První procvičování (metrické prostory)
1 Mějme jakoukoli množinu 𝛭 v nějakém metrickém prostoru. Jakou vzdálenost má od ní
jakýkoli bod na její hranici?
2 Mějme jakýkoli metrický prostor. Je v něm prázdná množina ∅ uzavřená? Je otevřená?
3 Mějme úplný metrický prostor (𝛭, 𝜌) a jeho podmnožinu (𝛢, 𝜌). Řekněme, že tento menší
prostor je neúplný, takže v něm existuje cauchyovská posloupnost 𝑥𝑛 bez limity. Protože však větší
prostor (𝛭, 𝜌) je úplný, musí v něm 𝑥𝑛 mít limitu, řekněme 𝑥. Jaká může být nejvýše vzdálenost 𝑥 od
množiny 𝛢?
4 Pro jednoduchost si představme prostor ℝ2
s eukleidovskou metrikou. Podejte příklad množiny,
která je otevřená i uzavřená. Pak podejte příklad množiny, která není ani jedno. (Z toho je vidět, že
ačkoli „otevřená“ a „uzavřená“ množina zní jako protiklady, které se vylučují, vůbec tomu tak není.)
5 Našli jste starou, blbou a rozbitou kalkulačku, na které už fungují jenom dvě tlačítka: „zapnout/vypnout“
a „cos“. Jak s pomocí této mizerné kalkulačky vyčíslíte kořen rovnice cos 𝑥 = 𝑥?
6 Ukažte, že následující zobrazení jsou kontrakce na metrickém prostoru, který je tvořen zadaným
intervalem reálné osy a metrikou 𝜌(𝑥, 𝑦) = |𝑥 − 𝑦|:
1. 𝑓(𝑥) = 1/𝑥 na intervalu (1; ∞) (zkuste dát rozdíl na společného jmenovatele);
2. 𝑓(𝑥) = √𝑥 na intervalu (1
4; ∞) (zkuste rozdíl √𝑥 − √ 𝑦 nějak vhodně rozšířit).
3. Jestli chcete, můžete to zobecnit a dokázat, že každá funkce 𝑓(𝑥) je s touto metrikou kontrakcí všude,
kde platí |𝑓′
(𝑥)| < 1 (zkuste zapsat 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) jako integrál z derivace).
7 Díky minulému příkladu už můžete snadno dokázat, že nekonečně vnořená odmocnina
√6 − √6 − √6 − √6 − ⋯
konverguje. Spočtěte, k čemu konverguje. Záleží nějak na tom, co je „úplně uvnitř odmocniny“? (Nápověda:
Banachova věta na zobrazení 𝑓(𝑥) = √6 − 𝑥 .)
8 Stejně tak můžete dokázat, že nekonečný řetězový zlomek
1 +
1
1 + 1
1+ 1
1+ 1
1+⋱
konverguje, a nalézt jeho hodnotu.