Ekvivalentní popis hustoty pravdìpodobnosti lze získat pomocí

charakteristické funkce (Fourierovský obraz) $$X(t)=E(e^{i \xi t})=\int{e^{i xt} f_\xi(x) dx}$$

nebo vytvoøující (moment generating) funkce $$M(t)=E(e^{\xi t})=\int{e^{xt} f_\xi(x) dx}$$

toto je užiteèné pro výpoèty vyšších momentù (a zùstáváme v reálném oboru).

napø. pro normální rozdìlení (normalizace $K=1/\sqrt{2\pi\ \sigma^2})$

$$M_N(t)=K \int \exp{xt} \exp\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}\ dx = K \int \exp\frac{(- x^2 + 2 x m - m^2 + xt\ 2\sigma^2)}{2\sigma^2 } \ dx$$

$$= K \int \exp\frac{(-x^2 + 2 x (m+t\sigma^2) - (m+t\sigma^2)^2 + 2mt\sigma^2 + t^2\sigma^4)}{2\sigma^2 }\ dx = \exp \left(mt + \frac{t^2\ \sigma^2}{2}\right)$$

V posledním øádku jsme doplnili argument na ètverec $(x-m-t\ \sigma)^2$, takže bylo tøeba pøidat poslední 2 èleny. Integrace pøes $x$ nechá jen tyto èleny, vzhledem k normalizaci Gaussovy funkce je integrál spolu s $K$ roven 1. Výpoèet charakteristické funkce probíhá identicky se zámìnou $t\to i\ t$.

Teï je tøeba spoèítat derivace a vyhodnotit je v bodì $t=0$.

$$\nu_1 = \left.\frac{d M_N(t)}{dt}\right|_{t=0} = \left. (m + t \sigma^2) \exp \left(mt + \frac{t^2\ \sigma^2}{2}\right) \right|_{t=0}=m$$

$$\nu_2 = \left. \frac{d^2 M_N(t)}{dt^2}\right|_{t=0} = \left. \left[\sigma^2+(m + t\ \sigma^2)^2\right] \exp \left( mt + \frac{t^2\ \sigma^2}{2}\right) \right|_{t=0}=\sigma^2 + m^2$$

analogicky dostaneme $$\nu_3=\left. \left[3\sigma^2\ (m + t\ \sigma^2) +(m + t\ \sigma^2)^3 \right] \exp \left( mt + \frac{t^2\ \sigma^2}{2}\right) \right|_{t=0}=3\sigma^2\ m + m^3$$

$$\nu_4=\left. \left[3\sigma^4 + 6\sigma^2\ (m + t\ \sigma^2)^2 +(m + t\ \sigma^2)^4 \right] \exp \left( mt + \frac{t^2\ \sigma^2}{2}\right) \right|_{t=0}=3\sigma^4 + 6\sigma^2\ m^2 + m^4$$

Toto jsou ovšem necentrální (algebraické) momenty, potøebujeme je pøevést na centrální $\mu_i=E\left[(x-\nu_1)^i\right]$ (pro $i>1)$ rozvojem mocnin: z døívìjška známe

$$\mu_2=E(x^2)-2E(x)\nu_1+\nu_1^2=\nu_2-\nu_1^2$$ což dá oèekávaný výsledek $\sigma^2$.

podobnì $$\mu_3=E(x^3)-3E(x^2)\nu_1+3E(x)\ \nu_1^2- \nu_1^3=\nu_3-3\nu_2\nu_1+2\nu_1^3$$ pro velièinu s normálním rozdìlením tedy $$\mu_3 = 3\sigma^2\ m + m^3 - 3m\ (\sigma^2 + m^2) + 2m^3 = 0$$ tedy nulová asymetrie.

A koneènì $$\mu_4=E(x^4)-4E(x^3)\nu_1+6 E(x^2)\ \nu_1^2 -4 E(x)\ \nu_1^3 + \nu_1^4=\nu_4-4\nu_3\nu_1+6\nu_2\nu_1^2-3\nu_1^4$$ a pro velièinu s normálním rozdìlením $$\mu_4 = 3\sigma^4 + 6\sigma^2\ m^2 + m^4 - 12\sigma^2\ m^2 - 4 m^4 + 6m^2\ (\sigma^2 + m^2) - 3 m^4 = 3\sigma^4$$ pak špièatost (kurtosis) musí být právì korigována o hodnotu $\nu_4/\nu_2^2=3$, aby vycházela 0 pro normální rozdìlení.

Diskrétní rozdělení¶

Podobná transformace je možná i pro diskrétní NP, jen se pro vyjádøení $E(e^{\xi t})$ použije suma $$\sum_k P(k) \exp(kt)$$

pro Poissonovskou NP je $P(k| \lambda)=\lambda^k /k! \exp -\lambda$, mùžeme sumu výše vyøešit substitucí $\lambda \to \lambda \exp t$. Suma je pak klasickým Taylorovým rozvojem (normalizaci $\exp -\lambda$ mùžeme vytknout).

$$\exp(-\lambda) \sum_{k=0}^\infty [\lambda \exp t]^k /k! = \exp(-\lambda) \exp(\lambda \exp t) = \exp(\lambda [\exp t-1])$$

(jde o 2 exponenciely vložené do sebe).

První 3 derivace v bodì $t=0$ jsou $\nu_1 = \lambda$, $\nu_2 = \lambda^2 + \lambda$ a $\nu_3 = \lambda^3+3\lambda^2+\lambda$. Pøevod na centrální momenty pak ukazuje, že $\mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \lambda$.

Šikmost (asymetrie) pak vychází $\gamma_1 = \mu_3/\sigma^3 = \mu_3/\mu_2^{3/2} = 1/\sqrt{\lambda}$