1 Dokažte nerovnost |𝑥 + 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦|, která platí pro jakákoli reálná 𝑥, 𝑦. (Stačí Vám projít
všechny čtyři kombinace znamení 𝑥 a 𝑦.)
2 Mějme 𝜌(𝑥, 𝑦) = |𝑥−𝑦|. Dokažte, že (ℝ, 𝜌) je metrický prostor. (Prostě zkontrolujte jednotlivé
body definice.)
3 Nakreslete jednotkové kružnice kolem počátku v prostorech (ℝ2
, 𝜌1) a (ℝ2
, 𝜌∞), kde 𝜌1 je taxikářská
metrika a 𝜌∞ je maximální metrika. Pro body [𝑥1; 𝑦1] a [𝑥2; 𝑦2] platí 𝜌1 = |𝑥2 − 𝑥1| + |𝑦2 − 𝑦1|
a 𝜌∞ = max{|𝑥2 − 𝑥1|, |𝑦2 − 𝑦1|}.
4 Určete vzdálenost bodu [1; 1] od přímky 𝑦 = −𝑥:
1. v taxikářské metrice; 2. v eukleidovské metrice; 3. v maximální metrice.
5 Uvažme metrický prostor ℝ2
s eukleidovskou metrikou. Které z následujících množin jsou
v něm otevřené? Které jsou uzavřené?
1. množina obsahující jediný bod [0; 0]; 2. přímka 𝑦 = 𝑥; 3. kruh 𝑥2
+ 𝑦2
< 1;
4. čtverec ⟨0; 1) × ⟨0; 1); 5. elipsa 𝑥2
+ 𝑦2
/4 ≤ 1; 6. celé ℝ2
.
6 Mějmemetrickýprostor,kterýjetvořenintervalem(0; 1)astandardnímetrikou 𝜌(𝑥, 𝑦) = |𝑥−𝑦|,
a uvažme na něm posloupnost { 1
2 𝑛 } pro 𝑛 = 1, 2, 3,…
1. Je ta posloupnost cauchyovská? 2. Konverguje k něčemu? Pokud ne, co je tam za problém?
Hammingova vzdálenost
Uvažme množinu všech slov, která se skládají z 𝑛 velkých písmen české abecedy (kromě CH)
(pro zadané přirozené 𝑛), bez ohledu na to, jestli mají nějaký význam či nikoli. Hammingovou
vzdáleností mezi dvěma slovy pak označíme počet posic, v nichž se obě slova liší.
7 Určete Hammingovu vzdálenost mezi následujícími slovy:
1. BÁBA a ŽÁBA; 2. KOLT a HOST; 3. NAZDAR a SBOHEM.
8 Dokažte, že množina všech slov délky 𝑛 s Hammingovou vzdáleností je metrický prostor.
9 Uvažujme kružnice kolem slova STŘED, a to o poloměrech 1, 1 + 1
2 a nakonec 2. Pro každou
z nich zjistěte, kolik slov ji tvoří, a tři z těchto slov vypište. (Pro informaci: česká abeceda bez CH má
41 písmen.)
10 Nechť 𝛢 je množina všech slov tvořených šesti stejnými písmeny (tedy AAAAAA, ÁÁÁÁÁÁ,
BBBBBB,…až ÝÝÝÝÝÝ, ZZZZZZ, ŽŽŽŽŽŽ).
1. Určete vzdálenost slov SLUNKO, PADALA a RARACH od této množiny.
2. Vypište všechny možné vzdálenosti mezi jakýmkoli slovem 𝑆 a množinou 𝛢.
3. Zjistěte průměr množiny 𝛢.
4.Jakýjevnitřekmnožiny 𝛢?Ajakoumátatomnožinahranici?Jetatomnožinaotevřená?Jeuzavřená?
11 Napište příklad nekonečné posloupnosti šestipísmenných slov, která by byla v prostoru s Hammingovou
vzdáleností cauchyovská. K čemu ta Vaše posloupnost konverguje (pokud vůbec k něčemu)?
12 Dvě různá slova mají Hammingovu vzdálenost aspoň 1. To klade docela silné omezení na to,
jaké vlastnosti mohou mít množiny a posloupnosti slov:
1. Uvažte jakoukoli množinu slov o stejném počtu písmen. Může mít taková množina nějakou hranici?
Můžete obecně říct, zda je otevřená? A zda je uzavřená?
2. Uvažte jakoukoli posloupnost slov o stejném počtu písmen. Co musí splnit, aby byla cauchyovská?
3. Je tento metrický prostor úplný?