Tahák k residuové větě
Šikovné integrační cesty:
1. Tahlesehodínaracionálnífunkce.Máme-litamie 𝑎𝑧
,jepotřeba,
aby při 𝕴𝖒 𝑧 → ∞ šlo 𝕽𝖊 𝑎𝑧 → −∞.
2. Na 2𝜋-periodické funkce. 𝛪𝐿 a 𝛪𝛲 se zruší mezi sebou.
3. Na integrály
∞
∫
−∞
𝑓(𝑥)e 𝛼𝑥
d𝑥, kde 𝑓(𝑧) je 𝔦𝜔-periodická funkce.
4. „Pacman“ pro funkce s jedním bodem větvení, třeba ln 𝑧.
5. Pro funkce se dvěma body větvení.
Princip argumentu: 1
2𝜋𝔦 ∮𝒦
𝑓′
(𝑧) d𝑧
𝑓(𝑧)
= (počet kořenů uvnitř 𝒦) −
− (počet pólů uvnitř 𝒦).
Rouchéova věta: Je-li na křivce 𝒦 |𝑔(𝑧)| < |𝑓(𝑧)|, pak 𝑓 + 𝑔 má
uvnitř 𝒦 stejně kořenů mínus pólů jako 𝑓.
Lagrangeova inversní formule:Je-li 𝑧řešenírovnice 𝑧−𝑧0 = 𝑤𝜑(𝑧)
při dost malém 𝑤, pak 𝐹(𝑧(𝑤)) = 𝐹(𝑧0) +
∞
∑
𝑛=1
𝑤 𝑛
𝑛!
d 𝑛−1
d𝑧 𝑛−1 [𝐹′
𝜑 𝑛
]
𝑧=𝑧0
.
Ke sčítání sum: 𝜋 ctg 𝜋𝑧 má póly ve všech celých číslech, v každém
je residuum 1.
𝜋
sin 𝜋𝑧
má póly ve všech celých číslech s residuem −1 a je
mnohem robustnější.
1 Vyčíslete: 1.
∞
∫
−∞
𝑥 sin 𝑥 d𝑥
𝑥2 − 2𝑥 + 10
; 2.
𝜋
∫
−𝜋
cos 𝑛𝜑
𝑎2 − 2𝑎 cos 𝜑 + 1
d𝜑;
3.
∞
∫
−∞
cos 𝛼𝑥
ch 𝑥
d𝑥; 4.
𝑏
∫
𝑎
√(𝑏 − 𝑥)(𝑥 − 𝑎)
𝑥2 + 𝜆2 d𝑥; 5.
∞
∫
0
d𝑥
(𝑥 + 𝑎)(ln
2
𝑥 + 𝜋2)
.
2 Vyčíslete
𝜋−arc sin 𝑎/𝑏
∫
arc sin 𝑎/𝑏
√𝑏2 −
𝑎2
sin2
𝜑
d𝜑. Zkuste nějak zkombinovat
dva postupy: ten na odmocniny a ten na goniometrické funkce.
3 Pomocí oddělení 𝕽𝖊 a 𝕴𝖒 vyčíslete: 1.
𝜋
∫
−𝜋
ln ∣tg
𝜑
2 ∣
𝑎 + 𝑏 cos 𝜑
d𝜑;
2.
𝜋
∫
−𝜋
∣cos
𝜑
2 ∣
𝛼
𝑎 + 𝑏 cos 𝜑
d𝜑; 3.
∞
∫
−∞
(𝑥2
+𝑎2
)
𝛼
2 −1
cos (𝛼 arc cos
𝑥
√ 𝑥2 + 𝑎2
) d𝑥;
(0 < 𝑎 < 𝑏 a 𝛼 jsou konstanty; obor vhodných 𝛼 zjistěte).
4 Označme 𝛪𝑘 =
∞
∫
0
𝑅(𝑥) ln
𝑘
𝑥 d𝑥.
1. Dokažte rekurenci
𝑛−1
∑
𝑘=0
( 𝑛
𝑘)(2𝜋𝔦) 𝑛−𝑘
𝛪𝑘 = −2𝜋𝔦 ∑ 𝖗𝖊𝖘
všechny póly
𝑅(𝑧) ln
𝑛
𝑧.
2.Nechťℐ = ∑ 𝑧 𝑛
𝑛! 𝛪𝑛.Dokažte,žeℐ = −
2𝜋𝔦
e2𝜋𝔦𝑧 − 1
∑
𝑝 je pól
𝑝 𝑧
𝖗𝖊𝖘
𝑧=𝑝
𝑅(𝑧).
3. Ukažte, že
∞
∫
0
ln
2𝑛
𝑥
1+𝑥2 d𝑥 = (−1) 𝑛
( 𝜋
2 )
2𝑛+1
𝛦2𝑛 (𝛦𝑘 jsou Eulerova čísla).
5 Ukažte,že 𝑧 =
∞
∑
𝑘=0
( 𝑛𝑘+1
𝑘 )
𝑛𝑘 + 1
1
𝑤 𝑛𝑘+1
jeřešenímrovnice 𝑧 𝑛
−𝑤𝑧 +
+ 1 = 0 (|𝑤| > 1, 𝑛 ∈ ℕ).
6 Sečtěte: 1.
∞
∑
𝑛=1
(−1) 𝑛
𝑛2+𝑤2 ; 2.
∞
∑
𝑛=−∞
e𝔦𝑛𝛼
(𝑛−𝑤)2 ; 3.
𝑛−1
∑
𝑘=0
1
𝑟2−2𝑟 cos 2𝜋𝑘
𝑛 +1
.