Kolektivní a kooperativní jevy — 4. sada příkladů
1. Paramagnetismus neinteragujících magnetických momentů
Izolovaný atom s částečně zaplněnou valenční slupkou se v magnetickém poli řídí hamiltoniánem
AH = -rh • B ,
přičemž magnetický moment slupky je dán výrazem rh = —gfisJ- Zde J operátor celkového momentu hybnosti slupky a g je Landého faktor.
(a) Statistickým středováním určete střední magnetický moment atomu při teplotě T. Odtud vypočtěte teplotní závislost magnetické susceptibility souboru neinteragujících atomů s koncentrací n. Ukažte, že za vysokých teplot je susceptibilita nepřímo úměrná teplotě (Curieův zákon).
(b) Vypočtěte energii E, tepelnou kapacitu C a entropii S vztaženou na jednotku objemu.
(c) Zjednodušte výsledky bodů (a) a (b) pro případ J = 1/2, g = 2 a vykreslete teplotní závislost magnetizace M a veličin E, C a S. Teplotu přitom charakterizujte veličinou k^TjfisB.
2. Weissův model a spinová susceptibilita antiferomagnetu
V rámci přiblížení středního pole prozkoumejte chování antiferomagnetu popsaného Heisenbergovým hamiltoniánem pro spiny o velikosti S umístěné v uzlech bipartitní mřížky
T~L = J ^ ^ Š i • Š j .
(íj),íeA,jeB
Interagují pouze sousední spiny, které v případě bipartitní mřížky vždy sídlí v různých podmřížkách (označeny A a B). Magnetický moment efektivního spinu je dán výrazem rh = —gfisS.
(a) Najděte závislost magnetizace podmřížek na teplotě a určete Néelovu teplotu Tjy.
(b) Vypočtěte magnetickou susceptibilitu pro případ T > T/v a ukažte tak, že platí Curieův-Weissův zákon ve tvaru x ~        + Tjv)-
(c) Vypočtěte magnetickou susceptibilitu pro T < T/v- Zde je třeba odlišit případ, kdy je magnetické pole B rovnoběžné se směrem magnetizace, a případ, kdy je na něj kolmé.
Pozn.: Ve zjednodušené variantě úlohy počítejte se spiny o velikosti S = 1/2 a vynechejte část (c).
3. Heisenbergův hamiltonián jako efektivní hamiltonián Hubbardova modelu
Pomocí poruchové teorie druhého řádu ukažte, že efektivním hamiltoniánem Hubbardova modelu pro molekulu H2
U = t H (ci*c2* + 4*ci*) +U(nltnn + n2tn24.)
v limitě t/U <C 1 (poruchou jsou členy s t) je antiferomagnetický Heisenbergův hamiltonián
T~ieň = JSi ■ S2
s výměnnou konstantou J = At2/U.
Podrobný návod: Jednotlivé stavy systému zapíšeme pomocí kreačních operátorů. Jsou to stavy s elektrony nacházejícími se v různých orbitalech: singlet \S) = (l/v/2)(c]^c^ — c^c^)|vac) a tripletní stavy \T-i) = cí|c2jJvac)> l^o) = (l/v/2)(c]f|C^ + c^c^)|vac), |T+i) = c^c^jvac) a dále stavy, kdy se oba elektrony nacházejí v jednom orbitalu: \Si) = ej^ej^Jvac) a IS2) = c2fc2j,lvac)-
Efektivní hamiltonián pracuje v podprostoru vymezeném stavy \S), \Tq) a |T+i). Kvůli spinové
symetrii musí být efektivní hamiltonián vyjádřený v bázi sestavené z těchto stavů diagonální. Stačí tedy určit jeho diagonální maticové elementy pomocí poruchové teorie druhého řádu
1
kde \ip) jsou jednotlivé nízkoenergiové stavy \S), \T-i), \Tq) a |T+i) a \n) jsou stavy s dvojnásobným obsazením \S\) a \S2) a excitační energií ř7. Výsledek porovnáme s maticovými elementy Heisenbergova hamiltoniánu a určíme J.
4. Základní stav Heisenbergova čtverce
Najděte základní stav miniaturního Heisenbergova antiferomagnetu se čtyřmi spiny S = 1/2 umístěnými v rozích čtverce. Předpokládejte, že interagují jen nejbližší sousedé.
• Základní stav vyjádřete jako lineární kombinaci společných vlastních stavů operátorů \ Sf \
L     J i=l..A
• Jaký podíl na základním stavu mají Néelovy konfigurace?
• Ukažte, že výsledek je možné zapsat jako superpozici dvou možných pokrytí čtverce dvojicí sin-gletních párů spinu.
• Najděte energii základního stavu pro případ obecné hodnoty S. Nápověda: (S\ + S3) • (S2 + S4) = Si • S2 + S2 • s3 + S3 • S4 + S4 • Si
2