Kokojevy
1. Paramagnetisms neinteragujúcivh magnetických momentov
Izolovaný atom s čiastočne zaplnenou valenčnou slupkou
AH = -fi-B (1)
kde fi je magnetický moment slupky daný výrazom fi = —gfiBJ, kde J je operátor celkového momentu hybnosti a g je Landého faktor.
(a) Statistickým středováním určete střední magnetický moment atomu při teplotě T. Odtud vypočtěte teplotní závislost magnetické susceptibility souboru neinteragujících atomu s koncentrací n. Ukažte, že za vysokých teplot je suscep-tibilita nepřímo úměrná teplotě (Curieuv zákon).
Statistickým stredovaním vypočítame magnetický moment pri teplote T ako
AH = -gfiBJB = -gfiBJzBz (2)
z kvantovej mechaniky vieme, že orbitálny moment elektrónu je kvantovaný a nadobúda len hodnôt Jz = m kde môže mať hodnoty od — J do +J (2 J + 1 hodnôt) a teda
AH = Em = -gfiBBzm (3)
Pravdepodobnosť, že sa atom nachádza v stave s magnetickým kvantovým číslom m je daná
Ern g^BBzm
P oc e kr = e   kr (4)
(E) = -E—Je   ^ TB (5) /        7 e"
kT
M = JC   ^  Tm (6)
\r" I g/iBBzm \ I
L^im= — J
čitateľ môžeme vyjadriť ako
2_ e   feT   9tJ-Bm = kT-—- (7)
m=—J Z
ako z bude značená partična suma jedného atómu ktorá je derivovaná v predchádzajúcej rovnici
M = *^ = kT^ (8)
XfV     z dBz        dBz y 1
J 2J u /i     r 9tíBBzi2j i i
EgMflflzm             gMB-Bz j             /    g^BBz \ K            _ gV-BBz  j   I   1 —  \€ hT e       kT =e     kT     J^le     kT      \      =e        kT -_____
m=-J k=0 \      1 + e kT
+ e^V+h)     sinh((J + e   2kř~ — e 2kT sinh(' ■ ^_
3»bBz     g vb b z a\nhíamäz^ K }
2kT     — e   2kT ti ii mi -
Hyperbolicky tangens je definovaný ako
Sinhž/ = ____________________ (n)
1
a teda
\nz = lnsinh[(J+ 1/2)
9VbBz kT
ln sinh(
2kT
'(J+l/2)cosh[(J+l/2)^]     IcosM^)\ _ /^B£a " 9(lB '        sinh[(J+l/2)tó] sinh(tó) j " ^B"7Bj
kde Bj je Brillouinova funkcia
Bj(^)=U(J+ 1/2) coth[(J + 1/2)^] - i cothf^
V  AT  J     J \ ^"^    HkT  1 " 2 2fcŤ
V limite vysokých teplôt prejde táto funkcia na tvar
J\kT)     \   3   J kT
(M) = ng^BJBj(^BBz
kT
Magnetizácia pre vysoké teploty (M) oc 9fl^z
(M) = n(/i) = x— Ho
Výsledná susceptibilita je teda rovná
nfi0fj2Bg2J(J + 1)
X
3kT
(b) Vypočtěte energii E, tepelnou kapacitu c a entropii S vztaženou na notku objemu.
Pre výpočet energie použijeme vzťah
E = -N^
a teda
E = -NgJllBB | U±l coth ((V±W$t) _ 1 coth /W».
2J V 2 J    2J       \ 2kT
Pre výpočet tepelnej kapacity použijeme vzťah
_ dE °~ dŤ
a teda výsledná tepelná kapacita má vzťah
c = Nk
í gJ/iBB\'
2J+ 1
V   kT   J   yy2JSmh(sm^)) ^2Jsinh((2J+l)^ K výpočtu entropie použijeme vzťah
kde -F je voľná energia, tým pádom je výsledný vzťah pre entropiu rovný s =   NgJfiBB Í2J+1 cQth ŕ(2J +l)giiBBz\ J_ ^ f gfiBBz
T      \   2J V       2kT       J 2-J       V 2kT
/sinh((J+l/2)2iÄ)\
V J
(c) Zjednodušte výsledky bodov (a) a (b) pro případ J = 1/2, g = 2 a vykreslete teplotní závislost magnetizace M a veličin E, c a S. Teplotu přitom charakterizujte veličinou kT/fisB.
Magnetizácia
M =--— tanh (25)
Magnetisation of paramagnet
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
VsBIkT
Energia
E = -NfiBB tanh
/ jiBB V kT
(26)
Energy
0 2 4 6 8 10
T[lJBB/k]
3
Tepelná kapacita
C = Nk
fßBB\2 1
V kT J  cosh2 (fiBB/kT)
0.4
0.3
CQ
S 0.2
U4
0.1
0.0
							
							
							
							
	/						
							
4 6 c[N k]
10
Entropia
S = tanh )+ NUn U cosh (^
T \ kT J V V kT
Entropy
W«n2
4