Kolektivní a kooperativní jevy — 1. sada příkladů 1. Landauova teorie pro feromagnet S pomocí Landauovy teorie popište kritické chování anisotropního feromagnetu s tzv. magneticky měkkou osou, v němž může magnetizace zaujímat pouze dvě orientace - po směru osy z a proti směru osy z. V ose z dále působí magnetické pole B. Landauovu volnou energii zapíšeme ve tvaru mocninného rozvoje vhodného pro případy s malou magnetizací M oo L{T, B,M) = ^2 ln(T, B)Mn « 10{T, B) + h(T, B)M + l2(T, B)M2 + l3(T, B)M3 + l4(T, B)M4 . n=0 Předpokládáme, že velikosti B a T — Tc jsou malé (slabé pole, blízkost fázového přechodu), a máme proto ln(T, B)^an + bnB + cn(T - Tc) . (a) Zjednodušte uvedený rozvoj do čtvrtého řádu s využitím symetrie L(T, —B, —M) = L(T, B, M). (b) Rozvažte, jaké podmínky musí splňovat zbylé koeficienty rozvoje, abychom při nulovém poli dostali řešení M = 0 pro T > Tc a ±M(T) při T < Tc. (c) Zanedbáme koeficienty, které nehrají při fázovém přechodu významou roli. Dále určíme hodnotu koeficientu b\ s využitím termodynamického vztahu M = —dF/dB. Výsledný tvar Landauovy volné energie L(T, B, M) « -BM + c2(T - TC)M2 + a4M4 použijte k výpočtu následujících veličin • magnetizace M(T) při nulovém poli B = 0 • susceptibility pro slabé pole x = {dM/3B)b=q • magnetizace na Tc vyvolané vnějším polem, M{B) pro T = TC • špecifického tepla c = — T (d2 F / dT2) b=q v okolí fázového přechodu 2. Numerické řešení Grossovy-Pitaevského rovnice pro harmonickou past Pro přibližný popis kondenzátu slabě interagujících atomů v pasti lze použít Grossovu-Pitaevského rovnici ~V2 + V^t{r)+g\(r) splňuje normovači podmínku |2 j3 b(r)\z d r = N , kde ./V je počet atomů v pasti a potenciál pasti Vext nabývá pro izotropní harmonickou past tvaru 1 Zavedeme charakteristickou délku ano = \/?í/mwHO a převedeme GP rovnici do bezrozměrných veličin $,=r/aHo ,0 = 0/\jNauo ' i1 = /Vl^HO : 0(£) =/Í0(£) s normováním y |0(£)|2 d3£ = 1 -V|+í2+87t^-|0(O|S s aHO Parametr A = 87r(Na/ano) má význam poměru interakční energie odhadnuté jako E-mí oc gN{N/a^0) a kinetické energie neinteragujících bosonů odhadnuté jako E^in oc iV^fajHO- Řešení GP rovnice odpovídá vlnové funkci základního stavu a je tedy sféricky symetrické. Můžeme položit (£) = a obdržet finální rovnici ~ d2 1 - ——t + £2 + A 10(012 u(0 = Pu(0 s okrajovými podmínkami m(0) = 0, u(oo) = 0 , d? J jejíž řešení je třeba nalézt numericky. Vyřešte tuto rovnici pro parametr Na/a-^o = 0, 1, 10 a 100 a graficky znázorněte odpovídající 0 v závislosti na £. 3. Jednočásticová matice hustoty systému neinteragujících bosonů a fermionů Vypočtěte jednočásticovou matici hustoty pi(r,r') danou vztahem Pl(r,r') = (ft{r)Í>{r')) pro systém volných neinteragujících bosonů s disperzní relací ek = h2k2/2m. Přitom uvažujte i o případu, kdy je přítomen kondenzát, a oddělte příspěvek s k = 0. Získaný výraz bude obsahovat integrál, který není možno analyticky vyjádřit. Rozviňte proto e@ek pro malé k do druhého řádu v k a integrál spočtěte. (a) Ukažte, že pro T > Tc má jednočásticová matice hustoty přibližný tvar e-\r-r'\/d pi(r,r') ~--— , \r — r'\ a určete korelační délku d. Tato korelační délka diverguje pro T —> Tc. (b) Ukažte, že pro T < Tc má jednočásticová matice hustoty přibližný tvar , const. pi{r,r ) = n0 + 1-- . \r — r'\ (c) Porovnejte chování jednočásticová matice hustoty systému neinteragujících bosonů s odpovídající veličinou pro systém neinteragujících fermionů. 4. Bogoliubovova transformace Systém interagujících bosonů je popsán kvadratickým hamiltoniánem n = ^2 Ak a[ak - ^Bk (aka_k + a{a]_k k L kde Ak a Bk jsou reálná čísla, která splňují A_k = Ak a B_k = Bk. Ukažte, že přechod k novým bosonovým operátorům ak daný předpisem ak = ukak + vka^_k (Bogoliubovova transformace) převádí při vhodné volbě koeficientů uk, vk hamiltonián na diagonální tvar n = J2u}kalak + ^J2{u}k-Ak) . k k Najděte explicitní vyjádření koeficientů uk, vk a energií uk elementárních excitací. Kromě splnění požadavku diagonálnosti výsledného hamiltoniánu je také třeba při transformaci zachovat bosonové komutační relace pro operátory ak, aj,. 2