Objevte si sami Banachovu větu
Následujících několik úloh se váže k Banachově větě o pevném bodě, kterou jsme už na cvičení
nestihli.
Bude zde důležitý pojem kontrakce. To je takové zobrazení 𝑓 z metrického prostoru (𝛭, 𝜌) do
něj samého (tedy zas do (𝛭, 𝜌)), že existuje 0 < 𝑘 < 1 takové, že pro každé dva body 𝑥 a 𝑦 v tomto
prostoru platí
𝜌(𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦)) ≤ 𝑘 ⋅ 𝜌(𝑥, 𝑦).
Jednoduše řečeno, je to zobrazení, které smršťuje vzdálenosti mezi všemi dvojicemi bodů na 𝑘násobek
či ještě méně. Jde to definovat i pro případ, kdy to zobrazení jde z jednoho metrického
prostoru do jiného, ale to nás tady nebude zajímat.
1 V nějakém metrickém prostoru mějme množinu, která se celá vejde do kruhu o poloměru 1.
Uplatníme na ni kontrakci s 𝑘 = 1
2. Do jak velkého kruhu se určitě vejde obraz? A co když tu kontrakci
𝑛-krát zopakujeme? Můžete si to i schematicky nakreslit.
2 Zcela intuitivně si představte/nakreslete, co se stane s jakoukoli (omezenou) množinou, provedu-li
„nekonečněkrát“ nějakou kontrakci. Mělo by Vám vyjít, že se nakonec „zhroutí do bodu“.
3 Ještě si představte, že začnu s nějakým libovolným bodem 𝑥 a vyrobím z něho bod 𝑝 tak, že
budu „nekonečněkrát“ opakovat nějakou kontrakci, tj. udělám
𝑝 = 𝑓(𝑓(𝑓(⋯ 𝑓(𝑓(⏟
nekonečněkrát
𝑥)) ⋯))).
Změní se nějak tento bod 𝑝, když s ním udělám tu kontrakci ještě jednou? Měli byste dojít k tomu, že
ne, tedy že 𝑓(𝑝) = 𝑝. To znamená, že 𝑝 by mohlo být dobrým kandidátem na pevný bod zobrazení 𝑓
— tedy na bod, který to zobrazení vůbec nezmění. Samozřejmě jen za předpokladu, že „opakovat 𝑓
nekonečněkrát“ dává nějaký smysl.
4 Teď se už vrhneme na matematiku. Řekněme, že 𝑥 je nějaký bod a 𝑓 je kontrakce (se zadaným
𝑘). Označme vzdálenost mezi body 𝑥 a 𝑓(𝑥) třeba jako 𝐿.
1. Jaká nejvýše je vzdálenost mezi body 𝑓(𝑥) a 𝑓(𝑓(𝑥))? (Napište to pomocí 𝑘 a 𝐿.)
2. Jaká je nejvýše vzdálenost mezi body 𝑓(𝑓(𝑥)) a 𝑓(𝑓(𝑓(𝑥)))?
3. Obecně: jaká největší může být vzdálenost mezi 𝑓(𝑛-krát)
(𝑥) a 𝑓(𝑛 + 1-krát)
(𝑥)?
4. Pomocí trojúhelníkové nerovnosti a součtu geometrické řady napište, jaká největší může být vzdálenost
mezi 𝑓(𝑛-krát)
(𝑥) a 𝑓(ℓ-krát)
(𝑥).
5. Z výsledku předchozího bodu vyvoďte, že posloupnost 𝑥, 𝑓(𝑥),… , 𝑓(𝑛-krát)
(𝑥),… je cauchyovská.
5 To už stačí na to, abychom vymysleli Banachovu větu.
1. Ukažte, že pokud posloupnost 𝑥, 𝑓(𝑥),… , 𝑓(𝑛-krát)
(𝑥),… konverguje k nějakému 𝑝, tak 𝑝 musí být pevným
bodem zobrazení 𝑓. (Snadno to uděláte přímo z definice.)
2.Myužvíme,žetaposloupnostjecauchyovská.Comusímechtítodtohometrickéhoprostoru,abychom
měli zajištěno, že bude i konvergentní?
3. Objevili jsme už jeden pevný bod. Může jich být víc? (Kdyby jich víc bylo, mohlo by pak 𝑓 být kon-
trakce?)
4. Schválně si zkuste porovnat vaši „versi“ Banachovy věty, kterou jste dostali z těchto úvah, s tou, co je
v přednášce či ve skriptech. Nejspíš objevíte, že se v ničem neliší! Takže to není žádná černá magie, ale
(doufám) celkem intuitivní záležitost.