboje. Kromě elektrického pole působícího na elektrické náboje však existuje i pole magnetické. Cím je však toto pole generováno? A na co magnetické pole silově působí? Obrázek 44: (Ne)působení magnetického pole. V první polovině devatenáctého století si francouzský fyzik a matematik André-Marie Ampére (1775 - 1836) všiml zajímavého jevu, kdy dva vodiče, jimiž protékal elektrický proud, na sebe silově působily. Síla mezi dvěma rovnoběžnými vodiči byla buď přitažlivá (proud ve vodičích tekl ve stejném směru), nebo odpudivá (proud tekl ve směru opačném). Dnes víme, že elektrický proud tvoří pohybující se náboje. Máme situaci, kdy pohybující se náboje ve vodiči vytváří pole magnetické. Toto pole pak silově působí na pohybující se náboje. Což vysvětluje silové působení vodičů. Jednoduchým způsobem můžeme magnetické pole zobrazit pomocí feromagnetických pilin - viz obrázek 45 a). Piliny směřují podél magnetických indukčních čar. Vektory magnetické indukce ~Ě, které slouží k popisu magnetického pole, jsou k těmto křivkám tečny. Z obrázku 45 a) vidíme, že magnetické indukční čáry obtáčí vodič. Vektory magnetické indukce směřují kolmo na vektor rychlosti nábojů a tedy i na vektor proudové hustoty j . Pokud jsou oba vodiče rovnoběžné, magnetické indukční čáry do druhého vodiče vstupují kolmo a síla působící na vodič svírá pravý úhel jak s vektory rychlostí nábojů ve vodiči, tak se zmiňovaným magnetickým polem, viz obrázek 45 b). Experimenty ukázaly, že změníme-li pravý úhel mezi vektory rychlosti nábojů a magnetické indukce na libovolný úhel, sníží se i výsledná síla, a to jako siná, kde a značí úhel mezi vektory. Z experimentů vyplývá, že výsledná síla působící na nabitou částici uvnitř vodiče je úměrná velikosti náboje této částice q, její rychlosti ~Ů (která je úměrná proudu ve vodiči), magnetické indukci ~É ve kterém se 76 Obrázek 45: a) Působení magnetického pole na železné piliny, b) Zobrazení Ampérova pokusu. pohybuje (vytvářené druhým vodičem) a sinem úhlu který svírá vektor rychlosti s vektorem magnetické indukce. Dané chování popisuje rovnice ~f = qlf x ~É. Uvažujeme-li nabitou částici nacházející se současně v poli elektrickém i magnetickém, lze výraz zapsat díky principu superpozice ve tvaru ~f = q (1Ž + it x ~É) . (46) Tuto rovnici můžeme bez nadsázky označit za nejdůležitější rovnici elektromagnetismu, popisuje silové působení elektromagnetického pole na nabitou částici. Tato síla se nazývá Loren-tzova síla. Je důležité, aby si tuto rovnici zapamatovali studenti jako celek. Často se uvádějí dva důležité podpřípady této síly. Elektrostatický lí = if a ~Ě / ~Ý(t), jímž jsme se zabývali v druhé kapitole, a magnetostacionární Uvažujme malý úsek vodiče o délce A L ležící v magnetickém poli. Uvažujme dále, že tímto vodičem protéká proud / = AQ/At, kde At označuje čas, za který množství nábojů AQ = Nq proteče úsekem A L. Náboje q, jež generují proud, se pohybují rychlostí Proud ve vodiči teče ve směru A~Í. Pokud se rychlost a proud v čase nemění, můžeme napsat II = A~Í/At. Pro magnetickou část Lorentzovy síly s mnoha pohybujícími se náboji ve vodiči lze uvést f = Nq!? X t = ^-At X t. At Lorentzovu sílu působící na vodič o délce A~Í s proudem / v magnetickém poli ~É je možné vyjádřit i ve tvaru ~f = IAÍ x ~Ě. (47) Podotkněme ještě jednu důležitou věc vyplývající z Lorentzovy síly. Zrychlení (či síla) působící na částici v magnetickém poli nesměřuje ve směru indukčních čar (jak je tomu v případě pole elektrického), čáry nemůžeme nazývat siločáry, ale indukční čáry. 77 Př. 8.1. Zadání: Uvažujte elektron o náboji — q a hmotnosti m v homogenním magnetickém poli o velikosti if = (0, 0, Bz). Elektron se pohybuje rychlostí ~Ů = (vx,vy,vz). Vypočtěte trajektorii částice. Zjistěte jak se situace změní ve chvíli, kdy se částice pohybuje kolmo vzhledem k magnetickým indukčním čarám. Řešení: Dle druhého Newtonova zákona a Lorentzovy síly platí m a m dvx dvv dvz •{vx,vy,vz) x (0, 0,-Bz) dt dt dt Z této soustavy rovnic lze vyjádřit tři diferenciální rovnice -qBz -vx,0). dvx ~~ďt qBz m dvy dt qBz m dvz dt 0. Třetí rovnice má triviální řešení vz = konst. Řešení prvních dvou rovnic obdržíme derivací první rovnice a dosazení za —z druhé ť dí d vx ~dW qBz m A cos {uot + tp) Asin (ut + tp) , qBz kde lo = -—- je úhlová rychlost a A2 = v2 + v2 je kvadrát velikosti rychlosti v rovině xy. m Z výše uvedeného řešení vyplývá, že tento kvadrát je v čase konstantní a je určen počáteční rychlostí. Uhel íp určují také počáteční podmínky. Částice se bude pohybovat po šroubovici orientovanou ve směru z, podél magnetických indukčních čar. V případě pohybu kolmém na magnetické indukční čáry vymizí složka rychlosti vz. Částice se bude pohybovat po kružnici jejíž poloměr vyjádříme jako r v mv qB Komentář: Pohyb nabitých částic v magnetickém poli znázorňuje obrázek 46. Částice v prostředí ztrácejí rychlost a poloměr jejich dráhy se zmenšuje, proto nejsou znázorněné křivky kružnice (nebo šroubovice), ale spirály. Obrázek 46: Elektrony a pozitrony v magnetickém poli. 78 Př. 8.2. Zadání: Uvažujte kruhovou proudovou smyčku ve vnějším homogenním magnetickém poli. Nechť normála ke smyčce uzavírá s vektory magnetické indukce B úhel 9. Jak velký moment síly působí na smyčku? Obrázek 47: Proudová smyčka v magnetickém poli. Řešení: Uvažujme, že kruhová smyčka leží v rovině xy a vektory magnetické indukce v rovině xz a s osou z svírají úhel 9 - viz obrázek 47. Polohový vektor smyčky je l = (Rcos ip, Rsimp, 0). Element tohoto vektoru se rovná d l = (—Rs\nip, Rcos ip, 0) dtp. Magnetické pole směřuje ve směru ~É = (—Bsm9,0,Bcos9) , kde B značí velikost vektoru magnetické indukce. Z Lorentzovy síly (47) jasně vyplývá, že na element vodiče působí element síly d~P = Id l x ~É. Moment sil pak zapíšeme jako M = f ~Ý x d~P, kde ~Ý = l odpovídá polohovému vektoru kruhu, kde počátek souřadnicové soustavy se nachází na ose rotace. Dosazením do vzorců získáme ~Ě = I j ~t x (d~t x " = lj (-^ cos V) Rsin ip, 0) x [(—i?sin tp, Rcos tp, 0) x (—B sin 6, 0, B cos 9)] dp> o = IBR2 J (cos ip, sin ip, 0) x (cos p> cos 9, sin p> cos 9, cos p> sin 9) dp> = 2tt IBR2 j (sin ip cos ip sin 9, — cos2 tp sin 9, 0) dtp o 2tt = IBR2 sin # y (sin , — cos2 0) dtp = o -IBR2sm9 ( -cos2w, -1 2 ^'2 1 . . ip + - srn (2y?) ,0 2tt 79 = -IBR2 sm6 (0,7T, 0) = -IBtvŔ2 sm9 (0,1,0) = -IBSsmO (0,1, 0) =ll$ x~Š. Z výsledku vidíme, že moment síly je úměrný vektorovému součinu plochy kruhové smyčky !s = (0, 0, S) (orientované pomoci normály) a vektoru magnetické indukce. Moment síly v našem případě směřuje v směru osy y, která se tak stává osou otáčení smyčky. Moment se snaží smyčku otočit tak, aby rovina smyčky byla kolmá na pole a aby magnetické indukční čáry generované smyčkou a vnějším polem směřovaly stejným směrem. Komentář: Čtenář může zkontrolovat, že síla působící na kroužek se rovná cos (p sin 9) dip = ~Ů. 2tt IB x d l 2tt IBR j (cos kde m je hmotnost částice a q její náboj. 2m /íb se nazývá Bohrův magneton. 8.3 Gaussův zákon pro magnetické pole V druhé kapitole jsme uvedli Gaussův zákon (10) a (18), který dával do souvislosti zdroj elektrického pole, hustotu náboje a samotné elektrické pole. Tyto rovnice si lze představit tak, že uzavřeme-li náboje pod myšlenou plochu, z této plochy budou vycházet vektory elektrické intenzity. Pole podle toho nazýváme rozbíhavé (divergentní). Uvažujme nyní namísto elektrického pole magnetické. Předpokládejme speciální magnetický náboj (takzvaný magnetický monopol), jenž by generoval divergentní magnetické pole. Logicky by musel platit stejný Gaussův zákon i pro pole magnetické. Problém však tkví v tom, že při žádném experimentu se nikdy takový náboj nepodařilo detekovat. Jinými slovy můžeme říci, že pro současnou fyziku 80 je magnetický náboj vždy nulový. Gaussův zákon pro magnetické pole můžeme zapsat v diferenciálním a v integrálním tvaru jako ^•^ = 0, ~Ě-d~É = 0. (48) První rovnice říká, že magnetické pole není divergentní a že magnetické indukční čáry musí být vždy uzavřené křivky. Druhá rovnice zase říká, že máme-li uzavřenou plochu, magnetické indukční čáry vbíhající do této plochy z ní i na jiném místě vybíhají. Na rozdíl od monopolu, magnetický dipól existuje a pozoruje se. Vytváří ho proudová smyčka (nikoliv dva monopoly - N a S podobně jako u elektrického pole). Jako příklad magnetického dipólu uveďme tyčový magnet pozorovaný z velké vzdálenosti. Pokud bychom jej rozpůlili, výsledkem jsou dvě dipólová pole. To funguje až na strukturu elementární. Pozorované elementární částice mají magnetický dipólový moment. 8.4 Ampérův zákon v diferenciálním tvaru Vysvětlili jsme si jak magnetické pole působí, ale doposud jsme neodpověděli na otázku, jak se magnetostacionární pole generuje. Obrázek 45 ukazuje, jak se magnetické pole obtáčí okolo proudu, nebo lépe okolo vektoru hustoty proudu j . Z předchozího textu vyplývá, že rotace magnetického pole bude úměrná vektoru hustoty proudu ^ x ~É = /ío7, (49) kde //o představuje konstantu úměrnosti, která se nazývá permeabilita vakua (//o = 1, 26 • 1CT6H • m_1). Vektor hustoty proudu vytváří okolo sebe magnetické pole, jenž jej obtáčí. Pojem magnetostacionární jsme uvedli z důvodu, že byť magnetické pole může být nezávislé na čase, tak jej lze budit pohybujícími se nestatickými náboji. Statické magnetické pole se nazývá pole buzené permanentním magnetem. Zobecněme rovnici (49) nikoli pouze na magnetostacionární podpřípad. Uvažujme časově závislé elektrické pole E. Pro elektrické pole platí Gaussův zákon (10). Dosadíme-li hustotu náboje v Gaussově zákoně do rovnice kontinuity, obdržíme 0 = ^-7 + 1 = ^-7 + *rf~*7 + ^ = ^*7- Funkce 7 Je integrační vektorová funkce, která splňuje ^ ■ 7 = ®- Srovnáme-li získaný výsledek s Ampérovým zákonem je zřejmé, že vektorová funkce je právě vektor magnetické indukce ~É = ^o7■ Výsledná rovnice se nazývá Ampérův zákon V x B = (jlq j + Vozo-gf- (50) Ve skutečnosti se nepodařilo nalézt Ampérovi tento zákon v kompletním tvaru, časovou derivaci elektrické intenzity doplnil později až James Clerk Maxwell (1831 - 1879). Proto bychom měli rovnici (50) nazývat přesně Ampérův zákon s Maxwellovou korekcí, nebo rozšířený Ampérův zákon. Pro stručnost však v dalším textu budeme většinou uvádět pouze "Ampérův zákon". Ampérův zákon (50) a Gaussův zákon (10) společně tvoří první pár Maxwellových zdrojových rovnic. Druhý pár intuitivně označujeme jako bezzdrojový jednoduše proto, že neobsahuje hustotu náboje g ani hustotu proudu j (my jsme zatím uvedli pouze rovnici ^•^ = 0). 81 8.5 Ampérův zákon v integrálním tvaru Gaussův zákon jsme vyjádřili v diferenciálním (10) i v integrálním (18) tvaru. Stejným způsobem můžeme nalézt v obou zmíněných tvarech i zákon Ampérův. Uvažujme integrál přes orientovanou plochu ~3, jím upravíme Ampérův zákon (50) do tvaru označíme jako tok elektrické intenzity 4>e{ť) = 0. Z Ampérova zákona lze číst, že máme-li nenulovou hustotu proudu a nulové elektrické pole, pak v okolí hustoty proudu vzniká vírové magnetické pole. _^ Uvažujme nyní nulový proud / či proudovou hustotu j . Vírové magnetické pole může existovat i bez proudu nebo proudové hustoty. Mějme opět uzavřenou křivku obepínající plochu S. Podél této křivky existuje nenulové magnetické pole, pokud na ploše dochází k časové změně elektrického toku. Magnetické pole se chová, jako kdyby obklopovalo skutečný elektrický proud. Oasová změna toku elektrického pole se také proto často nazývá posuvný proud. Jako hezký příklad toho, kdy lze posuvný proud pozorovat, uveďme nabíjející se kondenzátor. Vezmeme-li uzavřenou křivku obkružující plochu, kterou protíná vodič těsně před nabíjejícím se kondenzátorem (viz obrázek 48), je zřejmé, že díky proudu ve vodiči musí podél této křivky vznikat vírové magnetické pole. O kousek vedle plochu již neprotíná vodič, nachází se mezi deskami kondenzátoru, který tím, jak se nabíjí, vytváří zvětšující se elektrické pole. Zde je zdrojem magnetického pole právě měnící se elektrické pole. (51) \ Obrázek 48: Uzavřené křivky v blízkosti desek kondenzátoru. 82 Pro třetí podpřípad uvažujme sféricky rozložené náboje, například v balónku. Předpokládejme, že balónek je ze všech stran děravý, takže na povrchu nám budou náboje sféricky unikat. Uvažujme dále část plochy povrchu balónku, z níž budou směřovat vektory elektrické intenzity ven (či dovnitř - v závislosti na znaménku náboje). Jak budou plochou náboje unikat (plochou poteče elektrický proud), v balónku se bude zmenšovat náboj a následně s ním také elektrické pole, a tok elektrické intenzity plochou S. Změna toku vyjde záporná v závislosti na proudu odnášejícím náboj. Samozřejmě v obecném případě bereme v úvahu všechny tři složky Ampérova zákona. Př. 8.3. Zadání: Mějme dva nekonečně dlouhé rovnoběžné vodiče ve vzdálenosti r. Jakou silou se přitahují, protéká-li jimi proud II Řešení: Nejprve uvažujme pouze jeden lineární vodič. Okolo tohoto vodiče předpokládejme myšlenou kružnici, v jejímž středu se vodič nachází (vodič je orientován kolmo vůči rovině, na níž kružnice leží). Díky symetrii a nedivergentnosti magnetického pole musí být vektory magnetické indukce ve všech bodech kružnice stejně velké a ke kružnici tečné. Jsou-li ke kružnici tečné, půjde skalární součin vektorů nahradit ~É ■ á~Ý = Bár. Je-li B po celé kružnici konstantní, lze jej vytknout před integrál. Integrál přes uzavřenou křivku se rovná délce křivky § dr = l = 2ivr, kde l značí délku křivky a r poloměr kružnice. Pokud bude splněna podmínka tečnosti ke křivce a konstantnosti velikosti magnetické indukce, lze Ampérův zákon s nulovým elektrickým polem zapsat ve tvaru Bl = /íqJ. (52) V případě přímého vodiče se magnetické pole v jeho okolí díky rovnici (52) rovná B=^érr- Ze vztahu pro Lorentzovu sílu víme, že pokud magnetické pole svírá s přímým vodičem o délce L pravý úhel, velikost síly působící na vodič vyjádříme ve tvaru F = ILB = ^. 2irr Př. 8.4. Zadání: Mějme dlouhou cívku (solenoid). Určete magnetické pole hluboko uvnitř cívky a na konci cívky, protéká-li cívkou proud I. <8> <8> <8> (o ^ ^ v ©O©©©©©©©©©©©©ľ Obrázek 49: Cívka. 83 Řešení: Řez cívkou vykresluje obrázek 49. Oranžový obdélník představuje myšlenou křivku, podél které zkoumáme magnetické pole. Uvažujeme-li solenoid nekonečně dlouhý, můžeme magnetické pole venku oproti poli uvnitř zanedbat. Uvážíme-li libovolnou uzavřenou křivku ležící mimo solenoid, tak skrze tuto křivku poteče nulový proud (zanedbáme-li proud ve směru solenoidu) a magnetické pole mimo solenoid musí být nulové. Uvnitř je magnetické pole orientováno rovnoběžně s cívkou (viz zakreslený vektor magnetické indukce). Uvážíme-li svislé strany obdélníku, skalární součin těchto úseků s vektory magnetické indukce se rovná nule právě kvůli kolmosti vektorů ~É na tyto úseky. Jediným přispívajícím úsekem zůstane vnitřní horizontální strana o délce a, ta, která je s magnetickým polem rovnoběžná. Pro cívku platí rovnice (52), tedy § Bá~Ý = j Bár = B j dr = Ba. Uzavřenou křivkou však probíhá více než o o jeden vodič. Celkem v sobě úsek o délce a uzavírá ./V vodičů. Celkový proud pak odpovídá ./V násobku proudu protékajícího cívkou. Takže platí a Označíme-li si hustotu závitů rj = N/a, lze magnetické pole uvnitř dlouhé cívky vyjádřit jako B = /íq/tj. (53) Toto magnetické pole vytváří všechny závity. Jak ale ukázal předešlý příklad, vzdálenější závity působí mnohem méně než ty blízké. Představme si, že cívku rozřízneme v půli a jednu půlku přesuneme na opačný konec druhé z cívek. Rozřízneme-li cívku na půl a jednu z půlek odejmeme, logicky z toho díky principu superpozice vyplývá, že magnetické pole v bodě řezu je poloviční. Přesuneme-li odříznutou půlku na druhou stranu, bude ona půlka při dostatečné délce solenoidu velmi daleko (od bodu řezu) a její příspěvek budeme moci zanedbat. Na okraji dlouhé cívky působí poloviční magnetické pole než uprostřed. Reálné pole cívky (solenoidu) vykresluje obrázek 50. Obrázek 50: Magnetické pole v blízkosti reálných cívek. Př. 8.5. Zadání: Vyšetřete pole uvnitř a vně toroidu. Řešení: Nákres toroidu můžete vidět na obrázku 51. Uvažujme kružnici se středem uloženým ve středu toroidu. Případ lze rozdělit na tři možnosti. 84 křivka 1 křivka 2 křivka 3 Obrázek 51: Toroid. • Kružnice je menší než vnitřní části toroidu (křivka 1). Pak neobjímá žádné proudy a i magnetické pole na této kružnici bude nulové. • Kružnice je větší než vnější části toroidu (křivka 3). Kružnice objímá vodiče vcházející do roviny kružnice a stejný počet vodičů vycházejících. Součet všech proudů vyjde nulový. Pak je magnetické pole podél kružnice opět nulové. • Kružnice je uvnitř toroidu (křivka 2) a objímá ./V vodičů, kde ./V vyjadřuje počet závitů. Vně toroidu je pole nulové. Uvnitř, dle Ampérova zákona, rovnice (52) platí Bl = fi0NI. Pro délku myšlené kružnice l = 2ivr, kde r označuje poloměr kružnice, se velikost magnetické indukce rovná Př. 8.6. Zadání: Uvažujme deskový kondenzátor tvaru dvou rovnoběžných kruhů o poloměru R. Vzdálenost desek kondenzátoru předpokládejme mnohem menší než jejich velikost. Kondenzátory se nabíjejí proudem I. Vyšetřete magnetické pole mezi deskami kondenzátoru. Řešení: Mějme myšlenou kružnici o poloměru r « R, která se nachází mezi deskami kondenzátoru, její rovina s nimi leží rovnoběžně a její střed se nachází na spojnici středů kruhových desek kondenzátoru. Je logické, že díky symetrii a nedivergentnosti magnetického pole zůstane na myšlené kružnici velikost vektoru magnetické indukce konstantní a směr magnetické indukce bude ke kružnici tečný. Pod kružnicí vyjde elektrický proud nulový. Rostoucí elektrické pole však vyvolá proud posuvný, platí 85 kde l = 2-kv označuje délku myšlené křivky, S = 7rr2 plochu, kterou křivka uzavírá, a E zase velikost vektoru elektrické intenzity, které míří kolmo na plochu S, proto lze skalární součin vektorů (intenzity a normály k ploše) nahradit součinem dvou skalárů (stejný argument platí pro vektor magnetické indukce). Jak jsme si uvedli, elektrická intenzita pro deskový kondenzátor se rovná E = , kde Sk = kR2 odpovídá ploše celého kondenzátoru. Změna náboje v čase vytváří proud, platí Sfio dQ [i0r B Skl dt 2nR2 ' Se zvětšující se vzdáleností od centra magnetické pole narůstá. Pokud bychom uvažovali ideální kondenzátor (což znamená, že přesně za hranicí r = R by elektrické pole zmizelo), byla by pak na této hranici magnetická indukce B = -—— / stejná jak ve vzdálenosti R od vodiče 2ixR nesoucího proud /. S rostoucí vzdáleností by pak magnetické pole klesalo podle B = -^-1. 2-kv Magnetická indukce má ve velké vzdálenosti od nabíjejícího se kondenzátoru stejný průběh jako magnetická indukce v blízkosti lineárního vodiče. Komentář: Síření energie v elektromagnetickém poli popisuje Poyntingův vektor definovaný vztahem x B. Uvažujeme-li mezi deskami kondenzátoru vektor elek- Aío trické intenzity ve tvaru ~Ě = (0, 0, ^0 ^ ) a tomu odpovídající vektor magnetické indukce irRzeo -> Holit) — -y,x,0). Poyntingův vektor je roven 2ttR2 27r2i?%0 47r2i?%0 dí ' Poyntingův vektor při nabíjení kondenzátoru (zvětšování kvadrátu náboje na deskách) míří směrem do osy symetrie kondenzátoru. Energie elektromagnetického pole teče směrem dovnitř kondenzátoru. Energie nabíjejícího se kondenzátoru roste. Příklady k procvičení 8.1. Uvažujte dlouhý vodič válcového tvaru o poloměru R protékaný proudem o velikosti proudové hustoty j = kr, kde r je radiální vzdálenost od osy vodiče. Určete velikost vektoru magnetické indukce uvnitř i mimo vodič. Příklady k procvičení 8.2. Uvažujte nabitou dlouhou tyč válcového tvaru o poloměru R s konstantní hustotou náboje Qo- Tyč je roztočena kolem osy symetrie úhlovou rychlostí oj. Určete velikost vektoru magnetické indukce uvnitř tyče v závislosti na radiální vzdálenosti od osy tyče. Příklady k procvičení 8.3. Uvažujte nabitou dlouhou tyč válcového tvaru o poloměru R s hustotou náboje q = k ÍR — r) , kde r je radiální vzdálenost od osy tyče. Tyč je roztočena kolem osy symetrie úhlovou rychlostí oj. Určete velikost vektoru magnetické indukce uvnitř tyče v závislosti na radiální vzdálenosti od osy tyče. 86 Příklady k procvičení 8.4. Uvažujte nekonečně dlouhý vodivý válec o poloměru R±. Do tohoto válce je vyvrtána válcová dutina o poloměru R2 (viz obrázek 52). Osy obou válců jsou rovnoběžné, ale nikoli totožné. Jejich vzdálenost je a, kde a + R2 < R±. Vypočtěte velikost vektoru magnetické indukce uvnitř dutiny na spojnici obou os ve chvíli, kdy válcem protéká proud s konstantní hustotou proudu j. Radiální vzdálenost od středu vodivého válce (uvažujte na spojnici os) je r. a ! Obrázek 52: Vodič s válcovou dutinou. Příklady k procvičení 8.5. Uvažujte v rovině xy nekonečně velkou vodivou tenkou desku, kterou protéká proud ve směru osy x. Délková hustota proudu je i (proud je / = iL, kde L je délka v rovině xy ve směru y). Určete vektor magnetické indukce v závislosti na vzdálenosti od roviny. Doporučená literatura Elektřina a magnetismus (Sedlák, Štoll), 2002: str. 198-205, 216-219 Feynmanovy přednášky z fyziky 2, 2001: str. 224-240 Elektromagnetismus (Andrej Tirpák), 1999: str. 236-245, 247-255, 266-282 Fyzika (Halliday, Resnick, Walker), 2000: kap. 29, 30, 32 87 9 Biotův-Savartův zákon. 9.1 Biotův—Savartův zákon a vektorový potenciál. V úvodních kapitolách jsme uvedli Gaussův zákon (10) a nalezli jsme jeho řešení (pro vektor elektrické intenzity ~Ě) ve tvaru rovnice (9). Podobným způsobem jsme se seznámili s Poisso-novu rovnicí (17) as jejím řešením pro potenciál íp ve tvaru (16). Pomocí Ampérova zákona (50) (pro statické elektromagnetické pole) nalezneme proudovou hustotu j , známe-li přesný tvar magnetického pole. Jak ale najdeme řešení pro vektor magnetické indukce ~É ze znalosti proudové hustoty? Pro nalezení řešení nám bude nápomocný Gaussův zákon pro magnetické pole ^ • ~É = 0. Vzpomeneme-li si na matematickou identitu = 0, pak můžeme nahradit vektor magnetické indukce rotací nového vektoru . Divergence magnetické indukce je dÉ pak nulová identicky. Použitím tohoto nového výrazu změníme Ampérův zákon (pro = 0) do tvaru \^ x x ~A) = [io~~j . Z dřívějších výpočtů víme, že platí \^ x x ~A) = . K nově vytvořené vektorové funkci ~Á. smíme přičíst gradient funkce /, aniž by se magnetické pole změnilo: i^ = \^xyí = \^x^4> + \^x ^ f, protože \^ x ^ f = 0. Funkce / se nazývá kalibrační funkce. Vektorová funkce ~Á je díky kalibrační funkci nejednoznačná. Změnou ~Á. o gradient libovolné funkce se ~Ě, které je fyzikálně měřitelnou veličinou, nezmění. Změní se však divergence vektorového pole na + Af. Protože můžeme / vybrat libovolně, zvolme jej právě tak, aby platilo = 0. Ampérův zákon (49) (v elektrostatickém podpřípadu) se tímto změní do tvaru -A~l = /ío7- (55) Pozorný čtenář si jistě všimne podobnosti mezi touto rovnicí a potenciálem íp v Poissonově rovnici (17), jejímž řešením byla rovnice (16). Díky analogii můžeme nalézt řešení rovnice (55) ve tvaru /ío f j {^')áV A(r ) = -7- -r=f-=F7j-. (56) 47T J \ r — r '\ Vektor ~Á. nyní z důvodů, jež jsou zřejmé, můžeme nazvat vektorový potenciál. Stejně jako v případě výpočtu elektrické intenzity zdůrazněme, že ~Á. (~Ý) je funkcí nečárkovaných souřadnic, na rozdíl od j (~ř^'), která je funkčně závislá na čárkovaných souřadnicích, přes které integrujeme. Vektor magnetické indukce pak vypočteme /ío^ í ~tdV' B = T^V x / i=F-=F7i 4?r / r - ť'1 Operátor V přesuneme dovnitř integrálu. Připomeňme identitu (viz příklady na doma 1.4) x j , kde / = —v—=v-. Operátor V je operátorem nečárkovaných souřadnic, takže \^ x ~~j = 0. Z předchozích kapitol víme, že platí rovnost ^ "j ry^ _ ry^ ^ _ _^ _^ V-—v—=5— = —-3-— . „ . Dosazením výše uvedených výrazů a použitím ~ct x b = — b x~čt ry/ _ ry/ I I T T f I O 88 obdržíme _^ (Jo f j x CÝ - ~Ý') dV 4tv J \~ý _ ~ý'\3 (57) Tato rovnice je řešením Ampérova zákona (50) (s magnetostacionárním polem). Teče-li proud / v tenkém vodiči, je směr elementu vodiče stejný jako směr proudové hustoty d~V' || j d~V' = jtdr', j = ~řtj. Výraz uvnitř integrálu pozměníme na 7 x (~Ý - dV' = ~t x (~Ý - {d~Ý' ■ áÉ'^j = lt x (~V - ~V') (jt ■ d~Š'^ jdr' = = d~Ý' x (~Ý - ~Ý') ■ d~É'^j = d~Ý' x (~Ý - ~Ý') dl = - (~Ý - ~Ý') x dl^'dJ V rovnici (57) žádný jiný člen není funkcí /, a proto lze použít f dl = I. S těmito úpravami lze rovnici (57) změnit do tvaru t = -!« [ 1 -^l***'. (58) Připomeňme si ještě jednou význam jednotlivých částí v Biotově-Savartově zákonu. Význam veličiny Veličina Proud (pro rozvětvující se vodič závisí na poloze zdroje) Vektor proudové hustoty (závisí na poloze zdroje) Polohový vektor studovaného bodu Polohový vektor zdroje pole Vektorový element zdroje (slouží k integraci přes zdroj) dr1 Vzdálenost studovaného bodu od zdroje Tabulka 3: Význam členů v Biotově-Savartově zákonu. Př. 9.1. Zadání: Uvažujte kruhovou smyčku o poloměru R, kterou protéká proud /. Jaká je magnetická indukce podél přímky kolmé na rovinu kružnice, procházející středem kružnice (viz obrázek 53 a))? Řešení: Vzhledem k tomu, že elektrický proud teče pouze skrze tenký vodič ve tvaru kruhové smyčky, použijeme rovnici (58). Proud / uvažujeme podél celé smyčky konstantní. Pro výpočet je potřeba správně zvolit souřadnicovou soustavu. Uvažujme, že proudová smyčka se nachází v rovině xy a přímka, kde magnetické pole studujeme, leží na ose z. Polohový vektor bodu, kde magnetické pole studujeme, vyjádříme ve tvaru ~Ý = (0, 0, z). Polohový vektor zdroje, který leží na kružnici, je ~Ý' = (Rcosip', Rsimp', 0), kde 2 + ffl2)3/2 - 7 X\ X\ x>2 + ffl2)3/2 (0,0, x') a2 (x/2 + fl2)l/2 4aTi XI (0,0, x2) (x2 + a2)1/2 (0,0, xi) xf + .1/2 4a7r (0,0,(xi + 6)) (0,0, xx; (xi + b)2 + a5 1/2 xf + az ,1/2 Z výsledku zjišťujeme, že záleží jak na délce proudové úsečky, tak na vzdálenosti od okraje. V případě x\ = — c, x2 = c a c —> oo se výsledek změní na 4a7r (0,0, c) (c2+a2)l/2 + (0, 0, c) c2 + a2)1/2 Vol 2aiľ (0,0,1). 91 Tento výsledek je shodný s výsledkem magnetického pole v blízkosti nekonečně dlouhého vodiče. Př. 9.3. Zadání: Uvažujte proudovou úsečku umístěnou na ose x G (xi\X2). Určete magnetickou indukci v bodě P ležící opět na ose x. Řešení: Polohový vektor zdroje je ~Ý' = (x', 0, 0) =4> d~Ý' = (dx', 0, 0) . Polohový vektor bodu, kde chceme pole měřit, vyjádříme ve tvaru ~Ý = (x, 0, 0) . Dle rovnice (58) platí (~Ý - ~Ý') x d~Ý' = (x- x', 0, 0) x (dx', 0, 0) = ~[f => ~É = 0. Komentář: Leží-li vodič na přímce (nebo jeho část) a na stejné přímce se nachází bod, ve kterém studujeme magnetické pole, je příspěvek od vodiče (či jeho části) k magnetickému poli nulový. Proudová úsečka uvedená v příkladě 9.2 je v zásadě nefyzikální. Proud musí někudy vtékat a někudy vytékat. Přidáme-li však k úsečce proudové polopřímky, které leží na přímce s bodem P vyjde magnetické pole stejně jako v příkladu 9.2. Příklady k procvičení 9.1. Uvažujte vektorový potenciál ve tvaru ~Á. = e~kr2 ~Ý, kde r2 = x2 + y2 + z2 a"ř^ = (x,y,z). Vypočtěte vektor magnetické indukce ~É. Příklady k procvičení 9.2. Uvažujte kruhovou proudovou tenkou smyčku o poloměru R, kterou protéká proud / (proud teče v matematicky kladném směru). Smyčka leží v rovinně xy tak, že její střed se nachází v bodě (0, 0, 0). Vypočtěte vektorový potenciál na ose z. Pro výpočet použijte rovnici (56). Příklady k procvičení 9.3. Uvažujte nekonečně dlouhý lineární vodič protékaný proudem /. Určete vektorový potenciál v jeho blízkosti. Proud směřuje ve směru osy z. Pro výpočet použijte rovnici (56). Příklady k procvičení 9.4. Uvažujte čtvercovou vodivou smyčku o délce hrany a ležící v rovinně xy tak, že její střed se nachází v bodě (0, 0, 0). Vypočtěte vektor magnetické indukce na ose z. Proud teče v matematicky kladném směru. Příklady k procvičení 9.5. Uvažujte kruhový tenký disk o plošné hustotě náboje o ležící v rovinně xy tak, že jeho střed se nachází v bodě (0,0,0). Kruh rotuje úhlovou rychlostí uj kolem osy z. Vypočtěte vektor magnetické indukce na ose z. Disk rotuje v matematicky kladném směru. Doporučená literatura Elektřina a magnetismus (Sedlák, Štoll), 2002: str. 205-216, 219-220 Feynmanovy přednášky z fyziky 2, 2001: str. 242-256, 267-269 Elektromagnetismus (Andrej Tirpák), 1999: str. 239-253 Fyzika (Halliday, Resnick, Walker), 2000: podkapitola 30.1 92 Čtvrtsemestrální písemná práce č. 3. 1. Spočtěte velikost vektoru magnetické indukce v blízkosti proudové úsečky o délce a. Úsečkou protéká konstantní proud /. Magnetické pole vypočtěte v bodě A, jenž je od obou konců úsečky stejně vzdálený a od středu úsečky má vzdálenost zq. Zjistěte, jestli lze toto pole kolem bodu A reálně vytvořit, nakreslete obrázek, jak by musel reálný zdroj vypadat. Nápověda: f(k + x2)~3/2dx = —{k + x2)-1/2. Pro kontrolu můžete položit a oo a srovnat s polem v okolí nekonečně dlouhého vodiče. 2. Vypočtěte proudy protékající obvodem na obrázku 1.: £\ = 2V, £2 = 7V, R± = liž, R2 = 2řž, i?3 = 30. 3. Koaxiálním kabelem (vnitřní částí) protéká proud / = 2A, vnějším obalem protéká opačný proud I = 1A (proud protéká opačným směrem). Vypočtěte velikost magnetické indukce mezi vnitřní a vnější částí a mimo kabel. Uvažujte vnitřní část jako nekonečně tenký a dlouhý vodič umístěný na ose z a vnější obal jako nekonečně tenkou a dlouhou válcovou plochu s poloměrem i? a se středem na ose z. Nakreslete závislost B na vzdálenosti od osy z. Ovlivňování magnetického pole jinými zdroji zanedbejte. 4. Uvažujte dvě dlouhé válcové cívky, jež se na koncích (podstavami) dotýkají. Proud protékající závity označte / a hustotu závitů (počet závitu na jednotku délky cívky) jednotlivých cívek rji a 772- Jaká je velikost magnetické indukce v místě dotyku cívek (myšleno uvnitř válců)? I2 U '-£2 R2 th 4- Ei Ri I Obr.1 93 10 Faradayův zákon, Maxwellovy rovnice, potenciály 10.1 Faradayův zákon Když se v roce 1820 zjistilo, že elektrický proud vytváří magnetické pole, a o rok později, že na vodič protékaný proudem v magnetickém poli působí síla, vyskytla se otázka, zda nelze vytvořit magnetickým polem elektrický proud. První pokusy se prováděly magnetostacionárně. Studovalo se, jestli v blízkosti vodičů s vysokými proudy nevznikají v jiných vodičích nové proudy díky přítomnosti magnetického pole. Tyto experimenty však skončily neúspěchem. Až v roce 1840 anglický fyzik Michael Faraday objevil, že se elektrické jevy projevují pouze se změnou magnetického pole, nikoli jen s jeho přítomností. Teče-li v jednom z vodičů střídavý proud, pak i ve vodiči v jeho blízkosti lze naměřit střídavý proud. Podobným způsobem můžeme generovat proud ve vodiči pomocí magnetu, který se pohybuje v jeho okolí. Hovoříme o indukovaných proudech (viz obrázek 55 a)). Uvažujme proudovou smyčku či cívku (několik smyček) připojenou na zdroj střídavého elektromotorického napětí. Smyčka ve svém okolí generuje střídavé magnetické pole / 0. V blízkosti této smyčky (nebo cívky) se nachází jiná uzavřená smyčka (viz obrázek 55 b)). Experimenty ukázaly, že střídavé magnetické pole v druhé smyčce indukuje elektromotorické napětí. Je dobré si uvědomit, že indukované elektromotorické napětí existuje v uzavřené křivce. Pohybem nábojů podél uzavřené křivky můžeme vykonávat nebo získávat práci. Elektrické pole představuje v tomto případě pole nekonzervativní, platí 7^ 0 (viz první kapitola). Nejde však o perpetuum mobile, energii dodává střídavý zdroj napětí. Je-li smyčka vodivá, pak jí za přítomnosti napětí protéká proud. Tento proud opět vytváří magnetické pole. Ruský fyzik Heinrich Friedrich Emil Lenz zjistil, že indukovaný proud v druhé smyčce má takový směr, že svým magnetickým polem působí proti změně magnetického pole, jež jej Obrázek 55: Faradayovy pokusy. 94 indukovala. Faradayův zákon v diferenciálním tvaru lze zapsat Znaménko mínus se ve vzorci objevuje právě díky Lenzovu zákonu. Stejně jako v případě elektrické intenzity můžeme definovat pod uzavřenou křivkou magnetický indukční tok jako 4>B = Jt-áÉ. Integrací Faradayova zákona (59) přes plochu d~3 obdržíme d(/)B dt Si, (60) kde £ představuje indukované elektromotorické napětí vzniklé ve smyčce, které získáme díky Stokesově větě £j = j ~Ě . d~Ý = J ^ x ~É ■ dli. V rovnici (60) uvádíme totální derivaci namísto parciální. Je to z toho důvodu, že magnetický tok může být závislý jak na ploše, tak na magnetickém poli. Obě tyto veličiny mohou být funkcemi času. Př. 10.1. Zadání: Uvažujte dlouhou cívku o TV závitech, délce l a ploše průřezu S±, kterou protéká proud Ic = Iq cos ujt. Uvnitř této cívky se nachází homogenní magnetické pole. Do této cívky vložíme kovový kroužek jenž obepíná plochu 5*2 < 5*1 (normála k ploše kroužku je rovnoběžná s vektory magnetické indukce) - viz obrázek 56. Odpor kroužku uvažujte R. Jaký proud teče kroužkem a jakou silou působí cívka na kroužek? Uvažujte pouze výše zmíněné vlivy (zanedbejte vlivy magnetického pole vytvořeného proudem indukovaným v kroužku samotném). Toho lze docílit například zvolením dostatečně velkého R. lc=l0COS0Jt Obrázek 56: Cívka s kroužkem. 95 Řešení: Jak jsme uvedli v předchozích kapitolách, uvnitř cívky platí B Faradayova zákona £j z Ohmová zákona jako OB ~dt So dlc p0NS2 l ' Dle dt l dlc P0NS2 fioNS2U>Io sin ují . Proud protékající smyčkou vypočítáme dt IR IR Nyní uvažujme sílu působící na kroužek. Ze vztahu pro Lorentzovu sílu víme, že platí di^ = Isd l x ~É. Předpokládejme, že pro daný okamžik magnetické pole směřuje ve směru z a kovový kroužek leží v rovině xy, tedy ~É = (0, 0, B) , l = (Rk cos p, Rk sin p, 0), dl = (—Rk sin p, Rk cos p, 0) dp, kde Rk značí poloměr kroužku. Po dosazení obdržíme 2tt 2tt F* = Is J (—Rk sin p, Rk cos p, 0) x (0, 0, B) dp = IsBRk J (cos p, sin p, 0) dp = (0, 0, 0). Komentář: Výsledná síla vyjde nulová. K tomu dojde proto, že magnetické pole uvnitř dlouhé cívky je homogenní. Vložíme-li jednoduchý feritový magnet (vytvářející pole podobné dipólovému) do homogenního pole, také se nebude přitahovat k jednomu z pólů (magnet se však natočí díky momentu síly tím způsobem, aby severní pól směřoval k jižnímu a naopak). Silové účinky se začnou projevovat až v případě pole nehomogenního, například u okraje cívky. Z obrázku 57 vidíme, že výsledná síla (po zintegrování přes celý obvod) je nenulová teprve v případě nehomogenního pole. L 1 i Ěf B B a) Ěf B í b) Obrázek 57: Síla na proudový kroužek v a) homogenním a b) v nehomogenním magnetickém poli. Př. 10.2. Zadání: Uvažujme homogenní magnetické pole = (0, 0, —B) pro x < 0 a nulové magnetické pole pro x > 0. V rovině xy leží čtvercová vodivá smyčka s délkou hran a a s nezanedbatelným odporem R (viz obrázek 58). čtvercovou smyčku vytahujeme konstantní rychlostí lt = (vq, 0, 0) z magnetického pole. Určete výkon potřebný k vytáhnutí smyčky. Řešení: Magnetický tok odpovídá v tomto případě zjednodušenému vztahu 0 = BS. Předpokládáme-li konstantní magnetické pole, pak změna toku může být dána změnou plochy. 96 0 0 0 0 0 000 0 ® <8)®<8) 000 000 <8> -►000 <8> B 000 <8> 000 <8> 000 <8> (8) (8) (8) (8) <8> <8)®<8) <8)®<8) (8)0(8) 000 00000000 V Obrázek 58: čtvercová vodivá smyčka tažená z homogenního magnetického pole. Uvažujeme-li, že čtvercovou smyčku vytahujeme z magnetického pole, mění se pouze x-ová souřadnice, platí dcf) = BdS = Badx. Indukované emn. ve smyčce se rovná £/ = —= dt Badx Bavo . ---— = —BavQ. Proud je pak / =---—. Z obrázku 58 jasne vidíme, ze magnetické ot R pole působí na horní část smyčky stejně velkou, ale opačně orientovanou silou jak na spodní část smyčky. Výsledná síla od těchto dvou příspěvků, v případě pevného vodiče, vyjde nulová. Nenulový příspěvek získáme od svislé části smyčky, která je zanořena v magnetickém poli. Síla ve směru osy x bude rovna B2a2v0 F = IaB R Znaménko mínus ukazuje, že síla míří proti směru vytahování. Vykonavatel práce musí působit silou proti této síle . Výkon pak jednoduše vypočteme jako P = v0Fv B2a2vl R ' Komentář: Je evidentní, že výše uvedené skokové magnetické pole není fyzikálně reálné. Přechod od nenulového pole k nulovému musí být hladký, byť může být velmi strmý. 10.2 Maxwellovy rovnice a potenciály Nyní jsme si již uvedli všechny Maxwellovy rovnice. Z historického hlediska byly vytvořeny na základě pozorovaných fyzikálních jevů, nejde o vztahy odvozené z obecnějších principů. Maxwellovy rovnice popisují provázanost elektrického a magnetického pole, které ve skutečnosti nelze uvažovat odděleně. Dochází tak k prvnímu sjednocení fyzikálních interakcí. Dále popisují vztah mezi elektrickým polem, magnetickým polem a zdrojem ve formě proudu a náboje. Tyto rovnice shrnuje tabulka 4. Další důležité rovnice uvedené v tabulce představují rovnice pro potenciály. Kromě Maxwellových rovnic a rovnic pro potenciály je uvedena v tabulce také rovnice kontinuity, kterou lze odvodit právě z Maxwellových rovnic (což dokazuje jejich fyzikální správnost) a vztahu pro Lorentzovu sílu, která popisuje působení obou zmíněných polí na částici o náboji q. Potenciály uvedené v tabulce vypadají trochu jinak, než jsme si doposud uvedli. V předešlých kapitolách jsme definovali vektorový a skalární potenciál jako 97 Maxwellovy rovnice v diferenciálním tvaru Zdrojové rovnice Bez-zdrojové rovnice Gaussův zákon £0 Gaussův zákon pro magnetické pole Rozšířený Ampérův zákon ^ -Ŕ -> d~É V x B =p0j +Aío£o^-ot Faradayův zákon Maxwellovy rovnice v integrálním tvaru Gaussův zákon £0 § ~É ■ á~É = 0 Gaussův zákon pro magnetické pole Rozšířený Ampérův zákon jB*-d~Ý = fi0I+fi0e0 §É*.d-Ý= ^B J dí Faradayův zákon Rovnice pro potenciály Elektrická intenzita t = ^xl Magnetická indukce Další rovnice elektromagnetismu Rovnice kontinuity Lorentzova síla Tabulka 4: Maxwellovy rovnice a důležité rovnice elektromagnetismu. Skalární potenciál jsme zavedli v případě elektrostatiky a vektorový v případě magnetosta-tiky. Maxwellovy rovnice jsou dynamické a závisí na čase. Proto podle nich musíme upravit i rovnice pro potenciály. Dosaďme výše uvedené potenciály do Faradayova zákona d~Š ^ X ~É = ^ X ^ifi = 0 = = -^r$ X ~A. dt dt Rotace gradientu potenciálu se identicky rovná nule. To by znamenalo, že magnetické pole musí být stacionární (z tohoto předpokladu jsme při zavádění těchto potenciálů vycházeli). Abychom tuto statičnost odstranili, rovnice pro potenciály musíme pozměnit. To, že magnetická indukce vypočtená z vektorového potenciálu je v pořádku, nám ukazuje Gaussova rovnice pro magnetické pole. Takže změnu provedeme u rovnice s elektrickou intenzitou. Přidejme k intenzitě nový člen, například ~É = ~Č - "Zip. Dosazením do Faradayova zákona obdržíme ^ x = -x~Ä. = — ^—. Jako důkaz správnosti nám jednoduše poslouží opě- dt dt 98 tovné zderivování a odvození Faradayova zákona. Potenciály tudíž získáme v novém tvaru É = _^,_frá ^ = ^x3t (61) Jak jsme ukázali, rovnice pro potenciály (61) mohou sloužit přímo k nahrazení bezzdrojo-vých Maxwellových rovnic. Řešení kompletních Maxwellových rovnic s nulovým zdrojem (g = 0, ~~j = ~[f) popisuje elektromagnetickou vlnu (světlo) ve vakuu, která se pohybuje rychlostí c. Tato rychlost se právě rovná c = y/l/fi^eo. Je velmi zajímavé, že v řešení se vyskytuje rychlost jako neměnná konstanta. Selský rozum říká, že pozorovatel, který pozoruje světlo, by měl měřit jinou rychlost než pozorovatel, jenž se vzhledem k prvnímu pozorovateli pohybuje nějakou nenulovou rychlostí. Tyto rozpory zamotaly hlavy nejslavnějším fyzikům devatenáctého století. Podařilo se je rozlousknout až ve století dvacátém slavnému německému fyzikovi Albertu Einsteinovi (1879 - 1955), který postuloval, že pro všechny pozorovatele se světlo pohybuje stejnou rychlostí, nezávisle na vzájemné rychlosti daných pozorovatelů. 10.3 Kalibrační invariance V minulých kapitolách jsme si ukázali, že ani skalární, ani vektorový potenciál není určen jednoznačně. Uvažujme rovnici pro vektorový potenciál . Jak jsme zmínili dříve, k potenciálu můžeme přičíst kalibrační funkci / tak, že výsledné magnetické pole zůstane nezměněno: V x (~í + Vf) = Vx^+VxV/ = Vx^ = S. Elektrická intenzita závisí jak na vektorovém, tak na skalárním potenciálu É = — vip--—. Kalibrační funkce u vektorového potenciálu pozmění i elektrickou intenzitu. K tomu však nesmí dojít, proto kalibrace musí být provedena tak, aby ~Ě a ~Ě zůstaly nezměněny, poněvadž ~Ě a ~Ě jsou fyzikálně měřitelné veličiny. Díky tomu, že jsme přešli od statického (případně df stacionárního) pole k nestatickému, můžeme uvažovat skalární potenciál ve tvaru

d~P Použujeme-li definici D a rovnici pro polarizační proud —— = j poi, obdržíme kompletní ot Ampérův zákon pro látkové prostředí Vx2 = ? + ^. (63) 7Vlastní magnetické momenty látek pochází především ze spinu (kvantově mechanická vlastnost odpovídající rotaci) nabitých částic (elektronů, kvarků) a z pohybů elektronů okolo jádra. 101 Maxweľlovy rovnice v prostředí vyjadřuje tabulka 5, kde fi značí konstantu, která v aproximaci vyjadřuje lineární závislost mezi magnetickou intenzitou a magnetickou indukcí pomocí ~É = fJLo (1Ě + = fJLQ (1Ě + Xm^) = /iO (1 + Xm) ~É = flÉ, kde Xm je magnetická supceptibilita. Maxwellovy rovnice v prostředí Zdrojové rovnice Bez-zdrojové rovnice Gaussův zákon Gaussův zákon pro magnetické pole Rozšířený Ampérův zákon Faradayův zákon Vztahy indukce a intenzity Elektrická intenzita eqÉ = ~Ů - Ť ~Ě = fioÉ + hqÉ Magnetická indukce Vztahy indukce a intenzity, lineární aproximace Elektrická intenzita eE = D ~B = fiH Magnetická indukce Tabulka 5: Maxwellovy rovnice v prostředí. Je potřeba zdůraznit, že poslední řádek tabulky 5 je pouze aproximativní a platí pouze pro některé materiály, slabá pole a pole měnící se s časem velmi málo. 10.6 Energie elektromagnetického pole 10.6.1 Hustota energie elektromagnetického pole Z minulých kapitol víme, že částice v elektrostatickém poli má potenciální energii. Elektrostatické pole vytvářejí nabité částice a každá částice má v tomto poli vlastní potenciální energii. V případě, že bychom měli náboje pouze jednoho znaménka (kupříkladu kladného), tuto energii bychom mohli získat přesunutím náboje do větší vzdálenosti od ostatních nábojů. Víme, že elektromagnetické pole je se svými zdroji svázáno pomocí Maxwellových rovnic. Přísluší-li energie zdrojům (hustotě náboje a proudu), pak totéž musí platit i vůči elektromagnetickému poli. Pro následující popis energie příslušející elektromagnetickému poli zavedeme hustotu energie wem, pro kterou platí Eem = / wem&V. v Odvození hustoty energie elektromagnetického pole lze provést za použití Maxwellových rovnic (viz tabulka 4). Po vynásobení Faradayova zákona vektorem magnetické indukce a po 102 vynásobení rozšířeného Ampérova zákona elektrickou intenzitou vyjde Tyto rovnice od sebe odečteme a upravíme do tvaru dÉ -3 dÉ 1 d /„2 E2 E-VxB-B-VxE=p0Ej + p0s0E ■ — + B ■ — = p0E j + -— ^B z+ ^ Na levou stranu rovnice použijeme identitu ~É - ^ x B* — ~É - ^ x E* = ■ (É x ~É^j, jež zjednoduší rovnici na Uvažujeme-li Lorentzovu silu (46) vynásobenou vektorem rychlosti, obdržíme výkon P = lt - Ť = alt ■ (É + lt xÉ) = q!? ■ ~É. Máme-li náboj spojitý a nikoli bodový, lze výše uvedenou rovnici zapsat pomocí hustoty výkonu P = J pdV. ^•E> = ufí-Í-É> = ^-(txE*\-l-l(B2+E2 VoP = VoQv ■ u = p0 j ■ ľj = v • yts x ľj j - -— y& + ~2 kde q = j gdV a ~~j = 'Ú'q. Výkon elektromagnetického pole (vztažený na jednotku objemu) je dán dvěma členy. První odpovídá divergenci Poyntingova vektoru S = —É x É. Poyn- tingův vektor popisuje šíření elekromagnetické energie kupříkladu elektromagnetické vlny (světla). Tento člen vyjadřuje změnu energie příchodem či odchodem elektromagnetických vln. Druhý člen popisuje časovou změnu elektrického a magnetického pole. Pokud nebudeme uvažovat příchod či odchod elektromagnetické vlny, pak výkon vypočítáme jako zápornou změnu energie v čase P = ~~q^ nebo p =--Dosazením do předešlých rovnic a odstraněním derivace získáme rovnici 1 (E2 \ wem = — (-ž + B2 . (64) Energie v daném objemu je dána objemovým integrálem. 10.6.2 Energie elektrostatického pole Uvažujme elektrostatické pole ~É = 0. Dále předpokládejme, že pole popisují veličiny ~Ě = — ^ip, g = • ~Ě■ Potenciál zvolme v nekonečnu roven nule. Uvažujeme-li celkovou elektrostatickou energii, musíme započítat celkový prostor (který je nekonečný). Výsledná energie pak vyjde V v 103 Použijeme-li identitu z příkladů na doma 1.4, lze výraz upravit do podoby E=ej- J^.táV-^ J^\pt) áV = \ JipgdV-^fipÉ-dt, V V V dV kde dV značí hranici objemu. Uvažujeme-li objem nekonečný, integrál přechází po hranici v nekonečnu, kde jsme si zvolili p = 0. Pak i integrál přes hranici bude nulový. Výslednou elektrostatickou energii je možno vypočítat dvojím způsobem E = J f E2dV> E = \J ^dV- (65) v v Příklady k procvičení 10.1. Uvažujte magnetický dipól v obdobném tvaru jako elektrický dipól (x -a, y, z) (x + a,y,z) \ K (x — a)2 + y2 + z2 3/2 [x + a)2 + y2 + z2 3/2 Jaký je magnetický tok rovinnou, která je dána rovnicí x = 0? Příklady k procvičení 10.2. Uvažujte elektrické pole ve tvaru E = — (y, —x, z), kde g2 = x2 + y2. Určete vektor magnetické indukce. Příklady k procvičení 10.3. e2 Ao f 3 2 ~Á. = AoÝte^k^r +c * ). Ukažte, zdali platí Lorenzova kalibrační podmínka. Uvažujte skalární a vektorový potenciál v následujícím tvaru

. Na počátku uvažujeme kondenzátor nabitý nábojem Qq a proud je nulový Iq = 0. Výsledné řešení zapíšeme ve tvaru C __Rt COS (cjt + ť/j) 2 1 i?2 ( R \ QQ=Acos(ip) ,tan () = - =>- Q = Q0e ^-——, w = — - —^, = f BdS = f Bdpdz, kde z G (0; b) a p G (R; R + a). Integrál zjistíme ze vztahu NppI 2irp dpdz Np0I zL In p Np0Ib^ ÍR + a 107 Podle vztahu pro tok všemi TV závity TV— = L^- lze odvodit dt ot _ N2iiQb^ fR + a L = -In 2tt V R Př. 11.3. Zadání: Uvažujte obvod s cívkou o indukčnosti L a rezistorem s odporem R. Na počátku je proud cívkou a rezistorem Iq. Vypočtěte časový vývoj proudu a práci magnetického pole cívky, kterou vykoná předtím, než proud klesne na nulu. Řešení: Máme jednoduchý obvod obsahující pouze cívku a rezistor, například ve formě žárovky. Pokud na počátku prochází cívkou proud Iq, pak rezistor způsobuje úbytek napětí U = RI, který snižuje proud. Cívka vytváří indukované emn. £j = — L—, které míří proti změně proudu, a proto proud okamžitě neklesne na nulu. Z výše uvedeného jednoduše zjistíme Rt dl - — U - £i = 0 RI + L— = 0 I = I0e L . Ot Proud v čase exponenciálně klesá. Žárovka (rezistor) svítí, jestliže jí teče proud. Taková žárovka má jistě výkon a do svého okolí uvolňuje energii. Jak jsme již dříve uvedli, výkon žárovky (lépe příkon) lze vypočítat jako násobek proudu a napětí P = UI. Zdrojem napětí je v tomto případě cívka, tedy P = —LI—. Práci z výkonu obdržíme právě jako jeho časový integrál 0 I0 W = J Pát = - J Ll^dt = -L j Idl = L j Idl = ^LI$. i0 o Meze integrálu jsme zvolili tak, aby na začátku byl proud nenulový a na konci nulový. Př. 11.4. Zadání: Uvažujme dlouhý solenoid. Vypočtěte hustotu energie magnetického pole uvnitř tohoto solenoidu. Srovnejte s hustotou energie elektrického pole mezi deskami kondenzátoru. Řešení: Magnetické pole uvnitř dlouhé cívky v úseku o délce l vyjádříme pomocí vztahu B = —y^-, kde iV značí počet závitů v cívce o délce l. Pole je uvnitř cívky homogenní. Objem uvnitř cívky (nikoli celkový, ale pouze dílčí) získáme ze vztahu V = IS. Pro dlouhou cívku je indukčnost cívky dána rovnicí (67). Hustotu energie cívky, kterou protéká proud, vypočteme IB _Em__ lLr_ _ l^SN2 \NfioJ _ LČ_ WM~V~2V~2 l SI ~ 2/i0' 108 V případě deskového kondenzátoru energii získáme ze vztahu Ee = -CU2. Kapacitu S s deskového kondenzátoru vypočteme C = —j- (viz rovnice (22)). Napětí mezi deskami určíme vztahem U = dE. Objem mezi deskami zjistíme ze vztahu V = Sd. Hustotu energie vyjádříme: 1 Se0 (dE)2 e0E2 E2 wE 2 d Sd 2 2fi0c2 Výsledná hustota energie je funkce pouze elektrického a magnetického pole, případně příslušných konstant, pro které platí eoMo = Sečteme-li oba výsledky, obdržíme známý vztah cz z předešlé kapitoly (64) pro hustotu energie elektromagnetického pole 1 (E2 w wem = 7,- \ —ô + B' 11.2 Vzájemná indukčnost Uvažujme dvě cívky. Cívka 1 je dlouhý solenoid, kterou ovinuje kratší cívka 2 (viz obrázek 61). í Obrázek 61: Dvě cívky vložené do sebe. Nechť cívkou 1 o délce h a počtu závitů N\ protéká proud I\. Ten tvoří magnetické pole Ni uvnitř této cívky o velikosti B\ = fiQli — . Je-li cívka 1 dostatečně dlouhá, je pole mimo ni h malé. Celkový magnetický tok cívkou 2 (tok každým závitem) se pak rovná (f)2 = S1N2B1, kde N2 určuje počet závitů druhé cívky, Si značí plochu řezu první cívky. Ve vztahu pro tok jsme použili Si, protože magnetické pole B\ je vně cívky 1 zanedbatelné oproti poli uvnitř. Tok cívkou 2 je úměrný počtu závitů. Indukované elektromotorické napětí na druhé cívce se z Faradayova zákona rovná £ d02 = /iofr N±N2 dh 12 át h dt ' Na cívce 2 se vytváří indukované emn., které závisí na časové změně proudu. Veličiny uvedené před časovou derivací jsou všechny konstanty týkající se obou cívek a dají se vyjádřit souhrnně pomocí veličiny, jež se nazývá vzájemná indukčnost M2i, tedy 8I2 = -M21^. ot 109 78 Pokud cívku 2 napojíme na střídavý zdroj napětí, jenž generuje proud, pak cívkou 1 prochází magnetický tok a následně v ní generuje indukované emn. Vzhledem ke konstrukci dvou cívek z obrázku 61 je následující výpočet obtížnější než v prvním případě, kde můžeme užít řadu aproximací. Uvažujeme-li vzájemnou indukčnost, výsledek se shoduje Sn = "M12§. ot Pomocí vektorového potenciálu dokážeme, že M\2 = M21. Uvažujme obecně dvě cívky libovolného tvaru, které vytvářejí magnetické pole popsané vektory A a ~É, kde . Jak víme z Faradayova zákona, indukované emn. na cívce je záporná derivace magnetického toku. Uvažujme nehomogenní magnetické pole, tok vypočteme integrálem magnetické indukce přes plochu všech závitů |/(***) f/^- Použitím rovnice (56) obdržíme Uvažujeme-li, že smyčka se nerozvětvuje a její tvar se v čase nemění, můžeme proud vytknout dl2 Po j j 1 ^ dl2 ot 47T 7 7 I r 1 — r 2I ot Záměnou 1 <—> 2 obdržíme oIi / / 1 ,_>,_>. dh ot M- £l2 = -^f f l^-^1-^ Vidíme, že integrály jsou stejné M21 = M12 = M = ^-j> j _^ * _^ d^2 • d^i- (68) Indukované elektromotorické napětí se rovná dh Sn = ~M~^- (69) Použitím tohoto vztahu a integrálního tvaru Faradayova zákona (60) lze odvodit rovnici pro tok magnetického pole, které vytváří cívka 1 a prochází cívkou 2, ve tvaru 02i = M/i. (70) Tok 02i je obecně jiný než tok i=0 4?r y [i?2 + - 2ui?i sin^i] 1/2 du 2tt 0. Př. 11.7. Zadání: Uvažujte čtvercovou smyčku v blízkosti nekonečně dlouhého lineárního vodiče ležící v jedné rovině. Spočtěte vzájemnou indukčnost. Délku hrany čtverce uvažujte L a vzdálenost od vodiče a (viz obrázek 62 b)). 111 Řešení: Víme, že magnetické pole v blízkosti vodiče se rovná B = t!®Lm Dle obrázku Z7rr uvažujme r = x. Tok čtvercovou smyčkou je pak BdS = í TBdxdy = L T^dx = ^lnL±^. J J J 2irx 2ir a 0 a a Vzájemná indukčnost se za použití rovnice (70) rovná 2ir a 11.3 Transformátor Uvažujme feromagnetikum (látku, jež zesiluje magnetické pole) toroidálního tvaru o obvodu l. Feromagnetikum jsme použili proto, aby vzniklé magnetické indukční čáry zůstaly uzavřené uvnitř něj. Feromagnetikum má relativní permeabilitu \ir » 1. Toroid obmotáme dvěma vodiči, kterými protékají proudy I\ a I2 8. Obrázek 63: Transformátor. Uvažujme ideální transformátor fir —> oo, který pracuje beze ztrát a bez rozptylu. Počet závitů transformátoru předpokládejme Ni a N2. Dle Ampérova zákona se magnetické pole uvnitř feromagnetického toroidu vypočte z rovnice -d~t = fi(N1I1 +N2I2 Magnetický tok pak vyjádříme vztahem 4> = f B* ■ d~É. Uvažujme, že první cívka je připojena ke zdroji střídavého elektromotorického napětí E\ a na koncích druhé cívky lze měřit časově závislé napětí £2. Oba obvody lze, dle druhého Kirchhoffova zákona, popsat ve tvaru *-^Vi = 0, £2-^N2 = 0. dt dt 8V literatuře lze najít označení pro střídavé proudy, které jsou potřebné pro fungování transformátoru, malým písmenem i. 112 Pokud první rovnici vynásobíme N2 a druhou N\ a odečteme je od sebe, obdržíme rovnici £\N2 — £2^1 = 0. Úpravou získáme známý vztah pro transformaci napětí transformátorem Transformátor přeměňuje napětí, a to tak, že primární obvod připojíme na zdroj střídavého napětí a v sekundárním obvodu se vytváří napětí jiné (buď vyšší nebo nižší - podle počtu závitů). Aby nedošlo ke špatnému pochopení, je třeba uvést, že tímto způsobem však rozhodně nelze zvyšovat výkon zdroje, zvyšuje se pouze napětí. Navíc tento princip nefunguje pro transformaci stejnosměrného napětí, ale pouze střídavého. Mějme jednoduchý obvod se střídavým zdrojem napětí a rezistorem. Uvažujeme-li emn. ve £2 £2 cos2 (ujt) - tvaru £ = £max cos (ut), pak okamžitý výkon bude P = £1 = — = max -. Časovou R R íPdt £2. střední hodnotu jednoduše vypočteme jako (P) = ——— = ™ax. Zavedeme-li efektivní proud T 2R ief = m^ a emn. £ef = "^.x, pak (P) = = £eflei- V případě transformátoru se prů- v 2 v 2 R měrný výkon zachovává, platí £lef/lef = £2eíheí■ Z výpočtu vidíme, že pokud transformátor v sekundárním obvodu oproti primárnímu má větší napětí, proud protékající sekundárním obvodem je menší než v primárním. Toho se využívá v energetice, aby se zamezilo ztrátám při přenosu energie na velké vzdálenosti. Napětí v těchto vodičích je vysoké, ale proud je malý ztráta na dlouhém vodiči o odporu R se pak vypočte (za dobu, jež je řádově větší jak perioda R střídavého napětí) AE = Atl2iax — . Příklady k procvičení 11.1. Uvažujte zapojení z obrázku 62 b). Nej vzdálenější strana čtverce od vodiče je fixovaná a stává se tak osou otáčení čtverce. Zjistěte, jaký náboj proteče čtvercovou smyčkou, je-li její odpor R. Vodičem protéká proud / a smyčka se otočí o 180°. Příklady k procvičení 11.2. Uvažujte kruhovou smyčku o poloměru R\. Na ose smyčky ve vzdálenosti d 3> R\ se nachází druhá kruhová smyčka o poloměru R2 ut + p, nebo ekvivalentně použitím komplexního U. Maximální napětí potom odpovídá velikosti U, tedy U Uvažujme reálné Ú, jež určuje maximální hodnotu napětí (nezávislé na čase). Pak U = Úé^t+^ = Úéwtév = (úcosp + iÚsmy) éwt = Ú'eiujt, kde U' představuje již komplexní veličinu. Máme na výběr pro popis fázového posunu: buď pomocí úhlu tp, nebo komplexního U. Př. 12.1. Zadání: Najděte komplexní číslo ä = i + a/3 ve tvaru a = Aeííp, kde ip a A jsou reálná čísla. Řešení: Tvar ä = Ae%íp můžeme přepsat do podoby a = A (cos p + i sin p) . Víme-li, že platí cosp2 + sinp2 = 1, pak se velikost komplexního čísla rovná A = I l2 + a/3 J = 2. Dále lze zapsat rovnost r \/3 1 7t ä = j + V3 = 2 (cos p + i sin p) =ř cos p = -, sin p = - =ř p = —. 2 2 6 i — Výsledek vyjádříme ve tvaru ä = 2e 6 . Komentář: Polární zápis je vhodný pro násobení komplexních čísel. Uvažujme dvě komplexní čísla ôi = Aié^ a ~a2 = A2e^2. Jejich násobek je ~ax~a2 = A1A2ei^1+íP2\ 115 Př. 12.2. Zadání: Uvažujte dvě komplexní čísla ä± = R±+ il\ a a2 = R2 + ih- Najděte jejich podíl —. (R a I v tomto případě neznačí odpor a proud, ale imaginární a reálnou část komplexního a2 čísla.) Řešení: ži _ Ri + ih _Ri+ ih R2 - ih _ R1R2 + hh + i {I1R2 - hRi) a2~ R2 + ih ~ R2+ ih R2 ~ ih ~ Rl + h2 Komentář: V polárním zápisu se výsledek o poznání zjednoduší 0.2 A2 Př. 12.3. Zadání: Dokažte, že součin velikostí dvou komplexních čísel se rovná velikosti součinu dvou komplexních čísel. Řešení: Mějme dvě komplexní čísla äi = R±+ih a d2 = R2+ih- Složky komplexních čísel můžeme uvažovat jako složky dvojrozměrného vektoru, pro velikosti tudíž platí |ä|2 = R? + I2. Součin dvou komplexních čísel lze zapsat jako ôiÔ2 = (Ri + ih) (i?2 + ih) = R1R2 - hh + i (Rih + /1-R2) • Kvadrát velikosti tohoto komplexního čísla je |äiä2|2 = (RľR2 - hh)2 + (i?i/2 + /ii?2)2 = R\R\ + + R\h2 + l\R\ = |äi|2 |ä2|2 . Velikosti splňují vztah |<3l<32| = j Cti j |Ô2| , což bylo vidět i v komentáři k příkladu 12.1. 12.2 Základní prvky střídavých obvodů Uvažujme jednoduchý obvod obsahující zdroj střídavého elektromotorického napětí a rezistor (viz obrázek 66 a)). Sestavme dle druhého Kirchhoffova zákona rovnici pro tento obvod: £ — RI = 0. Elektromotorické napětí na střídavém zdroji uvažujeme £ = £etujt. Pro splnění rovnice musí i proud záviset na čase jako I = -= éwt- = eiwtí. R R Vidíme, že proud nemá vzhledem k emn. žádný fázový posun (odpor je veličina reálná), je ve stejné fázi. Ve střídavých obvodech se odpor rezistoru značí Z r a nazývá se rezistance. 116 £ £ £ R L C Obrázek 66: a) Rezistor b) cívka c) kondenzátor ve střídavém obvodu. Uvažujme jednoduchý obvod obsahující zdroj střídavého elektromotorického napětí a cívku (viz obrázek 66 b)). Sestavme dle druhého Kirchhoffova zákona rovnici pro tento obvod dl £ — L— = 0. Z této rovnice lze jednoduše vyjádřit proud jako kde Zl = iuiL se nazývá induktance. V případě, kdy do obvodu zapojíme cívku, proud v obvodu již zjevně nebude ve stejné fázi jako emn. Pokud napětí má reálnou část cos (cjí) , pak proud má reálnou část sin (ut). Obě veličiny jsou od sebe posunuty o tt/2. Elektromotorické napětí tak předchází proud o čtvrt periody. Mějme jednoduchý obvod obsahující zdroj střídavého elektromotorického napětí a kondenzátor (viz obrázek 66 c)). Sestavme dle druhého Kirchhoffova zákona rovnici pro tento obvod £ — Q = 0. Z této rovnice snadno vyjádříme proud jako kde Zc = —7: a nazývá se kapacitance. Jestliže reálné napětí je funkcí cos (ut) , pak proud VjJL je zase funkcí — sin(cji) . Proud předchází elektromotorické napětí o tt/2. 12.3 Zapojení RLC prvku ve střídavém obvodu S veličinami rezistance, induktance a kapacitance se ve střídavém obvodu pracuje obdobným způsobem jako s odporem v klasickém obvodu. Uvažujme sériové zapojení RLC ve střídavém obvodu (viz obrázek 67). V případě tří sériově zapojených rezistorů je výsledný odpor dán prostým součtem jednotlivých odporů. Stejným způsobem budeme postupovat, i když odpory nahradí rezistance, induktance a kapacitance dt C 1 117 <5> /YY\ Obrázek 67: Sériové RLC ve střídavém obvodu. Veličina Z se nazývá impedance. V případě sériového LCR zapojení pro impedanci platí Z = R + i ( ujL--— I . V předešlém příkladu jsme ukázali, že velikost součinu komplexních čísel se rovná součinu velikostí komplexních čísel. Díky této znalosti a použitím maximálního proudu |/| v obvodu a maximálního emn. \£\ získáme \£\ \Z\\I\ \Z\ R2 + [uL 1 uČ Tento výraz lze zobecnit přechodem od elektromotorického napětí ke klasickému napětí na svorkách soustavy. Lze uvažovat pozměněný Ohmův zákon, kdy okamžité napětí a proud vystřídají maximální napětí a proud a kde na místo odporu použijeme velikost impedance. Př. 12.4. Zadání: Vypočtěte obvod, ve kterém je RLC zapojeno paralelně. Řešení: Pro paralelní zapojení platí 1 _ 1 1 1 Z Zr Zl Zc ZrZc + ZlZc + ZrZl ZrZlZc Z ZrZlZc ZrZq + Z^Zc + ZrZl Dosazením za Zr, Zl a Z c obdržíme Z 4 4 L r, f r 1 č+lR[U)L-uč L r, f r 1 č+lR[U)L-uč L — -iR\ uL 1 L — -iR\ uL 1 uČ R L Č L Č iR I uL 1 uČ c2 + R2 [uL 1 uČ 118 Velikost impedance je z =-±- L2 / ix2^1/2' č-i+R2{"L-ZČ Z Ry Iy Fázové posunutí určíme z rovnice z rovnice elíp = =4> cos- - [ť + ^ož/z) = 0 =>- ť + wož/z = wocZ =>- / o" o = 1 („:2 i , .2„.2V n _^ „-.2 , , .2 2 , .22^ 2/ c2 — y2 119 dy V* LUodt arcsm Lo0t + ipo y = c sin (co0t + x obdržíme původní rovnici (72) a to i přes to, že funkce x\ v sobě obsahuje maximální počet (dvě) integračních konstant. Najdeme-li tedy libovolné řešení pro x splňující rovnici (72), získáme tak po sečtení řešení z rovnice (73) zcela obecné řešení rovnice (72) Funkce kosinus lze rozepsat cos (cot) že řešení pro funkci x může být ve tvaru elwt + e íujt) /2. Přemýšlivého čtenáře napadne, —iwt x = A+eluJl + A_e kde A+ a A_ jsou zatím neurčené komplexní konstanty. Dosazením obdržíme A+elujt (k2 + ifciíd - tu2) + A_e-lujt (k2 - ikxuj - ur) = k3 (eluJÍ + e Vyjádřením pro členy élu)t a e~lu)t obdržíme vztahy pro konstanty A+ a A- /2. {k2 i (k\Lú) (k2 - u2)2 + (huý A- (k2 - LO2) +Í(k1Lú) (k2-LJ2)2 + {k1L0)2 Zpětným dosazením obdržíme h (k2 — LO2) cos (cot) + k\uj sin (cot) (k2 Z tohoto řešení je možné určit amplitudu k3 LO 2^ + (fclíd) (74) A =- (k2 a fázi kmitání L02)2 + (k1Ĺ0Ý k2 LO2? + (k1L0)2 1/2 k3 (k2 - LO2)2 + (klLoý 1/2 tg (V) Rovnici (74) lze tedy přepsat do tvaru k\LO [k2 LO' A cos {loí + tp) (75) Přičtením řešení z homogenní rovnice k rovnici (75) obdržíme obecné řešení diferenciální rovnici (72) ve tvaru x = A cos (loí + p>) + ce~xt sin (loqí + tpo). (76) Z výsledku je patrné, že v závislosti na počátečních podmínkách náboj nejprve osciluje částečně s vlastní frekvencí loq a částečně s frekvencí vynucenou lo. Vlivem nenulového A, které je úměrné odporu obvodu (ten je vždy nenulový), amplituda vlastní oscilace exponenciálně klesá a v obvodu se stává dominantní oscilace nucená. Po určité době vlastní oscilace zcela vymizí a obvod se ustálí na průběhu popsaném rovnicí (74), respektive (75). 120 Příklady k procvičení 12.1. Upravte a vypočtěte velikost komplexních čísel: ä Příklady k procvičení 12.2. Najděte komplexní číslo ä = 2i ve tvaru Aéllp. Příklady k procvičení 12.3. Uvažujte střídavý obvod z prvního obrázku 68, kde R je odpor rezistoru, L indukčnost cívky, C kapacita kondenzátoru a oj frekvence střídavého zdroje. Vypočtěte reálnou a imaginární část impedance tohoto zapojení. Obrázek 68: Střídavé obvody. Příklady k procvičení 12.4. Uvažujte střídavý obvod z druhého obrázku 68, kde R je odpor rezistoru, L indukčnost cívky, C kapacita kondenzátoru a oj frekvence střídavého zdroje. Vypočtěte reálnou a imaginární část impedance tohoto zapojení. Příklady k procvičení 12.5. Uvažujte paralelně zapojenou cívku o indukčnosti L a rezistor o odporu R. K této soustavě je v uzavřeném obvodu do série zapojený ampérmetr o zanedbatelném odporu a zdroj střídavého napětí £. Z ampérmetru je zřejmé, že ve chvíli kdy je proud maximální, napětí na zdroji nabývá hodnoty jedné poloviny maximální hodnoty. Určete frekvenci zdroje napětí. Doporučená literatura Elektřina a magnetismus (Sedlák, Štoll), 2002: str. 497-524 Feynmanovy přednášky z fyziky 1, 2000: str. 302-306, 309-317, 339-342 Feynmanovy přednášky z fyziky 2, 2001: str. 300-304, 389-407 Elektromagnetismus (Andrej Tirpák), 1999: str. 422-430 Fyzika (Halliday, Resnick, Walker), 2000: kap. 33 11 1-11 1 - + —— + —-,& = - + ——-—-• i i — 1 i + 1 i i — 1 í + 1 121 Čtvrtsemestrální písemná práce č. 4. 1. Určete elektrické napětí (jako funkci času) indukované na vodivém kroužku o poloměru r = R/2 nalézajícím se uvnitř dlouhé cívky (o ploše průřezu S = ttR2 a počtu závitů ./V a na délce L), kterou protéká elektrický proud I = Iq sin (ut). Rovina kroužku je kolmá na magnetické pole v cívce. V oblasti uvnitř cívky uvažujte vakuum. Určete vzájemnou indukčnost. 2. Uvažujte jednoduchý obvod bez rezistoru, který obsahuje pouze cívku a kondenzátor (sériově zapojené). Uvažujte, že v čase t = 0 je na kondenzátoru náboj Q a proud protékající obvodem je roven nule 1 = 0. Jaký bude další časový průběh náboje a proudu v obvodu? Vypočtěte a nakreslete časovou závislost / a Q na t. 3. Uvažujte vektorový potenciál ve tvaru Á = K sin (ut) (0, —~), kde r2 = x2+y2+z2. Vypočtěte vektor magnetické indukce ~É. Veličiny lo a K jsou konstanty. 4. Určete vektor elektrické intenzity ~Ě, víte-li, že skalární potenciál

d~Ě =± -i dÉ VxB =fi0j +iiQEQ — , V x E = ——. Maxwellovy rovnice v integrálním tvaru dt Rovnice kontinuity Lorentzova síla F=q(E+ltx Lorentzova síla působící na element vodiče d~f = Id~Ý x ~É. Rovnice pro potenciály ^ dt Řešení skalárního potenciálu pro statické elektrické pole 1 ľ dQ 4ttsq J \~Ý — ~Ý'' Řešení vektorového potenciálu pro statické magnetické pole ^ IďÝ' Řešení elektrické intenzity pro statické elektrické pole 47t£0 J [Ý - ~Ý'\3 123 Řešení magnetické indukce pro stacionární magnetické pole ~Ř W) f ~~J x ("^ — ~ř¥l) dV fio f I (Ý — ~Ý') x d~Ý' Řešení potenciálu a napětí z elektrické intenzity

> dz dfi 3z2 3.5: ~Ě= 2kc~¥>e-cr'2, g = 2£0kce-cr'2 (3-2cr2 ^ = csm(xyz), ^ = ctyzcos(xyz), = ctxz cos(xyz), = ctxy cos(xyz), 4.1: - 4^0r- Grafy viz obrázek 70. Q dh _ „sin(cr) dh dt Žil = -2v^__ dy y fA i qz c ^p2 ) qx cos(cí) dh o cos(cŕ) o~cos(cr) 4-2: ^ = -S,^ = -gln(i)-ff. 1.2: V* • Ý = 0,V* x ^ = (0,0, 2w). Grafy viz obrázek 71. 4-3: tg(V) = ^. 1.3: Bez komentáře. 1.4: Bez komentáře. 4.4: ~Ér>R2 = £e '"'^'s , ER2>r>Rl = 0 , u [xÁ+yÁ+zÁ\ 2 rrz--r, -tvR 1.5: Závisí na křivce, pole není konzervativní. Pro případ přímky ~Ý = (t, t, t) spojující body (0, 0, 0) a (1,1,1) je integrál roven I = \. (x,y,z—zi) \x2+y2 + (z—zi) 'li —L x,y,z--L x2+y2 + \ z Ŕ2 -"1 39 2.1: -S- = -2,27-10 ť G 2.2: ^ = (0,0,£z), _ _Qz_ _ ztR 4:TTeo(z2+R2P 2e0(z2+R2)Í ' 0 o — í - '■3: ^ Lw'w'2eo Vz v^W 2.4: ^ = (0,0,0). 2.5 : t 3.1: a) Ä2 = 3^:(ÄÍ-Ä?) Grafy viz obrázek 69. 3.4: Bez komentáře. 4.5: 5.1: 5.2: 5.3: 5.4: 5.5: 6.1: 6.2: 6.3: 6.4: 6.5: 7.1: 7.2: kR4 ,„ fci?3 fcr3 C ■KR2ea R+2a-[R2+(2aý}1/2' C = 2TvRe0. Cc = \C. Cr. = C. 7 _ £0g2(£r-l) , = eoU2(er-l) ln(R2/Ri)gg(R%-R2) ' C c J = I = 5(ei-e2) Zln(ei/e2)" 4ira - R2-Ri 2-kRS P 2tt£L p\n(R2/Ri)- 125 7.3: Q = £C (l - e~éŕj , I = ^e~én. 7.4: / = ^ h + e-šUň 7.5: Cc = \C. 3.1: B, 'rR Hqu> qq(R2-r2) 8.3: Br ,3 2 J 8.4: Bra = \p0ja. 8.5: tz>Q = (o,-^a,0 £,