Rozměr Cooperova páru David Linhart KoKoJevy MU III SCI Ústav fyziky kondenzovaných látek 1 Zadání Střední kvadratický poloměr Cooperova páru je definovaný jako: fr2\ip(r)\2d3r J>(r)|2d3r (1) kde V,(r) Je vlnová funkce Cooperova páru definovaná následovně: (2) fc kde velikost vektoru r je relativní vzdálenost mezi elektrony tvořícími Cooperův pár, koeficienty odpovídají Fourierově transformaci relativního pohybu oněch elektronu a udávají pravděpodobnost nalezení jednoho elektronu s vlnovým vektorem k a druhého s — k. Naším úkolem je vyjádřit: 1. střední kvadratický poloměr pomocí koeficientů gk z výrazu pro vlnovou funkci Cooperova páru 2. střední poloměr Cooperova páru pomocí vazebné energie a Fermiho rychlosti s využitím gk z přednášky C (3) 9k = 2e — 2Ep — Ei) 2 Vyjádření pomocí g& Začneme přirozeně s tím, že uvedené výrazy pro vlnovou funkci dosadíme do obou integrálů. Pro integrál v čitateli postupujeme následovně: Přesuneme V Q před integrál, protože ta na r samozřejmě nezávisí a zároveň si rozepíšeme druhou mocniny sumy na součin dvou komplexně sdružených sumy. Poté využijeme rovností Vkelkr = irétkr a Vk/e~lk'r = —ire~'tk'r čímž se zbavíme členu r2. V dalším kroku využijeme následujícího obratu: fc (27 gkVkékr<řk FdS = JJJ VF dV S (V) v (T gkVke%krk>gk> E Vfc#fc Vfcfi'i = E ivk0feľ fc Postup pro integrál ve jmenovateli je v podstatě stejný: 2 |2j3„ Iiv>(r)iw = I ^Ee^fc ^ = ^/EX>i ,t eifcre-ifc'rd3r fcfc' ^ E E / ^-"^r ^ i = ^E^fc d = E fcfc' fcfc fffci Podelením obou integrálu dostávame výraz pro strední kvadratický polomer Cooperova páru: 2 _ Efc IVfcgfcl2 P ~ i |2 • Z^fc Iflfcl (4) 1Tiše předpokládáme, že jako obvykle máme funkce vhodně zavedené, abychom mohly řadu funkcí integrovat člen po členu, tedy že splňují Lebesgue's Dominated Convergence Theorem. 2 3 Vyjádření pomocí vazebné energie a Fermiho rychlosti Začneme přirozeně s tím, že do výrazu odvozeného v minulé části dosadíme závislost gk z přednášky (3) a rovnou vytkneme konstantu C před sumu. V dalším kroku přejdeme ze sumy přes k na integrál z energie, do integrálu nesmíme opomenout přidat hustotu stavů D{e) a pro využijeme následující vztah:2 d d de d d h2k2 dk de dk de dk 2m d h2k d ^ hk ^d de m de m de (5) V dalším postupu předpokládáme, že vzhledem k tomu, že jsem blízko Fermiho mezi, tak můžeme použít D{e) = D{Ep) a v{e) = vp. Spolu s tím, se nám upraví i meze integrálu na slupku nad Fermiho energií o šířce dané energií fononů. V dalším kroku zavedeme substituci £ = e — Ep, platí tedy: — 2e — 2Ep — Ei) = 2£ — Eb — Spodní mez e = Ep —> £ = 0 — Horní mez e = Ep + ftujd —> £ = Huid V dalším kroku je už jednoduché výraz v integrálu v čitateli zderivovat. Z výsledku vytkneme -2 před integrál. Zavedeme další substituci tentokrát u = 2£ — Eb, platí: — Spodní mez £ = 0 —> u = — Eb — Horní mez £ = Hloj —> u = 2hi0d — Eb vzhledem k tomu, že hiOd 3> Ebs můžeme oproti Eb považovat tuto mez za ~ oo. V dalších krocích už výraz pouze zintegrujeme a upravíme do patřičného tvaru. /Cfc V* c 2e-2EF-Eb v 1 2e-2EF-Eb /•oo d i { i , AI 2 / D(e)h2 —— v(e) de Jo 1 ' de\ \2e — 2Ep — El, ) c 2čľ—lEp—EJfj D(EF)h2vF Ep+huJu C2 J2k 2e-2EF-E, d í 1 ~d~e\2e - 2EF - Eb Die) huid de (hvpý 2e — 2Ep — Ei) d í 1 ~ďÍ\2t-Eh de di D{Et EF+huii 1 {hvpf huid o 2e — 2Ep — Ei) 2 de huid o 2 , 1 huid / o \^-Eb A{hvF u 42du ,2J-Eb _ /i/fc„, \2 d£ u 22du 4(hvF) -Eh 2£- Eb ) u~3~ oo -3 -Eb oo -1 -Eb d£, -(hvp)2^-r 3V F) ET 4(hvF) 3 E, Nakonec výsledek odmocníme a dostaneme vztah pro střední poloměr Cooperova páru, po dosazení typických hodnot vp = 106 ms_1 a Eb = 1 meV pro supravodiče, můžeme řádově odhadnout rozměr Cooperova páru. 2 hvF _ 2 6,582 • 1(T13 meVs • 106 ms"1 Eb ~ y/l 1 meV 0, 75 fim (6) 2Záměnu gradientu za obyčejnou parciální derivaci si můžeme dovolit zejména díky jednoduché (sféricky symetrické) parabolické disperzní relaci, kterou máme, protože se stále nacházíme v jednom pásu, pro energii eh v pásu k, platí: eh = -^řřT-3V Eb stejně jako v kbTc vystupuje faktor e_1^A, který oba faktory, výrazně zmenší oproti huid. 3