Zápočet 2022
Poznámky k zadání
Nejistoty: V zadání nejsou explicitní nejistoty měření, ale v úvodním odstavci
se říká, že pro měřené hodnoty (ozn. y) platí Poissonovo rozdělení, tedy že mj.
střední hodnota (λ) je rovna rozptylu, σ2
y. Pro každý bod yj máme jen jedno
měření, tedy odhad lambda je právě tato hodnota a odhad nejistoty σy =
√
yj.
Po transformaci y → log(y) se samozřejmě transformuje i tato nejistota (podle
zákona šíření nejistot) - zatímco v lineární škále nejistota s velikostí naměřené
hodnoty roste, v logaritmické je to naopak.
Po odečtení nějaké nafitované komponenty by se tyto nejistoty v principu měly
mírně zvětšit (o nejistotu modelu), v praxi je ale tato nejistota oproti σy zaned-
batelná.
NB: Některé funkce v pythonu s nejistotami pracovat neumí, např.
scipy.linalg.lstsq. Náhradou může být tento kód
def lstsq(matA,b,sig_b):
import numpy as np
matW=np.eye(len(b))
ir=np.arange(0,len(b))
matW[ir,ir]=1/sig_b**2
hess=matA @ matW @ matA.T
cov=np.linalg.inv(hess)
pars=cov @ matA @ matW @b
return pars,cov
Poloha maxima: Jde o (co nejpřesnější) určení polohy maxima v horizontálním
směru (energie). V logaritmické i lineární škále je tato poloha identická, souvisí s
nafitovanými parametry q1 a q2 (vzorec je dosti jednoduchý). K určení nejistoty
polohy maxima potřebujete znát nejen nejistoty těchto parametrů, ale i jejich
kovarianci resp. korelaci. To vše můžete získat z kovarianční matice, která je
inverzní k hessianu - analogický problém v maticovém formalismu je řešen v
tomto ukázkovém příkladu
Pokud fitujete polohu maxima přímo (jako nelineární parametr) a váš fitovací
program vám vrací i nejistotu, je to akceptovatelné řešení, musíte ale vědět
1
alespoň, jakou veličinu program minimalizuje.
Kovarianční resp. korelační matici můžete pak snadno získat i pro “kombinovaný”
model, kdy není potřeba ani provádět fitování, stačí získat hessian z modelové
matice, která bude v jednotlivých sloupcích obsahovat konstantu (“jedničky”),
exponencielu a gaussovku.
Test normálního rozdělení: Spočtená korigovaná rezidua můžete primárně
vykreslit do histogramu - pokud budete dělat Pearsonův test, tak lze vybrat jen
část histogramu, kde podle tradičního pravidla počet binů s méně jak 5 prvky
bude méně jak 5 (tedy vynechat okrajové oblasti). Pokud budete využívat nějaké
předprogramované funkce na Kolmogorův test, vykreslete alespoň přibližnou
empirickou distrib. funkci získanou z tohoto histogramu (viz Kolm. test v
návodu ke kurzu). Parametry normálního rozdělení, se kterým budete histogram
či EDF srovnávat, lze vzít jako střední hodnotu a směrod. odchylku výchozích
reziduí (střední hodnota by měla být blízká 0, rozptyl očekáváme blízký 1).
2