1
Rybí oko, čočka rybího oka
Jak vidí ryby?
– rybí čočka je kulatá, tvar je neměnný
– zaostřování probíhá přibližováním a oddalováním
čočky od sítnice
– ryby jsou krátkozraké
– široký pozorovací úhel, cca 150–170°
– ryby vidí barevně
ovšem: barevné podání pod vodou závisí
na čistotě vody a na hloubce (červené světlo
proniká jen mělce)
– index lomu a absorbce čočky závisí i na množství
parazitů v ní žijících (jedno vývojové stádium
motolice) – ryba hůř vidí a tak se nechá snadněji
sežrat finálním ptačím hostitelem :-(
(zdravé lidské oko má 60 dioptrií)
Čočka kapra obecného
(to černé je úpon svalu):
kulatá, 2R = 5 mm
→ ohnisková vzdálenost f je
cca 0,00125 m, tedy 800 dioptrií
Nikon 8–15 mm f/3,5–4,5E ED
Viz též u fotoaparátů
širokoúhlý objektiv
(předsádka, adaptér)
typu rybí oko:
2
E = ∬E(r) dx dy =
A
r0
∬e
−i(kx x+k y y)/a'
dx dy
Výpočty pro difrakci na kruhovém otvoru
Kartézské a polární souřadnice, Besselovy funkce 1. a 2. řádu
Difrakční integrál ve Fraunhoferově aproximaci:
x=r cosφ , y=r sin φ
φ
y r
x
r=√x
2
+ y
2
, φ=arctan y/x
kx=k cosβ, ky=ksinβ
kx x+k y y = kr (cosφ cosβ + sin φ sinβ) = k r cos(φ−β)
E =
A
a'
∫0
R
r dr∫0
2π
e
−i k r cos(φ−β)
d φ
– prvním integrováním vyjde Besselova funkce nultého řádu J0(…)
– po druhém integrování vyjde Besselova funkce prvního řádu J1(…)
– konečný výsledek:
I (r) =|E
2
|= Imax (2J1(kr R/a')
kr R/a' )
2
≡ Imax (2J1(k Rsinθ)
k Rsinθ )
2
Převod kartézské ↔ polární souřadnice:
Výpočet difrakčního integrálu:
Skalární součin v exponenciele:
r=√x
2
+ y
2
, φ=arctan y/x
3
E = ∬E(r) dx dy =
A
r0
∬e
−i(kx x+k y y)/a'
dx dy
Výpočty pro difrakci na kruhovém otvoru
Kartézské a polární souřadnice, Besselovy funkce 1. a 2. řádu
Difrakční integrál ve Fraunhoferově aproximaci:
x=r cosφ , y=r sin φ
φ
y r
x
r=√x
2
+ y
2
, φ=arctan y/x
kx=k cosβ, ky=ksinβ
kx x+k y y = kr (cosφ cosβ + sin φ sinβ) = k r cos(φ−β)
E =
A
a'
∫0
R
r dr∫0
2π
e
−i k r cos(φ−β)
d φ
– prvním integrováním vyjde Besselova funkce nultého řádu J0(…)
– po druhém integrování vyjde Besselova funkce prvního řádu J1(…)
– konečný výsledek:
I (r) =|E
2
|= Imax (2J1(kr R/a')
kr R/a' )
2
≡ Imax (2J1(k Rsinθ)
k Rsinθ )
2
Převod kartézské ↔ polární souřadnice:
Výpočet difrakčního integrálu:
Skalární součin v exponenciele:
r=√x
2
+ y
2
, φ=arctan y/x
4
Mezní rozlišovací schopnost – lidské oko
… aneb aplikace Rayleighova kritéria rozlišení
sinθ ≈ 1,22
λ
d
Rozlišení oka:
– vzdáleností čípků na sítnici je cca 5 μm, vzdáleností sítnice od zornice je cca 17 mm
– jaký je pozorovací úhel jednoho čípku (= pixelu) ve stupních, v úhlových minutách,
a v radiánech?
– Kolik je jedna úhlová minuta je v radiánech (rad) či miliradiánech (mrad)?
– Zornice má průměr d = 2 až 8 mm.
Mezní difrakční úhel v radiánech se spočte z Rayleighova kritéria
Pro 2 mm: θ1
= ??? mrad
Pro 8 mm: θ2
= ??? mrad
5
Kreslení grafů Besslových funkcí v programu gnuplot
… a grafické nalezení „magické konstanty“ 1,22
Interaktivní kreslení v programu gnuplot, www.gnuplot.info
Použité příkazy:
plot besj0(x), cos(x)
set xrange [-5*pi:5*pi]
plot besj0(x), cos(x)
plot besj1(x), sin(x)
plot besj1(x)**2, sin(x)**2
plot (besj1(x)/x)**2, (sin(x)/x)**2
# ted najit graficky prvni minimum:
# u funkce sin(x) je to pi, u besj1(x) je to 3.83
# lepe se hleda nulovy bod u besj1(x) nez u besj(x)**2
print 3.8317/pi
# => podil vyjde 1.22