Odpovědi na první domácí cvičení
1 Nulovou.
2 Obojí.
3 Nulovou
4 Například ℝ2
. Například polootevřený čtverec ⟨0; 1) × ⟨0; 1).
5 Nejdřív ji zapneme pomocí tlačítka „zapnout/vypnout“. Pak budeme mačkat tlačítko „cos“
tak dlouho, dokud se číslo na displeji mění. Jakmile se měnit přestane, nalezli jsme řešení.
6 Ad1.∣1
𝑥 − 1
𝑦∣ =
|𝑥−𝑦|
𝑥𝑦 .Jelikož 𝑥 > 1, 𝑦 > 1,mámeurčitě1/𝑥𝑦 < 1,takžemáme∣1
𝑥 − 1
𝑦∣ < 𝑘|𝑥−𝑦|.
Ad 2. Obdobně s ∣√𝑥 − √ 𝑦 ∣ =
|𝑥−𝑦|
√𝑥 +√ 𝑦 .
Ad 3. |𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)| = ∣
𝑏
∫
𝑎
𝑓′
(𝑥) d𝑥∣ ≤
𝑏
∫
𝑎
|𝑓′
(𝑥)| d𝑥 ≤ 𝑘|𝑏 − 𝑎|.
7 Pevný bod musí splnit 𝑥 = √6 − 𝑥 , což lze přepsat na 𝑥2
+ 𝑥 − 6 = 0 s řešeními −3 a 2.
Zkouška ukáže, že záporný kořen původní rovnici neřeší. Pevný bod je tedy 2. Na tom, co je „úplně
uvnitř“,nezáleží, dokud je točíslomezi −30a6.Jinéhodnotyrozbijířetězodmocninproto,ženěkterá
z nich nebude definovaná.
8 Pevnýbodmusísplnit 𝑥 = 1+1
𝑥;řešenítétorovnicejsoudvě,ato
1±√5
2 .Toovšemnezamená,že
toto zobrazení má dva pevné body (to by protiřečilo Banachově větě!), protože ten s mínusem nespadá
dooblasti,kdeje1/𝑥kontrakcí.Jelikožsevšakbezpečnědržímevoblasti 𝑥 > 1,Banachovavětafunguje
a zajistí konvergenci k tomu jedinému pevnému bodu, který v ní je, tj.
1+√5
2 .