Kolektivní a kooperativní jevy — 3. sada příkladů
1. Střední hodnoty operátorů ve stavu popsaném BCS zkušební funkcí
Vypočtěte níže uvedené střední hodnoty ve stavu zadaném Schriefferovým Ansatzem
\BCS) = l\(uk+vkčltčlH)
vac>
■ ~ rt, |     — r>/^,'l '
fc
kde |vac) je stav bez elektronů.
• obsazení jednotlivých elektronových stavů (č£ čfe )
• střední celkový počet elektronů (Ň), kde Ň = ^2ka čfe
• střední kvadratickou odchylku v počtu elektronů ((N — (N))2}
• střední hodnotu operátoru anihilace páru (c-klckt)
• střední hodnotu BCS interakčního členu (c^c^fc^c_fc,|Cfc,^}
2. BCS popis supravodivosti vysokoteplotních kuprátových supravodičů
Ve vysokoteplotních kuprátových supravodičích je s velkou pravděpodobností supravodivost způsobena odpudivou interakcí mezi elektrony nesenou antiferomagnetickými spinovými fluktuacemi s charakteristickým vlnovým vektorem Q = (Tv/a,Ti/a). V příkladu se přesvědčíme, že tento scénář vede k párování se symetrií typu d, kdy vzájemný pohyb elektronů v Cooperově páru odpovídá celkovému momentu hybnosti s l = 2 namísto l = 0, jako tomu je u nejběžnější symetrie typu s. Popis situace si zjednodušíme použitím BCS přiblížení. V rámci něj řešíme rovnici pro supravodivou mezeru při konečné teplotě
Pro kupráty lze zvolit těsnovazební disperzi elektronů pohybujících se na čtvercové mřížce
= — 2t (cos kxa + cos kya) — 4í' cos kxa cos kya — fi
s parametry t = 0.35 eV, ť = —i/3 a chemickým potenciálem fi = —0.4 eV. Interakci zprostředkované spinovými fluktuacemi odpovídá statický interakční potenciál tvaru
v Vo
vk-k'
l+A2(k-k'-Q)2 '
který není narozdíl od BCS interakce separabilní, což komplikuje řešení rovnice pro supravodivou mezeru. Použijte tyto hodnoty parametrů potenciálu: vazebná konstanta Vo = 4.4eV, koherenční délka A = 2.35a.
• Vypočtěte rozložení supravodivé mezery A(kx, ky) v Brillouinově zóně při teplotě T <C Tc.
• Stanovte teplotní závislost supravodivé mezery v bodě (kx, ky) = (ir/a, 0) v intervalu 0 až 200 K.
Doporučení k numerickému řešení: Čtvercovou Brillouinovu zónu pokryjte pravoúhlou sítí s N x N uzly. Rovnici pro supravodivou mezeru řešte iterační metodou, kdy novou aproximaci získáte vyčíslením pravé strany rovnice s použitím předchozí aproximace Iterace je třeba provádět tak dlouho, dokud se Afc neustálí. Jako výchozí A& vezměte ^Ao( cos kx — cos ky) s malou amplitudou       napr. 0.1 meV.
Potřebný počet iterací se pohybuje řádově v jednotkách až desítkách pro teploty dostatečně hluboko pod Tc a dostatečně vysoko nad Tc, ale blížíme-li se k Tc, počet iterací strmě narůstá. K posouzení konvergence postupu s rostoucím ./V porovnejte výsledky pro iV = 64 (bude nedostatečné), ./V = 128 (již dostatečné) a N = 256 (pro ověření dostatečnosti předchozího N).
Závěrečná poznámka: V rovnici pro supravodivou mezeru není použit "cut-off", tedy omezení interakce na oblast okolo Fermiho energie. V klasickém BCS případě je roven Hup, v našem případě energii tzv. rezonančního spinového módu, Hluq = 40meV pro optimálně dopované YE^C^C^-^. Zavedení tohoto omezení by zvýšilo potřebné ./V a přineslo další komplikace, proto jej pro jednoduchost vynecháme.
3. Rozměry Cooperova páru
Stanovte střední kvadratický poloměr Cooperova páru definovaný jako
2     I r2\ip(r)\2 d3r
P
J|^(r)|2d3r
pomocí koeficientů gj, vystupujících ve výrazu \ip) = QkC^^-k^F). Dále s využitím řešení z přednášky odvoďte
2 hvp
kde E je vazebná energie páru.
4. Meissnerův-Ochsenfeldův jev
Uvažujme o supravodiči ve statickém magnetickém poli daném vektorovým potenciálem A{r) = aqeiqr. Interakce s magnetickým polem přináší dodatečný člen v hamiltoniánu
i
Stanovíme paramagnetickou proudovou hustotu v supravodiči způsobenou magnetickým polem. Příslušný operátor je
3pir) = ~l^^[Kr-ri)Pi+PiKr-rí)\ ■
i
Nejprve ukažte, že ve formalismu druhého kvantování jsou interakční hamiltonián a Fourierova složka operátoru paramagnetické proudové hustoty vyjádřeny jako
Ě^ = ^Y,k- a1 CÍ+Q,aCka a 3p{q) = Y. (k ~ f) Ck-q,aCka •
ker ker
Stavový vektor \^a) supravodiče ve slabém magnetickém poli získáme poruchovým rozvojem
„      En ~ E0
kde |\řo) je základní stav supravodiče bez přítomnosti magnetického pole a n probíhá excitované stavy. Vypočtěte střední hodnotu
jp(q) = (*A\jp(q)\*A) a přesvědčte se, že jp{q) —> 0 pro q —> 0, což dává Meissnerův-Ochsenfeldův jev.