Kolektivní a kooperativní jevy — 2. sada příkladů
1. Kritická hustota proudu v tenké supravodivé vrstvě
Určete kritickou hustotu proudu v tenké supravodivé vrstvě tloušťky d, která je mnohem menší než koherenční délka £ a hloubka vniku A. Kritická hustota proudu jc je definována tak, že pro j < jc (j > jc) se vrstva nachází v supravodivém (normálním) stavu. Tloušťka vrstvy je mnohem menší než £, proto můžeme ip považovat za konstantní. Zapište odpovídající GL rovnice a ukažte, že mají netriviální řešení pro
2y/2Bc
3 <3c
2. Supravodivá vrstva na dielektrickém válci, kvantování magnetického toku
Uvažujte o tenké supravodivé vrstvě tloušťky d <C £, A nanesené na dielektrickém válci o poloměru R. Při pokojové teplotě je válec umístěn do homogenního magnetického pole rovnoběžného s osou válce, poté je ochlazen pod Tc a magnetické pole je vypnuto. Ukažte, že výsledný magnetický tok válcem je kvantován a jeho možné hodnoty jsou
$ = n<í>o   1 +
2A^ Rd
1
-i
Nápověda: Pracujte ve válcových souřadnicích a předpokládejte řešení ve tvaru ip(r) = f(r) e , kde f(r) je reálná funkce, A(r) = A(r)e&, kde e$ je jednotkový vektor odpovídající souřadnici ů, j(r) = j(r)e#. Dále B = V x A = (0,0, Bz), odkud plyne Bz = A(r) = \ f£ Bz(r') r' dr''. Ukažte, že
GL rovnice přejdou na
n 2e r h
f
1 d r dr
n
dr
f + ŕ
A
2eA2 r A2
Zanedbejte závislost j (r) na r, j (r) = j$. Rovnici pro proudovou hustotu integrujte podél kružnice o poloměru R, použijte výsledek integrace a vztah mezi jo a Bz uvnitř válce vyplývající z Maxwellovy rovnice V x B = /xqJ-
3. Struktura víru v supravodiči typu II
Najděte řešení GL rovnic pro supravodivý vír nesoucí elementární kvantum magnetického toku. Využijte přitom tvar rovnic z předchozího příkladu a aplikujte okrajové podmínky: V(0) = 0 (v počátku je potlačena supravodivost), ip —> 1 pro r —> co, Bz —> 0 pro r —> co. Úplné řešení lze provést pouze numericky, analyticky můžeme stanovit:
(a) řešení rovnic v blízkosti počátku
(b) řešení druhé rovnice v limitě A
Nápověda: (a) Funkce A(r) a f(r) rozviňte v mocninné řady v okolí počátku a rozvažte, jaké členy se v rozvoji uplatní. Určete koeficienty u prvních dvou nenulových členů rozvoje funkce /. (b) V tomto případě máme / ~ 1. Na rovnici pro proudovou hustotu zapůsobte operátorem rotace a obdržíte tak rovnice pro Bz(r). Ukažte, že jejím řešením je Hankelova funkce komplexního argumentu a magnetické pole je možné zapsat ve tvaru
i
s asymptotickým vyjádřením
V '     2ttA2 V 2 r
a rozvojem v okolí počátku
Odhadněte na základě tohoto výsledku Bz(0). 4. Dolní kritické pole Hc\ v supravodičích typu II
Odhadněte Landauovu volnou energii Gibbsova typu pro supravodič s jedním vírem nesoucím magnetický tok $0 a Pro supravodič bez víru. Předpokládejte přitom, že A > ^ a radiální část ip je přibližně rovna jedné. Ukažte na základě tohoto výsledku, že v supravodiči typu II vznikají víry od hodnoty H& intenzity vnějšího pole přibližně rovné
TI    ~    $0   1 a
pro   r —> oo
pro   r —> 0 .
2