MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ PRÍRODOVEDECKÁ FAKULTA FYZIKÁLNÍ SEKCE ÚVOD DO FYZIKÁLNÍCH MĚŘENÍ Petr Pánek BRNO 2001 PŘEDMLUVA Skriptum „Ovod clo fyzikálních měření" je určeno především studentům 1. ročníku oboru odborná fyzika, biofyzika, učitelských kombinací s fyzikou, fyzikálního inženýrství a Optometrie, kteří navštěvují základní fyzikální praktika na přírodovědecké fakultě Masarykovy univerzity v Brně. Skriptum podává výklad vlastností experimentálních dat a způsobu statistického přístupu k výsledkům experimentu. Důraz je kladen na pochopení souvislostí mezi naměřenými hodnotami, odhadem hodnot měřených veličin a. jejich skutečnou hodnotou. Výklad zahrnuje také základní numerické metody pro zpracování fyzikálních závislostí. Text je doplněn řadou řešených příkladů, které usnadňují využití získaných poznatku v praxi. Dekuji celé řadě kolegů a zvláště RNDr. L u dlí u Bočánkovi, CSc. a také RNDr. Zdeňku Bochníčkoví, Ph.D. za množství cenných rad a připomínek k obsahu skript. Dále děkuji mé ženě Monice za pomoc při přípravě rukopisu. Petr Pánek 3 Obsah 1 Vlastnosti experimentálních dat 7 1.1 Význam experimentu ve. fyzice.................. 7 1.2 Fyzikální veličiny a jednotky................... 9 1.3 Základní metody fyzikálních měření............... 11 1.4 Zdroje a druhy chyb ....................... 13 1.4.1 Systematické chyby měření................ 15 1.4.2 Náhodné chyby přímých měření............. 17 1.4.2.1 Hustota pravděpodobnosti............ 18 1.4.2.2 Normální rozdělení a jeho vlastnosti ....... 24 1.4.2.3 Rozdělení \/2, Studentovo a rovnoměrné rozdělení 34 1.4.2.4 Odhad parametru normálního rozdelení..... 37 1.4.3 Hrubé chyby měření................... 45 1.4.4 Chyby měřidel, celková chyba měření.......... 46 1.4.5 Chyby nepřímých měření, zákon přenosu chyb..... 48 1.5 Zápis výsledku měření a jeho chyby................ 52 2 Početní metody zpracování měření fyzikálních závislostí 63 2.1 Interpolace, extrapolace a aproximace.............. 64 2.1.1 Lineární interpolace..................... 64 2.2 Metoda nej menších čtverců.................... 66 2.2.1 Rozsah platnosti metody nejmenších čtverců...... 69 2.3 Postupná metoda......................... 72 3 Zásady tvorby grafů 77 Dodatek A - Vážení 79 Dodatek B - Vlastnosti měřicích přístrojů 89 Dodatek C - Studentovy koeficienty G5 5 1 Vlastnosti experimentálních dat 1.1 Význam experimentu ve fyzice Historický vývoj fyzikálních měření a jejich postavení v metodách poznáni se prolíná s celou historií fyziky. Počátky fyzikálních měření v širším smyslu můžeme najít již ve starověku, tedy v době, kdy fyzika ještě nebyla pojímána jako samostatná nauka. Fyzikálního charakteru byla například měření poměrné vzdálenosti Měsíce a Slunce od Země provedené řeckým astronomem Aristarchem ze Samu (asi 320-250 př. n. 1.) a měření poloměru Země provedené řeckým matematikem a astronomem Eratosthenem z Kyrény (asi 275-194 př, n. 1.). Výsledky těchto měření ukazují, že experimentální zručnost a úroveň fyzikálního myšlení byly v tehdejší době na vysoké úrovni. Významnou úlohu v dalším vývoji sehrálo učení antického filozofa Aristotela ze Stageiry (asi 384-322 př. n. 1.). Aristotelovo fyzikální myšlení bylo zaměřeno pouze na pozorování a nevěnuje téměř žádnou pozornost, fyzikálnímu experimentu. Jeho závěry nevycházely z analýzy pozorování, ale z obecných filozofických principů. Tyto deduktivní metody (tj. postupy vedoucí od obecných pravidel ke konkrétním závěrům) vedly často ke Špatným závěrům. Aristotelova díla byla ve středověku neotřesitelnou autoritou. Až ve 12. a 13.. století nastává odklon od jeho filozofie. Prvním průkopníkem experimentálních metod byl anglický filozof a přírodovědec Roger Bacon (1214-1296). Jako první začal zdůrazňovat experiment jako nástroj pro ověřování poznatků. Sám se však technickou stránkou fyzikálních experimentů nezabýval. Další významný pokrok učinil německý filozofa přírodovědec Mikuláš Kuzánský (1401-1464). Podle uěj je možné všechny jevy v přírodě vzájemně porovnávat a důsledkem této porovnatelnosti je jejich měřitelnost. Zdůraznil také význam matematiky pro vyhodnocení měření. Z metod měření se podrobněji zabýval vážením. Od 15. století došlo k rozkvětu obchodu, stavebnictví a mořeplavectví, tedy technicky náročnějších oborů, které si vyžádaly uplatnění měření přímo v praxi. Nej významnějším představitelem této nové epochy fyzikálního myšlení byl italský fyzik, matematik a astronom Galileo Galilei (1564-1642). Měření bylo pro Galileiho základní metodou poznání. K závěrům dochází pomocí indukce (tj. vyhodnocením jednotlivých konkrétních situací vytváří obecný závěť). Závěry svých experimentů již formuloval matematicky jako fyzikální zákony. Problematice samotného měření však nevěnoval příliš velkou pozornost. Byla to pro něj pomůcka, která byla věcí experimentální zručnosti. Význam měření si však uvědomoval natolik, že požadoval „měřit vše co je měřitelné, a co není měřitelné) měřitelným- učiniť, Další významný krok pro rozvoj fyzikálních měření učinil anglický matematik, fyzik, astronom a filozof Isaac Newton (1643-1727). Newton zavedl základní fyzikální pojmy jako míry, kterým přiřazoval číselné hodnoty, tj. fyzikální veličiny v dnešním pojetí. To umožnilo lepší interpretaci fyzikálních experimentů a navíc umožnilo provést 5 jejich přípravu na základě výpočtů. 7 Vlastnostmi měřených veličin se zabývali francouzský matematik, fyzik a astronom Pierre Simon de Lapiace (1749-1827) a německý matematik a astronom Karl Friedrich Gauss (1777-1855). Měřené veličiny považovali za náhodné proměnné, pro jejichž vyhodnocení využili teorii pravděpodobnosti a vypracovali teorii chyb. Gauss navíc v roce 1832 vypracoval systém nezávislých základních veličin a jednotek, z nichž byly odvozeny další jednotky. Tím vnesl pořádek do tehdejšího systému s velkým množstvím jednotek. Fyzika v dnešním pojetí je chápána jako jedna z přírodních věd. Jejím základním zdrojem poznání jsou pozorování a experiment neboli pokus. Experiment je nástroj pro ověřování teorií a současně je zdrojem pro jejich další rozvoj. Schéma systému poznání ve fyzice je na obr. 1. teorie hypotéza i i\ pokus š_---- ---- l v srovnám K ----5> vyhodnocení Obr. 1: Schéma poznávacího procesu ve fyzice Podle předmětu zkoumání vybíráme příslušnou teorii pro plánování experimentu. Na základě teorie se připraví popis konkrétní experimentální situace (model) a stanoví se očekávaný výsledek, tzv. hypotéza. Z ní vyplývá, jaké veličiny musíme změřit. V rámci hypotézy se provádí i rozbor chyb, který určí, s jakou přesností musíme dané veličiny změřit, případně jaký typ měřicích přístrojů musíme použít. Po této přípravě můžeme provést experiment. Výsledky pokusu zpracujeme postupem navrženým v hypotéze. Poslední fází je srovnání výsledků vyhodnocení s očekávaným výsledkem (teoretickou hodnotou nebo výsledkem jiného experimentu). Pokud se výsledná a očekávaná hodnota shodují v rámci chyby, lze říci, že celý řetězec včetně předpokladů je správný. V případě, že nedojde k souladu mezi získaným výsledkem a očekáváním, ve výše uvedeném postupu byl některý krok proveden chybně, nebo některý z použitých předpokladů je špatný. Při hledání chybného kroku postupujeme v řetězci zpět, tj. nejprve prověříme, zda jsme provedli správně vyhodnocení experimentu a jeho provedení, dále posoudíme správnost navržené hypotézy a na závěr, když nenajdeme žádnou chybu, můžeme začít prověřovat správnost použité teorie. Při plánování a vyhodnocování fyzikálních experimentů musíme pamatovat na dva základní požadavky kladené na fyzikální experiment: výběrovost — fyzikální experiment provádíme za určitých podmínek, které buď sami ovlivňujeme a volíme nebo tyto podmínky alespoň registrujeme (např. teplota, tlak a vlhkost vzduchu v laboratoři), Parametry, které musíme sledovat, určíme na základě modelu experimentu, popř. 8 sledujeme i parametry, u kterých je předpoklad, že by nějakým způsobem mohly průběh pokusu ovlivňovat. reprodukovateinost — opakované provádění experimentu různými osobami musí poskytovat srovnatelné výsledky. Tato vlastnost úzce souvisí s výběrovostí, protože pro zajištění reprodukovatelnosti musíme pokus provádět za stejných podmínek. Jen po splnění těchto dvou požadavků lze experiment považovat za objektivní ověření teorie a jejího vztahu k měřenému či pozorovanému jevu. Z hlediska charakteru pokusu rozlišujeme dva druhy experimentů: kvalitativní (zjišťujeme pouze kvalitativní charakteristiky, např. zda jev nastal nebo ne nebo jinou charakteristiku bez míry) a kvantitativní (zjišťujeme míru daného jevu, tj. provádíme měření, výsledkem je tedy nejčastěji číslo). My se budeme dále zabývat pouze plánováním a vyhodnocováním kvantitativních experimentů (měření). 1.2 Fyzikální veličiny a jednotky Fyzikální veličiny vyjadřují míru sledovaných jevů. Výsledkem měření je číslo, jehož velikost závisí na tom, z jaké soustavy jednotek přitom vycházíme. Fyzikální veličiny proto v sobě zahrnují jak údaj o kvantitě (číslo), tak o kvalitě (informace o použité jednotce). Jeden údaj bez druhého ztrácí smysl. Pro fyzikální měření je důležité dělení veličin podle jejich matematického charakteru na skaláry, vektory a tenzory. Vektory a tenzory jsou. veličin se z několiFá^álarních veličin. Vektorem je například síla, rychlost, posunutí. Tenzorern může být napr. moment setrvačnosti tělesa nebo napětí v tuhém tělese (k danému směru v tělese tenzor napětí přiřadí vektor napětí, který nemusí mít nutně směr totožný se zvoleným směrem). Výsledkem měření bývá nejčastěji číslo, tj. výsledkem bývá skalární veličina. Při měření vektorových a tenzorových veličin proto musíme provádět několik měření, ve kterých zjišťujeme jejich jednotlivé skalární složky. Tyto složky jsou stejného druhu -mají stejnou jednotku. Mezinárodní soustava jednotek SI používaná ve fyzice má sedm základních a dvě doplňkové veličiny (viz tabulka 1). Rozměry všech ostatních veličin lze vyjádřit pomocí těchto základních jednotek. Často se využívá také jednotek, které jsou odvozeny ze základních jednotek (např. watt, pascal). Zásady týkající se fyzikálních veličin, rovnic, značek veličin a jednotek a soustavy jednotek SI jsou dány normami [1]. Doplňkové veličiny lze podle definice chápat také jako bezrozměrné, a proto se často radián a steradián v jednotkách nepíší (pokud je ze souvislostí zřejmé, že se jedná o úhlovou míru), tj. rad s"1 — s"1. Častým omylem bývá špatné vyjádření jednotky času. Jednotku sekunda nelze zaměňovat s jednotkou vteřina, která je vedlejší jednotkou rovinného úhlu. V případech, kdy se hodnoty některé veličiny řádově odlišují od hodnoty odpovídající základní jednotce, lze s výhodou využít násobné a dílčí jednotky. Tyto jednotky se tvoří pomocí předpon z jednotek hlavních. Předpony 9 veličina jednotka název zkratka délka metr m hmotnost kilogram kg čas sekunda s elektrický proud ampér A teplota kelvin K látkové množství mol mol svítivost kandela cd rovinný úhel radián rad prostorový úhel steradián sr Tabulka 1: Základní a doplňkové jednotky soustavy SI Předpona Násobek Předpona Násobek název značka naze v značka yotta Y 1024 deci d L0-1 zetta Z 1021 centi c io-2 exa E 1018 inili m io-3 peta P 1015 mikro n 1Q-6 tera T 1012 n ano n io-9 giga G 10° piko P io-12 mega M 106 fernto f io-15 kilo k 103 atto a 10-i8 hekto h 102 zepto z io-21 deka da 101 yokto y 10-24 Tabulka 2: Předpony pro tvorbu násobných a dílčích jednotek so zpravidla připojují k první z jednotek v celé jednotce, výjimečně lze předponu připojit i k dalším jednotkám, pokud je tomu tak zvykem. V jednotce nelze použít více předpon současně. Předpony spolu s jejich významem jsou uvedeny v tabulce 2. [Příklad 1.1 Příklady využití předpon: 100 V m"1 = 0,1 kV m"1 100 V m-1 = 1 V cm-1 (používaná jednotka) 1000 N m = IkN m 1000 N rn = 1 N km (nelze - neužívá se) 1000 kg m""3 = ] g cm*"3 (používaná jednotka) 1000 kg m~3 = 1 kg drn"3 (nelze - neužívá se) 10 Norma připouští použití i tzv. vedlejších jednotek. Jsou to jednotky, které jsou vžité (např. litr, hektar), ale ve fyzice se běžně nepoužívají. Staré jednotky (např. kalorie, torr) nejsou povoleny. Při zápisu veličiny musíme uvážlivě volit předponu a formu zápisu hodnoty, aby výsledný zápis byl přehledný (ňapř. aby neobsahoval příliš mnoho nul). Hodnoty veličin lze zapisovat i v.exponenciálním tvaru, tento zápis není vhodné kombinovat s použitím předpon. Příklad 1.2 Uvedeme si několik zpusobfi zápisu rychlosti: v — 2,8 (chyba - není uvedena jednotka, rychlost není bezrozměrná veličina) v = 2,8 m s"1 v ä 0,0000053 m s"1 (nevhodné - příliš mnoho nul činí zápis nepřehledným) v = 5,3-Hr* m s"1 v = 5,3 nm s""1 v = 5,3•• 10""3 mm s"1 (nevhodné) 1.3 Základní metody fyzikálních měření Cílem fyzikálního, měření je stanovit velikost měřené veličiny. Metodou měření rozumíme způsob, jakým danou veličinu měříme. Njyjsdnaduj^ je_,subjektívní_jgc^ která využívá přímého působení měřeného objektu na lidské smysly. Ťató metoda má vlak značně omezené možnosti, protože lidské smysly neumožňují provádět absolutní měření s příliš velkou přesností. Navíc úroveň vjemu není lineárně závislá na intenzitě vnějšího působení. Poněkud lepších výsledků lze dosáhnout při srovnávání dvou vjemů (napr. srovnávání intenzit světla, barev, frekvencí zvuku atd.). Výsledek je ale vždy závislý na osobě experimentátora a jeho momentální kondici. Z tohoto důvodu se vždy snažíme měření objektivizovat tak, aby byla zajištěna reprodukovatelnpst experimentu. QbjdttjvnX^^ cícl^pusirdjů. Měřený objekt tak působí na měřicí přístroj, který měřenou veličinu převádí na informaci pro lidské smysly snadněji kvantiíikovatelnou, tj. vyjádřitelnou číslem (např. poloha ručičky na stupnici přístroje, Číslo na displeji), Pro správnou interpretaci výsledků měření musíme dobře pochopit nejen vlastnosti měřeného objektu, ale i měřícího přístroje, a způsob, jakým interaguje s měřeným objektem - tzv. měřicí princip. Například měřicí princip stanovení hustoty hustoměrem je založen na Archimedove zákoně,, měření teploty kapalinovým teploměrem je založeno na teplotní objemové; rozťažnosti kapalin, často opomíjeným faktem je oboustrannost interakce. Měřený objekt působí na měřicí přístroj, ale naopak měřicí přístroj působí na měřený objekt a může sám ovlivnit měřitelným způsobem jeho stav. Ve většině případů je tento vliv zanedbatelný (při měření tělesné teploty nepředpokládáme, že chladnější teploměr ochladí pacienta), ale například při měření 11 maYých vzorku múze dojít ke značným zkreslením., některé dľuhy meíeni naopak tuto interakci přímo předpokládají (např. měření optických vlastností látek) a při měřeních v oblasti časticové fyziky již nelze vliv měřícího přístroje oddělit. Výběr měřící metody je dán typem měřené veličiny, hypotézou vypracovanou před měřením (tj. vztahem, ze kterého vychází zpracování měření) a také požadovanou přesností měření. Výběr správné měřicí metody je velmi náročnou a důležitou součástí přípravy měření. Vzhledem k rozsahu celé problematiky rozdělme měřicí metody podle následujících hledisek: metody přímé — Pomocí přímé metody měříme veličinu na základě její definice. Například přímé měření hustoty se provádí měřením hmotnosti m a objemu tělesa V (definiční vztah p = m/V). kcU^W -Jióíď metody nepřímé — Nepřímé metody vycházejí z jiných než definičních vztahů. Například nepřímé měření hustoty lze provádět měřením hmotnosti ra a měření objemu vážením v kapalině známé hustoty. Ve vztahu pro výpočet hustoty pak nebude přímo vystupovat objem tělesa, ale jeho hmotnost, tíha v kapalině a hustota kapaliny. metody absolutní — Výsledkem absolutních měření je hodnota měřené veličiny přímo v zadaných jednotkách. Například povrchové napětí vody a = 73 • 10~3 N m"1. metody relativní — Relativní metody umožňují srovnat dvě veličiny téhož druhu. Výsledkem je hodnota podílu těchto veličin. Například relativní měření povrchového napětí vody a lihu dá výsledek, že povrchové napětí vody je 3,3 krát větší než povrchové napětí lihu. metody statické — Statické metody využívají klidového stavu měřeného objektu, tj, hodnoty měřených veličin se stanovují jako klidové hodnot)'. Například statické měření modulu pružnosti v tahu lze provádět pomocí průhybu při zatěžování nosníku ze zkoumaného materiálu. metody dynamické — U dynamických metod se stav měřeného objektu mění s časem a měříme časovou závislost sledovaných veličin. Například dynamické měření modulu pružnosti v tahu lze provést měřením kmitů nosníku ze zkoumaného materiálu. Podle výše uvedeného dělení lze např, měření teploty kapalinovým teploměrem označit jako statickou, absolutní a nepřímou metodu. Bylo by zde možné uvést další způsoby klasifikace měřicích metod, jednou z nich, metodou postupných měření, se budeme zabývat dále. 12 1.4 Zdroje a druhy chyb Při.,ppAkQvaaéjnjměrení téže veljčinyjsa ste,iných_podrn)nek dostaneme zpra-yidia,.rJÄiiáJjodaQty.. Měřené veličině vsak přísluší jediná správná hodnota, kterou Be snažíme měřením určit. Vzhlgdem k tomu, je měřením_dostáváme rňzjiéjio^oty, nel^ Měřej^hjodjaoty-jsou.vldy^ Clh^boi^měřeni Ax rozumíme ■rozdíl skaltcné ho^dnoty x*&ji^méřenéhodnoty x: Ax~x-x*. \ '..(!•!) Chvba může mit.kjadnou, tak i zápornou hodnotuT jeií rozměr je stejný jako m á ;rvi j&fft'n á veličina. Samotná informace o velikosti chyby však Často nedává představu, jaký je její vliv na výsledky měření. Například údaj o tom, že určitá metoda vážení je zatížena chybou 1 gram, představuje chybu zcela zanedbatelnou při vážení 50 kg pytle brambor, ale naopak při vážení dvou gramů léčiva může být velmi závažná. Z tohoto důvodu vyjadřujeme často chybu relativně vůči měřené veličině__ Ax (1.2) Takto definovaná chyba je bezrozměrná veličina a nazývá se relativní chyba. Někdy se relativní chyba uc^y£jv_pjrocentech, pak je dána vztahem \lftfÓyA&**h (1.3) Pro výše uvedený příklad je v prvním případě relativní chyba 0,002% a v druhém 50%. Ve všech dále uvedených vzorcích je relativní chyba uvažována ve svém základním tvaru, tj. podle definice (1.2). Pro lepší rozlišení obou typů chyb budeme dále označovat chybu definovanou vztahem (1.1) jako chybu absolutní. Podle charakteru chyby rozlišujeme_tři druhy chyhj__ systematické chyby — Ovlivňují výsledek mějg&lžcela určitým a pravi-/" r': "olejným způsobem. Bývají funkcí času nebo parametrů měřícího procesu. Důsledkem je to? že naměřené hodnoty y případě konstantní sy-, stematic]^ Jejich odhalování bývá značně^obtíŽné a vyžaduje dobrou znalost mořicího systému. Konstantní systematické chyby lze někdy odhalit ka: librací prístrpjje^nebo porovnáním měřeni š yjýslejj^v Jiného... měřícího přístroje, nelze je odhalit opakovánímjaíeření. Velikost systematické chyby je mírou správnosti měření - čím je chyba menší, tím je měření správnější. ~~ ' jnájbgdné chyby —Jfolísají nálip^r^-xo-do-velikoBtí i anapn^nWa pfi oj&k1"^ váníměření ,,Pro daný měřicí akt nelze předvídat jejicb/přesriou hodnotu, projevují se kolísáním naměřených hodnot. Náhodné chvbv nelze při měření odstranit. Velikost náhodných chyb je mírou přesnosti měření. 13 .hrubjjjlhyby, — Způsobují, že jednotlivé měřením které je zatížené hrubou chybou, se^ra^r^^ u malého počtu naměřených hodnot. Charakter jednotlivých typů chyb si můžeme přiblížit příkladem střelby na terč (viz obr. 2). Uprostřed terče leží náš cíl, tj. v případě fyzikálního měření skutečná hodnota měřené veličiny x*. Na terči se vytvoří střelbou skupina zásahů. Poloha této skupiny vyjádřená bodem uprostřed skupiny předstař vuje ve fyzikálních měřeních střední hodnotu měřené veličiny ^.Vzdálenost skupiny od středu terče představuje systematickou chybu, vzdáleností jednotlivých zásahů od středu skupiny pak chybu náhodnou. Zásah ležící daleko od celé skupiny znázorňuje hrubě chybné měření, tj. hodnotu zatíženou hrubou chybou, V případě střelby lze systematickou chybu určit snadno, protože známe polohu cíle (středu terče). Cílem fyzikálních měření je ale získat informaci o neznámé skutečné hodnotě, tj. poloze cíle. V tom spočívá problém s odhalováním systematických chyb. hrubě chybné měření Obr. 2: Znázornění druhů chyb pomocí střelby do terče Zdrojů chyb je velké množství. Každý zdroj může přispívat k celkové chybě různou mírou a typem chyby. Mrzí zdroje r.hyb patří: jrxLexen^LJibjekt.— I^kujijrněj^^ , jchyb. Jeho parametry se také mohou během měření měnit (např. ohřívání při dotyku experimentátora, postupná oxidace atd ). jgrostřgdí rr.Jestliže_zanedbáme vliv prostředí na měrenýjDbjekt aebjajně^ řičí přístroj, mň|g_ďojít ke vzniku j ak systematických^tak i náhodných jchyb. měřicí metoda.— V případě, kdy zvolíme nevhodnou měřicí metodu, můžeme dostávat zkreslené výsledky (např. pro měření malýcFrozměrů použijeme měřidlo s příliš hrubou stupnicí). měřicí zařízení — Měřicí zařízení způsobuje chyby například vlivemspat-jňě usazené stupnice, kolísáním napájecího napětí, eTéHrorríagnetickým rušenímatol ^ 14 pozorovatel — K chybám způsobeným pozorovatelem dochází např. vlivem jeho reakční doh&j^ečítáním údaje ^tuj>njjce_ze_strjnjř (ručička" se promítá na jiné místo stupnice - tzv. paralaxa), .cJTvbnjjrn flápiaem .iiaiíišřsaé hodnoty atd. y^j^ojdnjocj|j,í — Použitím nevhodných statistických a numerických metod může dojít k silně zkresleným výslec[kům j při použití velmi přesné a výkonmi V^očěEh^ opomíjeným zdrojem chyb je^zao-^ krouhlování čísel v počítači^ Zdroji, vlastnostmi a zpracováním jednotlivých druhů chyb se budeme zabývat v následujících kapitolách. 1.4.1 Systematické chyby Zaměříme se nyní na jednotlivé zdroje systematických chyb a rozebereme příčiny jejich vzniku a způsoby identifikace a odstranění. shyi^-naejipcly— vznikají v důsledku nepřesnosti, přibližnosti vztahů pou-JuliíchJPX°.E°PÍ5 niěřeného objelitúTTTóvnéž teoretický model dané ex-perimentální siHáČíTňém^^ tj. dopouštíme se chyby y_dhňjkdk^ hypotézy. Odstr^aněn^jtohgto. .djDahu5yji.emat£(^ ^•něj. vyplývajících vztahů. Například při měřenltn^veho^chlení ky-yaďem_se můžeme v hypotézeLdopu.sJtjt .chyby tírn^ že použijeme vztah pro dobu kyvu pro nexoneČně malý rozkyv nebo tím, že považujeme kyvadlo za matematické^ pr^to^ je. každé reálné kyjjadjo fy^cké, nebo tím, že zairedpáme"odpor vzduchu a nebo zanedbáme tření v závěsu kyvadla atd. Modely lze Často zpřesňovat v mnoha detailech, proto mu-_ 8[^g-BfOElggB3yÍ^^Qdietu dobře uvážit velikost systematické chyby, které se dopustíme určitým zjednodušením modelu. Nemá smysl snažit se odstraňovat systematické chyby, které jsou mnohem menší než náhodné chyby měření. Vytváření příliš složitých modelů značně komplikuje samotné měření, protože vyžaduje měření velkého počtu veličin. £hvJbyj2ižřJidjei_— jsou způsobeny nedokonalým provedením měřicích přístrojů, jejich špatným seřízenímjoebo nevhodným použitím. Příkladem muže být posunutá nebo špatně nakreslená stupnice přístroje, nečistoty usazené na závažích nebo usazení měřícího přístroje do nevhodne polo-hy. Odhalení tobolo druhu chvby je jednoduché, pokud máme k dispozici normál ^tz v. etalon) měřené jveličiny (například galvanicky článek s přesně^jlefin^v^ný^ na-p*t,fm).- Pomocí normálu lze provést seřízení měricídhrpřístrQ.iů, nebo pokud seřízení není možné, vytvořit korekční tabulku nebo křivku, pomocí které můžeme naměřené hodnoty dodatečně opravit. Lze využít i vzájemného srovnání údajů dvou měřidel, pokud máme jistotu, že systematická chyba srovnávacího měřidla je zanedbatelná. Systematické chyby měřidel se s časem mění, proto je nutné provádět seřizováníprajádelně, 15 chyby pozorováni — vyplývají z nedokonalých pozorovacích schopností člověka (například omezená rozlišoval a nSkďyTzě špatných přístupu a návyků experimentátora (již zmíněná paralaxa nebo špatný odhad zlomků dílků na stupnici). Tyto chyby lze odstranit vyloučením lidského faktoru z měřícího procesu (objektiviza-ce méřenl),jiebo alespoň opakováním měření různými experimentátory. chyby vyhodnocování —jsou důsledkem použití nevhodné numerické metody. Při výpočtech pomocí kalkulátoru nebo počítače nahrazujeme spojité fyzikální veličiny jejich obrazem v paměti, který má diskrétní charakter (číslo je zapsáno omezeným počtem bitů). To vede ke vzniku systematických chyb například při sčítání velkého a malého čísla nebo při odečítání dvou velkých nepříliš se lišících čísel, odstranění těchto chvb vyžaduje změnu výpočetního, poali^^ néhojtypu s vfltší, r>ff.snnst.L (y.á.pis čísel do většího počtu bitů). Tato problematika je značně rozsáhlá a nebudeme se jí zde věnovat. Více informací lze nalézt např. v (2] Příklad 1.3 • t, Ukážeme si, jak vzniká systematická chyba metody pří měření teploty kapalinovým teploměrem. Teploměr ponoříme zčásti do kapaliny, jejíž teplotu měříme. Na stupnici odečteme po ustálení teplotu. Tento postup je zdánlivě v pořádku, ale jak si ukážeme, čtené hodnoty teploty jsou zatížené systematickou chybou. Teploměry jsou totiž cejchovány tak, aby udávaly správnou teplotu ve svislé poloze, jsou-li zcela obklopeny měřenou lázní. V našem případě tomu tak není, proto pouze ponořená část má po ustálení teplotu stejnou jako měřená lázeň. Zbývající část je ochlazována nebo ohřívána okolním vzduchem. Tím dojde ke změně objemu měřicí kapaliny v Části kapiláry, která vyčnívá nad měřenou kapalinu, a také ke změně objemu kapiláry samotné, Je-li fi\ teplotní objemová roztažnost měřicí kapaliny a /3j teplotní objemová roztažnost skla kapiláry, sloupec měřicí kapaliny o délce / změní svoji délku o l(0i - /32)t*> kde r je rozdíl teploty ponořené a neponorené části teploměru. Délce / na stupnici odpovídá určitý počet dílků stupnice n0. Předpokládáme, že teplotní délková roztažnost stupnice je zanedbatelná. Změna délky odpovídá potom změně údaje teploty o n-o(A - Pí)t. Teplotu vyčnívajícího sloupce môžeme přibližně zjistit pomocí druhého teploměru, kterým změříme teplotu uprostřed vyčnívající části (íq). Pro velikost systematické chyby Aí pak dostaneme Ať = »o(0i - fa){t - to) • 16 Pro skleněný teploměr se rtuťovým sloupcem je hodnota rozdílu objemových roztažností 0i - /92=0,00016 K"1. Pokud Čtenou hodnotu t opravíme o hodnotu Ať, odstraníme tento druh systematické chyby. Například rtuťový teploměr ponořený do kapaliny až po dílek 15 °C ukazuje teplotu 86,3 °C. Teplota ve středu vyčnívajícího sloupce byla naměřena 27,5 °C. Teplotní oprava na vyčnívající sloupec pak Činí At -0,67 °C. Opravená hodnota teploty je tedy 87,0 °C. gystoriatjcké chyby se mohou měnit s čas.erryiento druh, chyby 1/fí odhalit opakováním měření a tím také odstranit zavedením patřičných „korekci. Na odstranění konstantních systematických chyb není jednoznačný návod, způsob identifikace a odstranění je značně závislý na konkrétní experimentální situaci. V dalším výkladu se nebudeme již systematickými chybami zabývat. 1A.2 Náhodné chyby přímých měření Pn_or>akovanén) měření veličiny s konstantní,hodnojon '/.jistíme, že namě-jené hodnoty se navzájem liší. Pro každé jednotlivé měření nelze předem přesně určit, jakou hodnotu měřením získáme - měřením získáváme náhodné hodnoty. Náhodný charakter měření ale neznamená úplnou ztrátu informace o měřené veličině. Nedokážeme sieft popsat ie.dnntliyá měření, ale soubor věTT šího počtu měřeni vykazuje určjté charakteristiky, ze kterých Izejxjlfín doval, skutečnou hodnotu měřené veličiny. Popisem vlastností náhodných proměnných se zabývá statistika, a proto se pro zpracování výsledků měření používá statistických metod. Tento popis je různý pro veličiny diskrétní a spojité. Všimněme se nejprve krátce popisu chování diskrétních náhodných veličin. Tyto veličiny nabývají pouze konečně nebo spočetně mnoha hodnot. Pro každou její hodnotu x pak můžeme zadat pravděpodobnost, s jakou se vyskytne ve velkém souboru měření právě tato hodnota P(x). Součet všech pravděpodobností pro všechny možné hodnoty x je roven jedničce (tj. jistý jev - při měření vždy dostaneme některou hodnotu z definičního oboru náhodné proměnné). Přiklad 1a\ Jednoduchým příkladem diskrétní náhodné proměnné je výsledek hodu kostkou. Množina možných výsledků je konečná: {1,2,3,4,5,6}. Součet pravděpodobností pro všechny hodnoty je P(l) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1 , tj. při každém hodu kostkou nám padne některé Číslo z výše uvedené množiny. Pokud je kostka symetrická, pravděpodobnosti výskytu každé z možných hodnot jsou stejné P(l) = P{2) = P(3) «= P(4) = P(5) « P(6) . Z toho dostaneme P(l) ».P(2) - P(3) - P(4) = P(ó) = P(6) = - . 17 Pokud bychom vykonali velký počet hodů (měření) n, daná hodnota by se v souboru výsledků vyskytovala přibližně |krát. Spojité náhodné veličiny mohou nabývat nespočetně mnoha hodnot. Tyto hodnoty se od sebe libovolně málo liší, a proto je nutné k jejich popisu využít jiných metod. Mohlo by se zdát, že ve fyzikálních měřeních se s diskrétními veličinami setkáváme jen zřídka. Ve skutečnosti většina měření poskytuje diskrétní hodnoty buď díky použití digitálních přístrojů, nebo díky omezené přesnosti čtení na stupnici. Důležitý je vztah mezi nejmenŠí rozlišitelnou hodnotou měření a tzv. směrodatnou odchylkou měřené proměnné (viz vztah 1.47). Pokud je směrodatná odchylka podstatně větší než je nejmenší rozlišitelná hodnota měření, lze považovat měřenou veličinu za spojitou. 1.4.2.1 Hustota pravděpodobnosti U spojitých náhodných veličin.ncmá,smysl zjišťovat pravděpodobnost výsky-JiOiHS Hodnoty pravděpodobnosti výskytu dané hodnoty x jsou nekonečně.malé.;. Kdybychom například při výzkumu vzrůstu skupiny osob zjišťovali, kolik z nich má přesně danou určitou výšku, došli bychom k závěru, že u žádné osoby nemůžeme absolutně přesně zaručit výšku této hodnoty. Má ale smysl zjišťovat, kolik osob má výšku v intervalu 170 - 180 cm, 180 - 190 cm atd. U spojitých veličin tedy zadáváme pravděr^dflbjLos.t výskytu její hodnoty v daném intervalu P fa,xi).APočet výsledků měření spadajících do daného mtervalu nazýváme četnostíO^Výhodnější je používat relativní četnosti q kde N je celkový počet měření. Součet relativních četností ze všech disjunktních intervalů pohrdajících definiční obor měřenéj{ejjxinj/J[e roven jedné.. Příklad měření náhodné proměnné je na obrázku 3. V grafu je zobrazeno 1000 měření výstupního signálu optického měřícího přístroje. Kolísání naměřených hodnot je způsobeno velkým množstvím vlivů (např. změny intenzity světla zdroje, změny citlivosti detektoru, změny složení vzduchu v trase paprsku, otřesy atd.). Vidíme, že většina hodnot leží v intervalu (1,0; 1,5). Tento hrubý odhad však pro přesné zpracování nedostačuje. Můžeme zjistit Četnosti výskytu naměřených hodnot v určitých intervalech a tyto Čejjn^sti^ázojjí-me ffrafipkyjgv^ hÍRtr>p;r^rnPm--7- histogramu na obr. 4 vidíme, že nejvíce hodnot paHTódo intervalu (1,2; 1,4), o něco méně do intervalu (1,0; 1,2) atd. Náš odhad skutečné hodnoty, předpokládáme-li, že v její blízkosti se nachází největŠí množství naměřených hodnot, je omezen šířkou intervalů (tzv. tříd) histogramu. Z obr. 4 například nepoznáme, zda je více hodnot v intervalu (1,2; 1,3) nebo v intervalu (1,3; 1,4). Pokud zkusíme sestrojit histogram (1.4) 18 200 800 400 600 číslo měření ^SrT3:/Měřeiií výstupního signálu optického přístroje 1000 300 O" -j200 w O +~> o 100- 0- T-1—i-1—|—i—|-1-1-1-1—1~ -i—i—i—i—r—T- _i_i_i_i_i_i_i_l_i_i_ J—I-1—l_i—l-1_I_L 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 _. měřená hodnota Obr. 4:/Histogram absolutních četností naměřených hodnot z obr. 3 s velmi úzkými intervaly např. v našem případě 0,05 (viz obr. 5), dostaneme sice podrobnější informaci ô rozdělení naměřených hodnot, ale rychle klesá četnost v jednotlivých intervalech. Histogram, který tak získáme, sice reprezentuje naše měření, ale začne ztrácet vypovídací schopnost o celkovém chování měřené náhodné veličiny. Pak se může stát, že jinou sadou stejného 19 100 80 O" g 60 tí O 40 20 t—r- •■ r"-—i—r~i—i—i—i—i—i—i—i—t—i—»—r—1—i—i—i—i—r rfT » ' 1_l—J_' ' f » ' I ■ »_I ■ I......,1 ■ >, I......t......I. 0,2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 môŕena hodnota Obr Jř: Histogram absolutních četností naměřených hodnot z obr. 3 s yětším -iSÓctem tříd než na obrázku 4 počtu měření dostaneme histogram jiného tvarn.JPřj volbě počtu tříd (in- Jtud tervalů) histogramu ie tedy nutné nalézt kompromis. Prj malém máme málo přesnou informaci o rozdělení hodnot a^olo^^niaxima, naopak volbu počtu tříd k lze použít vztah ^2,46(7V - lfO (1.5) kde N je počet měření [3]. Sirku tříd Az pak dostaneme rozdělením intervalu mezi maximální a minimální hodnotou v soubprji_méření na da^r^čettríd, Při plánování měření můžeme vycházet naopak z požadavku na velikost tříd histogramu a naplánovat počet měření, Představme_slt_že bychom zvětloyali_,RQČ^ a tím_ mofrli zmenšovat hodnotu Ag.gOT zubatý okraj hjstograniu..by, sejtím vy-jU^aoval,_až.>by^v limitním případějprešej yj^a^l&u..JráivJuiJZískanou hladkou* funkci ,/(«^ limitn ího~]p7íp^ f(x) = lim P(x,x -f Az) Ax (1.6) kdej^a:, x -j-Agl je pravděpodobnost, že hodnota měřené veličiny padne do intervalu^; * + Ax). Funkce /{x^udáyáj;^ aj>jně popisuje vläSpfó'stJ" ňjjjgjné pj^mějiné. Hodnoty hustoty pravděpo^" dobnosti nejsou na rozdíl od relativní četnosti bezrozměrné veličiny, ale mají rozměr reciproký k rozměru měřené veličiny. Z defi.njčn^^yjzjtahu>JJJi)Jt ca u a +j o en Ä0 -«—l—'—I-1-r 1-1-1-1—t í* rva,b)=/f(x)dx 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 môfenô hodnota x Obr. 6: Graf hustoty pravděpodobnosti a její souvislost s pravděpodobností průběh hustoty pravděpodobnosti nelze experimentálně zjistit, protože by bylo nutné provést nekonečně mnoho měření. Je ale možné získat jeho odhad dále uvedeným postupem. Další důležitou charakteristikou náhodné proměnné je tzv.jplisJribuJnX funkce, která je definována yztahem (1.9) Hodnotách stribuční funkce F(x) udává veljl&sk^a^ě^ s j^kff1! hodnota náhodneproměnné padne do intervalu (-ssii). Z toho vidíme, že obor hodnot distribuční funkce je (0;1) a funkce je neklesající. Přibližná konstrukce této funkce z experimentálních dat vychází z definice, £qbližnou hodnotu funkce F(x) VypOČÍtárnejako rplaťivní čHvn£>SÍ. namfrVnýrh hydnni 21 v intervalu (~oojs)i Tím získáme schodovitou funkci, která máskok vždy v hodnotách získaných měřením, ťri dostatečné velkém pocTuJiojdnot pře-jtávají byTsc£ody výrazné. Na obrázku 7 je znázorněna distribuční funkce sestrojená z měření na obr. 3. 1,0 m O G X> O (X > (0 0.0 - ii ľ 'i i 1'—i—i—i—i—r i—'—r i—i—r .J_I_l_I_l_I_k_JL j_1_i_I_i_I_i_1_i—L 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 mořeno hodnota x Obr. 7: Odhad distribuční funkce z naměřených hodnot na obr. 3 Podle definice (1.9) platí /(*) ÚF(x) áx (1.10) Pjmiocí tohoto vztahu lze sestrojit graf hustoty pravděpodobnosti numeric-kou derivaci_distribuční funkce. Před derivací je nutné vhodnou numerickou metodou odstranit na distribuční funkcí malé schody [2j. Tak byl sestrojen i graf hustoty pravděpodobnosti na obrázku 6. Srovnáním hustoty pravděpodobnosti nebo distribuční funkce s teoretickým modelem lze získat řadu užitečných informací. ^> -Pomocí distribuční funkce hř také vypc^at^^noUi-^iaaďepodobnosti £i&Ji)* Výpočet výchozí z následujíci^valíy. ikdnqtfr'flé), udává veli]cojt pravděpodobnosti P(—č^)fe)JJjodrÍota F\tt)jpak-.-P(~,a). pro q <; fr pak BĚŽE ..... ..... ...."-K. . .......--------------------------------~\ P(aJ^P{-^b)~ P^oo,a) ~^lb) - F(a),j (1.11) "- ------------V ' ™ Významným parametrem popisujícím náhodnou proměnnou je jejístřed-ní hodnota E, která je definována vztahem def. obor xf(x) áx (1.12) 22 Tento parametr udává polohu rozdělení. Důležitou vlastností střední hodnoty je to, že střední hodnota lineární kombinace náhodných proměnných je rovna JJneární kombinaci jejich středních hodnot, tj, \EiaiXi + •.. + anxn) = o,J5(»i) + ... + anE(xn) J (1.13) Důkaz tohoto tvrzení lze provést dosazením do (1.12), viz např. [4]. Je nutné poznamenat, že střední hodnota neexistuje vždy. Je možno najít takové příklady hustot pravděpodobnosti, pro které integrál (1.12) nekonverguje. Příklad 1.5 Hustota pravděpodobnosti je dána vztahem Určete: a) hodnotu konstanty p b) průběh funkce c) distribuční funkci a její průběh d) pravděpodobnost toho, že proměnná x nabývá hodnoty z intervalu. Řešení: a) Hodnotu konstanty p určíme ze vztahu (1.8). Musí tedy platit ľ°° P integrací /OO p T+X* áX~P ^tCt& ~?7r ' 1 Hustota pravděpodobnosti má tvar 1 7r(l+22) ' Jedná se tzv. Cauchyovo rozdělení. b) Graf hustoty pravděpodobnosti je na obrázku 8a. c) Tvar distribuční funkce je podle (1.9) Graf distribuční funkce je na obrázku 8b. 23 -'i' .'é.' -4' -i' o ' í ' 4 ' ^' á Obr. 8: Graf hustoty pravděpodobnosti Cáuchyova rozdělení (a) a jeho distribuční funkce (b) d) Pravděpodobnost P(-l,l) môžeme určit z hustoty pravděpodobnosti do: (1 + *2) - arctg x 1 1 nebo jednodušším způsobem z distribuční funkce ph,1)»F(1)-F(-1) = 2-J = i. Znamená to, že ve velkém souboru naměřených hodnot veličiny, která se řídí tímto zákonem, bude polovina všech hodnot ležet v intervalu (-1; 1). 1.4.2.2 Normální rozdělení a jeho vlastnosti Příkladem náhodné proměnné, se kterou se nejčastěji setkáme v praxi, je ve-jrčina.její^hoďTÍôTa je ovlivnovi^iá velkým,,,počtem náhodnýcjh^ltvit Působením těchto vlívůj^j^kaji_e]e chyby^J^er^jso^unavzájem íjezávisjé a jejichž hodnota se příčíte- ke skutečné hodnotěmlreiié^veli činy. Yýd^náľľóllnl^ náhod-^ýxh^chyb se skutečnou hodnotou. To je typická situace přímo měřených veličin. ~ "~~ Tuto situaci si můžeme přiblížit pomocí velmi zjednodušeného příkladu. Předpokládejme, že měření je ovlivněno působením čtyř elementárních náhodných chyb s konstantní velikostí e. U těchto chyb se náhodně ä navzájem nezávisle mění znaménko, tj. náhodné chyby nabývají pouze hodnot — e a e. V tabulce 3 jsou shrnuty všechny možné případy jejich současného působení, V takto zjednodušené situaci jsme dostali diskrétní náhodnou proměnnou nabývající pouze pěti hodnot. Graf relativních četností je na obrázku 9. Vidíme, že ve většině případů se působení jednotlivých vlivů navzájem vyrušilo a výsledná chyba byla nulová. K tomu, abychom dosáhli velké výsledné chyby, 24 znaménko hó'dnota abs. četnost rel. četnost - - - - ~4e 1 0,06 + - - - - + - - -2c 4 0,25 - - + - - - - + - - + - + • - + - - + 0 6 0,375 - + + - - + - - + + + + - + + - + 2e 4 0,25 ■ + - + + + + + + + 4e 1 0,06 Tabulka 3: Příklad působení čtyř elementárních chyb ~6c -4c -2c „ 0 _ ,2c 4c celková chyba Obr. 9: Graf relativních četností diskrétní náhodné proměnné 25 musí nastat takový případ, kdy mnoho elementárních chyb má současně stejné znaménko. Taková situace je málo pravděpodobná, proto relativní četnost s rostoucí velikostí výsledné chyby klesá. Rozdělení na obrázku 9 je příkladem tzv. binomického rozdělení, které popisuje výše uvedený případ chování diskrétní náhodné proměnné. Další informace o binomickém rozdělení může čtenář najít např. v [5, 6]. V reálných situacích však elementární chyby mění nejenom své znaménko, ale i svoji velikost, a jejich počet bývá podstatně vyšší. Takovou situaci si můžeme modelovat pomocí počítače. Náhodná proměnná z byla modelována pomocí vztahu: 50 s:=100 + £lO-(RND(l)-0,5), (1.14) kde výraz RND(l) představuje funkcí tzv. generátoru náhodných čísel počítače, která vytváří náhodná čísla v intervalu (0; 1). Výraz 10 • (RND(l) - 0,5) tedy představuje náhodnou pToměnnou, jejíž hodnota se mění v intervalu (—5; 5). V naŽem modelu pak vystupuje jako elementární chyba. Těchto elementárních chyb působí současně 50 a jejich hodnoty se navzájem sčítají a výsledná chyba se přičítá k pevně hodnotě 100. Za účelem výzkumu chování takové proměnné bylo vygenerováno 10000 hodnot takových náhodných čísel. Z nich byla pak sestrojena distribuční funkce, jak již bylo popsáno dříve, a z ní pak derivací podle vztahu (1.10) byla získána hustota pravděpodobnosti. Její graf je na obrázku 10. Z grafu vidíme, že většina hodnot naží náhodné proměnné leží v blízkosti pevné hodnoty 100, tj. ve většině případů se vliv elementárních chyb navzájem zeslabuje. Podobně jako v předchozím modelu je výskyt velkých chyb málo pravděpodobný. Náš model je sice oproti reálným situacím stále zjednodušený (např. jsme omezili velikost elementárních chyb určitým intervalem, všechny elementární chyby mají stejný charakter), ale křivka grafu hustoty pravděpodobnosti svým zvonovitým tvarem dobře odpovídá teoretickému modelu tzv. nqrrpák njjbj^qzdělení. Normální WZjd^^^které nejsáyjsjem a.. Lapjace (proto se také" nazývá Ga.ušsoyýrn rozdělením .nebo někdy„t,aké La^lace^vým rozdělením), má hustotu pravděpodobnosti danou yztahem /(*) = -^r™? (x - 2 o ■+■> m j§ 0.000 Obr. 10: modelu -,-,-p—T-j-r—i-1-1-1-1—t—T-r—|-1-1-1-1-1 r J_i-L J_»_I_i_I-1-1-1-L i_i_I_i_U 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 X Graf hustoty pravděpodobnosti náhodné proměnné z počítačového br. 11: M~2cr fi-a fi fi+(T f*+2o x [Graf hustoty pravděpodobnosti normálního rozdělení 27 Prozkoumejme nyní vlastnosti normálního rozdělení; 1, Hustota pravděpojdjabnosti normálmi nanřeaTnalc a pro všechna £J^nterva2u_J^.o£,^ ^rip^olísnA^IčjTjákěkolív reálnéjhojnóty náhodné promemiéjr. ~~ 2. JPro x = (i nabývá funkce f(x) maxima. To si snadno ukážeme pomocí derivace" "expf-fc^l. (1.16) d/(*) H -x áx V maximu musí být toho vyplývá^gg. i d* exp 2a2 d*. První z integrálů musí být nutně roven nule, protože integrujeme lichou funkci v intervalu (-oo, oo). Druhý integrál musí být podle (1.8) roven jedničce, proto dostaneme E{x) = fi, (1.19) tj. poloha maxima rozdělení odpovídá současně i střední hodnotě náhodné proměnné. 28 5. Střední hodnota náhodné veličjn^je rovna její skutečné hodnote x*\J;j. platí ........ (1.20) Toto tvrzení lze dokázat následující úvahou. JjsánpjUyvlJ^^ liodné veličiny můžeme zapsat jako součet skutečnéj>evné hodnoty a výsledné náhc^né_chyi>y ................""-""*"■ ' ;_ x = ^ + e. (1.21) jjglikož x* je konstanta, musí mít g ťa]<^o^ ř^8^JÍŽpjo~ . dobnost výskytu Tflálníých a záporných náhodných chyb dané velikosti je stejnTvelká, proto mu8l^rstredtíí_.hndiv^ >• Tovna^^gľ^tr^i'nT hodnota^jé"proíio■ rovna x*. Tento závěr je velmi důležitý pro fyzikální měření. Pokuci í>y se nám"podařilo určit střední hodnotu měřené veličiny, dostali bychom tím její skutečnou hodnotu. 6. Vyšetříme nyní význam parametru a. Na obrázku 12 jsou zobrazena normální rozdělení s různými hodnotami cr a s pevnou hodnotou /i s= 0. „Vidíme, že 8^rostou_d.hodnotou 0.4 ^0.2 h 0.0 1-i-1-tt 1—i—r t—i—r tt—r -10 -8 -6 -4 -2 ) 2 4 6 8 10 X Obr. 12]>fc>raf hustoty pravděpodobnosti normálního rozdělení s různými parametry cr v n^axirrnjjLäOJiLa^u s (1.17) tak, aby plochajpooMcříyJkoji noUsfiyá^Jedná se tedy o šířkový parametr. Zkusíme najít jeho přesný význam. Často udávaným šířkovým parametrem ve fyzice je šířka v polovině výšky označovaná zkratkou FWHM (z anglického Full Width at Haif Maximum) nebo pološířka v polovině výšky označovaná zkratkou HWHM (z anglického Haif Width at Haif Maximum). Viz obrázek 13. Vztah těchto parametru k hodnotě a lze snadno vypočítat. Označme 29 hodnoty nezávisle proměnné odpovídající Sirce v polovině" výšky Pro šířku v polovině výšky platí («1,3 ~ M)*' exp 2| HWHM 0.8fWM Obr. 13: Šířkové parametry normálního rozdělení Vyšetřujme dále průběh funkce a hledejme inflexní body, tj. body, pro které platí d2/ dx* 0 . 30 Druhou derivaci spočítáme derivací (1.16) dor2 1 r*y/2~x exp (x - 2a3 1 (x - V inflexním bodě musí být nulová složená závorka v posledním výrazu z — (i = dba . Parametr cr proto udává polosířku křivky normálního rozdělení mezi infiexními body. 7. J^r^rnetr u je významnou vejfóčjnou z hlediska pra^^podobnoitnjjbo ..pjagtujS rostoucí hodnatou^jg^se křivka normálřuho rozdělenírpj^uj& ajfm rQ^e~vJlISó^^ pra^lp^dobnosti pn/hodnoty náhodné ^rqměajié^které jsou vzdálenější ocTmaxiřna, Rosi^aKTTíZpTýl jejích" hodnot a klesapl^ae&t-T^^ iuTollHřylk^ Pravděpodobnost, že náhodná pr6men"ntTpádne do intervalu (/i - cr\fi -f- a), je 1 P(/í-cr,/i + cr) = —/ exp (*-,z)2 2 (x - 22xJ ± 9») dx = exp a po úpravě dostaneme (/i, + j*2 - x)? dxi •00 b> o] exp 2(er> + 0 s přesností lepší než 10 aproximovat vztahem [5]: F(x) » 1 - eX?{~J?/2'y(a - by + cy2 - dy* + ey4) , (1.31) kde y - 1 1 + 0,2316419* o = 0,3193815 6 « 0,3565638 c = 1,781478 d = 1,821256 e = 1,330274 Pro a: < 0 se využije vztahu F(x) b 1 - F(~s), (1.32) který lze snadno odvodit z (1.18) a (1.8). Graf této aproximativní funkce je na obrázku 14. Tento vztah může být s výhodou využit, například pro porovnání teoretické distribuční funkce a skutečné distribuční funkce zkonstruované z naměřených dat. Na základě tohoto srovnání lze usuzovat, zda mají experimentální data normální rozdělení či nikoliv. Například srovnáním obrázku 14 a obrázku 7 lze usoudit, že náhodná proměnná popisující výstup z optického přístroje (příklad b daty v obrázku 3) by mohla mít normální rozdělení. 33 1.4.2.3 Rozdělení v2, Studentovo a rovnoměrné rozdělení Přestože je normální rozdělení nejčastějším případem, můžeme se setkat i s jinými druhy rozdělení. Příkladem muže, být měření výkonu j|ekt£Jcké-ho proudu uvolňovaného na rezistoru. Obvxuiem^iiň^ j3»rouď7jěTT6Ž ^ (proud může mít kladnouT zá- porjQ^ou'TioHnotu - může^řotŽRat oběma směry), ale výjou"jéTčlacEa"veličina' nemoh~ou mít normální rozděleni, protože normální rozdělení připouští výt, skyt jaTČřkolí reáHT^j. í záporné) todno.^ prgu^u^jiiugíjTut tedy takové rozdělení, pro které platí g(x) = 0 pro x < 0. V tomtopřípadš-se jedn4,oJP2děJiení odvozené z rozdělení x^ITtľcErkväd" rá^l^kové rozdejenjLir^ proměnných se stanjdardnjm norlňalnTŕn rozdělemmTr*~~~~'~*''"~""''~: ProTepsT pochopení si od^3fmTMš^u^favdepodobnosti g veličiny kde y je veličina se standardním normálním rozdělením. Pravděpodobnost toho, že hodnota veličiny a; bude ležet v intervalu (0;a;), je rovna pravděpodobnosti toho, že veličina y bude mít hodnotu v intervalu {—\fx]\/x). Pravděpodobnosti vyjádříme pomocí distribučních funkcí G{x) = F{y/x) ~ F(-v£). Pro distribuční funkci standardního normálního rozdělení F využijeme vztahu (1.32) G{x) « 2F(y/x) - 1 , 34 Obr. 15:1 Rozdělení x2 pro různé stupně volnosti n Derivací rovnice podle x (viz vztah (1.10)) dostaneme hustotu pravděpodobnosti g. Na pravou stranu dosadíme hustotu pravděpodobnosti standardního normálního rozdělení (1.29) s argumentem \fx a derivací argumentu: Á*) ~ \/2irx exp [-3- (1.33) Obecnějším případem je rozdělení veličiny, která je součtem n kvadrátů veličin se standardním normálním rozdělením. Pak mluvíme o rozdělení x2 s n-stupni volnosti [5] 1 (1.34) Vztah (1.33) je speciálním případem (1.34) pro n ~ 1 (r(l/2) « v'?). Graf rozdělení x3 Pr0 různé stupně volnosti je na obrázku 15. Střední hodnota rozdělení (1.34) je E{x) = n . (1.35) Při velkém počtu stupňů volnosti se rozdělení blíží k normálnímu roz-dělení. To je znázorněno na obrázku 16. 1 Ve vztahu je speciální funkce r, která je definována integrálem (7) 35 0.08 0.06 X &0 0.04 0.02 0.00 '.I 1 '"»-T-1' T ~i— • i 'i-r n o 20 100 Obr. 16: Srovnání rozdělení x2 (plná čára) a normálním rozdělením se etejnoi střední hodnotou (přerušovaná čára) J&lIÍSU^d^^ nf_2 (někdy je označováno jako í-rozděleni%JCímt©4?Gzd&^^ veličina i, která je definována vztahem #0 7^' J kde náhod n a náhodná prtK m^nn^c^^roz^lénrx^jj^ stupni voÍnqs^J?roměn^^ nezávislé. ^rpjooiniiJ^ápak Študentovo rozdělení s^ n^JLMPBJ.yolíost^které je popsáno vztahem.(5]' '. t:'^r~w" V.'J'/ (1.36) Graf Studentova rozdělení je no obrázku 17^na kterém můžeme porovnat tvar rozdělení se standardním normálním rozdělením. Je zřejmé, že s rostoucím počtem stupňů volnosti se Studentovo rozdělení rychle blíží normálnímu. >říkladem rozdělení je tzv. rovnoměrné rozjdělerit Takové rozdělení má náí^HhT^ŕômehná, která nálŠývTlibovolne^Eodnoty z intervalu 2Název Studentovo rozdělení pochází z pseudonymu „Student", pod kterým publikoval své práce anglický chemik a matematik W. S. Gosset. Pracoval v laboratoři pivovaru Guinness v Dublinu, kde se snažil statistlékypo^cEýlit faktory ovlivňující kvalitu piva. V roce 1908 vydal článek o intervalovém odhadu střední hodnoty normálního, rozdělení, ve kterém se právě tohoto rozdělení využívá. 36 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 3br. 17:^Srovnání Studentova rozdělení (plná čára) se standardním normál-íínntwsdtlením (přerušovaná čára) a) b) s konstantní hustotou /(*) = *€.b)t ■ / Velikost hustoty pravděpodobnosti je taková, aby plocha pod křivkou byla ednotková (viz 1.8). Takové rozdělení mají například náhodné chyby vznikající zaokrouhlováním čísel při výpočtech. 1.4.2.4 Odhad parametre normálního rozdělení V předchozích kapitolách, jsme. šé seznámili s několika rozděleními. Nyní se budeme zabývat rozdělením, které je pro fyzikální měření nejdůležitějšytj. ňpjn^n^^rozdělenmTrCIIem fyzikálního měření je získaj údaj o skut^ňé tiodnotě měřené veličiny. Víme již, že tato hodnota Je rovna střednThodnotě riormáTmEolx)^^ STnyDrz soubor nameřénycTTliodnot. Stojíme tedy před problémem, jakým zp^TsoTSeln Oě^ kterým se měřená veli- čina řídí. Vzhledem k tomu, Že soubor naměřených hodnot je vždy konečný, oeize nik(íy^TČjt JUedané parametry neomezeně přesně^Zpracováním měření tedy získame odhad pararríeírů rozdeTénlTnikdy nelze získat přesné skutečné hodnoty. Výj^edkem jakýchkoli nmtemat|ckých operací s^bodnotami náhodné proměnné j e totiž opět hodnota náhodn^é^proinennéľTakto je nutné pohlí-zeTí"hárVy"sle^3^s^^^"^ovZnírh měření. ZnalôstTchování náhodných proměnných nám ale umožňují říci, jak kvalitní je náš výsledek, tj. s ja- 37 -2 -1 O 1 2 X Obr. 18: Spatný odhad paxarnetrů rozdělení a naměřené hodnoty (křížky) kou pravděpodobností se v oblasti, kterou jsme vymezili naším odhadem. nachází skutečná hodnota. Tato nejistota by nás neměla odrazovat od využívání výsledků měření, protože vhodnou organizací experimentu a volbou počtu měření lze skutečnou hodnotu často určit s přesností, která je v praxi dostatečná. Možností, jak odhadnout velikost hledaného parametru, je jisté mnoho, rjobrý odhad by měl mít následující vlastnosti: nestrannoat - odhad je nestranný (nevychýl^j^Ä odhadu je rovna jeho skutečnThô3žfliI_ na počtu měření) j^nzistence^- odhad Je_konzistentní, jestliže s rostoucím počtem měření eféktivnoskjijodha^^ je minimální (zpravidla se rozptyl zmenšuje s rostoucím počtem měření)"'*" """""" Mějme soubor N naměřených hodnot X{ (i » 1,.,,,JV) náhodné veličiny s normálním rozdělením (1.15). Z naměřených hodnot máme odhadnout hodnoty parametrů fi a a. Hodnoty odhadů budeme značit/i a a tak, abychom je odlišili od neznámých skutečných hodnot. Na obrázku 18 jsou zakresleny hodnoty získané měřením (vyznačené křížky) a příklad zvolené hustoty pravděpodobnosti. Parametry rozdělení byly v tomto případě zvoleny evidentně špatně, protože některé naměřené hodnoty leží v oblasti, kde rozdělení udává velmi malou hodnotu hustoty pravděpodobnosti, tj. je velmi nepravděpodobné, aby v takových místech ležely naměřené hodnoty. Většinu naměřených hodnot můžeme očekávat v blízkosti maxima rozdělení. 38 Rozdělení s lépe zvolenou hodnotou /t jsou na obrázku 19, Skupina naměřených bodů již leží v blízkostí maxima rozdělení. Dalším problémem je ale volba šířkového parametru a. Pokud zvolíme šířku příliš malou (viz úzká křivka na obrázku), některé naměřené hodnoty se opět dostanou do oblasti s malou hodnotou hustoty pravděpodobnosti. Pokud zvolíme šířku příliš velkou (viz široká křivka na obrázku), v okolí skupiny naměřených hodnot zůstane Široký interval, ve kterém je ještě velká hodnota hustoty pravděpodobnosti, ale neleží zde žádné naměřené hodnoty, což je opět nepravděpodobná situace. Princip této úvahy vede k metodě pro objektivní stanovení p. a b, i.........-1-1-1-r L.....i,. „ , i_l l_l ..........l ............i..... i-1 -0.5 0.0 0.5 í;0 1.5 2.0 2.5 3.0 X Obr. 19: Rozdělení s různými šířkovými parametry a naměřené hodnoty (kříž-ky) Zavedeme veličinu, která vyjadřuje vhodnost volby parametrů rozdělení pro naměřené hodnoty. Tato veličina se nazývá věrohodnost (označ. L). Věrohodnost zkoumaného rozdělení je dána součinem hustot pravděpodobnosti zvoleného rozdělení pro naměřené hodnoty Hto*) = f{*i)f{x*)..-fM. (1.38) Smysl této veličiny vyplývá z předchozí diskuse. Jestliže některá naměřená hodnota padne do oblasti s malou hodnotou hustoty pravděpodobnosti (špatná volba p. nebo příliš malé i~W.= 0, (1,42) z toho sečtením dostaneme Nejlepším odhadem střední hodnoty normálního rozdělení (a tím i skutečné hodnoty měřené veličiny) je aritmetický průměr naměřených hodnot. Podle druhé podmínky v (1.40) hledáme takové á2, pro které bude maximální věrohodnost . Ä(s,~/<)2 N : do* 2< - A)2 = , ť=xl iv 1*1 Ukážeme si, že takto získaný odhad cr7 je takzvaně vychýlený, tj. jeho střední hodnota se nerovná skutečné hodnotě cr2. Rovnici (1.44) upravíme a vydělíme kvadrátem skutečné hodnoty šířkového parametru Výraz na pravé straně lze upravit do tvaru 4 w ■ Na pravé straně rovnice, je součet kvadrátů, proměnných, které mají podle (1.26) standardní normální rozdělení. Každý ze sčítanců na pravé straně rovnice má proto rozdělení x2 se stupněm volnosti n = 1. Podle (1.35) je střední hodnota takového rozdělení rovna 1. Podle (1.13) střední hodnotu výrazu na 4 Dokážeme si, že platí N f . s 2 . N N / ví Výraz na pravé straně formálně rozšíříme o prvky í = j. Hodnotu výrazu však tímto nezměníme. Úpravami dostaneme a^^-^-ED^-x,)'. Umocněním získáme Vísl «'=1 / jel \ «sl i'isl / Dosazením z (1.43) a úpravou: Viol J j«l f jel ial N N 2N E *< - = 2AT E *< - 2tfV . 41 pravé straně rovnice získáme tak, že sečteme střední hodnoty jednotlivých sčítanců. Tím dostaneme hodnotu TV2 - JV, protože součet obsahuje N2 - N prvků. Dosazením a úpravou získáme střední hodnotu á2 a* £(<72) = cr2 N-l N (1.46) Náš odhad <ř2 je sice vychýlený (£( oo je £(čr2) ~» cr2). Podle vztahu (1.46.) je zřejmé, že nevychýleným odhadem ,- - /»> * £ x? - 2A £ *{ + £ /i2 = £ x? - 2 + AV2 - E x? - N f i-\ tel tel tel tel Dosazením i=i 42 Co nim umožňují získané parametry říci o skutečné hodnotě? Lze například tvrdit, že v intervalu (/t - S{jj..+ ty leží skutečná hodnota fiX Statistika umí dát na tuto otázku odpověď opět ve formě pravděpodobnosti. Otázku lze formulovat i obecněji: Jaká je pravděpodobnost toho, že skutečna střední hodnota [i leží v intervalu (/i-+ f Úpravou výrazu lze zjišťovat i pravděpodobnost toho, že . ^k -1 I-T7—-—^Tv -1 6 I~ 6 Veličina (/t — fi)/S má podle (1-30) standardní normální rozdělení, Výraz ......... -: . • ^ ^ má rozdělení x2 8 N — 1 stupni Volnosti 6. Veličina (£ — p)fS má proto Studentovo rozdělení s N — 1 stupni volnosti. Abychom odpověděli na výše uvedenou, otázku, stačí vypočítat plochu pod křivkou Studentova rozdělení v intervalu k). K tomu musíme znát počet stupňů volnosti, který je roven počtu měření zmenšenému o jedničku. V praxi se setkáme spíše s opačně formulovanou otázkou. Jakou hodnotu k musíme zvolit, aby skutečná $iřednt hodnota n ležela v intervalu (fa — k6\ £i 4- ko) s danou pravděpodobností? Jinak řečeno hledáme takovou hodnotu k, aby plocha pod křivkou Studentova rozdělení s daným počtem stupňů volnosti byla rovna určité hodnotě. Tento výpočet lze provést pouze numericky. Výsledky výpočtu jsou uvedeny v tabulce v dodatku C. Hodnoty k se nazývají Studentovy koeficienty. Vynásobíme-li hodnotu 6 těmito koeficienty, dostaneme interval, ve kterém leží skutečná hodnota s danou pravděpodobností (t2v. hladina spolehlivosti). Běžně používaný způsob zápisu výsledků měření má hladinu spolehlivosti 0,6827. Pokud výsledek zapisujeme s jinou hladinou spolehlivosti, musíme to u výsledku uvést. eStejně jako v (1.45) lze výraz rozložit na součet kvadrátů veličin se standardním normálním rozdělením. Pouze N -1 těchto veličin je vzájemně nezávislých, protože z N hodnot x,- vytváříme dvojice Zí — xj. Intuitivně lze určit, žě součet má rozdělení x1 s N-> l stupni volnosti, Důkaz lze nalézt např. v (4). 43 Příklad 1.6 Měřením napětí byly získány tyto hodnoty (ve voltech): 3,85 3,42 3,92 3,64 3,73 3,68 3,66 Určele: střední hodnotu napětí směrodatnou odchylktf jednoho měření směrodatnou odchylku odhadu střední hodnoty interval, ve kterém leží skutečná hodnota napětí s pravděpodobností 0,5 interval, ve kterém leží skutečná hodnota napětí s pravděpodobností 0,6827 interval, ve kterém leží skutečná hodnota napětí s pravděpodobností 0,9 Řešení: a) Střední hodnotu odhadneme pomocí (1.43), tj, aritmetickým průměrem: /i = 3,6857 V. b) Směrodatnou odchylku jednoho měření odhadneme pomocí (1,47): á- 0,1675 V. c) Směrodatnou odchylku aritmetického průměru získáme pomocí Besselová vztahu (1.40): l = 0,0633 V. d) Interval s hladinou spolehlivosti 0,5 získáme tak, že hodnotu 8 vynásobíme. Studentovým koeficientem z tabulky v dodatku C pro 6 stupňů volnosti tj. k = 0,718. Dostaneme tedy interval ' (3,686 ±0,045) V, tj. v Intervalu (3,641; 3,731) V leží skutečná hodnota napětí s pravděpodobností 50% .' e) Podobným způsobem budeme postupovat pro hladinu spolehlivosti 0,6827. Studentův koeficient je k = 1,091. Dostaneme tedy interval (3,686±0,069) V, tj. 1(3,617;3,755) V. > f) Pro hladinu spolehlivosti 0,9 máme Studentův koeficient fe = 1,943. Skutečná hodnota leží s pravděpodobností 90% víntetva-lu (3,69 ± 0,12) V, jinak zapsáno (3,57;3,81) V, Je zřejmé, že s rostoucí hladinou spolehlivosti roste šířka intervalu. Pozn.: Pro správný zápis výsledků měření platí pravidla, kterými se budeme zabývat později. a) b) 4 d) *) 0 44 1,4,3 Hrubé chyby měření Pří rozboru druhů chyb v úvodní kapitole 1.4 jsme se seznámili s tzv. hrubými chybami. Tyto chyby vznikají mimořádným způsobem: náhlou změnou podmínek experimentu nebo nepozorností experimentátora. Proto se ťytocnyby laéřídl^éjhýTini^řavidly jako náhodňTelíjnĎyTRekli jsme si, že hrubé chybná měření se výrazně odlišují od ostatních měření. Tyto vlastnosti umožňují hrubě chybná měření identifikovat. Pro hranici, kdy lze říci, žejnaměřená hodnota se výrazně odlišuje od ostatních hodnot, můžemeyyu^ meznTc]]^ mihodínou chybou padne d^njtř^ je^ 99,73%. Jejtedy^eimi ^ái^i^väepodpbné fÓt2Ž% tentoJniejyjaj,„Pj^ tento interval považoyat jaj^bě chybná a vyloučit je. Postup při zpracování měření jě n^tedující^ 1. 'lZesóuboru naměřených hodnptjyj^i& (odhad střednno^a^o^y) ^aodháH směrodat^ odc^íkyje 2. Vypočítám^odh^______ 3. Ze souboru j/yíouČímé hodnoty ležící mimo interval {jx — k\ ft + k). 4._Předd^ozí ^ Jiodnoty. Příklad 1.7 Měřením odporu byly získány tyto hodnoty (v fi): 125,3435 125,3859 125,6928 125,3712 125,3592 125,3355 125,3115 125,3526 125,3680 125,3866 125,4105 125,3847 125,3700 125,1123 125,3952 125,3351 125,3499 125,3847 125,3210 125,3129 Z těchto hodnot stanovíme odhady střední hodnoty a směrodatné odchylky jednoho měření: Č = 125,3645 , b - 0,0990 Q . Interval mezní chyby je (125,0675; 125,6615)0. Mimo tento interval leží hodnota 125,6928 Q, kterou vyloučíme: 125,3435 125,3859 125,3712 125,3592 125,3355 125,3115 125,3526 125,3680 125,3866 125,4105 125.3847 125,3700 125,1123 125,3952 125,3351 125,3499.126,3847 125,3210 125,3129 Opakováním výpočtu získáme: fi = 125,3469 Cl, <ŕ~ 0,0635fi. 45 Interval mezní chyby je nyní (125,1564; 125,5374)0, Vyloučíme hodnotu 125,11230, která leží mimo: 125,3435 125,3859 125,3712 125,3592 125,3355 126,3115 125,3526 125,3680 125,3866 125,4105 125,3847 125,3700 125,3962 125,3361 126,3499 125,3847 125,3210 125,3129 Parametry tohoto souboru jsou: Č= 125,3599 0 , a = 0,0291 0. Interval mezní chyby: (125,2726; 125,4472)0. Všechny hodnoty již leží v tomto intervalu. Soubor naměřených hodnot je tak očištěn od hrubě chybných měřeni. Tento proces příliš neovlivnil odhad 6třední hodnoty, ale podstatně snížil směrodatnou odchylku. 1.4.4 Chyby měřidel, oélková chyb^jrr^ení_„_„ Vlastnosti měřicích přístrojů jsou velmi důležitým faktorem, který může určovat výsledné chování měřené náhodné veličiny. Nevhodnou volbou měřícího přístroje může např^clad dojít k situaci, kdy rozptyl měřené vehČir^na^^ ^p_udoměřičlho přístrojeje tak malý, že její změny nejsou na stupnici přístroje .pozorovatelné. Pozorovái:éir^jBaJL^^Is^äM.C|6 měřená veličina se vůbec ^jreměníTBylo by mylné domnívat se, že chyba měřené veličiny je nulová a~ jměření je absolutně přesné. Ctená hodriol^řrmzTT5yF^ objektivně dochází k malým změnám měřené veličiny. Tyto změny jsou však menší než je nejmenší změna, kterou lze na přístroji zaznamenat. Příznivější je opačná situace, kdy rozlišení měřícího přístroje je podstatně menší než skutečný rozptyl měřené veličiny. Měřidla charakterizujeme pomocí chyby uriěřidla, jJe to souhrnná vlastnost měřidla vyjadřuj íciic7iyBy"(systematické a náhodné), kterou měn^^V"ňáir^ó^ěřéh"f."ChýBal^^ _IIie 0. Efektivní počet stupňů volnosti: ni VM2/ »2 \ H J -1 vytknutím hodnoty £4 ze závorky a úpravou dostaneme -i -A ŕ* r4 V tomto případě máme jen jednu nezávislou proměnnou. ,áx\ ~ubx\-1 Směrodatná odchylka veličiny y pak bude Vydělením střední hodnotou ju získame opět vztah pro relativní chyby. r = |&|ŕ\ . ■ Pro »|--f 0 při b ^ 1 nelze zákon přenosu chyb použít. Efektivní počet stupňů volnosti: "eflí n\ J úpravou dostaneme 51 Konkrétní příklady použití zákona přenosu chyb si probereme v následující kapitole, kde bude vysvětleno, jak správně zapisovat výsledky získané zpracováním měření. Pro objasnění použití výše odvozených pravidel je uveden jeden příklad. Příklad 1.10 Nepřímo měřená veličina y závisí na přímo měřených veličinách xx, %2 a 13 takto: Odvoďte vztah pro relativní chybu r veličiny y a její efektivní počet stupňů volnosti. fieiení: Všechny měřené veličiny jsou v součinu nebo podílu, proto je možné využít vztah pro součty kvadrátů relativních chyb. Vztah v zadání rozdělme nejprve na jednotlivé činitele. Relativní chyba výrazu x\ je 2ri, kde rt je relativní chyba z\. Podobně relativní chyba ±3 je 4V3. Nyní můžeme sečíst kvadráty relativních chyb jednotlivých činitelů a dostaneme '_ r=\/4ri+r2+16r3-Podobným postupem pomocí výše odvozených pravidel získáme efektivní počet, stupňů volnosti 16 4 1 4 , 266 4 Tli »2 «3 -1 1.5 Zápis výsledku měření a jeho chyjay^ Výsledek měření obsahuje informaci kvalitativní - jednotku, ke které se ^v^taltujé^informace kvantitativní, tj, číselná hodnota výsledku. Pravidla pro správný zápis jednotek jíž byla uvedena dříve. Pravidla pro správný zápis Jforelného údaje výsjedku yycházeji_z_tohot že nejnájsjívy^ „hodnotu měřené veličiny s větší přesností, než je hodnota chyby. Zpřesňo-vání zápisy nfrPřin^U&^flin^ffi mč.řPTii bychom dostali jinou hodnotu.Janahou je zapisovat výsledek s takovou přesností, aby se při opakovaném měření měnily cifry zapsaného výsledku pouze na posledním nebo dvou posledních místech. Z toho vyplývají následující pravidla: *_^2lXfeH^ÍÉ^.áS.I_hodnoty zaokrouhlujeme vždy najedno nebo dvě platná ^mis.ta^^rvriji^^ zleva......... • Střední Jftg^^ na stejný řád jako chybu. ^ , (střední hodnota ± chyba střední hodnoty)Jedrk^ = 0,52o.; • VieGhny hodnoty leží v intervalu mezní chyby, proto žádnou hodnotu nemusíme pro dalSí výpočty vylučovat. Směrodatná odchylka střední hodnoty je podle Besselova vztahu \^'%;^J' . měníme postupně v intervalu chyby, tj. od -4° do 16°, Budeme sledovat, jak se mění hodnota n. Pro hodnotu (p =t -4° je i) = 0,9976..,, při zvětšování

- 0° fa = 1) a pak klesá až k hginoté r] = 0,96126... pro ^ = 16°. Interval hodnot jestliže se (p mění v intervalu (-4°; 16°), je Všimněme si, že střední hodnota q neleží uprostřed intervalu. Je to způsobeno nesymetrií rozdělení, které popisuje chování veličiny rj, Příklad 1.16 Na pracoviště broušení jsou dodávány destičky s tloušťkou di = (430± 10) um. Podle předpisu mají mít destičky po broušení tloušťku di — (350 ±20) um. Jaká musí být tloušťka odbrušované vrstvy t a její tolerance, aby byl dodržen výrobní předpis? Předepsané tolerance lze považovat za mezní chyby střední hodnoty tloušťky výrobků. Spatné řešení: Tloušťku ť vyjádříme jako rozdíl £„ - sin

ll.»>MlWlil I.............. ,.,i„ tf„lfc,„ . ,^ .-^.J.l kálni^^ V předchozí kapitole jsme se zabývali případy, kdy měřené veličině, ať už přímo nebo nepřímo měřené, přísluší jedna stálá skutečná hodnota. Výsledkem : měření pak byly náhodně proměnné hodnoty, z nichž jsme vyhodnocením ; získali jedinou hodnotu odhadu skutečné velikosti měřené veličiny. Výše uvedený postup nebývá v praxi příliš Častý, protože hodnotu studované; veličiny zjišťujeme zpravidla nepřímo ze vzájemné závislosti některých přímo měřitelných veličin, které se mění dle cíleně upravovaných podmínek experimentu. Například koeficient teplotní délkové roztažnosti daného materiálu určujeme ze závislosti délky tyče na teplotě. Závislostí relativní délkové změny na teplotě je přímka, jejíž směrnice udává hodnotu hledaného koeficientu. Výsledkem měření závislosti veličiny-^Lna veličině .r^e-tedy souj^dyojjr. Jia.yjc&.vf.ličinácL.gfljačasně^Rodle dle..našeho... rr^M případy: • Potřebujeme získat hodnotu y pro dané x. Pokud ji nemůžeme získat experimentálně, musíme ji odhadnout z již naměřených hodnot (x^yi). Leží-li x mezi některými změřenými hodnotami, provedeme tzv. inter- . polaci, leží-li mimo ně, provedeme extrapolací. • Neznáme teoretickou předpověď závislosti y na ar, ale chceme změřenou závislost popsat některou zvolenou funkcí. V takovém případě provádíme aproximaci změřené závislosti zvolenou funkcí. Aproximační funkce nemusí na rozdíl od interpolačních metod nutně procházet body (*í»V<)' tínáme typ funkce y = /(^K která popisuje měřenou závislost,..Najžai cílem je určit z naměřených dat parametry funkce f(x) tak, aby funkce congflepe vystihla mmÍřMQU..zavIšTo4, rmyMmeJzv^regresi. Regrese se lisí od aproximace tím, Žc modelovou funkci máme dánu např. teoretickým vztaiiem a zji|tějrým.parametrům dáváme jejich> fyzikální yýznámjnajg^Jkoe^ Aproximace bý- vají-založené na regresních metodách, ale funkce je volena bez hlubšího fyzikálního význ amu. Jjej čptěj jivy užívanou regresní metodou je meto-„da nejmenšíchčtyerců, kterou se budeme dále zabývat. V literatuře najdeme i další metody jako skupinovou nebo po^tu^nou_[6]. Tyto metody poskytují vychýlené odhady hledaných parametrů a nebudeme se jimi podrobně zabývat. Mají význam spíše historiek}'. Byly používány především díky jednoduchosti výpočtů na kterých jsou založeny. Takové zjednodušení již nemá v současné době opodstatnění. Na konci kapitoly se budeme krátce zabývat postupnou metodou. 63 ÍJÍJl: Tritfír4K)lacet^ixtr^BPÍ,%9g_^ aproximace Jsou případy, kdy pro určitou funkci známe jen některé její funkční hodnoty, ale neznáme její analytické vyjádření, které by nám umožnilo funkční hodnoty vypočítat v libovolném bodě. Mohou to být například výsledky fyzikálních měření nebo výsledky složitého výpočtu, který není možné často opakovat. Při mterpolačním výpočtu neznámé funkční hodnoty pro zvolené x vy-Jvářfmeiuiikd-^iřgJ^kiCTá V uzlových bodgch Zj nabývá zadaných hodnot ^_ffÍ5i}. Interpolační metody se liší typem funkce ^(a:), H^ŕôu yýužTvajT Heljédnodušfj meTo3ou ie lineární interpolace, kde funkce g,(.^JejHD.£ég!^> lineárjaíJuiikce.,tA^ořídjpo^^ bodů (xitp), Interpolace se může také zakládat na polynomických funkcích, trigonometrických funkcích, racionálních lomených funkcích atd. jnterpolační metodu volíme podle: • počtu zadaných bodů interpolované závislosti (malý počet bodů zne-. možňuje využívat složitějších interpolačních metod) • očekávaného charakteru závislosti • rozložení zadaných bodů (některé metody předpokládají ekvidistantní rozložení bodů) I • požadavků na chování interpolační funkce (např. spojitost derivací, periodičnost atd.) Extrapolace je založena na interpolačních metodách, výpočet ale provádíme mimo rozsah uzlových bodů a.-.' Při extrapolaci je nutno zvláštní opatr-,nostit neboť z chování interpolační funkce ae snažíme učinit závěry pro oblast hodnot, kde již nemárnežádné informace,. Extrapolace může vést k chybným závěrům, proto je nutné výsledky kriticky posoudit s ohledem na naše očekávání a jejich fyzikální význam (extrapolací můžeme například získat hodnoty, které nejsou fyzikálně přípustné). 2.1.1 Lineární interpolace Lineární interpolace je nejjednodušší interpolační metodou^ Interpolační funk-cejss^kJidiijLÚ^ uzlové body (sj,y|). Pro výpočet interpolqy^ Sí^ii^^ ^a_squsedn£uzlov;é body x< < x < xt-+i (viz obr. 20). Interpolovanou hod-notu y vypočítáme podle^zlahu /y^yi + íya-yOf1—-^ (2.59) Tento způsob interpolace se využívá nejčastěji při interpolaci v tabulkách. Příklad 2.1 Rychlost zvuku ve vzduchu je závislá na teplotě. Hodnoty rychlosti při tlaku 101325 Pa jsou pro některé teploty uvedeny v tabulce: 64 Teplota (°C) 0,0 5,0 10,0 15,0 Rychlost (m s"*1) 331,5 334,5 337,5 340,6 Vypo&'tejte rychlost zvuku c při teplotě 7° C lineární interpolací. Řešení: Pro interpolaci využijeme hodnoty rychlosti zvuku při 6°C a 10°C, Podle vztahu (2.59) c = 334,5 +(337,5 - 334,5)- ~~ = 335,7 m s-1 . Přiklad 2.2 Hustota vzduchu závisí na jeho teplotě a tlaku. Dále je uveden výřez z tabulky hustot suchého vzduchu v kg m*"3 pro vybrané teploty a tlaky; Tlak (kPa) Teplota (°C) 98,0 99,0 20,0 1,165 1,177 21,0 1,161 1,173 Určete hustotu vzduchu q pro teplotu 20,8 °C a tlak 98 340 Pa lineární interpolací tabulkových hodnot. Řešení: Lineární interpolaci lze použít i v případě funkce dvou proměnných 65 (zde tlak a teplota). Nejprve provedeme interpolaci hustot pro teplotu 20,8 °C a tlaky 98 kPa a 99 kPa. Takto získané hodnoty budeme interpolovat pro tlak 98 340 Pa 20 8 20 q = 1,165 + (1,161 - 1,186) ■ ~~- = *>1618 kg m~3 • To je hustota vzduchu při tlaku 98 kPa a teplotě 20,8 °C 1,177 + (1,173 - 1,177) > ~~2^ * 1,1738 kg m"3 . To je hustota vzduchy při tlaku 99 kPa a teplotě 20,8 °C. Dále provedeme interpolaci pro tlak 98,34 kPa q» 1,1618 + (1,1738- 1,1618). ^ _ g™ é 1,166kg m"3 . To je hustota vzduchu při tlaku 98,34 kPa a teplotě 20,8 °C. Interpolace lze provádět i v opačném pořadí, tj. nejprve pro tlak a pak pro teplotu. 1,165 + (1,177 - 1,165) • 9'9_ 98 = 1,1691 kg m~3 . To je hustota vzduchu při tlaku 98,34 kPa a teplotě 20 °C. q = 1,161 + (1,173 - 1,161) • **^-vt - 1,1651 kg m"3 . To je hustota vzduchu při tlaku 98,34 kPa a teplotě 21 °C. 20 fi — 20 0=1,1691 -I- (1,1651 - 1,1691)". f" i 1,166 kg m~3 . To je hustota vzduchu při tlaku 98,34 kPa a teplotě 20,8 °C. 2.2 Metoda nej menších Čtyercli ^ Mfifodp "qjraftnftfch čtverců je nejběžnější regresní metodou. Využíváme ji XJ^ÍB^dech, kdy chceme, aby_£růběh daného typu funkce se co nejvíce přimykal zadanýrjklttKiňnL^ vhodné parar metry jisté funkce. Pro matematické řešení tohoto problému musíme najít pjrimyká k zadaným bodům. Intuitivně lze najít řadu různých měřítek, lze ukázat [ôj, že k nalezení nej věrohodnějšího hledaného průběhu funkce f(x) vede měřítko r S = £(/(*,) - y{? . J (2.60) Ů=l ■-------:-^ Měřítkem $ je součet kvadrátů rozdílů zadaných a funkčních hodnot (odchy-Íek),jc_ter£^ . G raficky si to můžeme představit jako součet ploch čtverců v obrázku 21. Odtud pochází i název této metody. 66 ParametryJuakce, f(xl&jozna&iifzÁ&ke a, 6, c,.. „ Velikost součtu čfasrcfl odchylek 5 je funkcí těchto parametrů ĽJ-S^b^J^ ■ (2.61) Hledáme minimum této funkcet tj. rr>m> platit: Je zřejmé, že suma čtverců odchylek nemá maximum (vždy existuje taková volba parametrů, která dá větší hodnotu 5), proto hodnoty parametrů s nulovou derivací označují polohu minima. JMinimáhráJhpdnota Sa je tzv, .zbytková (reziduálni) suma čtverců odchylek, Dálgí postup řešení soustavy (2,62) závisí na typu funkce /(i), proto si pro ukázku vyřešíme dva jednoduché příp«Hyuy_jiás)HHJícírň text.n jsmi meze sčítání od ť =1 do i = jV, kde N je počet,bodů daných tabulkou. • y — ax Vztah (2.60) pro sumu čtverců odchylek má tvar S = J2(axi - y<)2 • Derivací získáme i dS . ■ ^ \ ^ = 2j^{ax{ - y{)xi. 1 Pro minimum platí 67 NejvSrohodnějSím odhadem parametru a je E*2 ' a — (2.63) Odhad parametru á je vypočten z hodnot náhodné proměnné, a proto je zatížen chybou. Tuto chybu zjistíme ze zbytkové sumy S0. Postup výpočtu odhadu chyby lze nalézt např. v [3], zde se omezíme pouze na výsledky výpočtu. JV-1 ' kde fc je Studentův koeficient pro danou hladinu spolehlivosti P a počet stupňů volnosti (v tomto případě je to N — 1). • y s= ax -f & V tomto případě hledáme dva parametry a a 6 ^ = 253(axi + 6-yi). Pro hledané minimum dostáváme soustavu rovnic 53(ax? + oíj - XíVí) - 0 , ;£(aaj< + 6 - y<) = 0 . _ Opravou Řeáením této soustavy získáme 6 = Pro odhad chyby platí (2.64) (2.65) So = £(axí 4- ô - y,-)2 , 3 — Sa = Si . jv-2* a V^E*2-(E*.)2' A a — a± $ak , 6 = b ± st,k Počet stupňů volnosti je N — 2. e*,2 68 2J2A_ Rozsah platnosti metody nejmenších čtverců Metoda nejmenších čtverců předpokládá následující vlastnosti měřených veličin: • Veličiny y a x jsou nenáhodné, tj. existuje mezi nimijBfjčinná souvislost. • K určení hledaných parametrů funkce / musíme provést minimálně tolik měření při různě nastavených hodnotách a:, kolik je hledaných parametrů. • Veličina y je náhodná a veličina x je nenáhodná a libovolně nastavitelná. Předpokládá se tedy, že hodnoty nejsou zatíženy chybou. t Měřené hodnoty yt nejsou zatíženy hrubými nebo systematickými chy-I bami. Tuto metodu lze rozšířit na funkce více proměnných zcela analogickým ^ůsobj^m^jSa^^ Vztahy pro určenT^rametrů funkce y = axy-f bx^+cmetodou nejmenších čtverců lze nalézt např. v [7]. Do uvedených vztahů lze dosadit^místo proměnných^ Jibovolnou funkci a(x)s kt^rá riftohfia,huje hlfida.né pa.ra.rngfgy. Tímto vlastně provedeme v grafu transformaci osy nezávisle proměnné, kterou se hledaná funkce zlinearizuje nebo převede na jiný typ, který lze snadněji analyzovat. Nelze však provádět transformace závislé veličiny y, které jsou nelineární, protože jednotlivé odchylky změní nestejným způsobem pro různé naměřené hodnoty. Například funkci y~cexp(x) lze převést na lineární funkci transformací X ss exp(s) , V = aX , pro kterou již máme odvozen vztah pro stanovení parametru a. Do vztahu ■ (2.63) dosadíme místo X{ funkci exp(zt-) k £exp(gf')y< Nelze však provést logaritmování výše uvedené funkce ln(y) = a -f x a provést transformaci Y = ln(y). Tento postup vede ke Špatnému výsledku. 69 Příklad 2.3 Přímot] metodou byl měřen modul pružností oceli. Ocelový drát o průměru d a délce / byl zatěžován závažími a bylo měřeno jeho prodloužení. Byly zjištěny rozměry drátu: d ~ 600 u.m í<* = 5 ujn , z 15 měření f = -985 mm í| = 2 mm z 8 měření Výsledky měření jsou v tabulce: Hmotnost m,- (kg) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7. Prodloužení Aí,- (u.m). 0 20 35 52 63 80 96 109 Určete modul pružnosti E oceli, z níž je zhotoven zkoumaný drát. Řešení: Závislost délky prodloužení válcového drátu na hmotnosti zátěže je dán Hookovým zákonem Funkční vztah mezí závislou proměnnou a nezávislou proměnnou je sice typu y = as, ale při měření nelze zaručit, že naměřená závislost prochází bodem [0,0]. I tento počáteční bod je zatížen chybou měření, proto i v tomto případě musíme volit typ závislosti y e= ax + 6, . kde parametr b je opravou na chybu vynulování měřidla při nezatíženém drátu. Naměřené hodnoty proložíme přímkou dle vztahu (2.64) a (2.65). Ze získané směrnice a pak určíme modul pružnosti £ = 4gl and2 Odhad parametrů přímky metodou nejmenších čtverců je #I>íA/,-I>,£A/; o = 0>.-)2 Z naměřených hodnot spočítáme jednotlivé součty X>i = 2,8 kg, X>? = l,4kg2, £ A/t- = 455 • 10~6 m , £m;A/; = 223,7 • 10~6 m kg . Dosazením získáme odhady parametrů c= 153,45-10~6 m kg"1 , fc = 3,2-10"6m. Výsledné hodnoty modelového vztahu jsou shrnuty v následující tabulce. 70 Hmotnost m; (kg) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 Prodloužení A/; (um), 0 20 35 52 63 80 96 ]09 Model hm-i + 6 (um) 3,2 18,5 33,9 49,2 64,6 79,9 95,3 110,6 Odtud lze spočítat i zbytkovou sumu čtverců odchylek So « £(ámť + b - A/,-)2 » 27,2 • KT12 m3 , ze které vypočítáme odhad chyby směrnice sa = Zt2B-10'9mkg"1 . Ze směrnice spočítáme hodnotu odhadu modulu pružnosti a jeho chybu dle zákona přenosu chyb ŕ = \/řf + řl + 4ř} a dostaneme ŕ =» 0,02718. Vypočítáme efektivní počet stupňů volnosti .i-i m na Směrnice a určená metodou nejmenších .čtverců má 6 stupňů volnosti. Dosazením, dostaneme ntR = 13,5. Odpovídající Studentův koeficient je k =b 1,038, výsledek s hladinou spolehlivosti 68,3% je £?=(22,3±0,6).1010Pa. Příklad 2.4 Neznámá funkce je zadána tabulkou: x{ 2 3 4 5 6 7 8 Vi 0,2 0,7 0,95 1,2 1,35 1,46 1,58 Pro aproximaci této funkce byla vybrána funkce y = a\n(x)+b. Určete hodnoty parametrů a a b metodou nejmenších čtverců. Řehní: Pokud provedeme transformaci nezávisle proměnné X = ln(z), dostaneme funkci tvaru y = aX + 6. Pro výpočet koeficientů této funkce metodou nejmenších Čtverců jsme již odvodili potřebné vztahy (2,64) a (2.65). V nich provedeme odpovídající transformaci, tj. místo x{ budeme dosazovat Xi «= In(«,■). Výpočtem získáme á = 0,98±0,04, 6= -0,43±0,06. Graf funkce je uveden na obrázku 22. 71 yi.5 1.0 0.5 0.0 0 2 4 6 8 10 X Obr. 22: Funkce y = a.\n(x) + b proložená metodou nejmenších čtverců 2 že úhel odchylky vahadla Ay> od nulové polohy (poloha při nezatížených miskách) je úměrný rozdílu hmotností předmětů na miskách Am Aip = cArn , . .(A.l) kde c je tzv. citlivost váh! Citlivost závisí na rozměrech vahadla a jazýčku a na zatížení vah. Citlivost vah tedy není konstantní a je vhodné ji stanovovat při každém vážení. Obecně vztah (A.l) říká, že změna rozdílu hmotností na 79 miskách o Am posune rovnovážnou polohu o Ay>. Úhel A

n2 používáme tzv. metodu tří kyvů. Tato metoda umožňuje přibližně určit rovnovážnou polohu z hodnot polohy tří po sobě následujících bodů obratu jazýčku vah. Jazýček koná slabě tlumené limity. Pohyb jazýčku po stupnici lze popsat vztahem n(t) = nr + Ae-/,í sin(wť + 7). (A.6) Myšlenka metody tří kyvů vychází z toho, íe obálkové křivky gráfu tlumených kmitů (v obrázku 28 jsou vyznačeny čárkovaně) jsou symetrické vzhledem k hodnotě rovnovážné polohy. Kdybychom znali v některém okamžiku í O > / \ " " ^ - J*8 \ / — ~~ ~ ^ \ / - " " **• čas —» Obr. 28: Metoda tří kyvů pro stanovení rovnovážné polohy slabě tlumených vah . . - 83 hodnoty obou obálkových křivek, rovnovážna hodnota by byla dána jejich aritmetickým průměrem. Jednu hodnotu obálkové krivky aj zjistíme v bodu obratu jazýčku, ale hodnota druhé obálkové křivky ve stejném okamžiku nám bude vždy chybět, Tuto hodnotu můžeme přibližně získat za předpokladu, že obálkovou křivku mezi dvěma body obratu lze nahradit úsečkou (/? «w), Pak je chybějící hodnota dána aritmetickým průměrem velikosti výchylek ve dvou sousedních bodech obratu ai a Vážení na elektronických vahách Elektronické váhy jsou již běžnou součástí fyzikálních a chemických laboratoří. Podle jejich citlivosti je možně elektronické váhy rozdělit na váhy laboratorní a analytické. Dosahují citlivostí srovnatelných s mechanickými vahami. Postup vážení je velmi jednoduchý, vyžaduje však pečlivost a dobrou přípravu vah před měřením. Před vážením musíme zkontrolovat správné uložení vah, k tomu slouží zpravidla zabudovaná libela. Elektronické váhy mají jen jednu misku a měří tíhu předmětu na ní uloženého. Tíhovou sílu, resp. Číselný údaj získaný elektronickým převodníkem, srovnávají s hodnotami tíhových sil kalibračních závaží. Elektronické váhy totiž musí být po zapnutí a stabilizaci vnitřních obvodů (především ustálení vnitřní teploty) žkalibrovány sadou kalibračních závaží, Postupy kalibrace se mohou lišit, jsou uvedeny v návodu k váhám. Před uložením předmětu na mlsku vah nejprve vynulujeme údaj na displeji. Vážený předmět opatrně uložíme na misku a odečteme údaj na displeji. Pokud se podstatně změní laboratorní podmínky, musíme znovu provést kalibraci vah. Chybu zjištěné hmotnosti spočítáme dle návodu v dokumentaci k váhám. Příklad A.2 Projdeme postup vážení prázdné skleněné kádinky na laboratorních vahách pomocí metody tří kyvů. Na obrázku 29 je stupnice laboratorních vah. Je zřejmé, že stupnice vah nemusí mít nulu uprostřed. • Při zjišťování první nulové polohy byly hodnoty tří po sobě jdoucích maximálních výchylek 7;16;9. Výsledná první nulová poloha Obr. 29: Stupnice laboratorních vah 84 • Prvním vyvážením závažím ^^56,3 g byly hodnoty podle metody tří kyvů 4;17;5. První rovnovážná poloha 75 Jelikož první rovnovážná poloha leží vpravo od první nulové polohy, musíme změnit vyvažující závaží tak, aby druhá rovnovážná poloha byla větší než 12. Musíme tedy hmotnost závaží zvětšit (předpokládáme, že závaží je na pravé misce). * Po zvětšení závaží fta hodnotu ,Zj=s56,4 g byly hodnoty tří kyvů 8;19;10. Druhá rovnovážná poloha * Druhá nulová poloha byla zjištěna z hodnot 8;15;8; no2 - ^ ^15+ —j-J = 11,5. Další postup je stejný jako u Vah tlumených. Nulová poloha je ftQi + nóž 12+11,5 "o =--Tjp— -£— = 11,75. Správnou hodnotu vyvažujícího závaží získáme podle (A.3): 11 7R — 1Q 7R Zo « 56,3 + (56,4 - 56,3) • ľ, in 4 * 56,3308 g . * • 14 — 1U, 10 Citlivost vah je 14 — 10j75 .- _ • • • Mezní chyba hmotnosti Zo je pak; ^=.:];s = 0,03g. Výsledná hodnota hmotnosti vyvažujícího závaží je tedy ' ' % = (56,33 ±0,03) g . Oprava vážení na vztlak vzduchu (redukce vážení na vakuum) Vliv vztlaku vzduchuje příkladem systematické chyby, která se vyskytuje v procesu vážení. Na předměty na miskách a na závaží nepůsobí jenom tíhové síly, ale i vztlakové síly vzduchu dle Archimedova zákona, Velikost vztlakové síly závisí na objemu těles na miskách vah a na hustotě vzduchu, Objemy těles jsou obecně různé, proto může být vztlaková síla působící na závaží jiná 85 než síla působící na vážený předmět. Pro rovnováhu na vahách s uvážením vztlaku vzduchu platí: m - QvVm = Z - gvVt , (A.8) kde m je hmotnost váženého předmětu, Vm je jeho objem, Z je hmotnost závaží, Vt je objem závaží a gv je hustota vzduchu. Položme Vm = V. = , (A.9) Q Qz kde e je hustota váženého předmětu a gz je hustota závaží. Dosázením do (A.8) a úpravou dostaneme m^záelZjA> (A10) Závaží bývají většinou mosazná, tj. é>*=8400 kg m"3. Hustotu váženého předmětu p bud* známe (podle materiálu Určíme z tabulek), nebo ji určíme právě pomocí vážení. Hustota vzduchu závisí na tlaku p, teplotě i a vlhkosti vzduchu R. Při vážení musíme proto stanovit laboratorní podmínky. Hustota vzduchu ze stavové rovnice dvousložkového plynu (suchý vzduch a vodní pára) je [9] gv= , v (p-0,378c), (A.U) kde po = 1,293 kg m~3 je hustota vzduchu za normálních podmínek To—273,15 K a p0=101325 Pa. Teplotu vzduchu t dosazujeme ve °C< Parciální tlak vodních par určíme pomocí relativní vlhkosti R a parciálního tlaku nasycené vodní páry E e=zRE. (A.12) Parciální tlak nasycené vodní páry E můžeme nalézt v tabulkách nebo vypočítat podlé vztahu 5 = 611-10* PVC], (A.13) který lze odvodit z Clausiovy-Clapeyronovy rovnice. Hodnoty parametrů jsou a as 7,5 a b « 237,3°C pro teploty nad bodem mrazu, a ='9,5 a 6 = 265,5°C pro teploty pod bodem mrazu. Redukci vážení na vakuum provádíme i při vážení na elektronických vahách, neboť i tyto váhy srovnávají tíhu váženého předmětu a tíhu kalibračních závaží. Důležité je, aby kalibrace a vážení proběhly za stejných laboratorních podmínek. 86 Příklad A.3 Výsledek předchozího příkladu (vážení skleněné kádinky) opravíme o vztlak vzduchu. Hmotnost vyvažujícího závaží byla stanovena Z0~ (56,33 ±0,03) g . Laboratorní podmínky t = 22,8°C, p = 96438 Pa, Ä=38%. Podle (A.13) je tlak nasycených vodních par i?~2776 Pa a parciální tlak par ve vzduchu e = 0,38 • 2776=1055 Pa. Pro hustotu vzduchu podle (A. 11) dostaneme 1 293 Qv^-L-—^.(96438-0,378'1055)== i, 131 kg m 101325.(1 + -3 Nyní môžeme přistoupit k výpočtu hmotnosti redukované na vakuum podle (A.10). Vážený předmět má hustotu q - 2250 kg m-3, závaží q, =» 8400 kg m~3. • ^ ,fi oo 2250.(8400-1,131) _go m * 56í33 ' 8400. (2250- 1,131) = 56'35 6 ' Hmotnost vážené kádinky je m ä (56,35 ±0,03) g . Přiklad A.4 V kádince, jejíž hmotnost jsme zjistili v předchozích dvou příkladech, vážíme vodu. Váženfproběhlo za stejných laboratorních podmínek jako vážení prázdné kádinky. Hmotnost vyvažujícího závaží byla v tomto případě Zov-(185,52±0,03)g. Pro redukci vážení na vakuum neznámé v tomto případě hustotu váženého předmětu, protože se jedná o nehomogenní těleso (kádinka a voda). Můžeme postupovat dvěma způsoby. Bucľ odhadneme střední hustotu celé soustavy voda-kádinka (jelikož se jedná pouze o údaj pro výpočet opravy, případnou chybou se nedopustíme zřejmě příliš Velkého zkreslení výsledku), nebo provedeme redukci vážení pouze pro samotnou vodu následujícím způsobem. Hmotnost vyvažujícího závaží pro samotnou vodu je dána rozdílem Zv = Z0v - Z0 « (129,19 ± 0,04) g . Hustotu vody známe (g =1000 kg m~3) a po výpočtu dostaneme hmotnost vody m.« (129,32±0,04) g . 87 Příklad A.6 Vážíme hliníkový předmět na tlumených analytických vahách: První nulová poloha: noi = 30 První vyvážení: ni = 67 při #1 = 28,43 g Druhé vyvážení: n2 - -35 při Z2 = 28,44 g Druhá nulová poloha: no2 — 12 Rovnovážná poloha je 12 + 30 01 ■ no=—y— «21. Hmotnost vyvažujícího závaží Zo « 28,43+ (28,44-28,43) • ^ " 6J7 = 28,4345g . Citlivost vah Chyba vážení je pak 0,1 mg. Hmotnost vyvažujícího závaží Z0 = (28,4345 ±0,0001) g . Vážení probíhalo při teplotě ís 21,7 °C, tlaku p s= 98925 Pa a relativní vlhkosti Ä=56%. Parciální tlak podle (A. 13) a (A.12) dostaneme e — 2597 Pa. Hustota vzduchu podle (A. 11) je gv«l,163 kg m~3i. Hustota hliníku je q = 2700 kg m~3. Redukce vážení na vakuum podle (A.10): ■;■ ír;.'-,;P.;; m . ». 2700.(8400- 1,163) , • m « 28,4345 • ^ ??M _ ^ - 28,4428g. Hmotnost váženého předmětu je m = (28,4428 i 0,0001) g . 88 Dodatek B Vlastnosti měřicích přístrojů Měřicí přístroje umožňují objektivizovat měření, tj. buď vyloučit lidské smysly z procesu měření a nebo měřenou veličinu učinit lidským smyslům snadněji kvantifikovatelnou (např. poloha rúčky na stupnici přístroje). V mnoha případech měřicí přístroje zprostředkovávají informaci o veličině, která je lidským smyslům nedostupná. Měřicí přístroje tedy hrají klíčovou roli y měřicím procesu a úspěch měření závisí i ná tom, jak dobře známe vlastnosti použitých přístrojů. Musíme porozumět, jak přístroje jnteragují s měřeným-objektem a mezi sebou navzájem, jejich omezením a chybám, které vnáší do měření. V této kapitole si budeme všímat vlastností elektrických měřicích přístrojů. S těmito měřícími přístroji se setkáváme často, protože mnoho měření je založeno na převodu měřené veličiny na elektrický proud nebo napětí. V takovém měřicím řetězci je nutné rozumět nejenom vlastnostem měřícího přístroje samotného, ale i převodníku dané veličiny na veličinu elektrickou. Vlastnosti převodníků jsou závislé na konkrétní situaci a nebudeme se jimi zabývat. Přístroje pro měření elektrického proudu můžeme rozdělit do dvou skupin. Jsou to ručkové (analogové) a číslicové (digitální) přístroje/Digitální měřicí přístroje převádějí pomocí tzv. analogově-digitálníbo převodníku měřenou veličinu na číslo zobrazené ha displeji. Převodníky jsou elektronické obvody, jejichž princip je popsán např. v [9]. Ručkové měřicí přístroje využívají nejčastěji silového působení magnetického pole, ve výjimečných případech elektrostatického pole. V nejběžnějším měřicím systému s otočnou cívkou se .využívá silového působení magnetického pole na cívku protékanou elektrickým proudem. Cívka je uložena mezi póly permanentního magnetu tak, aby se mohla otáčet. Díky interakci magnetického momentu cívky s magnetickým polem magnetu dochází k otočení cívky až do polohy, kdy je moment sil magnetického pole v rovnováze s momentem síly vratného mechanismu - např. spirálového pérka. Cívka je spojena s ručičkou na stupnici a její výchylka je úměrná střední hodnotě protékajícího proudu. Z toho je zřejmé, že tímto systémem není možné přímo měřit střídavé proudy. Pro měření střídavých proudů musíme proud usměrnit nebo použít tzv. elektromagnetického nebo elektrodynamického systému. U elektromagnetického systému se využívá vzájemného silového působení železného jádra a magnetického pole buzeného pevne uloženou cívkou. V magnetickém poli se jádro polarizuje a je vtahováno do cívky. Pohyb jádra se pak přenáší na ručičku na stupnici. Elektrodynamický systém je v principu velmi podobný systému s otočnou cívkou. Pole permanentního magnetuje ale.nahrazeno polem pevné cívky, kterou protéká měřený proud. V tomto magnetickém poli se vychyluje otočná cívka, kterou rovněž protéká měřený proud. Elektrodynamického systému lze využít i pro měření výkonů, Na jednu cívku je přivedeno napětí, které je na měřené zátěži, a druhou cívkou protéká proud, který protéká měřenou zátěží, Jedna cívka je tedy zapojena paralelně k měřené zátěži a druhá do série. 89 V takovém uspořádání je výchylka úměrná Činnému výkonu uvolňovaném na zátěži. Typ měřícího systému bývá označen na stupnici přístroje symbolem (víz tabulka 4). Na stupnici se dále uvádí izolační schopnost přístroje, tj. napětí na svorkách přístroje, při kterém nedojde k jeho průrazu na vodivou uzemněnou podložku (víz tabulka 5). Dále bývá uvedena správná pracovní poloha stupnice a druh měřeného proudu (viz tabulka 6). Důležitým údajem na stupnici je tzv. třída přesnosti, která je dána číslem uváděným nad symbolem druhu měřeného proudu. Třída přesnosti udává mezní chybu měřícího přístroje. Chybu vypočítáme tak, že vynásobíme hodnotu zvoleného rozsahu měřícího přístroje třídou přesnosti a vydělíme 100. Značka Název systému Princip Využití / f* .i i. \ j b otočnou cívkou otočná cívka protékaná měřeným proudem uložená v poli permanentního magnetu stejnosměrné napětí a proudy (výchylka úměrná střední hodnotě) / f* \ s otočnou cívkou a usměrňovačem stejný jako u systému s otočnou cívkou, proud je v přístroji usměrňován diodou stejnosměrné i střídavé napětí a proudy (výchylka úměrná střední hodnotě usměrněného proudu) t elektromagnetický otočné železné jádro uložené v magnetickém poli cívky, kterou protéká měřený proud Stejnosměrné i střídavé napětí a proudy (výchylka úrhěrná efektivní hodnotě) 0 .' u élektrodynamický otočná cívka protékaná proudem uložená v magnetickém poli cívky, kterou protéká proud stejnosměrné i střídavé napětí a proudy (výchylka úměrná efektivní hodnotě), výkon Tabulka 4: Typy měřicích systémů a jejich označení Příklad B.l Voltmetr má rozsah 24 V a třídu přesnosti 1,5. Ručička ukazuje napětí 10 V. Určete chybu napětí a vyjádřete ji relativně a absolutně, Řešeni: Z definice třídy přesnosti dostaneme absolutní chybu napětí; Ay = 24 • = 0,36 V. Výsledek je U = (10,00 ±0,36) V a relativní chyba ry=3,6%. 90 Značka Význam zkušební napětí 500V -ár.. zkušební napětí v kV (zde např. 1 k V) Tabulka 5: Izolační schopnosti měřicího přístroje Značka Pracovní poloha stupnice Značka Typ měřeného proudu (napětí) 1 pracovní poloha stupnice svislá stejnosměrný pracovní poloha stupnice vodorovná stejnosměrný i střídavý pracovní poloha stupnice šikmá (zde např. 60°) střídavý Tabulka 6: Další značky ňá stupnici měřicích přístrojů Příklad B.2 Arapérmetr má rozsah 120 mA a třídu přesnosti 1, Ručička ukazuje proud 76 m A. Určete chybu měřeného proudu a vyjádřete ji relativně i absolutně. Řešeni: Z definice třídy přesnosti dostaneme absolutní chybu proudu; Ai - 120''jjg = 1,2 mA. Výsledek je /.= (76± 1) mA pppř,: / = (76,0 db 1,2) mA á relativní chyba r/= 1,6%. Z výše uvedeného vyplývá, že je vhodné volit takový měřicí rozsah, aby se měřená hodnota co nejvíce blížila hodnotě měřícího rozsahu. V tomto případě je relativní chyba měření minimální. 91 Ha. -Q Ir -o Iv V a) b) : Obr, 30: Dvě varianty zapojení voltmetru a ampérmetru U digitálních měřicích přístrojů je výpočet chyby složitější a postup výpočtu musíme najít v dokumentaci přístroje. Většinou se chyba vypočítává jáko část z měřícího rozsahu a jako část z měřené hodnoty. Pro označení měřícího rozsahu najdeme v dokumentaci různé označení např. MHMR -maximální hodnota měřícího rozsahu, Pull Scale - z angličtiny někdy zkracováno jako FS. U přístrojů, které automaticky přepínají rozsahy, je nutné zjistit pravidlo, podle kterého probíhá volba rozsahu, a z čtené hodnoty zpětně odvodit momentálně použitý měřicí rozsah. Pro označení měřené hodnoty se používají označení např. MH - měřená hodnota, č.h. - čtená hodnota, Reading - z angličtiny někdy zkracováno RD. Ve výpočtech chyb se také někdy používá .výrazu digii (zkracováno dig,), který představuje minimální hodnotu, kterou je možné přečíst na displeji. Například výraz S dig. znamená dvojnásobek této hodnoty. Z měřícího principu ručkových přístrojů je zřejmé, že musíme uvažovat jejich vliv na měřený obvod. Ampérmetrem protéká měřený proud a na jeho svorkách vzniká úbytek napětí. Voltmetrem také protéká proud, který je dán odporem měřicí cívky a měřeným napětím. V obvodech střídavého proudu musíme uvážit (zvláště u vysokých frekvencí) indukčnosti cívek měřicích systémů. Vnitřní odpor běžných analogových voltmetrů bývá v rozsahu desítek až stovek kQ. Vnitřní odpor digitálních voltmetrů bývá většinou v řádu desítek Mfi. Vliv měřicích přístrojů si můžeme dokumentovat na případu měření odporu metodou přímou. Ampérmetr a voltmetr můžeme zapojit dvěma různými způsoby (viz óbr.30). Odpor měřeného rezistoru je dán velikostí úbytku napětí Ur a protékajícího proudu Ir. V případě a) nám ampérmetr ukazuje hodnotu proudu protékajícího rezistorem, ale voltmetr ukazuje součet hodnot Ur &Ua, kde U a je úbytek napětí na ampérmetru. Úbytek napětí V\ je dán vnitřním odporem ampérmetru Ra, tj. U a = RaI. Hodnotu odporu pak můžeme vypočítat jako R = ~ - Ha > 92 kde U b, I jsou hodnoty čtené na přístrojích. V zapojení podle obr.306J am-pérmetrem naměříme součet proudů protékajících rezistorem a voltmetrem / = IR + Iv. Proud protékající voltmetrem je dán jeho vnitřním odporem Rvt tj. Iv = U/Rv- Hodnota odporu měřeného rezistoru je pak »- v a~ I-U/ňy ' Pokud provedeme výše uvedené opravy na vliv měřicích přístrojů, mohlo by být jedno, které zapojení pro měření použijeme* Hodnoty Ra a Ry jsou však také stanoveny s jistou chybou, a proto je vhodné využít takové zapojení, kde se vliv této chyby projeví nejméně. V případě, kdy hodnota podílu U a / v zapojení a) je srovnatelná s Ra, odečítáme od sebe dvě srovnatelně velká čísla, jejich rozdíl je tedymalé číslo. Jejich chyby se sčítají dle zákona přenosu chyb, a proto dostaneme výsledek s velkou relativní chybou. Proto zapojení a) je vhodné využívat v situacích, kdy R > Ra, tj. pro velké hodnoty odporu, a zapojení b) pro R < Hvytj. malé hodnoty odporu, Příklad B.3 V návodu multimetru je uvedeno, že chyba měřeného napětí je lOOppm MH + 20ppm MHMft, Určete chybu měřeného napětí, naměříme-li na rozsahu 150 V napětí 130,842 V. Řešeni; ' MH= 130,842 V, MHMR=150 V, ppm označuje ÍO^6 (part per milion), chyba je dána vztahem: Ay - 100 • 10-6 '130,842 + 20 • 10~6 • 150 st. 0,016 V V = (130,842 ± 0,016) V, Příklad B.4 V manuálu multimetru je uvedeno, že na rozsahu 4 V je chyba měření 0,3% č.h. + 1 dig. Určete chybu měřeného napětí, jestliže přístroj ukazuje hodnotu 2,982 V, , Řešeni: ' ' . MH=i2,982 V a 1 dlgsO.OOl; chyba je Au = $g .2,982 4-0,001 = 0,0099 V C/= (2,98 ±0,01) V . Příklad B.5 Měřicí přístroj ukazuje hodnotu indukčnbsti L = 22,68 uH. V manuálu je uvedeno, že chyba měření je: 0,1% 4-2 dig. Určete chybu naměřené hodnoty a zapište výsledek měření. 93 Řešení:.• .. MH =22,68 nH a 1 dig=0,01, chyba je Al = ^ • 22,68 + 0,02 = 0,04 nH 1= (22,68 ±0,04) uH . Příklad B.8 V návodu multimetru je uvedeno, že chyba měřeného napětí je 0,05% of Reading + 0,02% Ful) Scale. Naměříme-li na rozsahu 40 V napětí 21,48 V, určete chybu měřeného napětí. . -: • Řešení: ■. ■ Reading=21,48 V, Pull Scale=40 V Aiy ~ if '21,48+ 2f ■ 40 = 0,0187 V U = (21,48 ±0,02) V . Přiklad B,7| . Ampérmetrem s třídou přesností 0,5 je měřen proud protékající odporovou zátěží. Voltmetrem je měřen úbytek napětí na této zátěži. Pro chybu napětí platí: 60ppm MH + 30ppm MHMíl. 4 Byly naměřeny hodnoty 7 = 0,825 A na rozsahu 1,2 A a!7 ~ 86,328 V na rozsahu 100 V. Určete hodnotu odporu zátěže (R = J£) a velikost výkonu uvolňovaného na zátěži (P = VI). Pro obě veličiny stanovte chybu vypočítaných hodnot. Vliv měřicích přístrojů na zátěž zanedbejte. Řešení: Pracujeme zde s mezními chybami, které byly určeny z parametrů přístrojů, jejich odpovídající počet stupňů volnosti považujeme, za nekonečně velký, a proto lze zákon přenosu chyb uplatnit přímo na mezní chyby: _ Afl = y~Ä^+~^Ä?. Z definice třídy přesnosti dostaneme absolutní chybu proudu: A/ = 1,2.£! = 0,006 A. Chyba napětí: MH=86,328 V, MHMR=100 V Av = 60 ♦ 10~6 • 86,328 + 30 • 10~6 • 100 = 0,0082 V Dosazením: R = 104,64 fř, AR = 0,76 ň, R= (104,64±0,76)ÍÍ. Pro chybu výkonu platí podobně podle zákona přenosu chyb: AP = sjpAl + V* A] . Dosazením: P = 71,2206 W, A/> = 0,52 W, F= (71,22±0,52) W. 94 Dodatek C Studentovy koeficienty počet stupňů volnosti n = N - 1, kde N je počet měření n hladina spolehlivosti 0,5000 0,6827 0,9000 0,9545 0,9973 1 ■1,000 1,837 6,314 13,96 235,8 2 0,817 1,321 2,920 4,526 19,21 3 0,765 1,197 2,353 3,307 9,219 4 0,741 1,141 ■: 2,132 , 2,869 6,620 0,727 1,110 (2,015 ) 2,649 5,507 6 0,718 1,091 2,516 4,904 7 0,711 1,077 1,895 2,429 4,530 8 0,706 1,067 1,860 . 2,366 4,277 9 0,703 1,059 1,833 2,320 4,094 10 0,700 1,053 1,812 2,284 3,957 11 0,697 1,048 1,796 2,255 3,850 12 0,695 1,043 1,782 • 2,231 3,764 13 0,693 1,040 1,771 2,212 3,694 14 0,692 1,037 1,761 2,195 3,636 15 • 0,691 1,034 1,753 2,182 3,586 16 0,690 1,032 1,746 2,169 3,544 17 0,689 1,030 1,740 2,158 3,508 18 0,688 1,028 1,734 2,149 3,475 19 0,688 1,027 1,729 2,141 3,447 20 0,687 1,026 1,725 2,133 3,422 25 0,684 1,021 1,708 2,105 3,329 30 0,683 1,017 1,697 2,087 3,270 40 0,681 1,013 1,684 2,064 3,199 50 0,679 1,010 1,676 2,051 3,157 70 0,678 1,007 1,667 2,036 3,111 100 0,677 1,005 1,660 2,025 3,077 200 0,676 1,003 1,653 2,013 3,040 00 0,675 1,000 1,645 2,000 3,000 95 Literatura [1] ČSN ISO 31 Část 0 - 13, Český normalizační institut, Praha 1994. : [2] Celý J.: Programové moduly pro fyzikální výpočty, UJEP Brno 1985. ' : [3] Meloun M., Militký J.: Statistické zpracování experimentálních dat, PLUS Praha 1994. [4] Hátle J., Kahounová J.; Úvod do teorie pravděpodobnosti, SNTL/ALFA Praha 1987. [5] Humlíček J.; Statistické zpracování výsledku měření, UJEP Brno 1984. [6] Horák Z.: Praktická fysika, SNTL Praha 1958. [7] Rektorys K. a kol: Přehled užité matematiky, SNTL Praha 1963. c V [8] ISO/TAG4/WG3, Guide to the expression of uncertainity in measurement, ISO, Geneve, 1993. [9] Brož J. a kol: Základy fyzikálních měření (I), SPN Praha 1983; 97