máme n měření
spočtením centrálních momentů $m_k=\sum(x_i-\bar x)^k / n$ získáváme odhady pro vlastnosti populace
$m_{2n}$ se řídí rozdělením $\chi_{n-1}^2$ (vazba na odhad $\bar x$ snižuje o 1 počet stup. volnosti), odhad disperze $m_2$ je tedy vychýlený.
Nevychýlená je k-statistika
$$k_2=\frac{n}{n-1}m_2 $$pro obecné rozdělení jsou další nevychýlené odhady
$$k_3=\frac{n^2}{(n-1)(n-2)} m_3$$$$k_4=\frac{n^2 [(n+1)m_4 - 3(n-1)m_2^2 ]}{(n-1)(n-2)(n-3)} $$a nevychýlené odhady disperze uvedených veličin $$D(k_1)=\frac{k_2}{n}$$ $$D(k_2)=\frac{k_4 (n-1)}{n(n+1)}+\frac{2 k_2^2}{n+1}$$ $$D(k_3)=\frac{6k_2^3 n(n-1)}{(n-2)(n+1)(n+3)}$$ (poslední řádek platí pro normální rozdělení, jinak disperze $k_3$ závisí až na $k_6$)
špičatost (kurtosis) $g_2=\frac{k_4}{k_2^2}$ má pro normální rozdělení disperzi (a dostatečně velké hodnoty $n$) přibližně $D(g_2)=24/n$
označme $p_k=\sum x_i^k / n$, pak z rozvoje polynomu $\sum(x_i-\bar x)^k / n$ lze odvodit (pro očekávané hodnoty - např. $E(x_i)=\mu_1$, které komutují se sumou)
$E(p_1)=\mu_1$
$E(p_2)=\mu_2+\mu_1^2$
$E(p_3)=\mu_3+3 \mu_2 \mu_1 +\mu_1^3$
$E(p_4)=\mu_4+4 \mu_3 \mu_1 +6 \mu_2 \mu_1^2+\mu_1^4$